GELE2112 Chapitre 7 : Analyse sinusoïdale

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1 GELE2112 Chapitre 7 : Analyse sinusoïdale Gabriel Cormier, Ph.D. Université de Moncton Hiver 2009 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

2 Introduction Contenu Ce chapitre présente l analyse des circuits ayant des sources sinusoïdales. Source sinusoïdale Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

3 Introduction Contenu Ce chapitre présente l analyse des circuits ayant des sources sinusoïdales. Source sinusoïdale Phaseur Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

4 Introduction Contenu Ce chapitre présente l analyse des circuits ayant des sources sinusoïdales. Source sinusoïdale Phaseur Calculs de puissance Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

5 Introduction Contenu Ce chapitre présente l analyse des circuits ayant des sources sinusoïdales. Source sinusoïdale Phaseur Calculs de puissance Puissance complexe Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

6 Source sinusoïdale Source sinusoïdale Une source sinusoïdale est exprimée de la forme : v(t) = V m cos(ωt + φ) V m φ T 0 V m 0 Temps Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

7 Source sinusoïdale Source sinusoïdale v(t) = V m cos(ωt + φ) ω est la fréquence radiale [rad/s] φ est la phase [degrés ou radians] V m est l amplitude maximale On a aussi les relations bien connues : T = 1 f f = ω 2π où T est la période du signal, et f la fréquence. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

8 Source sinusoïdale Valeur RMS La valeur RMS est : V rms = 1 T v T 2 (t)dt 0 Une source sinusoïdale ayant une valeur rms V rms fournit la même puissance (par période) à une résistance R qu une source DC de même amplitude. Même puissance V rms R V DC R pendant une période T Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

9 Source sinusoïdale Valeur RMS Pour un signal sinusoïdal, 1 T V rms = VM 2 T cos2 (ωt + φ)dt = Vm 0 2 Valeur RMS d un sinusoïde V rms = V m 2 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

10 Phaseur Phaseur Nombre complexe qui contient de l information à propos de la phase et l amplitude d une quantité. Obtenu en appliquant la relation d Euler 1 : On prend la partie réelle : e jθ = cos(θ) + j sin(θ) cos(θ) = Re{e jθ } 1. En GÉ, on utilise j pour représenter les nombres complexes Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

11 Phaseur Phaseur On peut appliquer cette relation à la définition de la tension sinusoïdale : v = V m cos(ωt + φ) = V m Re{e j(ωt+φ) } = V m Re{e jωt e jφ } La partie e jωt est constante pour des signaux (tensions, courants) ayant la même fréquence. Le phaseur est définit selon : V = V m e jφ = V m φ = V m cos(φ) + jv m sin(φ) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

12 Phaseur Exprimer v = 120 cos(60πt + 40 ) en phaseur. On a les caractéristiques : V m = 120, et φ = 40. Donc, V = Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

13 Phaseur Exprimer v = 120 cos(60πt + 40 ) en phaseur complexe. On a les caractéristiques : V m = 120, et φ = 40. Donc, V = = 120(cos(40 ) + j sin(40 )) = j77.13 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

14 Phaseur Opération sur des phaseurs Addition ou soustraction Additionner les deux phaseurs Y 1 = 20 ( 30 ) et Y 2 = 40 (60 ). On transforme : La somme est : Y 1 = 20 cos( 30 ) + j20 sin( 30 ) = j10 Y 2 = 40 cos(60 ) + j40 sin(60 ) = 20 + j34.64 Y T = Y 1 + Y 2 = j24.64 En on retourne sous la forme polaire : Y T = ( ) tan = (33.43 ) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

15 Phaseur Opération sur des phaseurs Multiplication Pour la multiplication, on multiplie les amplitudes et on additionne les phases. : Multiplier les deux phaseurs Y 1 = 20 ( 30 ) et Y 2 = 40 (60 ). Y T = Y 1 Y 2 = (20)(40) ( ) = 800 (30 ) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

