2 Les asymptotes Asymptote verticale Asymptote horizontale Asymptote oblique Rond creux... 6

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1 Table des matières Les ites 2. Adhérence Limites en un réel Limites infinies Limites finies Limites en l infini Limites finies Limites infinies Limites à gauche ou à droite et continuité Existence d une ite Les asymptotes 5 2. Asymptote verticale Asymptote horizontale Asymptote oblique Rond creux Le calcul de ites 7 3. Calculs immédiats Fonctions polynômes ou inverses de polynômes Fonctions rationnelles Exercices 9 4. Les ites par graphique Solutions Les asymptotes Solutions Calcul de ites Solutions

2 Les ites. Adhérence Un point adhérent au domaine de définition d une fonction f est un point qui appartient au domaine de f ou qui est «juste à côté». Exemples :. Si dom f =]0; ], les points de [0; ] sont adhérents au domaine. 2. Si dom f =]0;, les réels positifs ou nuls sont adhérents au domaine. 3. Si dom f = R 0, tous les réels sont adhérents au domaine..2 Limites en un réel.2. Limites infinies Si a est un point adhérent au domaine de f,. f(x) = + signifie que lorsque x s approche de a, f(x) tend vers f(x) = signifie que lorsque x s approche de a, f(x) tend vers. f(x) = + f(x) =.2.2 Limites finies Si a est un point adhérent au domaine de f et si b R,. f(x) = b signifie que lorsque x s approche de a, f(x) s approche d une valeur finie b. 2

3 .3 Limites en l infini.3. Limites finies Si b R,. f(x) = b signifie que lorsque x est infiniment grand, f(x) s approche d une valeur finie b. 2. f(x) = b signifie que lorsque x est infiniment grand dans les négatifs, f(x) s approche d une valeur finie b. f(x) = b f(x) = b.3.2 Limites infinies. f(x) = + signifie que lorsque x est infiniment grand, f(x) devient infiniment grand aussi. 2. f(x) = signifie que lorsque x est infiniment grand, f(x) devient infiniment grand dans les négatifs. 3. f(x) = + signifie que lorsque x est infiniment grand dans les négatifs, f(x) devient infiniment grand. 4. f(x) = signifie que lorsque x est infiniment grand dans les négatifs, f(x) devient infiniment grand dans les négatifs. f(x) = + et f(x) = et f(x) = f(x) = + 3

4 .4 Limites à gauche ou à droite et continuité L g = f(x) est la ite à gauche de f en a, c est-à-dire la ite quand x s approche de a par des valeurs plus petites que a. L d = f(x) est la ite à droite de f en a, c est-à-dire la ite quand x s approche de a + par des valeurs plus grandes que a. Une fonction f est continue en x = a si L g = L d = f(a). L g = L d = f(a) L g = L d f(a) donc la fonction est continue en a. donc la fonction n est pas continue en a..5 Existence d une ite La f(x) existe lorsque L g = L d. Elle vaut alors L(=L g ou L d ). f(x) = + f(x) = + et f(x) = et f(x) = donc la ite n existe pas. donc la ite existe et vaut + 4

5 2 Les asymptotes 2. Asymptote verticale Le graphe d une fonction f admet une asymptote verticale (AV) d équation x = a si a est un point adhérent mais hors du domaine de f et si f(x) = ±. 2.2 Asymptote horizontale Le graphe d une fonction f admet une asymptote horizontale (AH) d équation y = b lorsque f(x) = b. Si c est le cas quand x +, on parlera d AH à droite. Si c est le cas quand x, on parlera d AH à gauche. AH à gauche 5

6 2.3 Asymptote oblique Le graphe d une fonction f admet une asymptote oblique (AO) d équation y = mx + p lorsque [f(x) (mx + p)] = 0. À nouveau, on peut distinguer les AO à droite et à gauche. m = En pratique, p = f(x) x f(x) mx AO à gauche et à droite 2.4 Rond creux Le graphe d une fonction f admet un rond creux (RC) en (a; b) si a est un point adhérent mais hors du domaine de f et si f(x) = b. RC en (a; b) 6

7 3 Le calcul de ites Pour calculer f(x), il suffit de remplacer x par a dans l expression de f(x). Parfois, tout marche bien et on tombe tout de suite sur un nombre réel ; ce sont les ites immédiates. Parfois, on tombe sur une indétermination du type 0 0, +, +,... Dans ces cas, il faut lever l indétermination à l aide des techniques ci-dessous. 3. Calculs immédiats Exemples : 2x + = = 7 x 3 2 x + = 2 + = 0 x car - n est pas un point adhérent au domaine de f(x) = x. x 3.2 Fonctions polynômes ou inverses de polynômes Pour soulever l imprécision, on ne s intéresse qu au terme de plus haute puissance. Exemple : x3 3x 4 = = + =? indétermination? = x3 = Lorsque l on obtient b, on se rappelle que diviser par un nombre infiniment petit donne un 0 nombre infiniment grand. Ensuite, on fait un tableau de signe pour déterminer le signe du nombre infiniment grand. Exemple : x 2 x x 3 x + 3 = = 2 0 = ± -3 0 x 2 x x x 2 x x 3 x + 3 x 2 x x 3 + x + 3 = = + 7

