Chapitre III. Gaz parfaits

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1 Chatre I : Gaz arfats Chatre III Gaz arfats IIA : Déftos rorétés IIIAI : Gééraltés : U gaz arfat est u flude déal qu satsfat à l équato d état v=r, ou ecore c est u gaz qu obét rgoureusemet aux tros los MARIOE, GAY LUSSAC et CHARLES Das ce chatre, o désge ar v le volume d ue uté de masse (UDM) de gaz arfat et ar m le volume molare d u gaz arfat avec : mole =6,030 3 Molécules = A (ombre d Avogadro) O cosdère ue masse gazeuse occuat le volume sous la resso et la temérature Lo de MARIOE Eocé de la lo : A temérature costate, le rodut de la resso d ue masse gazeuse ar so volume est costat (cette lo est d orge exérmetale ) Sous fables ressos, tous les gaz se comortet de la même maère quelque sot leur ature ar défto, u gaz arfat (G) sera u gaz our lequel = Cte lo de MARIOE our u gaz arfat, le rodut e déed que de la temérature = f() Cte La relato récédete à temérature costate eut s écrt, ce qu codut à u secod éocé de la lo de MARIOE A temérature costate, la resso d ue masse gazeuse est versemet roortoelle au volume qu elle occue S o cosdère deux états dfférets d ue même masse gazeuse à la même temérature avec : et resso et volume à l état () et resso et volume à l état (), la lo de MARIOE sera alors : Cours de thermodyamque age 7

2 Chatre I : Gaz arfats Lo de GAY-LUSSAC Eocé de la lo : A resso costate, l augmetato de volume d u gaz arfat (dlatato ou détete) est roortoelle à la temérature absolue Cte Ou =Cte lo de GAY-LUSSAC S o cosdère deux états dfférets d ue même masse gazeuse à la même resso avec : et temérature et volume à l état () et temérature et volume à l état () O a la relato : t ou 73 t 73 Secode forme de la relato Sot ue masse gazeuse chauffée à resso costate, 0 est le volume à 0 c = 73 k est le volume à t c = (73+t) k 0 t 73 t D arès GAY-LUSSAC o à : ou 0 0 d où t t 0 avec α=/73 coeffcet de dlatato du gaz 3 Lo de CHARLES (ou eme lo de GAY-LUSSAC) Eocé de la lo : A volume costat, l augmetato de resso d u gaz arfat est roortoelle à l élévato de la temérature O à : Cte Lo de CHARLES S o cosdère deux états dfférets d ue même masse gazeuse das lesquelles elle occue le même volume la resso et la temérature sot : Cours de thermodyamque age 8

3 Chatre I : Gaz arfats et resso et temérature à l état () et resso et temérature à l état () O a la relato : Secode forme de la relato t 73 t 73 Sot 0 et les ressos à 0 c et t c d ue même masse gazeuse dot le volume est varat (costat) o à : 0 t 0 t Où t 0 avec : =/73 Coeffcet d augmetato de resso 4 emérature cetésmale temérature absolue a- Echelle cetésmale : L échelle cetésmale léare est défe ar la relato thermométrque t=ax+b où a et b sot deux ots fxes choss arbtraremet, o affecte : * La temérature 0 C, lorsque le thermomètre est das la glace fodate saturée d eau sous la resso atmoshérque ambate * La temérature 00 C, lorsque le thermomètre est das la vaeur d eau boullate sous resso atmoshérque ormale S l o désge ar x, x 0, x 00 les valeurs de la varable thermométrque, resectvemet aux temératures, t c, 0 c et 00 c, la relato récédete s écrt : 0 ax0 b 00 00x0 x x0 a et b Sot t ax00 b x00 x0 x00 x0 x00 x0 La varable thermométrque x, eut être le volume, la resso d u flude etc b- Echelle absolue : S o rered la lo de CHARLES, hysquemet ue resso e eut être que ostve S 0 0 t 0 t 0 t Cours de thermodyamque age 9

