EM-II Mosig CHAPITRE 8 La matière en Electrostatique: Conducteurs et Diélectriques

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1 EM-II Moig CHAPITRE 8 La matièe en Electotatique: Conducteu et Diélectique 8.1 ITRODUCTIO: CORPS EUTRES, CORPS CHARGES, CORPS ISOLES Le fomalime développé juqu'à maintenant 'applique à de chage électique dan le vide. La technologie nou a familiaié avec ce ituation qui e péentent pa exemple à l intéieu du tube cathodique d un pote de téléviion ou d un ocillocope, où de électon taveent de epace eentiellement vide. Mai le plu ouvent, le chage appaaient dan la natue au ein d un milieu matéiel et ou de fome bien difféente (électon, poton, ion, molécule dipolaie...). Fidèle à note point de vue macocopique, nou éduion toute ce manifetation à une fonction continue "denité de chage", pouvant péente de valeu poitive ou négative. L état électotatique natuel d un cop matéiel et l état neute, caactéié pa une denité de chage nulle en tout point du cop (toujou du point de vue macocopique). La chage totale, intégale de la fonction denité, et donc nulle aui. Cependant, ou l effet d agent extene (fottement mécanique, attaque chimique, effet photoélectique, connexion à une batteie, effet d'un champ électique extene), cetain cop matéiel peuvent deveni chagé. Ceci implique que oit il acquièent une chage totale non nulle, oit il etent globalement neute (chage totale nulle) mai une denité de chage non nulle appaaît en cetain point. Le poible denité de chagé non nulle vont à leu tout génée un champ électique. Une ituation paticulièement intéeante 'oigine loque un cop initialement neute et immegé au ein d un champ électique. Sou l effet de ce champ, une denité de chage non nulle e manifete dan cetain point du cop, bien que la chage totale (l intégale mathématique de la fonction denité) demeue nulle. D'un point de vue phyique, pluieu effet peuvent ête impliqué. Soit le cop contient de électon libe qui peuvent e déplace ou l'effet du champ appliqué, détuiant aini au niveau macocopique l'équilibe natuel de chage poitive et négative. Ou alo, de molécule neute vont e défome et e ditode. Ce phénomène et d'aute emblable ont ouvent décit ou le nom généique de phénomène d'induction électotatique ou de polaiation et ont lagement étudié dan le texte de Phyique. Ici, nou nou intéeeon aux effet plutôt qu'aux caue. Le nouvelle denité de chage vont cée à leu tou un champ électique, dit de polaiation, qui vienda modifie le champ appliqué oiginal, aui bien à l'extéieu qu'à l'intéieu du cop matéiel. Electomagnétime II, SE, EPFL 1-1

2 Il convient finalement de appele le pincipe de conevation de la chage électique. Si on peut accepte qu'un cop matéiel et iolé (pa d'échange poible de chage avec le monde extéieu), la chage totale de ce cop ne changea pa loqu'il et oumi à l'influence d'un champ électique appliqué. Mai ce champ peut modifie pofondément la valeu de la denité de chage en chaque point du cop. ou allon maintenant décie plu en détail ce phénomène pou deux type de cop matéiel : le conducteu et le iolant, aui appelé diélectique LES CODUCTEURS Le conducteu ont de cop qui contiennent de chage électique libe, c et à die de chage pouvant e déplace facilement à l intéieu du cop ou l'influence d'un champ électique. L'exemple claique et le conducteu métallique. Dan un métal, le atome contituent un éeau citallin igide. éanmoin, ce atome poèdent de électon libe capable de e déplace ou l'effet d'un champ électique. Leu facilité de déplacement et telle qu en fait on ne peut pa identifie à quel atome appatient un électon donné et il faut pale d une population collective d électon an identité individuelle. On peut donc imagine un cop métallique comme un enemble d'atome chagé poitivement (ion) et lié igidement pa de foce chimique en fomant un éeau citallin. Ce éeau e touve immegé dan une me d électon qui neutalie le ion poitif. Dan un état d équilibe, tout volume macocopique de métal poède une chage électique totale nulle. Toutefoi, en péence d un champ électique appliqué et uite au déplacement de électon libe, de égion macocopique avec un défaut ou un excè d électon peuvent appaaîte. Aui, on peut imagine un cop conducteu à chage totale Q non nulle, uite à un appot ou un pélèvement d électon (fottement, effet photoélectique, contact avec une batteie...). Et i apè cette opéation, on iole le cop conducteu, cette chage Q etea contante. Conidéon un c.e.p., neute au dépat et iolé. A un moment donné ( t = 0), on oumet ce conducteu à l action d un champ électique appliqué E appl. Ce champ peut ête imaginé comme cée pa un enemble de ouce (chage) extéieue au c.e.p. qui e manifetent oudainement en t = 0 (pa exemple pa enclenchement d'une batteie). A l intant même de a céation, le champ E appl envahit le conducteu et e fait enti u tout on volume. Le chage libe (électon) du conducteu éagient alo en e déplaçant ou l effet de ce champ. L'éloignement de électon de e poition d'équilibe dan le Electomagnétime II, SE, EPFL 1-2

