Correction brevet blanc mars 2017
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- Serge François
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1 brevet blanc mars 2017 Exercice 1 On considère une fonction f dont on donne ci-dessous l expression littérale et un tableau de valeurs. f(x) = x +,,,-,,,. & + 3x 7 Antécédent x f(x) Image 1) Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse? Justifier chaque réponse. a) L image de 3 par la fonction f est 4. b) f (2) = 3 c) L image de 3 par la fonction f est 11. d) f ( 2) = 17 2) a) Citer un ou deux antécédents de 3 par la fonction f. b) Vérifier, par un calcul, que 5 est un antécédent de 33 par la fonction f. 3) Ecrire un programme de calcul qui peut être associé à la fonction f. 1. (a) Faux. Par lecture du tableau, l image de 3 par la fonction f est et non 4. (b) Vrai. Par lecture du tableau, f (2) est bien égale à. (c) Vrai. Par le calcul, f (3) = 3² = + 7 =. (d) Faux. Par le calcul : f ( 2) = ( 2)² + 3 ( 2) 7 = 4 7 = (a) Par lecture du tableau : 1 et 4 sont deux antécédents de 3 par la fonction f. (b) On calcule f (5) : f (5) = 5² = + 7 = =. 5 est bien un antécédent de 33 par la fonction f. 3. Voici un programme de calcul pouvant être associé à la fonction f : Compléter avec les mots : triple / soustraire / carré / ajouter. Choisir un nombre. Calculer le de ce nombre. au résultat le du nombre de départ. 7 au résultat obtenu. 1
2 Exercice 2 Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse? Justifier chaque réponse. Affirmation 1 : Affirmation 2 : Affirmation 3 : En choisissant 2 comme nombre de départ, on obtient le même résultat avec l arbre et les deux programmes de calcul. Quel que soit le nombre choisi au départ, l arbre de calcul et le programme A donnent le même résultat. Quel que soit le nombre choisi au départ, l arbre de calcul et le programme B donnent le même résultat. Affirmation 1 On applique l arbre de calculs et les deux programmes au nombre 2 : Arbre de calculs : (2 4 6) ( ) = (. 6) (. + 5) =..... = 22 Programme A : 2² = =. 18 = 22 Programme B : 2² = = =. 30 = 22 L affirmation 1 est VRAIE, en choisissant 2 comme nombre de départ on obtient le même résultat avec l arbre et les deux programmes de calculs. Affirmation 2 On applique l arbre et le programme A au nombre 3 par exemple : Arbre de calculs : (3 4 6) ( ) = (. 6) (. + 5) =..... = 84 Programme A : 3² = =. 18 = 72 On a trouvé un contre-exemple. L affirmation 2 en FAUSSE, l arbre de calculs et le programme A ne donnent pas le même résultat quel que soit le nombre choisi au départ. 2
3 Affirmation 3 On travaille avec les expressions littérales. On choisit n comme nombre de départ : Arbre de calculs : (n 4 6) (n 3 + 5) = (4n 6) (3n + 5) On a réduit à l intérieur des parenthèses. Programme de calculs B : n² 12 + n 2 30 = 12n² + 2n 30 On a réduit l expression. On développe et on réduit cette expression : 4n 3n = 4n 5 = 6 3n = 6 5 = L expression littérale de l arbre est donc égale à : 12n² + 18n 30 = 12n² + 2n 30 L affirmation 3 est VRAIE. On obtiendra bien le même résultat quel que soit le nombre choisi au départ car l expression littérale de l arbre de calculs est égale à celle du programme B. Exercice 3 1) D après ce graphique, combien de tirages a-t-on réalisés dans l urne? 2) Quelle est la couleur la plus présente dans le sac? Justifier la réponse. 3) Aurait-on pu arrêter l expérience après 2000 tirages pour estimer la probabilité de tirer chacune des couleurs? Pourquoi? 4) D après le graphique, estimer la probabilité d obtenir chacune des couleurs. 5) On décide de vider l'urne. Elle contient 10 jetons. D après les estimations de la question 4, indiquer le nombre de jetons rouges, de jetons bleus et de jetons verts. 3