4 Chatre I : Gaz arfats La temérature la lus basse qu exste vaut t 73c O eut défr la ouvelle échelle de temérature, le degré Kelv qu se dvse des degrés Celsus ar ue traslato Cette ouvelle temérature exrmée e Kelv s aelle temérature absolue ou temérature thermodyamque Notato habtuelle t : emérature cetésmale exrmée e degré Celsus ( c) : emérature thermodyamque ou absolue exrmée e degré Kelv ( k) Avec : t 73 0 Δ Δt IIIA : Caractérstques d u gaz arfat : : Equato d état O recherche l équato qu le les aramètres d état (, v,) O cosdère ue (UDM) d u gaz arfat das deux états dfférets : Etat () : (,, ) Etat () : (,, ) Imagos u 3 eme état où la resso est, la temérature est Etat (3) : (,, ) O asse à resso costate de l état () à l état (3), o a doc e vertu de la lo de GAY-LUSSAC O asse de l état (3) à l état (), la temérature état costate, o a doc e vertu de la lo de MARIOE: E multlat membre à membre les deux équatos () et () o obtet : cte our u gaz arfat o à : Cte our l uté de masse (UDM) cette costate est aelée (r), l équato d état devet : v r Cours de thermodyamque age 0

5 Chatre I : Gaz arfats Ic, v : est le volume massque tel que v r : déed du gaz cosdéré our ue masse m de gaz arfat, occuat le volume sous la resso et à temérature, l équato d état devet : mr our l ar, qu est cosdéré comme u gaz arfat, r vaut : 87 J/kg k S o cosdère ue masse molare M de gaz arfat, elle occue le volume, o eut écrre : Mr R avec : R=Mr tel que R : costate uverselle des gaz arfat déedate du gaz cosdéré Doc our Mole de gaz arfat, l équato d état devet : v R Ic, v : rerésete le volume molare =,4 L our moles de gaz arfat occuat u volume, sous la resso et la temérature, l équato d état devet : R R=83J/Mole K our tous les gaz : Lo de JOULE GAY-LUSSAC sur l éerge tere : Eocé de la lo our u gaz arfat, l éerge tere U est focto que de la temérature Exérece justfcatve (Détete de joule) A et B réservor de même volume relé ar u robet R L esemble est mmergé das l eau coteue das u calormètre A l stat tal, le réservor est reml d u gaz arfat et e équlbre thermque hermomètre Robet Calormètre A B Eau A la même temérature, o ouvre le robet R, le gaz se déted das le réservor B le volume et la resso du gaz varet Lorsque le système est reveu à l état d équlbre, o costate que la temérature de l eau a as varée Cours de thermodyamque age

6 Chatre I : Gaz arfats Aalyse d exérece : O cosdère le système A+B+Gaz, le er rce de la thermodyamque ermet d écrre : W Q U E Ec 0 0 W : seules les forces de resso sot suscetbles de travaller W dv cte dv 0 W 0 Q : o cosdère le système S (eau) W Q U U m c Or de l eau a as varée (exérece)q U Chaleur échagée avec A+B+Gaz S, cette chaleur e eut rover que ar S car l extéreur est calorfugé Q Q 0 Falemet our S, o a : U = 0 Or : U U A U B arato de l'éerge tere des reservors U Gaz arato de l'éerge tere du gaz U A =U B = 0 car les réservors à l état fal sot à la même temérature qu à l état tal Falemet o dédut : U Gaz = 0 our le gaz arfat, la resso et le volume ot chagé ar cotre, la temérature est restée costate, auss que l éerge tere l éerge tere du gaz arfat e déed que de la temérature U v U 0 our u gaz arfat 3 : Eerge tere d u gaz arfat : O cosdère ue trasformato élémetare de l état () : (,, ) à l état (+d) : (+d, +dv, +d) O aelle du la varato de l éerge tere au cours de cette trasformato O cosdère mateat l état (+d ) : (+d,, +d) trasformato sochore our laquelle o a ue varato d éerge tere du Etat () : (,, ) du Etat +d : (+d, +dv, +dt) d Etat () : (,, ) U Etat +d : (+d,, +dt) Cours de thermodyamque age

