Feuilles d exercices n 4 : corrigé

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1 Feuilles d exercices n 4 : corrigé ECE Lycée Carnot 4 octobre 00 Exercice (*) La suite (u n ) vérifie d après l énoncé la relation de récurrence u n+ = u n = u n +0, c est donc une suite arithmétique de raison 0 et de premier terme u 0 = 000. On sait alors que u n = n. De même, la suite (v n ) vérifie la relation de récurrence v n+ = v n + 00 v n = v n, 0, donc (v n ) est une suite géométrique de raison, 0 et de premier terme v 0 = 000. Toujours d après le cours, on a donc v n = 000, 0 n. En utilisant la calculatrice, on constate qu il faut attendre 40 ans pour que le deuxième placement commence à être plus intéressant que le premier. Si l épargnant choisit le placement A, il aura doublé son capital lorsque n = 000, soit 0n = 000, donc n = 4 (on arrondit à l entier supérieur pour trouver la première année où le capital aura effectivement dépasse 000 euros). S il choisit le placement B, il aura doublé son capital lorsque 000, 0 n = 000, soit, 0 n =, donc en passant au ln on obtient n ln, 0 = ln, soit n = ln 5, 00. Il devra donc attendre 4 ans pour doubler son capital avec le placement A ln, 0 et ans avec le placement B. Exercice (**) Calculons donc t n+ = u n+ u n+ + = un+ u n+4 u n+ u +. en mettant au même dénominateur, on peut n+4 simplifier les dénominateurs pour obtenir t n+ = (u n + ) u n 4 = 4u n u n + + u n + 4 5u n + 5 = (u n ) 5(u n + ) = 5 t n. La suite (t n ) est donc une suite géométrique de raison 5 et de premier terme t 0 = u 0 u 0 + =. On en déduit que t n = ( 5) n. Ne reste plus qu à obtenir u n en fonction de t n : t n (u n +) = u n, soit t n u n +t n = u n, donc t n + = u n t n u n puis u n ( t n ) = t n +. Finalement, on obtient u n = t n + = ( 5 )n + t n ( = 5 )n n + 5 n 4 5 n n. Exercice (***) Les deux conditions peuvent se traduire de la façon suivante : b a = c = q, et b a = c b = q. b La première relation revient à dire que b = aq et c = bq = aq, d où en remplaçant dans la deuxième donne aq a = aq aq(= q), d où aq 4aq + a = 0, soit en factorisant par a qui est supposé non nul q 4q + = 0. Cette équation du second degré a pour discriminant = = 4, et admet deux racines réelles q = 4 + =, et q = 4 =. Si q =, la condition aq a = q

2 donne a =, puis b = aq = et c = bq = ; et si q =, on obtient a a =, soit a =, puis b = a = et c = b =. Les deux seules possibilités sont donc d avoir a = b = c = q = (auquel cas les trois termes consécutifs de la suite géométrique sont, et, et les trois termes consécutifs de la suite arithmétique sont, et ) ; ou q =, donc a =, b = et c = (auquel cas les trois termes consécutifs de la suite géométrique sont, et, et les trois termes consécutifs de la suite arithmétique sont, et ). Exercice 4 (***) Notons donc v n = u n +an +bn+c, alors v n+ = u n+ +a(n+) +b(n+)+c = u n +n n+ an +an+a+bn+b+c = u n +(a+)n +(a+b )n+a+b+c. Pour que (v n ) soit géométrique, on doit avoir v n+ = qv n = qu n + aqn + bqn + cq. Il est nécessaire d avoir q =, et en identifiant ensuite les coefficients des deux formules obtenues, on a a + = a, a + b = b et a + b + c = c, ce qui donne successivement a =, puis b = a =, et enfin c = a + b = 5. Avec ces valeurs, la suite (v n ) est géométrique de raison et de premier terme v 0 = u 0 + a 0 + b 0 + c = + 5 = 7. Conclusion de ces calculs : v n = 7 n, puis u n = v n an bn c = 7 n n n 5. Exercice 5 (**) Vérifions donc que (v n ) est arithmético-géométrique : v n+ = u n+ n+ = u n + n n+ = u n n + n n+ = u n +. La suite est donc arithmético-géométrique, il ne reste plus qu à calculer son terme général. L équation de point fixe associée est x = x +, qui a pour solution x =. On introduit donc la suite auxiliaire w n = v n. Verifions que cette troisième suite est géométrique : w n+ = v n+ = v n + = v n = (v n ) = w n. La suite (w n ) est donc géométrique de raison et de premier terme w 0 = v 0 = u ( ) 0 n 0 =. Conclusion de nos calculs : w n =, ( ) n ( ( ) n ) puis v n = w n + =, et enfin u n = n v n = n = n n. Exercice (**) Vérifions donc ce qu on obtient en calculant w n+ = u n+ + v n+ = 4 (u n + v n ) + 4 (u n + v n ) = 4 u n+ 4 v n+ 4 u n+ 4 v n = u n +v n, donc la suite (w n ) est constante, égale à son premier terme u 0 +v 0 =. De même, on remarque que t n+ = u n+ v n+ = 4 u n + 4 v n 4 u n 4 v n = u n v n = t n, donc la suite (t n ) est géométrique de raison et de premier terme u 0 v 0 = =. Conclusion, ( ) n on a n N, t n = = n, soit u n = v n + n. Comme on sait par ailleurs que u n + v n =, on peut remplacer u n pour obtenir v n + n =, soit v n = ( ) n, puis u n = ( + ) n.