3 éeau citallin conduit à l'appaition d'un ytème de chage intene poitive et négative qui va cée on pope champ électique. On l'appellea champ pope ou champ intene de polaiation E pol, et il oppoe au champ appliqué. Ce champ de polaiation gandit juqu'à qu'un nouveau équilibe, qui tient compte du champ appliqué, 'établit en t = τ. Dan le conducteu éel (le métaux type cuive, agent ) ce poceu de e-équilibage ne due que quelque picoeconde. La duée τ dépend de la valeu d'un paamète phyique, facilement meuable qu'on appelle conductivité. ou conidéeon pa la uite le ca limite d'un conducteu électique pafait (c.e.p.). Un tel cop a une conductivité théoiquement infinie et éagit de façon intantanée à tout champ appliqué. 8.3 LE COCEPT DE CODUCTEUR ELECTRIQUE PARFAIT (c.e.p.) Un conducteu électique pafait (c.e.p.) et une idéaliation mathématique, obtenue pa extapolation de la éalité phyique. Dan un c.e.p. on admet que le chage libe éagient au champ électique extene comme i elle étaient dan le vide, e mouvement n étant limité que pa la uface extene du conducteu. Dan un c.e.p., le électon ne "voient" pa le éeau citallin et celui-ci n inteagit pa avec un champ appliqué. En patique, la plupat de métaux e compotent en électotatique et à bae féquence comme de c.e.p. Le mouvement de chage libe et un poceu autolimité (negative feedback) qui aête quand elle e editibuent de façon à compene pafaitement le champ appliqué. Donc, à l équilibe, le champ électique total E = Eappl + Epol à l intéieu d un conducteu électique pafait et nul : E = E + E = 0 (à l intéieu d un c.e.p) (8.3.1) appl pol Autement, tant qu il eteait un champ non nul à l intéieu, le mouvement de chage libe ne ceeait pa. La popiété E = 0 et la caactéitique eentielle d un c.e.p. et peut ête conidéée comme a définition mathématique. Maintenant i on applique à cette ituation le théoème de Gau ou l'équation de la divegence on doit aive à la concluion que la denité volumique de chage ρ v à l intéieu d un c.e.p. et toujou nulle. Ce contat mathématique et en accod avec l'idée intuitive de électon eayant de e déplace conte le champ appliqué et ne 'aêtant qu'aux limite phyique du conducteu, c'et-à-die dan a uface. Electomagnétime II, SE, EPFL 1-3

4 Alo la eule denité poible, ouce du champ de polaiation uface E pol, et une denité de ρ. Cette denité obéit aux condition aux limite, avec la implification que dan un c.e.p. le champ électique d'un coté intene de la uface et nul. Ceci implique le fait, bien connu, que le champ électique jute à l'extéieu d'un conducteu et pependiculaie à la uface de celui-ci La chage totale du conducteu vient donnée pa: Q = ρ d ' (8.3.2) S Si le conducteu demeue iolé pendant l application du champ extene, cette chage totale gadea a valeu de dépat et, en paticulie, ea nulle i le conducteu était neute au dépat. Finalement, un champ intéieu nul implique un potentiel contante V = U à l'intéieu et en uface d'un conducteu. Cette valeu peut ête impoée (le conducteu et connectée à une batteie) ou inconnue, 'adaptant et éagiant au champ extene appliquée. 8.4 PROPRIETES ELECTROSTATIQUES DES CODUCTEURS PARFAITS Le tableau uivant éume le popiété eentielle toujou atifaite pa un c.e.p.: Denite de chage volumique ρ v = 0 Chage totale Q = ρ d ' Champ intene E = 0 Champ extene dan a uface nˆ E = 0 ; nˆ E = ρ / ε0 Potentiel V = cte S Voici quelque ituation patique pou le conducteu et comment cetaine quantité en ont affectée: eute et iolé, oumi à un champ appliqué Chagé et iolé Chage totale Denité uface Potentiel Q = 0 inconnue inconnu, depend du ch valeu donnée non n Q 0 inconnue appliqué inconnu, dépend de la chage Electomagnétime II, SE, EPFL 1-4