16 Phaseur Opération sur des phaseurs Division Pour la division, on divise les amplitudes et on soustrait les phases. : Diviser les deux phaseurs Y 1 = 20 ( 30 ) et Y 2 = 40 (60 ). Y T = Y 1 = 20 ( 30 60) = 0.5 ( 90 ) Y 2 40 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

17 Éléments passifs Résistance Résistance La résistance dans le domaine des phaseurs : Soit i = I m cos(ωt + θ i ), le courant dans une résistance R. La tension dans cette résistance est : où V m = RI m. v R = Ri = RI m cos(ωt + θ i ) = V m cos(ωt + θ i ) La tension et le courant sont en phase En termes de phaseurs, on peut écrire : V = RI Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

18 Éléments passifs Résistance Impédance Représente le rapport entre la tension et le courant d un élément C est un nombre complexe (pas un phaseur) Pour une résistance, l impédance Z est Impédance d une résistance Z R = V R = RI m (θ i ) I R I m (θ i ) = R Z R = R Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

19 Éléments passifs Inductance Inductance Soit i = I m cos(ωt + θ i ), le courant dans une inductance L. La tension dans cette inductance est : v L = L di dt = ωli m sin(ωt + θ i ) = ωli m cos(ωt + θ i 90 ) La représentation en phaseurs donne : V L = ωli m e j90 e jθ i = jωli m e jθ i = jωli L où on a utilisé la relation e j90 = j. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

20 Éléments passifs Inductance Impédance d une inductance L impédance d une inductance est : Z L = V L = jωli m (θ i ) = jωl = ωl 90 I L I m (θ i ) La tension est en avance de 90 dans une inductance, par rapport au courant. Impédance d une inductance Z L = jωl Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

21 Éléments passifs Capacitance Capacitance Soit i = I m cos(ωt + θ i ), le courant dans une capacitance C. La tension dans cette capacitance est : v C = 1 C t 0 i dτ = 1 C t 0 I m cos(ωτ + θ i ) dτ = 1 ωc sin(ωτ + θ i) = 1 ωc I m cos(ωt + θ i 90 ) La représentation en phaseurs donne : V C = j ωc cos(ωτ + θ i) où on a utilisé la relation 1/j = j. = j ωc I me jθ i = j ωc I L = 1 jωc I L = j ωc cos(ωτ + θ i) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

22 Éléments passifs Capacitance Impédance d une capacitance L impédance d une capacitance est : Z C = V C I C = 1 jωc = 1 ωc ( 90 ) Le courant est en avance de 90 par rapport à la tension dans une capacitance. Impédance d une capacitance Z C = j ωc Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

23 Éléments passifs Impédance Impédance Dans les trois éléments, on a la relation V = ZI, où Z est l impédance. Z = R + jx La partie réelle de l impédance est la résistance. La partie imaginaire de l impédance est la réactance. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

24 Éléments passifs Impédance Admittance L inverse de l impédance est l admittance, Y. Y = 1 Z = G + jb où la partie réelle, G, est appelée la conductance, et la partie imaginaire, B, est appelée la susceptance. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

25 Lois de Kirchhoff Lois de Kirchhoff Les lois de Kirchhoff s appliquent tous de la même façon avec des impédances. 1 LKC : la somme des courants à un noeud est 0 : I = 0. 2 LKT : la somme des tensions dans une boucle est 0 : V = 0. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

26 Lois de Kirchhoff Impédances en série et en parallèle Les impédances en série suivent les règles des résistances : Z eq = Z 1 + Z 2 + Z 3 + Les impédances en parallèle suivent aussi les règles des résistances : Z eq = ( ) 1 + Z 1 Z 2 Z 3 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

27 Lois de Kirchhoff Méthodes d analyse S appliquent toujours (tension de noeuds, équivalent Thévenin, etc) Il suffit de remplacer R par Z lors de l application des méthodes. On fait l analyse des circuits comme d habitude, sauf qu on utilise des impédances. Les même conventions s appliquent. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