7 Chatre I : Gaz arfats du = du car les temératures tale et fale sot les mêmes (u que U e déed que de la temérature (exérece de joule)) du W Q ( er rce de la trasformato système fermé) Or : W dv 0 car v= cte Q Cv d Ldv Q Cv d 0 Falemet : du Cv d avec Cv : chaleur massque à volume costat, e Joule/kg k our ue trasformato de à, o a : Remarque : U Cvd Quad o se lace das ue tervalle de temérature assez restrete (de 00 c à 00 c ar exemle), o eut cosdérer avec ue boe aroxmato que Cv est costate (érfée exérmetalemet) o à doc : U Cv Lorsqu o e eut lus cosdérer Cv comme costate, o red ue moyee Cv etre t et t Cv t 4 : Ethale du gaz arfat : t L ethale est doée ar : H = U + Cv( t) dt doc U Cv U : est focto que de : est focto que de (lo de MARIOE) L ethale H d u gaz arfat e déed que de H H 0 u gaz arfat our O cosdère ue trasformato élémetare de () (+d) H = U + dh = du + d() = du + d + dv Or : du W Q d Q dh d Q d d Avec : Cours de thermodyamque age 3

8 Chatre I : Gaz arfats dh Q d Q C d h d h : Coeffcet calormetrque our u même rasoemet à celu de 3, mas our ue trasformato sobare () (+d ), o trouve falemet : dh C d H C d avec c, C chaleur sécfque à ue resso costate Nb : même remarque que our l éerge tere S C cte (fables varatos de temérature), o obtet Coséquece : S C cte t H C C C( t) dt H C t t O cosdère l UDM d u gaz arfat (C et Cv chaleurs sécfques à resso et à volume costats exrmées e J/kg k) t dh = Cd dh = d(u+) = du+d = du +d(rt) Or du= Cvd dh = Cvd+ rd = (Cv+r)d dh = Cd C = Cv + r ou : C - Cv = r Formule de MAYER C r O trodusat le raort Cv Cv Cv( ) r Cv Cv C r C Cv C Ic, r, Cv et C sot exrmés e J/kg k Cv Lorsqu o travalle sur ue mole de gaz arfat o a : C Cv R R Cv R C C, C v et R exrmées e J/Mole k adabatque : Coeffcet de osso ou adabatque Cours de thermodyamque age 4

9 Chatre I : Gaz arfats Coséquece : er rce système fermé du Q W Q Cv d L dv W dv du Cv d Cv d Cv d L dv dv 0 L L dv dv dv 0 L our u gaz arfat er rce système ouvert Avec m = W +Q = dh + dec + de dh = W + Q (avec dec et de 0) Q C d h d W d ( traval techque) dh C d C d d C d h d h d d h d 0 h = - our u gaz arfat Q = Cvd + ldv = Cvd + dv Q = Cd + hd = Cd d our u gaz arfat Or = r (Equato d état d u gaz arfat our m = ) O dérvat, o obtet : d d dv + d = rd d r r C C C C Q d d d d d r r r r Cv r Q C d Cvd Falemet o a les exressos des Q e focto des r tros (03) varables d, dv, d our u gaz arfat : Q Cv d d Q C d d Q C d Cv d r Cours de thermodyamque age 5

