TP PS93 TP 3 : Diffraction de Fraunhofer

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1 URO Jim VIROT Marie TP PS93 TP 3 : Diffraction de Fraunhofer Le vendredi 11 mars 2011 I. INTRODUCTION Matériel utilisé : - Une source laser He-Ne de longueur d onde λ = 632,8 nm - Un banc optique gradué en millimètres - Une caméra CDD composée d une tête optique reliée à un PC, d un boitier de contrôle et d un câble DB25 - Un ordinateur comportant le logiciel d acquisition Caliens - Des objets diffractant : une diapositive dotée d une ouverture rectangulaire (fente de largeur 340 µm), une diapositive dotée d une ouverture circulaire (de diamètre 0,3 mm), et un cheveu. Objectif du TP : Dans ce TP nous allons observer des figures de diffraction à partir d un laser (lumière monochromatique), d objets diffractant à ouverture rectangulaire ou circulaire, d une caméra CDD et du logiciel Caliens. En effet, la figure de diffraction, créée par le passage du rayon laser à travers les objets diffractant, est captée par la caméra CDD, qui transforme l intensité lumineuse en un courant électrique. A la suite de cela, le logiciel Caliens est capable de traduire les données recueillies en une courbe, ce qui nous permet de déduire la largeur de la tache centrale, la distance horizontale entre deux minima et le rapport d amplitude A2/A1 du 2 ème maximum par rapport au 1 er maximum. Par ailleurs, on peut également déduire de cette expérience le diamètre d un cheveu. Le phénomène étudié est la diffraction de Fraunhofer qui s oppose à la diffraction de Fresnel dans le sens où elle a lieu dans un champ lointain. C est pourquoi la distance entre l objet réfractant et la camera CDD sera toujours supérieure à 1m.

2 Protocole expérimental : On place sur le banc optique le laser et l objet diffractant (sous la forme de diapositive comportant soit une ouverture rectangulaire, soit une ouverture circulaire, soit un cheveu) qui garderont la même position tout au long de l expérience ; puis on dispose un écran blanc espacé de la distance D = 1,00 m, D = 1,20 m, D = 1,57 ou 1,32 m par rapport à l objet afin d effectuer les réglages de la hauteur de la fente ou de l ouverture circulaire de telle sorte que le rayon laser passe bien au travers de celle-ci. Une fois ces réglages faits, on remplace l écran par la caméra CDD qui transmettra à l ordinateur et au logiciel Caliens les données recueillies. Pour obtenir de meilleurs résultats dans le logiciel, on vérifie bien que le faisceau du laser atteigne le milieu de la camera CDD, en effet c est là que se trouvent les capteurs. Schéma du montage : Utilisation du logiciel Caliens : A partir du signal électrique, Caliens créé une courbe. On a en abscisse une distance en µm et en ordonnée un pourcentage. On dispose de 2 curseurs pour chaque axe (interface en bas à gauche). On les déplace de manière à mesurer ce qui nous intéresse.

3 II. DIFFRACTION PAR UNE OUVERTURE RECTANGULAIRE Nous étudions, dans un premier temps, la figure de diffraction produite par un objet diffractant rectangulaire de largeur Lx=340 µm. Nous répétons l expérience 3 fois, pour les distances D=100, 120, 157 cm. Mesure de l épaisseur de la tache centrale : La valeur théorique de l épaisseur de la tache centrale est donnée par la relation 2. Ici, on a λ=632.8nm, D est variable, Lx=340µm. Pour D=1, on a par exemple une épaisseur de 3722µm. Sur Caliens, on place les curseurs de part et d autre de la tache centrale et on obtient instantanément la différence entre les deux abscisses X2-X1. Cette valeur correspond à l épaisseur de la tache centrale.

4 Mesure de la distance horizontale entre deux minima La distance horizontale entre deux minima est donnée par la relation. On a toujours les mêmes valeurs pour nos variables. Par exemple pour D=1m, on trouve comme valeur théorique de la distance horizontale 1861µm (cette valeur correspond en fait à la moitié de la tache centrale). Dans Caliens, on procède de la même manière que pour la mesure de la tache centrale : Mesure du rapport d amplitude A2/A1 (2 e maxima par rapport au 1 er maxima) Calcul théorique du rapport A2/A1 : L intensité lumineuse reçue sur la barrette est maximale pour le couple (xp ; 0). On a alors : I(xp ;0) = 0 Avec xp=(p+ ) D où on obtient: Or sinc(x)= Donc I(xp ;0) = I(xp ;0) = + = + ² ² ²

5 Ainsi on a = ² ² ² = ² ² ² ² ²= 0.36 Ce résultat ne dépend donc pas de D et reste constant tout au long de l expérience. En pratique, on place les curseurs horizontaux sur le premier et le deuxième maxima : On fait ensuite le rapport des deux valeurs obtenues. Résultats : Distance D (cm) Largeur de la tâche centrale Distance horizontale entre deux minima Amplitude relative A2/A1 du 2 ème maxima par rapport au 1 er maxima Mesure (µm) Mesure (µm) 5208 Mesure (µm) 6608 Théorie (µm) 3722 Théorie (µm) 4467 Théorie (µm) 5844 Mesure (µm) 21,23 16,59 13, Mesure (µm) 2128 Mesure (µm) 2632 Théorie (µm) 1861 Théorie (µm) 2604 Théorie (µm) ,74 18,28 20,33 Mesure (%) 0,31 Mesure (%) 0,28 Mesure (% 0,22 Théorie (%) 0.36 Théorie (%) 0.36 Théorie (%) ,89 22,22 38,89