3 Exercice 7 (**) En notant u n le capital de notre apprenti boursier après n jours de spéculation, l énoncé se traduit par la relation de récurrence u n+ = (u n 0) = u n 45 donc la suite (u n ) est arithmético-géométrique. Son équation de point fixe est x = x 45, ce qui donne x = 90. En posant v n = u n 90, on a donc v n+ = u n+ 90 = u n 5 = (u n 90) = v n. La suite (v n ) est donc géométrique de raison et de premier terme v 0 = u 0 90 = 0. On en déduit que ( ) n ( ) n v n = 0, puis u n = Notre ami a bien fait de quitter l ECE, il fera fortune puisque ( la ) suite (u n ) est croissante et tend vers +. Il deviendra millionnaire lorsque u n 0, soit n ( ) n , ou encore 0 5 9, donc en passant au ln, n ln ln 99 99, soit ln n 8.4. Il lui faudra seulement 9 jours pour devenir millionnaire. ln La question subsidiaire est en fait facile si on a bien compris le mécanisme des calculs effectués. Si on change le capital initial, la seule modification intervient au moment du calcul de v 0 = u Si ce nombre v 0 reste positif, on aura toujours une suite (u n ) croissante et tendant vers +. Au contraire, si v 0 devient négatif, la suite va être décroissante, et ce sera la ruine assurée pour le parieur. Il faut donc un capital initial supérieur à 90 euros pour faire fortune. Exercice 8 (***) La suite (u n ) n est évidemment pas une suite classique, mais peut le devenir si on arrive à transormer le produit en somme et à se débarasser de la racine carrée. Il existe un bon outil pour celà : le logarithme népérien. Mais il serait d abord bon de vérifier que la suite est bien définie et, pour pouvoir mettre des ln partout, que tous ses termes sont strictement positifs. C est une récurrence double assez immédiate : u 0 et u sont strictement positifs par hypothèse, et en supposant u n et u n+ strictement positifs, u n u n+ le sera aussi, donc u n+ également. On peut donc introduire la suite auxiliaire v n = ln u n. On a alors v n+ = ln(u n+ ) = ln u n u n+ = ln(u nu n+ ) = (ln u n + ln u n+ ) = v n + v n+. La suite v n est donc récurrente linéaire d ordre. Son équation caractéristique est x x = 0, qui a pour discriminant = 4 +4 = 9 4 = ( ), et admet donc deux racines r = général de la forme v n = α + β + = et s = =. La suite (v n) a donc un terme ( ) n. Les coefficients α et β sont déterminés à l aide des premiers termes de la suite : v 0 = ln u 0 = ln = 0, et v = ln 4 = ln. On en déduit que α + β = 0, soit β = α, et α β = ln, soit α = ln, donc α = 4 ln, et donc β = 4 ln. On en déduit que v n = 4 ( ( ln ) n ), puis u n = e vn = 4 ( ( )n). Exercice 9 (*). La suite (u n ) est arithmético-géométrique, d équation de point fixe x = 4x, ce qui donne x =. On pose donc v n = u n, et on vérifie que la suite auxiliaire est géométrique : v n+ = u n+ = 4u n = 4u n 8 = 4(u n ). La suite (v n ) est donc géométrique de raison 4, et de premier terme v 0 = u 0 =. On a donc v n = 4 n, puis u n = v n + = 4 n.