4 1. D après ce graphique tirages ont été réalisés dans l urne. 2. La couleur la plus présente dans le sac est la couleur car c est la couleur dont la fréquence d apparition est la plus élevée. 3. Après 2000 tirages, on voit sur le graphique que les fréquences d apparitions des différentes couleurs ne sont pas encore «stabilisées» elles ne pourront donc pas donner une bonne estimation de la probabilité de tirer chacune des couleurs. 4. D après le graphique : La probabilité d obtenir un jeton rouge est d environ 50 % = La probabilité d obtenir un jeton bleu est d environ % = = 1 2 = 0, =. 10 = 0,3. La probabilité d obtenir un jeton vert est d environ % =. 100 = 2 10 = 1 5 =. 5. D après les estimations de la question 3, les jetons rouges représentent la moitié (50%) du contenu de l urne, il y aurait donc 5 boules rouges, les boules bleues représentent 3, donc il y 10 aurait boules bleues et donc 2 boules vertes. Exercice 4 Sur la figure ci-contre, les droites (MR) et (JP) sont sécantes en K. On sait, de plus, que : MP = 11 cm, MK = 8 cm, KJ = 4,8 cm, KP = 12 cm et RK = 3,2 cm. Les droites (MP) et (JR) sont-elles parallèles? Justifier. Grand triangle Petit triangle On teste l égalité des rapports suivants : MK KR = 8 3,2 = 2,5 ; PK KJ = 12 4,8 = 2,5 Comme les rapports MK PK et sont égaux et que les points M, K, R et P, K, J sont alignés dans le KR KJ même ordre alors d après la réciproque du théorème de Thalès on peut en conclure que les droites (MP) et (JR) sont parallèles. 4
5 Exercice 5 Louisa a obtenu un poste d assistante de direction dans deux entreprises différentes. Avant de faire son choix, elle cherche maintenant à comparer les salaires proposés. Pour l'entreprise A, Louisa dispose de la liste des salaires suivante : ; ; 1350 ; ; ; 950 ; 850 ; ; ; ; ; Pour l'entreprise B, Louisa dispose des indications suivantes : Il y a 20 salariés au total. Les salaires sont tous différents. Le salaire moyen est Le salaire médian est de L'étendue est Le salaire minimum est de ) Quel est le salaire maximum dans chacune des entreprises? Justifier. 2) Comparer les salaires moyens de ces deux entreprises. 3) Comparer les salaires médians de ces deux entreprises. 4) Dans l'entreprise A, combien de salariés gagnent plus de 1 000? Et dans l'entreprise B? 5) Quelle entreprise peut-on conseiller à Louisa? Expliquer la réponse. 1. Dans l entreprise A, le salaire le plus élevé est Dans l entreprise B, on doit effectuer un raisonnement : Le salaire minimum est de 850, l étendue est donc le salaire le plus élevé est de On a effectué le calcul : = Dans l entreprise A, on doit calculer le salaire moyen : ü On additionne tous les salaires : =. ü On divise. par 12 qui l effectif total (le nombre total de salaires) : (valeur arrondie à l unité) Le salaire moyen de l entreprise A est de Dans l entreprise B le salaire moyen est de Le salaire moyen de l entreprise A est inférieur à celui de l entreprise B. 3. Pour l entreprise A, on doit déterminer le salaire médian : ü On range la série de valeurs dans l ordre croissant et on la partage en deux séries de même effectif, il y a 12 salaires au total : 12 2 = 6 donc la médiane se trouve entre la 6 ème et la 7 ème valeur : 5
6 850 ; 950 ; 1000 ; 1100 ; 1100 ; ; 1350 ; 1450 ; 1700 ; 3000 ; ü La médiane est le nombre compris entre 1200 et 1250, c est Pour trouver 1225 on effectue : ( ) 2 = = 1225 Le salaire médian dans l entreprise A est égal à Pour l entreprise B, le salaire médian est de Le salaire médian de l entreprise A est supérieur à celui de l entreprise B. 4. Dans l entreprise A, 9 personnes gagnent strictement plus de 1000 (10 personnes gagnent 1000 ou plus). Pour l entreprise B on doit raisonner : Le salaire médian est de 1000, il y a 20 salariés au total et tous les salaires sont différents, ce qui signifie que la moitié des salariés, soit 10 salariés, gagnent plus de Louisa devrait choisir l entreprise A. En effet, le salaire moyen de l entreprise A est certes moins élevé que celui de l entreprise B mais dans l entreprise B il y a au moins un très gros salaire qui permet «d augmenter» la valeur du salaire moyen (postulant à un poste de secrétaire de direction elle ne pourra certainement pas prétendre au salaire le plus élevé qui est de ). De plus, dans les deux entreprises le salaire le plus bas est de 850, et dans l