Lois de probabilités liées aux tirages de boules dans une urne Approche sondage : échantillonnage et estimation dans une population finie

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1 Los de probabltés lées aux trages de boules das ue ure Approche sodage : échatlloage et estmato das ue populato fe Das le ouveau programme de secode, retrée 2009, sot scrtes les otos d'tervalle de fluctuato d'ue fréquece d'échatlloage et d'estmato d'ue proporto par tervalle de coface. L'échatlloage et l'estmato das ue populato fe (c'est l'objet de la théore des sodages) fourt ue troducto très cocrète à la statstque féretelle. C'est l'objet de ce documet. La populato est représetée par ue ure das laquelle les boules sot dscerées (paragraphe ) et das laquelle l y a deux catégores de boules (paragraphe 2). Das ce paragraphe, o s'téresse, parm les boules trées, au ombre de boules d'ue certae catégore, dte catégore d'térêt. Selo le ombre et le mode de trage des boules das l'ure, o obtet la lo de probablté de Beroull, bomale ou hypergéométrque. Das le paragraphe 3, o e dédut la lo de probablté de la fréquece de boules de la catégore d'térêt et o utlse les approxmatos des los de probabltés par des los plus facles à maer (cf. tableaux des los de probabltés usuelles et de leurs approxmatos) pour répodre à quelques questos. Ef, das le paragraphe 4, o doe quelques élémets de statstque féretelle (tervalle de fluctuato et tervalle de coface).. Questos prélmares. Probabltés d'évéemets lés à dfférets modes de trages. Ue ure cotet boules umérotées de à. () O tre "au hasard" ue boule de l'ure. Calculer la probablté de trer la boule k, k,. Espace probablsé : équprobablté sur, ; la probablté de trer la boule k est / () O tre "au hasard" successvemet et avec remse boules de l'ure. Pour tout k de, et tout de,, calculer la probablté de l'évéemet A k, = "la boule k sort au ème trage", de l'évéemet A k "la boule k sort au mos ue fos lors des trages". Espace probablsé : équprobablté sur l'esemble des -lstes de, de cardal ; P( Ak, ) = / = / et ( ) ( ) P Ak = / = ( /), probablté approchée par / das le cas où est pett devat. () O tre "au hasard" successvemet et sas remse boules de l'ure ( ). Pour tout k de, et tout de,, calculer la probablté de l'évéemet A k, = "la boule k sort au ème trage", de l'évéemet "la boule k sort lors des trages". A k Jeae Fe festat.free.fr p. /7

2 Espace probablsé : équprobablté sur l'esemble des arragemets de élémets de, de cardal A ; P( Ak, ) = A / A = / et P( Ak) = P( A, k) = / car les évéemets ( A k, ) =,..., sot deux à deux compatbles. (v) O tre "au hasard" smultaémet boules de l'ure ( ). Calculer la probablté de trer la boule k, k,. Espace probablsé : équprobablté sur l'esemble des combasos de élémets de, ( ) ( ) ( ) ( ) de cardal ; P Ak = / = /. 2. Lo de probablté du ombre de boules de la catégore d'térêt selo dvers modes de trages. Ue ure cotet boules dot K rouges (0<K<) (catégore d'térêt). Das la sute, af de les déombrer, o dstgue ecore les boules de l'ure. L'ure est alors représetée par l'esemble, ; o ote R le sous-esemble des boules rouges de l'ure et p la proporto (appelée auss fréquece das des cotextes smlares) de boules rouges das l'ure avat trage : p = K /. () O tre "au hasard" ue boule de l'ure. Calculer la probablté de trer ue boule rouge. Espace probablsé : équprobablté sur, ; la probablté de trer ue boule rouge est alors la proporto p de boules rouges das l'ure. Il s'agt du premer le etre fréquece et probablté ; o l'appellera approche classque ou laplacee de la probablté. C'est Laplace qu, le premer, a écrt que la probablté d'u évéemet est le ombre d'ssues favorables sur le ombre d'ssues possbles à codto que toutes ces ssues aet les mêmes chaces d'apparaître. () O tre "au hasard" successvemet et avec remse boules de l'ure. (, la v.a. dcatrce de l'évéemet "la ème boule trée est rouge" et le Sot ) ombre de boules rouges trées. Doer la lo de probablté de (, ), de. Les varables aléatores réelles (, ) et sot défes sur l'espace probablsé de la questo I.() : équprobablté sur l'esemble des -lstes de, de cardal ; e repreat les otatos de la questo I, o a, pour,, P( [ = ]) = P( A, k) = P( A, k) = K / = p ; P( [ = 0] ) = p; (, ) sut ue lo de Beroull de paramètre p. j j K ( K) j j Pour j 0,, P( [ = j] ) = ( j) = ( j) p ( p ) car l'évéemet [ = j] est l'esemble de toutes les -lstes de, coteat j élémets de R et - j élémets du complémetare de R (élémets o écessaremet dstcts) ; s l'o e tet pas compte des = Jeae Fe festat.free.fr p. 2/7