5 A potentiel nul et oumi à un champ appliqué valeu inconnue inconnue 0 A potentiel contant valeu inconnue inconnue valeu donnée non null V = U D'aute ituation, combinaion de pécédente ou plu compliquée, ont aui poible. 8.5 EQUATIO ITEGRALE POUR LA DESITE DE CHARGE DE SURFACE On voit donc que, auf dan le ca tivial d'un conducteu neute, iolé et pa oumi à l'effet d'un champ, le conducteu poèdent toujou une denité de chage de uface, et que celle-ci et à pioi inconnue. Si pa un quelconque moyen on aive à détemine le potentiel et le champ à l'extéieu d'un conducteu, alo la valeu de la denité de chage de uface et donnée pa la condition aux limite: ρ = ε ne 0 ˆ (8.5.1) Mai on peut aui eaye de calcule diectement la denité de chage en utiliant une fomulation intégale. Dan un poblème qui inclut un conducteu éagiant à un champ appliqué, le champ total en tout point de l'epace et donné pa: 1 ( ') ρ ( ') d' E( ) = Eappl ( ) + Epol ( ) = Eappl ( ) + 4 πε ' 0 S 0 S (8.5.2) 3 et de façon analogue, le potentiel vaut: 1 ρ ( ') ' ( ) ( ) ( ) ( ) d V = Vappl + Vpol = Vappl + 4 πε (8.5.3) ' où Vappl e calcule de la façon tandad à pati du champ appliqué E appl. Le champ total doit 'annule à l'intéieu du conducteu mai il et dicontinu en uface. En plu, i on veut étudie aui de conducteu théoiquement an épaieu, leu "intéieu" et malaié à défini. Donc, on péfèe tavaille avec le potentiel, qui et contante à l'intéieu et continu en uface. L'équation (8.5.3) appliquée aux point de la uface donne: 1 ρ ( ') ' ( ) d Vappl + U ; S 4 πε = (8.5.4) 0 ' S Electomagnétime II, SE, EPFL 1-5

6 Ceci et une équation intégale pou le calcul de la denité de chage de uface. Soit le potentiel U et connu (conducteu connecté à une batteie), oit il et inconnu mai on poède alo une infomation globale u la denité de chage (pa exemple, la valeu de la chage totale pou un conducteu iolé). 8.6 SOLUTIO DE L'EQUATIO ITEGRALE AVEC LES MATRICES DE GREE Une équation intégale et la fomulation mathématique d'un poblème invee où l'inconnue et une ditibution continue de chage. La méthode de matice de Geen 'adapte alo natuellement bien à la dicétiation de ce type de poblème. Il uffit de divie la uface du conducteu en potion (8.5.4) aux point i aux cente de ce uface. On touve: S j et applique l'équation intégale 1 ρ ( ') d' U Vappl ( i ) ; i 1, πε = = (8.6.1) 1 0 i ' j= S j Maintenant, on uppoe que la denité de chage et contante ρ = ρj dan chaque potion S j et on conidèe la chage totale qj = ρj Sj de chaque potion. ote équation devient: 1 1 d ' [ ] qj = U Vappl ( i ) ; i = 1, πε 1 0 S (8.6.2) j i ' j= S j où en veion compacte: Gijqj = vi ; i = 1,2... (8.6.3) j= 1 Le coefficient de la matice de Geen 1 1 d ' Gij = 4 πε0 S j S i ' j (8.6.4) peuvent ête obtenu de façon appochée loque i j (élément ho diagonale dan la matice). Il uffit d'applique le théoème de la moyenne. Ceci evient en teme phyique à concente la chage totale q j chage ponctuelle. On touve alo G ij 0 exitante dan la uface S j dan le cente ou fome de 1 1 = ; 4 πε i j (8.6.5) i j Electomagnétime II, SE, EPFL 1-6

