PHQ503 Physique Nucléaire

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1 PHQ503 Physique Nucléaire 29 décembre 2008 Autiwa

2 2 TABLE DES MATIÈRES Table des matières 1 Généralitées Terminologie Unité Unité de Masse Atomique Notation des Masses Masse du Noyau Défaut de masse Excès de Masse Masses des nucléons Masse de l'électron Énergie de liaison Énergie de Séparation d'un Nucléon Forces De Cohésion du Noyau Énergie de Liaison Énergie Nucléaire Énergie de surface Énergie Coulombienne Énergie Quantique Formule de Bethe-Weizsäcker Noyaux magiques Dimensions du noyau Stabilité Énergie de séparation d'un nucléon Excès de masse La Radioactivité Principaux types d'émission radiocative Émission alpha Émission beta Fission Spontanée Émission gamma Aspects énergétiques Conventions Calcul pratique des Q de réaction Énergie Libérée Évolution dans le temps de l'activité et du nombre de noyaux Activité nombre de noyaux Constante radioactive partielle Problème à deux corps Noyaux X Noyaux Y

3 TABLE DES MATIÈRES 3 5 Interaction avec la matière pour une cible mince Nombre d'évènements Probabilité d'interaction pour une cible épaisse Intération Photon-matière Eet Photoélectrique Eet Compton Création de paires

4 4 1 Généralitées 1.1 Terminologie Élement Chimique Caractérisé par la valeur de Z Nucléides Caractérisé par la composition du noyau : Z et N/A Isotopes Nucléides ayant la même valeur de Z mais une valeur de N diérente. Isobares Nucléides qui ont la même valeur de A 1.2 Unité Unité de Masse Atomique 1uma (ou 1 u) = 1 12 M at ( 12 C) (1.1) 1 u = 1, kg (1.2) = 931, 49 MeV/c 2 (1.3) Notation des Masses masse du noyau : M(A, Z) = N m n + Z m p δm masse de l'atome : M (A, Z) = M(A, Z) + Z m e + B T e(z)/c 2 2 Masse du Noyau 2.1 Défaut de masse δm = Z.m p + N.m n M(A, Z) (2.1a) = Z M (1, 1) + N m n M (A, Z) (2.1b) 2.2 Excès de Masse = (M (A, Z) A u) c 2 (2.2a) = (M (A, Z) 1 A) 931, 49 MeV avec M (A, Z) exprimé en u (2.2b) 2.3 Masses des nucléons m p = kg = u m n = kg = u 1. avec M (A, Z) exprimé en u

5 3 FORCES DE COHÉSION DU NOYAU Masse de l'électron m e = kg = 511 kev/c 2 (2.3) 2.5 Énergie de liaison B(A, Z) = δm.c 2 = (Z.m p + (A Z).m n M(A, Z)).c 2 = (Z.M (1, 1) + (A Z).m n M (A, Z)).c Énergie de Séparation d'un Nucléon S n (A, Z) = B(A, Z) B(A 1, Z) (2.4) S p (A, Z) = B(A, Z) B(A, Z 1) (2.5) 3 Forces De Cohésion du Noyau 3.1 Énergie de Liaison Énergie Nucléaire +W n avec W n proportionnel à A Énergie de surface W s avec W s proportionnel à A 2/ Énergie Coulombienne W e avec W e proportionnel à Z(Z 1) Énergie Quantique ±W q 3.2 Formule de Bethe-Weizsäcker B(A, Z) = W n W s W e ± W q (3.1) Noyaux magiques La stabilité du noyau est meilleure du point de vue quantique si Z N Le noyau est plus stable si les couches quantiques de protons et/ou de neutrons sont complètement remplies. Ces noyaux magiques correspondent à des valeurs particulières de N et de Z qui sont appelés Nombres Magiques : 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126,... Un noyau est dit Doublement Magique quand, à la fois, ses neutrons et ses protons remplissent leurs couches quantiques.