6 Mesure du diamètre d un cheveu On prend cette fois un cheveu, placé dans une diapositive, pour objet diffractant. De la même manière que pour la diffraction précédente, on mesure la figure de diffraction : on trouve une largeur de 4800 µm pour la frange centrale, pour une distance D=1,3m. On peut alors en déduire le diamètre Lx du cheveu grâce à la relation 2. On a alors = 2,, Lx = 2,, = 342 µm La valeur est un peu plus élevée que le diamètre réel d un cheveu en raison des incertitudes entrant en jeu dans la prise de mesure. III. DIFFRACTION PAR UNE OUVERTURE CIRCULAIRE On réalise la même expérience que précédemment, mais on remplace la fente rectangulaire par une ouverture circulaire de 0.3mm. De même on répète l expérience 3 fois, pour D=100, 120 et 132 cm. Diamètre de la tâche d Airy La valeur théorique du diamètre de la tâche d Airy est donnée par la relation1.22. Ici, on a λ=632.8nm, D est variable, R=0.17mm. Pour D=1, on a par exemple une épaisseur de 4541 µm. Dans Caliens, on procède de la même manière que précédemment :

7 Mesure de la distance entre les deux premières couronnes noires Comme nous disposons du tableau des premiers zéros et maxima, pour obtenir la distance entre les deux premières couronnes, on cherche à lier la variation Δx (c est la distance qu on cherche, entre les deux premiers zéros) à la variation Δ(ρ2R) correspondante. On connaît cette dernière valeur, en effet elle s obtient à partir du tableau. On a Δ(ρ2R)= = 1.11 On sait que ρ= ²², or ici on a bien sûr y=0. Donc : ρ = ce qui revient à dire : ρ2r = 2 On peut désormais passer à la variation : Δ(ρ2R)= 2 d où : Δx= Avec les données (λ=632.8nm, R=0.17mm, Δ(ρ2R)=1.11) on obtient : Δx=... En pratique, on procède de la même manière que pour la première expérience.

8 Mesure du rapport d amplitude A2/A1 du 2 e maximum (ρ2r=2.68) par rapport au 1 er maximum (ρ2r=1.63) D après les tables donnant les résultats pour le premiers zéros et maxima de I, le rapport théorique A2/A1 vaut : =0.24 Comme précédemment, ce rapport est invariable et ne dépend pas de la distance D. Les résultats pratiques ont été obtenus de la même manière que dans l expérience 1. Résultats Distance D (cm) Largeur de la tâche centrale Distance horizontale entre deux minima Amplitude relative A2/A1 du 2 ème maxima par rapport au 1 er maxima Mesure (µm) 4073 Mesure (µm) 5056 Mesure (µm) 5336 Théorie (µm) 4541 Théorie (µm) 5449 Théorie (µm) ,30 7,21 10,98 Mesure (µm) 1904 Mesure (µm) 2520 Mesure (µm) 2464 Théorie (µm) 2065 Théorie (µm) 2479 Théorie (µm) ,80 1,65 9,64 Mesure 0,29 Mesure 0,33 Mesure 0,31 Théorie 0,24 Théorie 0,24 Théorie 0,24 20,83 37,50 29,17 Sources d incertitude : Les écarts entre les valeurs théoriques et expérimentales s expliquent par différentes sources d incertitudes. Une source importante vient de D (distance entre la camera CDD et l objet difractant) qui influe sur la taille de la tache centrale selon la relation Lc =. On calcule la différentielle : dlc = + + =. En effet λ et Lx sont considérés constants, donc leur différentielle est nulle. De plus on a ΔD=0.05*2mm (l échelle de graduation est le millimètre et D est une différence, il faut donc effectuer deux mesures). Donc finalement : dlc= =

9 Cependant comme dit plus haut cette incertitude est loin d être la seule. On peut citer comme autre sources : - l incertitude du logiciel qui donne une valeur à 1µm prés. - Incertitude de mesure sur le graphique, bien qu elle soit dure à quantifier, elle représente une part importante. En effet, il n est pas aisé de placer le curseur avec précision et selon les graphiques de gros écarts peuvent apparaitre. - Dans la plupart des expériences en optiques, il y a une lumière ambiante, un bruit de fond qui fausse les résultats. Ce bruit de fond est d autant plus important que l expérience n a pas eu lieu dans le noir. Quand c était possible nous avons soustrait ce bruit de fond aux valeurs X1 et X2, comme indiqué sur la photo qui suit. Cependant, si on constate un écart entre nos valeurs expérimentales et nos valeurs théoriques, c est principalement à cause de ce phénomène. CONCLUSION Ce TP nous aura permis de nous familiariser avec le logiciel d acquisition Caliens en étudiant la diffraction d une lumière monochromatique. Les valeurs obtenues par mesure sont plus ou moins différentes des valeurs que l on devrait théoriquement retrouver en pratique. Ceci peut s expliquer par le grand nombre d'incertitudes de l'expérience mais aussi par le fait que le laser était mal aligné par rapport aux capteurs situés dans la caméra CDD, en effet cette dernière était mal fixée, ce qui compliquait la tâche. Pour obtenir des résultats optimum, nous aurions dû réaliser l'expérience dans le noir et nous munir d'une camera CDD en meilleur état.

10 Exercice de préparation : 3.1) Calcul du rayon limite de l étendue du faisceau OP : On a tanα = donc OP = D.tanα Or d après l approximation de Gauss, tanα = α si l angle α est inférieur à 5, comme c est le cas ici. D où OP = D.α Or OP est maximal lorsque α est maximal, soit α = 5 = rad OP = 1. = 0,0073 m soit OP = 8,73 cm 3.2) Calcul du diamètre d de la tache d Airy pour λ = 632,8 nm : d = 1,22 = 1,22., = 0,00454 m soit d = 4,54 mm, 3.3) Calcul du rapport A2/A1 : =, = 0,24,