Exercices : TRAITEMENT DU SIGNAL

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1 Exercices : TRAITEMENT DU SIGNAL Analyse de Fourier - Filtrage EL 301 : Analyse d'un filtre La fonction de transfert d un quadripôle peut s écire sous la forme canonique : 1 H( x) jx + ( jx) = avec x = ω/ω 0 1) Quel est l'ordre du filtre? Donner un montage simple à base de résistances, bobines et capacité réalisant le même filtre. 2) On donne les diagrammes asymptotiques ci-dessous : nommer les différents filtres correspondants. Lequel correspond au filtre étudié? Le(s)quel(s) réalisent une dérivée première du signal d'entrée? Comment et pourquoi? EL 302 :Filtrage La fonction de transfert d un quadripôle se met sous la forme : 1) Tracer les diagrammes de Bode pour H 0 = 1 et Q = 10. 2) Dans quels domaines de fréquence le montage est intégrateur, dérivateur? 3) Déterminer la sortie s(t) du filtre quand on met en entrée : a) v e(t) = V 0 + E 0 cos( ω.t ). 0 2π b) v e(t) signal carrée d amplitude E de période T 0 = ω 0 Donnée : décomposition en série de Fourier du signal carré de période T0 2E 1 ve( t) =.sin( ω0 ( 2n 1 ). t ) π = n n 2π = ω 0 EL 306 : Lien entre la fonction de transfert et l équation différentielle On donne la fonction de transfert : 1 H( jω) = ω 1 + j ω0 1. Établir l équation différentielle du premier ordre entre la tension d entrée et de sortie. 2. Déterminer la réponse temporelle s(t) d un filtre passe-bas de fréquence de coupure ω 0 quand on applique à l entrée un signal rectangulaire e(t) de période T grande devant 2π/ω 0. On supposera s(0) = 0 ELECTRICITE - ELECTRONIQUE page 1/6

2 3. Analyser les résultats dans le domaine spectral EL 311 :Analyseur de spectre analogique On désire analyser les différentes harmoniques d'un signal v e (t). Pour cela on réalise le circuit R L C ci-contre. La capacité C du condensateur est réglable. On note H la fonction de transfert. 1) Montrer que la fonction de transfert peut se mettre sous la forme : A H = ω ω0 1 + jq.( ) ω ω 0 w o co Donner les expressions de A, Q et ω 0 en fonction de R, L et C. Quelle est la nature du filtre? 2) Comment varie Q avec R? Rappeler sans démonstration l'expression de ω, bande passante à -3dB de ce filtre, en fonction des paramètres du montage. Comment évoluent ω et ω 0 quand on modifie C? 3) On utilise le montage précédant en tant qu'analyseur de Fourier analogique. On met à l'entrée de ce circuit le signal v e(t) représenté ci-contre avec f =1 /T = 3,0 khz et E =10V. On montre que la décomposition en série de Fourier du signal v e(t) est : E 2E 1 ve( t) = +.sin( 2πf ( 2n 1 ). t ) 2 π n= 1 2n 1 3-a) Comment s'appellent les diverses fréquences qui apparaissent dans l'expression de v e(t) 3-b) Déterminer le signal de sortie v s(t) si le circuit est réglé pour f 0 = 3,0kHz et Q = c) Comment pourrait-on utiliser le circuit pour déterminer le spectre en fréquence de v e(t)? Quelle serait alors la précision en fréquence obtenue dans le spectre? EL 314 :Exemple de filtrage On considère le filtre représenté ci-contre. On donne les valeurs : R = 80 Ω, L = 200 mh et C = 10 µf, et on pose ω 02.L.C = 1. a) Déterminer la fonction de transfert H(jω) b) Tracer la courbe H(jω). En déduire l'ordre de grandeur de la pulsation de coupure. c) Le filtre est alimenté par une fonction périodique e(t) de fréquence f = 1/T = Hz. On appelle α = T f/t On donne ci-dessous e(t) et sa décomposition en série de Fourier. avec ω = 2 π/t. Déterminer les coefficients a n et b n en fonction de V 0 et α. d) On écrit : avec c n 0. Déterminer c n en fonction de V 0 et α. ELECTRICITE - ELECTRONIQUE page 2/6

3 e) On se propose de déterminer le signal de sortie s(t). Expliquer pourquoi la tension de sortie s t) est sensiblement constante dans le temps. Déterminer la valeur s rn de cette constante en fonction de V 0 et α. f) Vérifier que pour obtenir un ordre de grandeur convenable de l'ondulation résiduelle de la tension de sortie s, il suffit de ne considérer dans le calcul que le fondamental de la série de Fourier. On calculera son rapport avec l'harmonique n = 2 pour α = 3/4. g) Déterminer alors l'ondulation s = s max - s min de la tension de sortie. En déduire le taux d'ondulation s / s min Calculer sa valeur numérique. ELECTRICITE - ELECTRONIQUE page 3/6