28 Lois de Kirchhoff s Pour le circuit suivant, où v s (t) = 750 cos(5000t + 30 ), calculer le courant i(t). 90Ω 32mH i v S 5µF Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

29 Lois de Kirchhoff s On doit transformer le circuit pour utiliser les impédances. a 90Ω j160ω i j40ω où on a effectué les transformations suivantes : b Z R = R = 90Ω Z L = jωl = j(5000)(0.032) = j160ω Z C = j ωc = j (5000)( ) = j40ω Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

30 Lois de Kirchhoff s L impédance équivalente entre a et b est : Z eq = 90 + j160 j40 = 90 + j120 = 150 (53.13 )Ω Le courant est donc : I = V Z eq = Et, en fonction du temps, 750 (30 ) 150 (53.13 ) = 5 ( ) A i(t) = 5 cos(5000t ) A Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

31 Lois de Kirchhoff s (2) Calculer la tension V o par transformation de source. 1Ω j3ω 0.2Ω j0.6ω + 9Ω 10Ω 40 0 j3ω j19ω V o Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

32 Lois de Kirchhoff s (2) On effectue la première transformation : 1Ω j3ω 40 0 I 1 Z 1 où Z 1 = 1 + j3, et la source de courant est : I 1 = V Z 1 = 40 (0) 1 + j3 = 40 (0) 10 (71.57) = ( ) = 4 j12 A Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

33 Lois de Kirchhoff s (2) La nouvelle impédance Z 1 est en parallèle avec la combinaison 9 j3. L impédance équivalente, qu on nomme Z 2, est : Z 2 = Z 1 (9 j3) = (1 + j3)(9 j3) 18 + j24 = = j2.4ω (1 + j3) + (9 j3) 10 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

34 Lois de Kirchhoff s (2) On effectue une nouvelle simplification Z 2 I 1 Z 2 V 2 où la tension V 2 est : V 2 = Z 2 I 1 = (1.8 + j2.4)(4 j12) = 36 j12 V Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

35 Lois de Kirchhoff s (2) Le circuit est maintenant : j2.4ω Z 2 36 j12 V 0.2Ω j0.6ω 10Ω j19ω + V o Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

36 Lois de Kirchhoff s (2) On a maintenant un diviseur de tension. La tension de sortie est : V o = 10 j19 (36 j12) (1.8 + j2.4) j0.6 + (10 j19) = j18.84 V = ( ) V Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

37 Lois de Kirchhoff s (3) Utiliser la méthode des tensions de noeuds pour calculer les courants I a, I b et I c. 1Ω j2ω 5Ω I a 10Ω I x I c I b j5ω 20I x Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

38 Lois de Kirchhoff s (3) Il y a trois noeuds essentiels, donc on a besoin de deux tensions de noeud. On utilise le noeud du bas comme noeud de référence. 1Ω j2ω 1 2 5Ω I a 10Ω + V 1 I x I c j5ω + V 2 I b 20I x Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

39 Lois de Kirchhoff s (3) On fait la somme des courants qui sortent du noeud 1 : V V 1 V j2 = 0 Et puis la même chose au noeud 2 : V 2 V j2 + V 2 j5 + V 2 20I x 20 = 0 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

40 Lois de Kirchhoff s (3) Il faut une troisième équation pour I x. I x = V 1 V j2 On a trois équations et trois inconnues. On résout pour obtenir : V 1 = j16.80 V V 2 = 68.0 j26.0 V Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

41 Lois de Kirchhoff s (3) Avec ces tensions, on peut calculer les courants. I a = V 1 10 I x = V 1 V j2 I b = V 2 20I x 5 = 6.84 j1.68 A = j1.68 A = 1.44 j11.92 A I c = V 2 = j13.6 A j5 Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

42 Calculs de puissance Calculs de puissance Cette section comporte : Puissance instantanée Puissance dans les éléments Puissance réactive Facteur de puissance Puissance complexe Compensation du facteur de puissance Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