6 6 3.3 Dimensions du noyau 3.3 Dimensions du noyau Pour la dualité onde-corpuscule, il existe la relation suivante, qui permet de trouver la valeur de l'onde associée à une particule : λ = h mv (3.2) 3.4 Stabilité Pour comparer la stabilité de diérents noyaux, il faut comparer les valeurs d'énergie de liaison par nucléon B A 3.5 Énergie de séparation d'un nucléon C'est l'énergie qu'il faut fournir au noyau pour lui arracher un neutron (S n pour l'énergie de séparation du dernier neutron), ou un proton (S p pour l'énergie de séparation du dernier proton). S n (A, Z) = B(A, Z) B(A 1, Z) (3.3) S p (A, Z) = B(A, Z) B(A 1, Z 1) (3.4) Q = M i c 2 M f c 2 = S n (3.5) 3.6 Excès de masse C'est une énergie, dénit comme suit : (A, Z) = (M (A, Z) A) u c 2 (3.6) 4 La Radioactivité 4.1 Principaux types d'émission radiocative Deux lois de conservations : Conservation du nombre de masse (de nucléons) Conservation du nombre de charges Émission α C'est l'émission spontanée d'un noyau d'hélium 4. Cela concerne les noyaux lourds (A > 140). où α = 4 2He A ZX A 4 Z 2Y + α (4.1) Émission β a) Émission β Concerne les noyaux qui sont trop riches en neutrons β représente un électron ν représente un anti-neutrino A ZX Z+1Y A + β + ν (4.2)

7 4 LA RADIOACTIVITÉ 7 b) Émission β + β + Concerne les noyaux qui n'ont pas assez de neutrons, ou dit autrement, qui sont trop riches en protons représente un positron ν représente un neutrino A ZX Z 1Y A + β + + ν (4.3) c) Capture Électronique A ZX + e Z 1Y A + ν (4.4) Fission Spontanée Concerne uniquement les noyaux très lourds ( 235 U). Le noyau se scinde en deux noyaux plus légers et plus stables Émission γ Elle se produit lorsqu'un noyau est formé dans un état excité. Elle peut donc accompagner les radioactivités α et β, lorsque le noyau ls est produit à l'état excité. Fig. 1 Schéma des niveaux d'énergie du noyau ls E γ1 = E 2 E 0 Si on a deux étapes de désexcitation alors E γ2 = E 2 E 1 E γ3 = E 1 E 0

8 8 4.2 Aspects énergétiques 4.2 Aspects énergétiques La radioactivité est l'évolution spontanée d'un système initial vers un système nal plus lié, donc avec une énergie de liaison par nucléon plus grande. On dénit la chaleur de réaction de la façon suivante : ( Q = masses des noyaux et particules de départ ) masses des noyaux et particules nales c 2 (4.5) La réaction étant spontanée, elle doit donc être exothermique. On doit donc avoir Q > 0. Soit B ek (Z) l'énergie de liaison de l'électron sur la couche K de l'atome X, cette énergie vaut souvent quelques dizaines de kev Conventions a) Masse des noyaux M X, M Y, m α (4.6) b) Masses atomiques M X, M Y, M α (4.7) c) Excès de masse atomique À noter que l'excès de masse est une énergie. X, Y, α (4.8) Calcul pratique des Q de réaction a) Radioactivité α Q = (M X M Y m α ) c 2 = M X c 2 M Y c 2 M α c 2 (4.9a) = X Y α (4.9b) b) Radioactivité β On considère la masse m ν du neutrino comme nulle. Q = (M X M Y m e ) c 2 = M X c 2 M Y c 2 (4.10a) = X Y (4.10b) c) Capture électronique Q = (M X + m e M Y ) c 2 B ek (Z) = M X c 2 M Y c 2 B ek (Z) (4.11a) = X Y B ek (Z) (4.11b)

9 4 LA RADIOACTIVITÉ 9 d) Radioactivité β + On considère la masse m ν du neutrino comme nulle. On a la relation Q = (M X M Y m e ) c 2 = M X c 2 M Y c 2 2m e c 2 (4.12a) = X Y 2m e c 2 (4.12b) Q β + = Q CE 2m e c 2 B ek (Z) (4.13) Énergie Libérée Q = T y + T particules + }{{}}{{} E énergie cinétique énergie d'excitation (4.14) avec E = E γ. Dans toute la suite de la section, on ne considèrera pas E. Cependant, si dans la réalité, un ou plusieurs photons sont émis, alors il faudra remplacer Q par (Q E γ ) et les formules resteront valables. a) Émission α La masse de α étant importante, on pourra tout le temps considérer T α M α c 2. En conséquence, tout les calculs pourront être eectués avec la mécanique classique. Conservation de l'énergie totale Q = T Y + T α (4.15) Conservation de la quantité de mouvement P = m v T = p2 2m 0 = PY + P α (4.16) Démonstration : On remplace dans (4.15) T α = m Y m Y + m α Q (4.17) P Y = P α P 2 2 Y = P α P Y 2 2m Y T Y = P 2 α 2m Y = T α m α m Y ( Q = T α 1 + m ) α m Y en réordonnant, on retrouve bien l'équation (4.17)