10 Chatre I : Gaz arfats IIIA3 : Mélage des gaz arfats : O cosdère u mélage de gaz chmquemet erte (mélage qu e doe as leu à ue réacto chmque) : Lo de DALON GIBBS Sot, le volume occué ar le mélage Chaque gaz occue le volume comme s l été seul sous ue resso aelée resso artelle La resso du mélage est égale à la somme des ressos artelles des gaz comosats Exemle : mélage de 0 gaz () et () = R ( moles gaz ()) = R ( moles gaz ()) ( + ) = ( + )R ou = R tel que : ombre de moles du mélage : resso du mélage De lus, les gaz état chmquemet ertes, l éerge tere du mélage est égale à la somme des éerges des gaz et e déed doc, que de la temérature de gaz Falemet o a doc : U mélage de gaz arfats chmquemet ertes est u gaz arfat : aramètres d état d u mélage de gaz arfats : O cosdère u mélage de gaz arfats (,,,, ) our défr la comosto de ce mélage, o a beso de aramètres d état dot les lus fréquemmet utlsés sot : La fracto molare La fracto molare x du gaz das le mélage est le raort etre ombre de moles de gaz et, ombre de moles du mélage x avec, x Cours de thermodyamque age 6

11 Chatre I : Gaz arfats La fracto volumque La fracto volumque du gaz das le mélage est le raort etre volume qu occuerat le gaz sous la resso et la temérature du mélage et : volume total du mélage D arès la lo d AMAGA: = R = R O e dédut v Remarque : O a auss état la resso artelle du gaz O a : = R (our le gaz ) = R (our le mélage) x our u gaz arfat O e dédut : x La fracto massque La fracto massque µ du gaz das le mélage est le raort etre m masse du gaz et m masse totale du mélage m Avec m 3 : Caractérstques d u mélage de gaz arfats : 3a : olume sécfque du mélage m m mel Avec mel mel m m 3b : La masse molare aarete du mélage M Mel m M x M M m Cours de thermodyamque age 7

12 Chatre I : Gaz arfats 3c : Costate du gaz du mélage m r Mel r r m Remarque : our le mélage des gaz, l équato caractérstque se résete sous la forme suvate mr Mel IIIB : Etude de quelques trasformatos artculères des gaz arfats : Etablr les formules our des trasformatos artculèremet usuelles des gaz arfats à artr des résultas vus das le sous chatre A outes les formules serot doées our ue UDM de gaz à la temérature et sous la resso ( C v et C serot exrmées e J/Kg K) our alquer ces formules à ue masse m de gaz arfat, l suff de multler C v, C, r ar m et de remlacer v ar, le volume effectvemet occué ar la masse m S o travalle sur ue mole de gaz arfat, l faut remlacer r ar R (C, C v, R exrmées e J/Mole k) IIIB : rasformato sotherme : : Equato caractérstque our l uté UDM d u gaz arfat, l équato d état s écrt =r A temérature costate =Cte Où : r Cte Das le dagramme de CLAYRON (, ), ue sotherme est rerésetée ar ue hyerbole équlatère == Fasceau d hyerboles Isotherme = A resso costate = = 3 > > Dagramme de ClayRo Cours de thermodyamque age 8

13 Chatre I : Gaz arfats = r = r, r cte S > > O eut graduer le dagramme e temérature ar u fasceau d hyerboles équlatères Les temératures augmetet quad o s éloge de l orge :Exresso du traval de forces de resso : W dv Or v = r r r Cte s v W s r rl v ou ecore e focto des ressos : W s rl dv W s rl r l IIIB : rasformato adabatque réversble : : Equato caractérstque Nous avos vu das le sous chatre A, ζ4, que la quatté de chaleur eut s exrmer ar : Q C dv Cv vd r rasformato adabatque Q = 0 c-a-d C dv+ C v vd = 0 O devse les deux membres ar C v v o obtet : C dv Cv v d 0 C v C v v v C C v dv v d 0 d d ou 0, v s = cte, o tègre et o obtet : l (v) + l () = cte v = cte ou l(v ) = cte = cte Lo de osso (varable, v) our ue trasformato de () à () o à : = Cours de thermodyamque age 9

