Mini-projet: Programmation Linéaire et jeux. Jeu coopératif : calcul d une répartition stable

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1 MAE41 Jeux, graphes et R.O. année Mini-projet: Programmation Linéaire et jeux Jeu coopératif : calcul d une répartition stable proposé par Pierre Fouilhoux 1 Introduction à la théorie des jeux 1.1 Présentation du cadre En théorie des jeux, un jeu modélise les comportements d acteurs économiques devant décider d une stratégie face à un même problème (économique) alors que leurs bénéfices individuels dépendent des choix de tous. Les jeux permettent de modéliser et d étudier différents modèles : modèles économiques de concurrence entre entreprises, stratégie de joueurs dans un jeu d argent, évolution d une population animale proies-prédateurs, etc. On nomme ainsi joueurs les acteurs d un jeu. Certains choix de stratégies individuelles des joueurs permettent d atteindre des situations stables, c est-à-dire des situations du jeu où aucun des joueurs n a intérêt à changer de stratégie individuelle. Dans certains jeux, il a été montré que ces situations stables existent (c est le cas par exemple des célèbres équilibres de Nash). On s intéresse ici à un jeu coopératif où les joueurs peuvent se concerter et s engager à coopérer afin de définir leurs stratégies individuelles, créant ainsi une stratégie commune. On appelle ainsi coalition le fait que plusieurs joueurs se regroupent pour coopérer ensemble. La coalition de tous les joueurs, que l on appelle coopération, est ainsi stable s il n existe pas de sous-coalition qui aurait intérêt à se mettre à part des autres. Nous allons nous intéresser ici à déterminer une coopération stable d un jeu intervenant dans la construction d un réseau de télécommunications. 1.2 Définitions et notations Soit N l ensemble des n joueurs. Il y a donc 2 n 1 coalitions possibles dans ce jeu. On note v(s) la valeur obtenue par la coalition S N et on appelle alors v la fonction caractéristique : on se place, pour ce projet, dans le cas où v(s) correspond à un coût que doit payer la coalition de tous les joueurs de S. On suppose souvent que v est sous-additive, c est-à-dire que v(s T ) v(s) + v(t ) S, T N tels que S T =. Ainsi, les joueurs ont intérêt globalement à coopérer. En effet, si les joueurs se répartissaient entre S 1,..., S k coalitions, alors le coût v(n) de la coopération de tous les joueurs serait inférieur à la somme v(s 1 ) + v(s 2 ) v(s k ) des coûts des coalitions.

2 MAE41 Jeux, graphes et R.O. page 2 On appelle parfois ce type de jeu, un jeu coalitionel et ici l objectif est de rendre stable la coopération N de tous les joueurs. Pour cela, on doit décider d une répartition du coût total v(n) de la coopération entre tous les joueurs. On note x i, i N, la répartition du coût v(n) sur le joueur i, c est-à-dire x i = V (N) et x i 0 i N. i N Une répartion égalitaire serait bien entendu x i n pour tous les joueurs i N. Mais cette répartition n est pas forcément stable. Une répartition x correspond à une coopération stable si et seulement si x i v(s) S N. = v(n) On appelle cœur du jeu l ensemble des répartitions menant à des coopérations stables. Le cœur de certains jeux est parfois vide. Lorsqu il n est pas vide, il contient en général un très grand nombre de répartitions possibles. 2 Première partie : Construction d une solution 2.1 Jeu de l arbre de poids minimum On considère ici un ensemble N de clients distincts caractérisés par leur coordonnées (distinctes) dans un plan représentant une zone géographique (par exemple une campagne isolée). Cette zone géographique contient un point 0 correspondant à un bâtiment passerelle relié au réseau extérieur. Les clients désirent être réliés à la passerelle 0 par un réseau de télécommunications afin d être reliés au réseau extérieur. On note d(ij) la distance euclidienne entre deux clients i et j de N. Comme le coût permettant de relier les points i et j est proportionnel à d(ij), on va considérer ici que ce coût est directement d(ij). On peut ainsi définir un graphe complet G = (N {0}, E) valués par les distances d(ij) pour tout i, j N {0}. On note ici ij une arête de G. On note également P = (s 1 s 2, s 2 s 3,...s k 1 s k ) un chemin de G. Un cycle est un chemin tel que s 1 = s k. On rappelle qu un graphe est connexe s il existe un chemin reliant toute paire de sommets. Un arbre est un sous-graphe connexe sans-cycle. Pour un ensemble S N {0} de sommets, on appelle arbre couvrant un arbre reliant tous les sommets de S. On rappelle qu un arbre couvrant k sommets possèdent exactement k 1 arêtes. Pour un ensemble S N de clients, le réseau le moins onéreux est l arbre de poids minimum de G couvrant les sommets S {0} (en effet, il s agit du plus petit graphe connexe couvrant tous les sommets). Si une coalition S N de clients décident de coopérer pour construire leur propre réseau, on note alors Γ S = (S {0}, E S ) un arbre de poids minimum couvrant {0} S et on note v(s) = ij E S d(ij) le coût de cet arbre. Considérons un arbre Γ N = (N {0}, E N ) reliant tous les clients de N au sommet 0 : cet arbre constitue donc le réseau de télécommunications le moins onéreux pour relier les clients de manière à ce qu aucune coalition S N n ait intérêt à se former pour construire un arbre couvrant Γ S concurrent. Pour cela, on doit répartir le coût v(n) sur les n clients. On appelle ainsi jeu de l arbre de poids minimum le problème consistant à déterminer une répartition