43 Calculs de puissance Puissance instantanée Puissance instantanée La puissance à tout moment dans un élément est : p = vi (1) c est la puissance instantanée. Quelle est la puissance instantanée pour des sources sinusoïdales? Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

44 Calculs de puissance Puissance instantanée Puissance instantanée En régime sinusoïdal, la tension et le courant sont : v(t) = V m cos(ωt + θ v ) i(t) = I m cos(ωt + θ i ) Si la référence est le courant, on a : v(t) = V m cos(ωt + θ v θ i ) i(t) = I m cos(ωt) Et donc, p = V m I m cos(ωt + θ v θ i ) cos(ωt) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

45 Calculs de puissance Puissance instantanée Puissance instantanée On développe l expression de p : p = V mi m 2 cos(θ v θ i ) Ou, d une autre forme : + V mi m 2 cos(θ v θ i ) cos(2ωt) V mi m 2 p = P + P cos(2ωt) Q sin(2ωt) sin(θ v θ i ) sin(2ωt) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

46 Calculs de puissance Puissance instantanée Puissance instantanée où p = P + P cos(2ωt) Q sin(2ωt) (2) P = V mi m 2 Q = V mi m 2 cos(θ v θ i ) sin(θ v θ i ) P est la puissance moyenne. L unité est le Watt [W]. Q est la puissance réactive. L unité est le Volt-Ampère-Réactif, le VAR [VAR]. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

47 Calculs de puissance Puissance dans une résistance Puissance dans une résistance Dans une résistance, θ v = θ i. L équation 2 se simplifie à : p = P + P cos(2ωt) Selon cette équation, la puissance ne sera jamais négative : on ne peut jamais extraire de la puissance d une résistance. Toute l énergie dissipée se transforme en chaleur. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

48 Calculs de puissance Puissance dans une inductance Puissance dans une inductance Dans une inductance, la tension et le courant sont déphasés de 90 : θ v θ i = 90. L équation 2 pour une inductance est : Donc : p = Q sin(2ωt) La puissance moyenne P est nulle. Lorsque p > 0, l inductance emmagasine de l énergie ; Lorsque p < 0, l inductance fournit de l énergie au circuit. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

49 Calculs de puissance Puissance dans une capacitance Puissance dans une capacitance Dans une capacitance, la tension et le courant sont déphasés de 90 : θ v θ i = 90. L équation 2 pour une capacitance est : Donc : p = Q sin(2ωt) La puissance moyenne P est nulle. Lorsque p > 0, la capacitance emmagasine de l énergie ; Lorsque p < 0, la capacitance fournit de l énergie au circuit. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

50 Calculs de puissance Puissance réactive Q Puissance réactive Q Une autre façon de caractériser un élément Inductance : Q > 0 : consomme de la puissance réactive. Capacitance : Q < 0 : fournit de la puissance réactive. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

51 Calculs de puissance Pour l élément idéal suivant, la tension v = 100 cos(ωt + 15 ) V, et le courant i = 4 sin(ωt 15 ) A. + v i Élément idéal 1 Calculer la puissance moyenne et la puissance réactive. 2 Indiquer si l élément absorbe ou fournit de la puissance moyenne. 3 Indiquer si l élément absorbe ou fournit de la puissance réactive. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

52 Calculs de puissance 1. Il faut premièrement transformer le courant à une fonction de cos : i = 4 cos(ωt 105 ) On peut maintenant calculer P et Q : P = 1 2 V mi m cos(θ v θ i ) = 1 (100)(4) cos(15 ( 105)) = 100 W 2 Q = 1 2 V mi m sin(θ v θ i ) = 1 (100)(4) sin(15 ( 105)) = VAR 2 2. Puisque P < 0, le circuit fournit de la puissance moyenne. 3. Puisque Q > 0, le circuit absorbe de la puissance réactive. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