4 Echantillonnage EL 401 : Observation stroboscopique d une pièce de moteur Une pièce d un moteur tourne à raison de f 0 = 6000 tours/minute. Sachant que l observation à l œil est confortable à partir d une vingtaine d images par seconde, déterminer les fréquences possibles du stroboscope f s pour observer un mouvement apparent ralenti dans le sens réel à raison de f app = 1 tour/s. Comment observer confortablement un mouvement rétrograde à la même fréquence? EL 402 : Analyse de spectres En analysant les tracés, déduire la fréquence du signal ainsi que celle d échantillonnage. EL 404 : Repliement de spectre dans une observation stroboscopique Dans l observation d un disque tournant à la fréquence f à l aide d un stroboscope dont la fréquence vaut f s, on observe le disque tournant de façon ralentie dans le même sens à la fréquence δf. Quelles sont les valeurs possibles de f? Comment mesurer avec certitude la fréquence du disque? EL 406 : Principe d'un oscilloscope numérique La structure de principe d'un oscilloscope numérique est représentée à la figure ci-dessous. Elle comprend : - un étage atténuateur, dont l ' impédance d ' entrée est très élevée (1 MΩ couramment) ; - un échantillonneur prélevant N e échantillons par seconde ; - un convertisseur analogique-numérique C.A.N. dont les valeurs successives sont transférées dans une mémoire tampon à accès très rapide ; - une unité de traitement et d ' affichage qui permet, à la suite de l ' acquisition, d ' exploiter les données prélevées. Nous détaillons successivement les contraintes et les grandeurs caractéristiques intervenant dans les acquisitions, compte tenu de la très grande variété de situations. Il est demandé de commenter, en les interprétant, les conseils donnés (la plupart émanent de notices d ' appareils) et de proposer, le cas échéant, des valeurs répondant aux contraintes fixées. 1. Aspects fréquentiels Un utilisateur désire disposer d ' une grande gamme d ' analyse, allant de 0,1 Hz à 10 MHz et pouvoir examiner des signaux de formes très diverses : sinusoïdale, carrée, impulsionnelle. Il demande conseil pour choisir l ' appareil qui lui convient. ELECTRICITE - ELECTRONIQUE page 4/6

5 a) Justifier ce premier conseil : «ne pas se contenter d'un oscilloscope dont la bande passante soit égale à la fréquence maximale des signaux à analyser, car elle ne serait pas suffisante pour les formes carrée et a fortiori impulsionnelle». b) Justifier de même la recommandation : «le taux d ' échantillonnage N e recommandé ne peut se limiter à 2 échantillons par période, il en faut au moins 5, voire 10...». c) Laquelle des limites 0,1 Hz et 10 MHz conduit au choix le plus contraignant pour fixer la cadence maximale N e, max? d) La notice précise que, pour une bonne gestion de la capacité mémoire, le taux N e est ajusté en fonction du calibre sélectionné. En supposant qu ' un échantillon occupe 2 octets dans la mémoire tampon de capacité 256 ko, quel taux N e maximal permettrait d ' observer 10 périodes d ' un signal de fréquence 10 khz? On restreint la cadence à 100 Méch.s -1, combien un balayage occupe-t-il de capacité mémoire? Combien cela représente-t-il de points par période? 2. Résolution Le choix du convertisseur est également important, il conditionne fortement le prix de l'appareil. a) Justifier et commenter les valeurs portées dans le tableau suivant (p.p.m. signifie partie par million, soit 10-6 ). Nombre de bits Nombre de niveaux Plus petite variation détectable 0,4 % 244 p.p.m.. 15 p.p.m b) L ' utilisateur veut pouvoir examiner des signaux dont l ' amplitude va de quelques dixièmes de millivolts à 240 V (utilisations en électricité domestique). Doit-il chercher un convertisseur couvrant cette gamme? c) Le conseil qui lui est donné est d'utiliser un atténuateur externe par un facteur 1/10 dans les applications domestiques et, sinon, d ' ajuster le calibre à l ' amplitude des signaux examinés. Justifier ces conseils en distinguant une application de dépannage d'un appareil électroménager et celle qui concerne des tests sur du matériel informatique. EL 408 : Convertisseur analogique/numérique parallèle 3 bits Une tension analogique e pouvant varier de 0 à 7 V est convertie en signal numérique sur 3 bits a 2a 1a 0. Pour cela, on réalise le CAN parallèle (ou flash) 3 bits représenté ci-dessus. 7 amplificateurs linéaires intégrés (notés ALI ou AO) sont placés en parallèle. On note V + la tension à chaque entrée (+), V- la tension à chaque entrée (-) et s i; la tension de sortie de chaque ALI. Les ALI se comportent comme des comparateurs simples : si V i + >V i - alors s i =+V sat = +15V ; si V i + < V i - alors s i =-V sat = -15V ELECTRICITE - ELECTRONIQUE page 5/6