3 MAE41 Jeux, graphes et R.O. page 3 stable du coûts v(n) de Γ N sur tous les clients N. Ce jeu est motivé par deux interprétations complémentaires du problème : - interprétation coopérative : globalement les n clients ont intérêt à coopérer tous ensemble : un réseau global coûtera moins que plusieurs sous-réseaux (et l impact écologique sera aussi moindre). Mais pour atteindre cette solution, il faut être certain qu aucun client ne sera mécontent et préfèrera faire un autre réseau. La solution est alors de répartir les coûts inégalitairement de manière à ce que ceux qui auraient le plus de raisons de ne pas coopérer soient ceux qui payent le moins. - interprétation concurrentielle : une autre interprétation plus réaliste est le cas où un opérateur télécom désire construire un réseau et proposer une répartition de son coût à ses futurs clients. Son objectif est donc de répartir le coût de manière à ce qu aucun concurrent n ait la possibilité de construire un réseau concurrent en coalisant une partie des clients potentiels. On désire dans cette partie construire une première solution simple pour le problème du jeu de l arbre de poids minimum. 2.2 Questions théoriques Questions 2.1 Prouver que la fonction caractéristique v associée au jeu de l arbre couvrant est sousadditive. Questions 2.2 Soit Γ N un arbre de poids minimum couvrant les sommets {0} S. On note e i l arête issue de i dans l unique chemin reliant i à 0 dans Γ N. On considère alors le vecteur x IR n où x i = d(e i ). Prouver que x est une répartition. Questions 2.3 On veut prouver que x appartient au cœur du jeu. Pour cela, prenons S N et considérons l arbre de poids minimum Γ S = (S {0}, E S ). On veut donc prouver que x i v(s) = e E S d(e). Posons ξ = {e i /i S} et ξ = E N \ ξ. a) Montrer que v(n) = x i + e ξ d(e). b) Montrons que E S ξ =. c) Considérons alors le graphe H S = (N {0}, E S ξ). Montrer que E S ξ = n. d) Montrer que H s est connexe. (Indication, montrer qu il existe un chemin de i à 0 dans H S pour tout i N). e) On rappelle qu un graphe connexe connexe sur n + 1 sommets possédant n arête est un arbre. En déduire que v est sous-additive. 2.3 Mise en œuvre La première partie de ce projet consiste à déterminer le réseau optimal et une première répartition stable de son coût. Choisir une structure de données pour coder le graphe (nous n allons pas manipuler de très grandes instances). On peut remarquer que le graphe est complet et que le poids des arêtes se déduit des coordonnées en calculant la distance euclidienne.