10 Évolution dans le temps de l'activité et du nombre de noyaux b) Émission β ± Q = T Y + T β + T ν 0 = PY + P β + P ν la masse du noyau Y étant beaucoup plus grande que la masse du β ou du ν on négligera son énergie cinétique T Y par la suite. Ainsi on a : Spectre d'énergie cinétique continu. Q = T β + T ν (4.18) c) Capture électronique On considère le noyau et l'électron de départ au repos, et on néglige l'énergie cinétique et l'impulsion de l'électron par rapport au noyau père. On a : Q = T Y + T ν Q = T ν (4.19) L'énergie cinétique du noyau ls est bien inférieure à celle du neutrino en raison de la grande diérence de masse entre ceux-ci. On obtient donc ici un spectre discret d'énergie cinétique pour le neutrino. 4.3 Évolution dans le temps de l'activité et du nombre de noyaux Activité Elle se mesure en nombre de désintégration par seconde dont l'unité est le Becquerel (s 1 ) A(t) = A 0 e λt (4.20) A(t) = λn(t) (4.21) où N(t) est le nombre de noyaux radioactifs, et λ la constante radioactive qui représente aussi la probabilité qu'un noyau se désintègre par unité de temps. On dénit par ailleurs la période T qui correspond à la durée nécessaire pour que la population de noyau radioactifs soit divisée par deux. On a la relation : T = ln 2 λ τ = 1 λ où τ est la durée de vie moyenne d'un noyau radioactif de la population considérée (4.22a) (4.22b) nombre de noyaux On considère comme dans le paragraphe précédent dans lequel les noyaux radioactifs considérés n'étaient pas produit durant la réaction. on a dn < 0 puisque N(t) est décroissant. dt A(t) = dn dt (4.23) L'équation (4.23) n'est valable que dans le cas de l'hypothèse faite un peu plus haut, c'est à dire dans le cas où il n'y a pas création par une autre réaction, des noyaux radioactifs considérés. N(t) = N 0 e λt (4.24)

11 4 LA RADIOACTIVITÉ Constante radioactive partielle On appelle rapport d'embranchement (ou rapport de branchement) la répartition en pourcentage de l'occurence des diérentes radioactivités pour un noyau radioactif donné. a) Exemple du potassium 40 radioactivité pourcentage par rapport au nombre total de réactions β 89.28% CE 10.72% β + < 0.01% b) Dénition générale On dénit une constante radioactive partielle pour chaque type de désintégration. Par exemple dans le cas du 40 K, on a trois types de désintégrations donc 3 constantes radioactives partielles. On a : λ = i λ i (4.25) Rapport de branchement λ i λ activité partielle : A i (t) = λ i N(t) avec N(t) = N 0 e λt Activité totale : A(t) = i A i (t) A(t) = i λ i N 0 e λt (4.26) 4.4 Problème à deux corps on considère une chaîne de désintégration multiples. X Y Z W (stable) (4.27) On ne considère que la désintégration radioactive de ces noyaux. On ne prend pas en compte d'autres éventuelles réactions et on considère qu'ils ne peuvent pas être créés autrement. On suppose à t = 0 que N x (t = 0) = N 0x N y (t = 0) = N z (t = 0) = = N w (t = 0) = 0 On cherche à déterminer les nombres de noyaux et les activités. on considère un problème à deux corps c'est à dire par exemple X Y Z (Z stable ou non) Le principe de résolution est le suivant : 1. On établie l'équation diérentielle d'évolution du nombre de noyaux 2. On résoud l'équation diérentielle, ce qui nous donne N(t) 3. On en déduit l'activité A(t) = λn(t) 4. On répète l'opération au problème à deux corps suivant jusqu'à la n de la chaîne. Pour la suite, on dénit respectivement les périodes T 1, T 2 et les constantes radioactives λ 1, λ 1 pour X et Y