6 Aucun courant ne peut entrer dans les bornes (+) et (-) des ALI (impédances d ' entrée infinie). La tension analogique e à convertir est envoyée sur les bornes V + des 7 ALI. Un réseau de résistances montées en série est alimenté par une tension de référence E ref = 8V. 1. Considérons l'ali 1. Que vaut la tension d'entrée V 1 +? Que vaut la tension d'entrée V 1 -? En déduire la tension de sortie V s1 de l'ali 1 en fonction de la valeur de e? 2. Mêmes questions pour les ALI 2 à 7 : exprimer les seuils de basculement (valeur de e faisant basculer la tension de sortie d'une valeur à une autre) pour chaque ALI. Décrire le comportement des sorties des ALI si l'on augmente progressivement la tension e de 0 V à 7V. 3. En déduire l'état de sortie des différents ALI pour les différentes valeurs de e reportés dans le tableau cidessous. On notera 1 si s = +V sat et 0 si s = -V sat, et dans l'ordre AO7-AO6-AO5-AO4-AO3-AO2-AO1. Par exemple, si les ALI 7 à 3 sont à s = +V sat, et les ALI 2 et 1 sont à s = -V sat, on note : Compléter la 2 e ligne du tableau ci-après. 4. Le code obtenu est-il le code binaire correspondant à la conversion en base 2 de la tension analogique d'entrée? Justifier l'utilisation d'un décodeur logique. De quoi est constitué un tel décodeur numérique? Compléter alors la 3 ème ligne du tableau, donnant le code binaire souhaité en sortie du décodeur numérique. e (V) Sortie des ALI Code 3bits a 2a 1a La quantification du signal sonore en vue d'un enregistrement sur un CD audio s'effectue s 16 bits. A combien de niveaux analogiques différents cela correspond-il? Combien d'ali nécessiterait un CAN parallèle 16 bits? Commenter. EL 410 : Le CD audio Nous cherchons à enregistrer un concert sur un CD audio, en format non compressé (WAV par exemple) afin de ne pas perdre en qualité. Le son est capté par un microphone (signal analogique), puis filtré par un passe-bas, et enfin échantillonné avec une fréquence f e. La fréquence d'échantillonnage d'un CD audio est de f e = Hz, et la quantification est faite sur 16 bits (chaque mesure est codée sur 16 bits). 1. Quelle est la gamme de fréquence audible? Quelle doit-être alors la fréquence d'échantillonnage minimale pour enregistrer tout le spectre audible? La fréquence f e = Hz est-elle compatible? 2. On choisit tout d'abord de ne pas mettre le filtre passe-bas en amont du CAN. Un son de fréquence f = 43000Hz est présent lors du concert. 2-a) Ce son est-il audible lors du concert? Que deviendra-t-il après échantillonnage? En quoi cela pose problème? 2-b) Expliquer en quoi l'ajout du filtre passe-bas en amont de l'échantillonneur peut résoudre ce problème. Estimer sa fréquence de coupure. 2-c) Quel autre problème peut apporter à son tour ce filtre? Pour atténuer ce problème, on augmente l'ordre du filtre, et on effectue un sur-échantillonnage (f e un peu plus élevée que prévu par le critère de Shannon). Expliquer pourquoi. 3. On cherche maintenant à calculer la durée d'enregistrement que peut contenir un CD audio enregistrable du commerce, soit 700 Mo. 3-a) Sachant que l'enregistrement s'effectue à f e =44100Hz sur 16 bits d'échantillonnage, et que l'on enregistre en stéréo, donc 2 sons (2 signaux), de combien de bits a-t-on besoin pour enregistrer 1 seconde de concert? 3-b) Quelle durée de concert peut-on enregistrer sur le CD de 700 Mo? On rappelle que 1 octet vaut 8 bits. 3-c) Il est possible de compresser le signal pour l'enregistrer au format MP3. La fréquence d'échantillonnage et la quantification sont inchangées, mais un traitement numérique du signal repère les redondances pour ne les écrire qu'une seule fois, et enlève les signaux peu audibles. Le taux de compression peut aller de 4 à 20. Quelle durée de musique peut-on alors enregistrer sur 700 Mo? ELECTRICITE - ELECTRONIQUE page 6/6