4 MAE41 Jeux, graphes et R.O. page 4 Implémenter cette structure de manière à pouvoir lire un fichier texte contenant n + 1 coordonnées de points. Le format choisi est : où le premier nombre indique le nombre n de clients, les deux nombres suivants correspondent aux coordonnées du point 0 et la liste qui suit indique les coordonnées des n clients. Créer un programme permettant de générer des fichiers d instances selon le format précédant. Implémenter une fonction permettant, pour tout ensemble S N de clients de calculer un arbre de poids minimum couvrant S {0}. Utiliser par exemple l algorithme de Prim. Algorithme de Prim Notons F un ensemble d arêtes initialisé à vide. Notons B un ensemble de sommets initialisé à vide. B {0} Tant que B S {0} Faire Déterminer l arête e de plus petit poids parmi les arêtes sortantes de B F F {e} Ajouter l extrémité sortante de e à B Fin Tant que A la fin (S {0}, F ) est un arbre de poids minimum couvrant S {0} Implémenter une visualisation graphique de vos arbres couvrants en utilisant par exemple le logiciel graphiz (voir documentation sur http ://www-desir.lip6.fr/ fouilhoux/documentens.php) Proposer une répartition stable pour le jeu de l arbre couvrant de poids minimum. 3 Deuxième partie : Amélioration de la solution Dans cette deuxième partie, nous nous intéressons à améliorer la solution précédente. En effet, certaines solutions du cœur sont fortement inégalitaires, nous cherchons une solution du cœur qui égalise les écarts de coûts entre les clients. 3.1 Retour sur la théorie Soit x une répartition (quelconque) du coût v(n). On appelle excès de x la fonction e x (S) = v(s) x i S N.

5 MAE41 Jeux, graphes et R.O. page 5 Cette fonction excès représente la différence de coût qu aurait à payer la coalition S entre ce qu elle payerait seul (i.e. v(s)) et ce qu elle paye dans la répartition x (i.e. x i). (Dans le cas particulier d une répartition du cœur du jeu, l excès est bien-entendu positif). On peut remarquer que les excès sont souvent très inégalitaires entre les clients. Il est intéressant de rechercher dans le cœur du jeu une répartition qui soit plus égalitaire. Afin de permettre la comparaison de deux répartitions, on introduit l ordre lexicographique défini de la façon suivante. Pour une répartition x, on note Θ(x) le vecteur de IR 2n 1 obtenu en classant les 2 n 1 valeurs e x (S), S N, S, dans l ordre décroissant. Soient k {1,..., 2 n 1} et deux répartitions x et y, on dit que Soient deux répartitions x et y, on dit que x k y si Θ i (x) = Θ i (y) i = 1,..., k 1 et Θ k (x) < Θ k (y). x y s il existe k {1,..., 2 n 1} tel que x k y. Exemple : Pour N limité à trois joueurs, on considère donc les coalitions {1},{2}, {3},{1, 2},{1, 3}, {2, 3} et {1, 2, 3}. Supposons que v soit la fonction : v({1}) = 1, v({2}) = 2, v({3}) = 2, v({1, 2}) = 3, v({1, 3}) = 3, v({2, 3}) = 4 et v({1, 2, 3}) = 4. Considérons les deux répartitions x = (1, 2, 1) et y = (1, 1.5, 1.5) qui sont toutes deux dans le cœur. On obtient l ordonnancement suivant des partitions : x({1}) = 1, x({2}) = 2, x({3}) = 1, x({1, 2}) = 3, x({1, 3}) = 2, x({2, 3}) = 3 et x({1, 2, 3}) = 4 et y({1}) = 1, y({2}) = 1.5, y({3}) = 1.5, y({1, 2}) = 2.5, y({1, 3}) = 2, y({2, 3}) = 3 et y({1, 2, 3}) = 4. Et donc Θ(x) = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) et Θ(y) = (1, 1, 0.5, 0.5, 0.5, 0, 0). On voit que y 3 x et donc y x d après la définition. On s intéresse ici aux éléments x qui minimisent l ordre lexicographique. On appelle l ensemble de ces éléments le nucléolus. Il a été montré que lorsque le cœur est non vide, alors le nucléolus est dans le cœur. Il a été également montré qu en fait, le nucléolus est limité à un unique élément. 3.2 Questions théoriques Questions 3.1 Soient deux répartitions x et y. Que représente la quantité Θ(x)[1] la première case du vecteur Θ(x)? Montrer que si x y alors Θ(x)[1] Θ(y)[1]. Que représente un vecteur x k qui minimise la relation d ordre k pour un k donné? Questions 3.2 Soient deux répartitions x et y tels que x y, montrer que la répartition x est plus égalitaire que la répartition y. Questions 3.2 On considère le programme linéaire P 1 suivant :