12 Problème à deux corps Noyaux X dn x dt = λ 1 N x (t) (4.28) N x (t) = N 0x e λ 1t (4.29) 3. A x (t) = λ 1 N x (t) = λ 1 N 0x e λ 1t = A 0x e λ 1t Noyaux Y 1. dn y dt = λ 2 N y (t) }{{} +λ 1 N x (t) }{{} désintégration des noyaux Y formation des noyaux Y par désintégration des noyaux X (4.30) 2. On résoud dn y dt + λ 2 N y (t) = λ 1 N 0x e λ 1t (4.31) méthode de résolution : Résolution de l'équation homogène (sans second membre). On résoud ça nous donne : dn y dt + λ 2 N y (t) = 0 (4.32) Solution générale par variation de la constante. On pose : N y (t) = Ke λ 2t, avec K R (4.33) N y (t) = K(t)e λ 2t (4.34) On remplace N y (t) et sa dérivée dans l'équation (4.31) et on obtient : [K (t) λ 2 K(t)] e λ 2t + λ 2 K(t)e λ 2t = λ 1 N 0x e λ 1t K (t)e λ 2t = λ 1 N 0x e λ 1t K (t) = λ 1 N 0x e (λ 2 λ 1 )t En remplaçant (4.35) dans l'équation (4.34) on obtient N y (t) Conditions initiales. à t = 0 on a K(t) = λ 1N 0x λ 2 λ 1 e (λ 2 λ 1 )t + C, avec C R (4.35) N x (0) = N 0x N y (0) = 0 = K(0)e λ 2 0 (4.36a) (4.36b) On trouve C en remplaçant dans l'équation (4.35) à t = 0. D'où :

13 5 INTERACTION AVEC LA MATIÈRE 13 C = λ 1N 0x λ 2 λ 1 (4.37) on utilise (4.37) dans l'équation (4.35) et on trouve K(t) puis N y (t) : 3. Activité, on a A y (t) = λ 2 N y (t). D'où : K(t) = λ 1N 0x λ 2 λ 1 ( e (λ 2 λ 1 )t 1 ) N y (t) = λ 1N 0x λ 1 λ 2 ( e λ 2 t e λ 1t ) (4.38) 5 Interaction avec la matière 5.1 pour une cible mince Nombre d'évènements On dénit un évènement comme une interaction particule-matière. A y (t) = λ 1λ 2 N 0x λ 1 λ 2 ( e λ 2 t e λ 1t ) (4.39) N év = σnφ (5.1a) = σnxi (5.1b) où σ est la section ecace de la particule incidente considérée Probabilité d'interaction P est le nombre d'évènements (de collision avec la cible) divisé par le nombre total de particules incidentes. P = σnx (5.2) 5.2 pour une cible épaisse L'intensité I varie en fonction de la profondeur : I(x) = I 0 e σnx I(x) = I 0 e µx (5.3a) (5.3b) où µ est le coecient d'absorption linéique. 5.3 Intération Photon-matière Il y a principalement trois types d'interactions : Eet photolectrique Eet Compton Création de paires On dénit un coecient d'absorption linéique total : µ = µ ph + µ c + µ p (5.4)

14 Intération Photon-matière Eet Photoélectrique Fig. 2 Représentation schématique de l'eet photoélectrique Cet eet ne concerne que les électrons liés. T e = E γ B e (5.5) T e est l'énergie cinétique de l'électron éjecté, B e l'énergie de liaison de l'électron et E γ photon incident. l'énergie du Eet Compton C'est la diusion d'un photon incident sur un électron faiblement lié d'un matériau. Pour calculer l'énergie cinétique de l'électron, on a deux relations : 1. Conservation de l'énergie E γ = E γ + T e (5.6) 2. Conservation de l'impulsion pγ = p γ + p e (5.7) On rappelle que pour un photon on a : E γ = hν pγ = hν c êx On considère qu'on a un photon incident suivant ê x. L'angle que fait le photon avec l'axe des abscisses vaut θ. L'angle que fait l'électron avec le photon incident vaut α (on peut se représenter le photon qui part vers le haut et l'électron vers le bas.) l'énergie totale de l'électron vaut : De toutes les relations, et après calculs, on trouve : E e 2 = p e 2 c 2 + m e 2 c 4 (5.8) E e = m e c 2 + T e (5.9) T e = (hν)2 (1 cos θ) m e c 2 + hν (1 cos θ) (5.10)

15 5 INTERACTION AVEC LA MATIÈRE 15 photon diffusé photon incident électron diffusé Fig. 3 Eet Compton Création de paires C'est la matérialisation d'un photon γ sous la forme d'une paire e -e +. Ceci n'est donc possible que si l'énergie du photon est supérieure à 1, 022 MeV. hν = 2m e c 2 + T e + T e + (5.11) Le positron va ralentir puis s'associer avec un électron pour s'annihiler et émettre en sens opposés deux photons γ d'énergie 511 kev. On détectera donc soit l'énergie totale, soit celle-ci amputée d'un γ voire deux si un ou les deux photons d'annihilation s'échappent du détecteur.