8 3.3 Fonctions rationnelles Pour soulever l imprécision 0, on factorise le numérateur et le dénominateur par x a, on 0 simplifie et on recalcule la ite. Exemple : x x 2 x 2 + x 2 = 2 = 0 0 =? indétermination? = x (x )(x + ) (x )(x + 2) = x x + x + 2 = 2 3 Pour soulever l imprécision, on ne s intéresse qu aux termes de plus hautes puissances, au numérateur et au dénominateur. Exemple : 2x 2 x + 3 x 3 + 8x + 7 = = =? indétermination? 2x 2 = = = 0 x 3 2 x 8

9 4 Exercices 4. Les ites par graphique. Donnez les points adhérents mais hors du domaine des fonctions ci-dessous. f (x) = x x 2 f 2 (x) = 2x + 4x + 2 f 3 (x) = 2x + 3x. 2. Sur base du graphe ci-dessous, déterminez les ites suivantes. f(x) = f(x) = x 6 x 5 + f(x) = x 5 f(x) = x 4 x 4 + f(x) = x 2 + f(x) = x 0 + x 5 f(x) = x 6 + f(x) = x 0 + x 0 f(x) = x 2 + f(x) = x À l aide des ites, expliquez pourquoi la fonction ci-dessus n est pas continue en Solutions. f : { ; }, f 2 : { /2}, f 3 : {0} environ,5 0 environ -0, environ 0 3. f(0) = 0 et L d = 0 mais L g = 2. 9

10 4.2 Les asymptotes Pour chacun des graphes suivants, estimez les équations des asymptotes. Justifiez ces équations à l aide des ites. A B C 0

11 4.2. Solutions A AV x = 0 car f(x) = + et f(x) = x 0 x 0 + AV x = 0 car AH y = 0 car f(x) = et x 0 f(x) = 0 B AV x = 0 car f(x) = et x 0 AV x = 5 car f(x) = et x 5 f(x) = + x 0 + f(x) = + x 0 + f(x) x 5 + AH y = 0 car f(x) = 0 C AV x = 5 car f(x) = et f(x) = + x 5 x 5 + AO y = x Calcul de ites. Calculez les ites des fonctions ci-dessous. (a) x 3 x 3 + x (b) x 0 2x (c) x 5 x + 4 (d) x 2 2x 2 (e) x (f) x + (g) x 8x 2 (h) (i) (j) (k) 2x + x + 3 x 3 xn pour n pair xn pour n impair x n (l) x x 3 + 3x 4 (m) (n) (o) (p) x3 + 3x 4 x3 + 3x 4 x3 3x 4 x x 2 3x + 2 (q) x x 2 3x + 2 (r) x 2 x 2 3x + 2

12 (s) x 2 x 2 3x + 2 x 2 (t) x x 2 + 3x + 2 3x 2 x 2 (u) x 3x 2 6x + 3 (v) (w) x 2 5x + 3x + 7 2x 2 x + 3 x 3 8x + 7 x 2 x 6 (x) x 3 x 2 2x 3 (y) (z) x 2 x 6 x 2 2x 3 x 2 x 2. Calculez les ites suivantes. Quand elles donnent lieu à une asymptote verticale, une asymptote horizontale ou un rond creux, précise-le. x 2 2 (a) x + (x 3 )(x + 2) (b) x 2 (x 3 )(x + 2) (c) x x 2 (d) (e) (f) x (x 3 )(x + 2) x 2 4x 2 5x + 7 8x 2 6x + (x + 3) 2 8x 2 + 2x Pour chacune des fonctions ci-dessous, déterminez le domaine de définition, déterminez les équations des éventuelles asymptotes. (a) f(x) = 3x x 2 (b) f(x) = x2 x 6 x 3 + 3x 2 4 (c) f(x) = 2x2 3x + x 2 2

13 4.3. Solutions. (a) 3 (b) à gauche, + à droite (c) (d) 3 (e) 0 (f) 2 (g) + (h) (i) + (j) à gauche, + à droite (k) 0 (l) 0 (m) + (n) (o) (p) 6 (q) + à gauche, à droite (r) à gauche, + à droite (s) 2 (t) 0 (u) à gauche, + à droite (v) à gauche, + à droite (w) 0 (x) 5 4 (y) (z) 0 x (a) x + (b) = + et (x 3 )(x + 2) x 2 = x 2 2 x + = (x 3 )(x + 2) (c) = 9 x x 2 2 On a donc un rond creux en (, 9). 2 3

14 (x 3 )(x + 2) (x 3 )(x + 2) (d) = + et = x x 2 x + x 2 On a donc une AV x =. (e) (f) 4x 2 5x + 7 8x 2 6x + = 2 On a donc une AH d y = et une AH 2 g y =. 2 (x + 3) 2 8x 2 + 2x + 5 = 8 On a donc une AH d y = et une AH 8 g y = 3. (a) f(x) = 3x x 2 Dom f = R\{±} AV x =, AV x =, AH y = 0 et pas d AO (b) f(x) = x2 x 6 x 3 + 3x 2 4 Dom f = R\{ 2; } AV x = 2, AV x =, AH y = 0 et pas d AO (c) f(x) = 2x2 3x + x 2 Dom f = R\{2} AV x = 2, pas d AH, AO y = 2x