6 MAE41 Jeux, graphes et R.O. page 6 P 1 Min r x i = v(n), (1) i N x i v(s) S N, (2) x i + r v(s) S N, (3) x i 0 i N, r 0. a) Montrer que les solutions du programme linéaire P 1 suivant correspondent à des répartitions du cœur du jeu. b) Montrer que P 1 possède toujours une solution optimale (x 1, r 1 ). c) Soit y une solution du cœur du jeu et posons r y = Θ(y)[1]. Montrer que (y, r y ) est solution de P[1]. d) Montrer que x 1 minimise 1 dans le cœur du jeu. Questions 3.3 On note ζ 1 l ensemble des coalitions S pour lesquelles les inégalités (3) sont vérifiées à l égalité par la solution (x 1, r 1 ). Si ζ 1, on construit alors le programme linéaire P k suivant pour k = 2 P k Min r x i = v(n), (1) i N x i v(s) S N, (2) x i + r v(s) S 2 N \ x i 0 i N, r 0. En fait, on va définir itérativement le programme P k+1 à partir de la solution du programme P k en posant (x k, r k ) la solution optimale de P k et ζ k l ensemble des coalitions pour lesqueles lles inégalités (3) sont vérifiées à l égalité par la solution (x k, r k ). En fait, P(k + 1) existe si P(k) admet bien une solution et si ζ k. a) Prouver que si P k admet une solution avec r k > 0, alors ζ k. b) Montrer que si P k admet une solution avec r k > 0, alors P k+1 admet une solution optimale. ( k 1 l=1 ζ l ), (3) x i = v(s) r k S ζ l l = 1,..., k 1, (4) Questions 3.4 Soit k 1 tel que P k existe. Donner, en fonction des ζ k, l expression du plus grand entier i tel que x k minimise i. En déduire que x k+1 x k. Questions 3.5 On considère l algorithme (dit de Kapelowitz) où l on construit itérativement le programme P k+1 à partir du programme P k tant qu il existe dans P k des contraintes (3). Prouver qu à la

7 MAE41 Jeux, graphes et R.O. page 7 fin des itérations, on obtient x qui minimise l ordre. Questions 3.6 Donner le nombre maximal d itérations de l algorithme. Peut-on s attendre à ce que le pire des cas soit toujours atteint? 3.3 Mise en œuvre L objectif de cette deuxième partie est d obtenir des répartition plus égalitaires. Nous allons procéder en plusieurs étapes dont certaines sont en bonus par rapport à la notation du projet. Manipulation de glpk. Documentation sur le site http ://www-desir.lip6.fr/ fouilhoux/documentens.php. Le logiciel glpk est disponible dans vos salles de TP. Il est aussi facile à installer sur les distributions linux, mac ou windows. Il y a deux façons principales d utiliser ce logiciel : soit avec une API, soit en utilisant des fichiers d entrée et de sortie. Une mise en œuvre simple de ce projet est de concevoir un programme qui écrit sur le disque un fichier d entrée au format lp (ce format reprend exactement la description du programme linéaire dans son ecriture classique). Ensuite, on peut lire la solution optimale obtenue dans un fichier de sortie et réinjecter à la main les valeurs dans le programme linéaire initiale afin d améliorer la solution. Une mise en œuvre plus élaborée consiste à automatiser ce processus de manière à ce que ce soit votre programme qui aille lire le fichier et modifie le fichier.lp en fonction de manière à réitérer le processus. Une mise en œuvre très élaborée consiste à utiliser l API de glpk pour réaliser toutes ces opérations. Construction du programme linéaire P 1. La difficulté essentielle de cette mise en œuvre repose sur la nécessité d énumérer correctement les coalitions possibles. Leur nombre limite d ailleurs la taille des instances que l on peut résoudre par ce biais. Vous devez proposez une façon de numéroter/énumérer les coalitions et construire le programme correspondant. Itérations de l algorithme Utiliser l une des techniques proposées afin d améliorer itérativement la solution obtenue. Attention, il ne faut pas recalculer à chaque itération les valeurs v(s)!. Proposer divers tests d arrêt permettant d utiliser l algorithme même pour des tailles importantes d instances.