53 Calculs de puissance Facteur de puissance Facteur de puissance Facteur de puissance, f p : f p = cos(θ v θ i ) Utilisé pour décrire les moteurs électriques et charges. Peut être en arrière, pour des inductances. Peut être en avance, pour des capacitance. Énergie NB impose une pénalité ($) si le facteur de puissance d une industrie est plus petit que 0.9. Généralement, dans les industries, le facteur de puissance est arrière. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

54 Valeur RMS et calculs de puissance Valeurs RMS et calculs de puissance Si on applique une tension sinusoïdale aux bornes d une résistance, la puissance moyenne (sur une période) est : P = 1 T = 1 R T 0 ( 1 T Vm 2 cos 2 (ωt + θ v ) dt R T ) Vm 2 cos 2 (ωt + θ v ) dt 0 Si on compare avec la définition de la valeur RMS, on obtient : P = V 2 rms R = RI2 rms On appelle aussi la valeur RMS la valeur efficace. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

55 Valeur RMS et calculs de puissance Valeurs RMS et calculs de puissance On peut réécrire les valeurs de puissance en fonction des valeurs RMS : P = V rms I rms cos(θ v θ i ) Q = V rms I rms sin(θ v θ i ) La valeur RMS est souvent utilisée pour décrire des sources sinusoïdales, au lieu de la valeur maximale. La tension de 120V du réseau électrique est une valeur RMS : V max = V. Ex : Ampoule de 120V, 40W a une résistance de /40, ou 360Ω, et un courant de 120/360, ou 0.33A. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

56 Puissance complexe Puissance complexe La puissance complexe est la somme complexe des puissances moyennes et réactives : S = P + jq [VA] L avantage de cette méthode : On peut s en servir pour calculer directement les puissances à partir des phaseurs de tension et de courant. L unité est le Volt-Ampère [VA], pour distinguer entre P [W] et Q [VAR]. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

57 Puissance complexe Puissance complexe Permet une interprétation géométrique : S Q θ P où θ est l angle du facteur de puissance. Tous les calculs trigonométriques sont permis. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

58 Puissance complexe Puissance complexe D après le diagramme : tan θ = Q P L amplitude de la puissance complexe est aussi nommée la puissance apparente : S = P 2 + Q 2 La puissance moyenne P représente la puissance utile d un circuit, tandis que la puissance apparente S représente la puissance qu il faut fournir au circuit pour obtenir cette puissance utile P. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

59 Puissance complexe Une charge électrique opère à une tension de 240 V rms. La charge absorbe une puissance moyenne de 8kW avec un facteur de puissance de 0.8 arrière. 1 Calculer la puissance complexe à la charge. 2 Calculer l impédance de la charge. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

60 Puissance complexe 1. Parce que la charge a un facteur de puissance arrière, Q > 0. À l aide du graphe des puissances, on peut calculer l amplitude de S : Et on calcule : S = La puissance complexe est donc : P cos θ = 8000 = 10 kva 0.8 Q = S 2 P 2 = 6 kvar S = 8 + j6 kva Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

61 Puissance complexe 2. On peut calculer la valeur RMS du courant (cos(θ) = 0.8). I rms = P V rms cos(θ) = A On peut aussi calculer l angle de la charge, puisqu il s agit de l angle du facteur de puissance : θ = cos 1 (0.8) = Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

62 Puissance complexe Puisque le facteur de puissance est arrière, la charge est inductive. Une charge inductive indique que l angle est positif. L amplitude de la charge est le rapport entre la tension et le courant : ce qui donne une charge : Z = V rms I rms = = 5.76 Z = 5.76 (36.87 ) = j3.456 Ω Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

63 Puissance complexe Calculs avec phaseurs Calculs avec phaseurs Les calculs de puissance peuvent aussi être effectués avec les phaseurs. On peut démontrer que : où I indique le conjugué. S = V rms I rms = 1 2 VI On peut aussi appliquer les équations avec les réactances : P = I rms 2 R = 1 2 I2 mr Q = I rms 2 X = 1 2 I2 mx où X est la réactance appropriée (selon le cas d un condensateur ou d une inductance). Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