4 . La suite est récurrente linéaire d ordre, d équation caractéristique x x + = 0, qui a pour discriminant = 9 8 =, et admet deux racines réelles r = + = et s = =. La suite (u n ) a donc un terme général de la forme u n = α n + β, avec, en utilisant les valeurs initiales, α + β = 0 et α + β =. En soustrayant les deux équations on obtient α =, puis β = α =, donc u n = n.. La suite est récurrente linéaire d ordre, d équation caractéristique x x + 9 = 0, qui a pour discriminant = = 0, et admet une racine double r = =. La suite (u n) a donc un terme général de la forme u n = (α + βn) n, avec, en utilisant les valeurs initiales, α 0 = 0 et (α + β) =. La première équation donne α = 0, puis la deuxième donne β =, d où u n = nn = n n (formule valable seulement si n ). 4. La suite est récurrente linéaire d ordre, d équation caractéristique x x+ = 0, qui a pour discriminant = 4 = 7. On ne sait donc pas calculer le terme général de cette suite. On 4 peut toujours calculer les premiers termes pour voir s il se passe quelque chose d intéressant : u = 0, u =, u 4 = 4, u 5 = 8, u =. C est pas vraiment gagné pour trouver une forme générale pour u n La suite est récurrente linéaire d ordre, d équation caractéristique x 4x + = 0, dont le discriminant vaut = = 4, et qui admet donc deux racines r = 4 + =, et s = 4 =. On en déduit la forme générale de la suite : u n = α + β. En utilisant les n valeurs des deux premiers termes, on a u 0 = α + β = et u = α + β = 0. En soustrayant les deux équations, on obtient β = 0 = 4, soit β =, puis α = 4. On a finalement u n = 4 n. Exercice 0 (**). Prouvons par récurrence la propriété P n : u n > (ce qui prouvera au passage que (u n ) est bien définie puisqu on aura alors toujours u n ). La propriété P 0 est manifestement vraie. Supposons maintenant P n vraie, c est-à-dire que u n >. On a alors u n > 0, donc u n > 0, puis u n + >, ce qui prouve P n+. Par principe de récurrence, P n est vérifiée pour tout entier n.. D après la question précédente, on a toujours u n > 0, ce qui prouve la bonne définition de v n. ( ) ( ). Calculons donc v n+ = ln(u n+ ) = ln u n + = ln = ln(u n u n ) = v n. La suite (v n ) est donc une suite géométrique de raison et de premier terme v 0 = ln(u 0 ) = ln, d où v n = ( ) n ln, puis u n = e vn + = e ( )n ln +. En fait, on aura u n = + = 4 pour toutes les valeurs paires de n, et u n = + = 5 pour toutes les valeurs impaires de n (on parle de suite périodique, comme pour les fonctions, pour une suite reprenant ainsi toujours les mêmes valeurs). 4

5 Exercice (***) Remarquons que, en décalant la relation de récurrence, u n = u n + u n + + u 0. En soustrayant cette relation à celle donnée dans l énoncé, on obtient u n+ u n = u n + u n, soit u n+ = u n + u n. C est une relation de récurrence linéaire d ordre, d équation caractéristique x x = 0. Son discriminant vaut = = 8, elle admet donc deux racines réelles r = + 8 = +, et s = 8 =. Le terme général de la suite (u n ) est donc de la forme u n = α( + ) n + β( ) n, avec en utilisant les deux premiers termes, α + β = u 0 =, et α(+ )+β( ) = u = u 0 =. En soustrayant les deux équations on obtient α β = 0, donc α = β, ce qui en reprenant la première équation mène à α = β =. Conclusion : u n = ( + ) n + ( ) n (ce n est pas évident au premier abord, mais tous les termes de cette suite sont bel et bien entiers, malgré la présence de ces dans la formule du terme général). 5