7 Cette tatégie n'et pa valable pou le élément de la diagonale i = calculé de la façon la plu pécie poible. j, qui doivent ête La olution du ytème linéaie mène au calcul appoché de la denité de chage de uface. Dan le poblème où le potentiel du conducteu n'et pa connu, il faut enleve la quantité U de teme indépendant vi = 4 πε0 [ U Vappl( i)] (membe de doite dan le équation) et l'ajoute au ytème comme inconnue upplémentaie. Dan ce ca, l'équation additionnelle equie et founie d'habitude pa la valeu connue de la chage totale: ρ ( ') d' = qj = Q S j j= 1 j= 1 (8.6.6) LES CORPS ISOLATS OU DIELECTRIQUES Dan un cop iolant ou diélectique, il n'y a pa de chage libe pou éagi à un champ électique extene appliqué E appl. Mai le molécule de ce cop vont le faie. Soit de molécule globalement neute e défoment ou l'effet du champ et deviennent de dipôle de faible intenité, oit de molécule natuellement dipolaie (l'eau) 'alignent ou l'éffet du champ et y éagient fotement. Dan tou le ca, il y aua aui appaition d'une ditibution de chage intene ou de polaiation. Mai dan un diélectique la chage de polaiation peut non eulement appaaîte en uface ρ, pol, mai aui en volume ρ vpol,. Et le champ électique intene de polaiation E pol cée pa ce ditibution 'oppoe au champ appliqué E appl mai an l'annule complètement. Une fomulation intégale de l'electotatique en péence de diélectique devient donc fot compliquée et ne ea pa abodée ici. Heueuement, dan beaucoup de cop diélectique d'intéêt patique, on peut accepte que le champ de polaiation et toujou colinéaie avec le champ appliqué et diectement popotionnel à celui-ci. Cette linéaité pemet de implifie le taitement mathématique. Une démache claique, péentée dan la plupat de texte de Phyique, conduit alo à accepte le éultat uivant: 1) On peut obteni une fomulation difféentielle pou le cop diélectique an faie appaaîte de fome explicite le denité de chage de polaiation ρ vpol, et ρ, pol. Electomagnétime II, SE, EPFL 1-7

8 2) L'effet de ce chage et abobé pa la modification de la contante ε 0. Cette contante, dite "pemittivité du vide", doit ête emplacée pa ε, la pemittivité du cop diélectique. Loque le popiété électotatique d'un cop diélectique etent le même en tout point, le cop diélectique et dit "homogène" et ε peut ête conidéé comme une contante mathématique à l'intéieu du cop. 3) La pemittivité elative d'un diélectique ou "contante diélectique" et définie comme: ε = ε / ε. Pou le diélectique couant, la contante diélectique et toujou upéieue à 0 l'unité: ε > 1. On a donc comme équation difféentielle pou le diélectique: E = 0 (toujou) (8.6.2) et ( ε E) = ρv (8.6.3) ou en teme de potentiel: ( ε V ) = ρv (8.6.4) Dan ce denièe équation, le denité de chage intevenant ont eulement celle qui exitent indépendamment du diélectique. On le appelle chage libe et ce ont le ouce du champ appliqué. Mai maintenant la pemittivité peut ête une fonction de la poition, oit pace qu'on a affaie à un cop diélectique dont le popiété vaient en continu, oit pace qu'on a affaie à pluieu cop diélectique difféent. En fait, à l'intéieu de chaque diélectique homogène, on peut écie une équation de Poion 2 V = ρv / ε (8.6.5) Mai cette équation n'et pa valable dan le uface du diélectique ou dan le inteface ente deux diélectique. Dan ce point, ce ont le condition aux limite qui gouvenent le compotement du champ et du potentiel. Si on conidèe deux diélectique #1 et #2 (le vide et un ca paticulie) et deux point infiniment poche 1 et 2 de deux coté de la uface de épaation on peut écie le condition aux limite uivante: nˆ [ E1 E2] = 0 nˆ [ ε1e1 ε2e2] = ρ avec la notation Ei = E( i).et et pa intégation de (8.6.6) V( ) V( ) = (8.6.6) (8.6.7) (8.6.8) Electomagnétime II, SE, EPFL 1-8

9 Rappelon que le chage de polaiation n'inteviennent pa dan ce fomule. Donc pou la ituation fot couante où il n'y a pa de chage libe dan la uface du diélectique, la condition aux limite pou le compoante nomale (8.6.7) dévient: nˆ [ ε1e1 ε2e2 ] = 0 (8.6.9) Une denièe emaque et de igueu. Une fomulation intégale faiant appaaîte une pemittivité difféente de celle du vide n'et pa valable, auf dan le ca fot théoique d'un diélectique homogène empliant tout l'epace. Ceci 'explique pa le fait que le fomulation intégale donnent l'effet dan un point d'une ouce placée dan un point difféent auait pa alo i utilie ε ( ) ou ε ( ')! '. On ne En evanche, le théoème de Gau ete valable pou le diélectique même avec une pemittivité fonction de la poition: ( εe) d = dq= chage enfemée dan D (8.6.10) D D On voit que dan le diélectique, le gandeu ε et E ne peuvent pa en généal ête diociée. D'ailleu, une fomulation igoueue de la théoie de diélectique ne peut ête obtenue qu'en conidéant la combinaion D = ε E comme un nouveau champ aux popiété pécifique. Ce champ et couamment appelé pou de aion hitoique le champ de déplacement électique ou tout implement le vecteu déplacement. Electomagnétime II, SE, EPFL 1-9