64 Puissance complexe Une charge industrielle est branchée à une ligne de transmission de 240V. La charge consomme une puissance active de 25kW et une puissance réactive de 16kVAR. Calculer : 1 Le facteur de puissance f p 2 Le courant I 3 La charge Z Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

65 Puissance complexe 1. Le facteur de puissance f p = cos θ. Si on regarde sur les diagrammes de puissances, on trouve que tan θ = Q P = Ceci veut dire que le facteur de puissance est : f p = cos(32.62 ) = 0.84 (arrière) (Q > 0) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

66 Puissance complexe 2. Pour trouver le courant, on sait que P = V I cos θ. Donc : I = P V cos θ = (240)(0.84) = ( ) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

67 Puissance complexe 3. Il y a deux méthodes possibles pour obtenir la charge Z a) Utiliser les puissances : P = RI 2 R = P = I2 (123.67) 2 = 1.63Ω Q = XI 2 X = Q = I2 (123.67) 2 = 1.05Ω Alors Z = j1.05ω = 1.94 (32.62 ). b) Utiliser la tension et le courant : Z = V I = ( 32.62) = 1.94 (32.62 ) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

68 Puissance complexe Une charge ayant une impédance de 39 + j26ω est alimentée par une source de 250V RMS. La ligne qui alimente la charge a une impédance de 1 + j4ω. 1 Calculer le courant de charge I L et la tension V L. 2 Calculer la puissance active et réactive consommée par la charge. 3 Calculer les pertes dans la ligne. 4 Calculer la puissance active et réactive fournie par la source. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

69 Puissance complexe Le circuit est : 1 + j4ω + I s + V s V L Z L 39 + j26ω source ligne charge Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

70 Puissance complexe 1. Le courant de la charge est le courant total circulant dans le circuit. I L = V = Z T 40 + j30 = 5 ( ) A (rms) V L = I L Z L = 5 ( ) (39 + j26) = 234 j13 = ( 3.18 ) V (rms) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

71 Puissance complexe 2. Puissances : S = V L I L = ( ( 3.18 ))(5 ( )) = (234 j13)(4 + j3) = j650 VA Donc : P = 975 W, Q = 650 VAR Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

72 Puissance complexe 3. Les pertes sur la ligne : P = R I 2 = (1)(5) 2 = 25 W Q = X I 2 = (4)(5) 2 = 100 VAR Habituellement, lorsqu on parle de pertes sur la ligne, on ne parle que de P. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

73 Puissance complexe 4. Puissances active et réactive de la source (encore ici, on peut utiliser deux méthodes) : a) Somme des puissances connues : b) Tension et courant S = S ligne + S charge = (25 + j100) + (975 + j650) = j750 VA S = V rms I rms = (250)(5 (36.87)) = (250)(4 + j3) = j750 VA Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

74 Compensation du facteur de puissance Compensation du facteur de puissance On utilise un exemple pour montrer le principe de correction du facteur de puissance. On reprend le premier exemple de charge industrielle, sauf qu on ajoute un condensateur en parallèle V I s j5ω + V L Z L P = 25kW Q = 16kVAR On veut trouver a) f p, le nouveau facteur de puissance et b) le courant I s fournit par la source. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

75 Compensation du facteur de puissance Compensation du facteur de puissance a) Le nouveau facteur de puissance est : f p = P S = P (P ) 2 + (Q ) 2 La puissance active P = P = 25 kw (puisque le condensateur n ajoute pas de puissance active au circuit), et la puissance réactive Q = Q + Q C. Q C = I 2 X C = V 2 = 2402 X C 5 Q = = 4.48 kvar = kvar Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

76 Compensation du facteur de puissance Compensation du facteur de puissance Le nouveau facteur de puissance est, f p = 25 = 0.98 (arrière) (25) 2 + (4.48) 2 Le facteur de puissance est maintenant 0.98, comparativement à 0.84 avant. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