entreprise A le salaire médian (1225 ) est lui, plus élevé que celui de l entreprise B, elle a donc plus de chance d avoir un salaire supérieur à 1225 en travaillant dans l entreprise A que dans l entreprise B. Exercice 6 Un hélicoptère doit aller secourir un blessé au sommet d une montagne. Le trajet ABCDEF de l hélicoptère est représenté par la figure ci-contre qui n est pas à l échelle. On dispose des informations suivantes : ABCH et ABGF sont des rectangles. BG = 12,5 km ; AC = 7,5 km ; AB = GF = 6 km ; CF = 10 km ; GD = 7 km et GE = 5,25 km. Les droites (DE) et (CF) sont parallèles. Les points B, C, D et G sont alignés. Les points G, E et F sont alignés. 1) Après avoir calculé la longueur BC, montrer que la longueur CD est égale à un kilomètre. 2) Vérifier que la longueur totale du parcours est 21 km. 3) Voici un extrait de la discussion entre le médecin présent à bord et le pilote de l hélicoptère. Le pilote : «Je dois faire le plein...» Le médecin : «Combien consomme votre hélico?» Le pilote : «1,1 Litre par km pour ce genre de trajet» Le médecin : «Mais le plein nous surchargerait! 20 Litres de carburant seront très largement suffisants!» Le médecin a-t-il raison lorsqu il affirme que 20 Litres de carburant seront suffisants? 6
7 1. Le triangle ABC est rectangle en B (car ABCH est un rectangle), l égalité de Pythagore est donc vérifiée : AC² = AB² + BC². On cherche à calculer BC. AC² = 7,5² = AC² AB² = 56,25 36 =.. AB² = 6² = Donc BC = 20,25 = 4,5. [BC] mesure 4,5 km. On sait que BG = 12,5 km et que les points B, C, D et G sont alignés dans cet ordre donc : BC + CD + DG = BG ; 4,5 + CD + 7 = 12,5 ; CD = 12,5 7 4,5 = 1 La longueur CD est bien égale à 1 km. 2. La longueur totale du parcours est égale à AB + BC + CD + DE + EF. AB = 6 km ; BC = 4,5 km ; CD = 1km On ne connait ni DE ni EF, nous allons les calculer : Calcul de DE Les points G, D, C et G, E, F sont alignés dans le même ordre, Les droites (GE) et (CF) sont parallèles. Alors d après le théorème de Thalès le triangle GDE est une réduction du triangle GCF et donc : GD GC = GE GF = DE Pour trouver GC on effectue : = 8 car GC = GD + DC CF 8 = = DE Donc DE = = 8, 75 La longueur DE est égale à 8,75 km. Calcul de EF Les points G, E et F sont alignés donc EF = GF GE =... =... La longueur EF est égale à 0,75 km. Calcul de la longueur totale du parcours : 6 + 4, ,75 + 0,75 = 21 La longueur totale du parcours est bien égale à 21 km. 3. Le pilote affirme que pour ce genre de trajet l hélicoptère consomme 1,1 Litre par km, la longueur du trajet étant de 21 km, l hélicoptère consommerait donc au total : 1,1 Litre 21 = Litres. Le médecin se trompe donc en affirmant que 20 Litres de carburant seront suffisants. 7
8 Exercice 7 Brice et Aldo jouent à un jeu de dés. Ils lancent deux dés. Brice fait le produit des faces obtenues. Aldo fait la somme des faces obtenues. Le joueur qui obtient le score le plus grand gagne la manche. On veut simuler ce jeu avec le logiciel Scratch. Voici le programme proposé : 1) Au début du programme, la valeur affectée à la variable Dé1 est 3 et la valeur affectée à la variable Dé2 est 4. Quel joueur gagne cette partie? 2) Proposer une valeur pour chacune des variables Dé1 et Dé2 afin que Aldo gagne la partie. 3) Recopier et compléter les instructions manquantes pour que le programme soit fonctionnel. 1. Le produit «Dé1 Dé2» est égal à : 3 4 =. La somme «Dé1 + Dé2» est égale à : =. C est donc. qui gagne. 2. Pour qu Aldo gagne la partie il faudrait que la somme des deux dés soit inférieure au produit. Par exemple, avec le nombre 1 affecté à la variable Dé1 et le nombre 2 affecté à la variable Dé 2 : Somme «Dé1 + Dé2» = =. Produit «Dé1 * Dé2» = 2 1 =.. Et 3 > 2, c est donc Aldo qui gagnera. Remarque : dès que l un des deux dés est affecté de la valeur 1, ce sera Aldo qui gagnera. 3. On complète les trois instructions : Dire Brice a gagné pendant 3 secondes Sinon Si Dé1 + Dé2 > Dé1 * Dé2 Alors Dire Aldo a gagné pendant 3 secondes 8
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