14 Chatre I : Gaz arfats Remarque : La lo de osso eut s exrmer e focto de deux varables arms les tros varables (,,) arables (, ) = r = cte () - = cte r - = cte Or r = cte - = cte ou : cte our ue trasformato de () à () o eut écrre - ème lo de varable (, ) osso, arables (, ) = r r - = cte r = cte = () - = cte - = cte 3 ème lo de osso, varables (, ) rasformato de () à () - = - Remarque : * E toute rgueur, les formules de osso e sot as valables que our = cte, c-a-d C v et C sot costates O ratque, même our des varatos de temérature de 00 à 300 C et C v varet assez eu our que l o usse cosdérer les formules de osso comme exactes et cec avec ue boe récso Q Isoterme Ada revers L sotherme et l adabatque (, ) Cours de thermodyamque age 30

15 Chatre I : Gaz arfats * Dagramme de CLAYRON Les adabatques réversbles sot rerésetées ar des courbes d équato : = cte Calculos au ot M, les etes de l adabatque et de l sotherme qu y asse (or fgure c cotre) Isotherme : r r d d r r d d Adabatque : d d = cte 0 Où d d Q d d d d Q d d Formule de REECH d d Q d d E géérale > Q : rerésete das le dagramme (, v) la ete au ot M, de la courbe qu rerésete la trasformato adabatque : rerésete das le dagramme (, v) la ete au ot M, de la courbe qu rerésete la trasformato sotherme Or, comme > cela veut dre que l adabatque assat ar M a ue ete suéreure à l sotherme : raval de forces de resso : W ; dv rasformato adabatque = cte où = = = cte W dv dv Cours de thermodyamque age 3

16 Chatre I : Gaz arfats Cours de thermodyamque age 3 / * ar et Or W W D où falemet : W Or r r kg m our r W Remarque : =, E utlsat ces deux relatos, o trouve auss : W W W W Ou W W 3 : Eerge tere traval techque : Eerge tere W+ Q = U, c Q = 0 (trasformato adabatque) U = W

17 Chatre I : Gaz arfats W raval techque d d d Or o à cte 0 Multlos ar d d 0 d +d = 0 où d d W W IIIB3 : rasformato olytroque: : Défto Les trasformatos réelles e sot e géérale tout a fat sotherme ( = cte) tout a fat adabatques réversbles = cte, mas se rarochet des trasformatos d équato K = cte aelées trasformatos olytroques, avec e gééral <k< : raval de forces de resso traval techque A artr de la lo k = cte A artr de l exresso W = -dv A artr de l exresso W = d, o eut fare u résoemet detque à celu de ζ II (trasformatos adabatques réversbles) mas e remlaçat ar k E artculer : W W k W k k k 3 : Chaleur massque d ue trasformato olytroque a : Défto Sot ue trasformato quelcoque C, assat ar u ot M (,, ) La chaleur massque du système étudé au cours de la trasformato C et calculée au ot M est : Cours de thermodyamque age 33

18 Chatre I : Gaz arfats Cc M Q Cc (M) : Chaleur massque M our ue trasformato doée Cc (M) déed du ot M mas auss de la trasformato C cosdérée E artculer our les trasformatos sobares (resectvemet sochores), o retrouve la chaleur massque C resectvemet Cv O effet, o a vu our u gaz arfat, Q = Cvd + dv rasformato sochore dv = 0 Q = Cvd Ou : Q Cv chaleur massque à volume costat De même our u gaz arfat, Q = Cd d rasformato sobare d = 0 Q = Cd Ou Q C chaleur massque à resso costate b : Alcato à ue trasformato olytroque: er rce W + Q = du or du = Cvd d Sous forme dfféretelle de : W k W k W r d k d d r k k r k d r d W k Cv d k Q = du - W = Cv d Cv d Cv d k k k k Q Cv d Cv d D où : k k Q C C k k d k Cv k Cours de thermodyamque age 34

19 Chatre I : Gaz arfats Remarque : S k = o a C k = 0 Q = 0 O retrouve be l adabatque Q 0 Cte S k = C k (hysquemet mossble) Il faut que d = 0 our que Q sot fe d = 0, o retrouve be l sotherme cte cte Cours de thermodyamque age 35