77 Compensation du facteur de puissance Compensation du facteur de puissance b) On peut trouver le courant à l aide des puissances : S = VI I = S (25 + j4.48) 103 = = j18.67a V 240 I = ( ) A (rms) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

78 Compensation du facteur de puissance Compensation du facteur de puissance Si on compare le courant avec et sans condensateur Charge non compensée Charge compensée I = 123 A I = 106 A f p = 0.84 f p = 0.98 Pertes RI 2 Pertes RI 2 Les pertes sur la ligne de transport sont RI 2. L ajout du condensateur a permis de réduire le courant et donc les pertes sur la ligne de transport. Dans ce cas, les pertes ont chuté de : RI 2 R(I ) 2 RI 2 = = 25.7% La puissance fournie par la source est alors réduite aussi. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

79 Compensation du facteur de puissance j0.5ω + V s I s V Z 1 P = 8kW f p = 0.8 avance Z 2 20kVA f p = 0.6 arrière 1 Déterminer le facteur de puissance des deux charges en parallèle. 2 Déterminer l amplitude du courant I S, la puissance active perdue dans la ligne et la puissance apparente fournie par la source. 3 Si la fréquence de la source est 60Hz, calculer la valeur du condensateur nécessaire pour corriger le facteur de puissance à 1. Recalculer les valeurs de la question 2. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

80 Compensation du facteur de puissance 1) S L = S L1 + S L2 f p1 = P 1 S L1 S L1 = P 1 f p1 = 10 kva Q = S 1 (sin(arccos(f p ))) = 6 kvar Donc, S 1 = 8 j6 kva. On sait que S 2 = 20 kva : P 2 = S 2 f p = = 12 kw Q = S 2 P 2 = = 16 kvar Donc S L = S 1 + S 2 = 20 + j10 kva. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

81 Compensation du facteur de puissance La puissance active totale des deux charges, P L, est 20 kw. Donc : f p = P L S L = 20 = (arrière) On aurait aussi pu trouver l angle entre la tension et le courant : I S = S V = 20 + j Et, f p = cos( ) = = 80 + j40 I S = 80 j40a = ( ) Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

82 Compensation du facteur de puissance 2. Le courant de la source est le même que celui dans les charges, soit ( 26.57)A. On sait que : S s = S ligne + S charge. La puissance apparente totale dans la charge fut calculée dans la partie 1 : S charge = 20 + j10 kva. La puissance apparente dans la ligne est : S ligne = VI = R ligne I 2 +jx ligne I 2 = (89.44) 2 (0.05+j0.5) = 0.4+j4 kva La puissance apparente fournie par la source est : S s = S ligne + S charge = (0.4 + j4) + (20 + j10) = j14 kva Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

83 Compensation du facteur de puissance 3. On veut corriger le facteur de puissance à 1. Ceci veut dire qu il faut éliminer la puissance réactive consommée par les charges. Q C = Q S = 10 kvar X C = V 2 Q = = 6.25 Ω X C = 1 Cω = 6.25 C = 424.4µF La puissance apparente totale de la charge est maintenant S = P = 20kVA. Le courant est I = S = V 250 = 80 A Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

84 Compensation du facteur de puissance La puissance perdue dans la ligne est maintenant : S ligne = R I 2 + jx I 2 = (80) 2 ( j0.5) = j3.2 kva Donc la puissance totale fournie par la source est : S s = S ligne + S charge = ( j3.2) + (20 + j0) = j3.2 kva * Les pertes sur la ligne ont chuté de = 80 W. Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

85 Transfert maximal de puissance Transfert maximal de puissance Comme les circuits DC, on peut calculer une impédance qui permet un transfert maximal de puissance. Circuit quelconque avec des sources Z L Modélisé par v TH Z TH Z L La puissance est maximale si : Z L = Z th Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 7 Hiver / 82

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