3 uméros de boules, le ombre de ces lstes est ( j ) égal au ombre de posto des j rouges das la -lste ; e dstguat les boules l y a K j ( K) j faços de chosr chacue d'elles d'où le résultat ; la varable aléatore sut ue lo bomale de paramètres et p. O otera que les probabltés sot calculées e utlsat la formule "ombre de cas favorables sur ombre de cas possbles" pusque ous avos proposé des modèles probablsés avec équprobablté. ous 'utlsos pas de probabltés codtoelles ou d'dépedace e probabltés. O utlse l'dce j pour e pas le cofodre avec l'dce (pour les trages) ou avec l'dce k (pour les élémets de l'ure) déjà utlsés. () O tre "au hasard" successvemet et sas remse boules de l'ure ( ). (, la v.a. dcatrce de l'évéemet "la ème boule trée est rouge" et le Sot ) ombre de boules rouges trées. Doer la lo de probablté de (, Les varables aléatores réelles (,, de. ) ) et sot défes sur l'espace probablsé de la questo I.() : équprobablté sur l'esemble des arragemets de élémets de, de cardal A ; e repreat les otatos de la questo I, o a, pour,, P [ ] P A P A = K/ = p ; P [ = 0 = p; ( ) (, ) Sot j 0, = = ( k) = ( ),, k sut ue lo de Beroull de paramètre p. ( ]) > > rs P ([ = j] ) =. Sot j 0, ; s j K ou j K, alo 0 alors : j K et j K tel que K K ( j )( j ) ( ) K( K )...( K j+ ) ( K) ( K )...( K + j+ ) P( [ = j] ) = ( j ) = ( )...( + ) car l'évéemet [ = j] est l'esemble de tous les arragemets de élémets de, coteat j élémets dstcts de R et - j élémets dstcts du complémetare de R ; s l'o e tet pas compte des uméros de boules, le ombre de ces arragemets est ( j ) égal au ombre de posto des j rouges das le -uplet ; e dstguat les boules l y a K( K )...( K j+ ) ( K)( K )...( K + j+ ) faços de chosr chacu d'eux d'où le résultat ; la varable aléatore sut ue lo hypergéométrque de paramètres,, et p (avec p = K /, proporto de boules rouges das l'ure avat trage). (v) O tre "au hasard" smultaémet boules de l'ure ( ). Sot le ombre de boules rouges trées. Doer la lo de probablté de. La varable aléatore réelle est défe sur l'espace probablsé de la questo I.(v) : équprobablté sur l'esemble des combasos de élémets de, de cardal (. K K ( j )( j ) Pour j 0,, P( [ = j] ) = car l'évéemet [ j] ( ) sous-esembles de élémets de, K K complémetare de R ; l y a ( j )( j ) = est l'esemble de tous les coteat j élémets de R et - j élémets du faços de chosr u tel sous-esemble d'où le résultat. La varable aléatore sut ue lo hypergéométrque de paramètres, et p. ) Jeae Fe festat.free.fr p. 3/7

4 3. Lo de probablté de la fréquece d'échatlloage et approxmato O pose F = / (fréquece ou proporto de boules rouges trées das l'échatllo). Quelle est la lo de probablté de F das chacu des trages () () (v)? Doer so espérace mathématque et so écart-type. Écrre ue lo de probablté approchée de F utlsable das les applcatos. Applcato umérque a) Das le cas = 0000, K = 3000, = 20, calculer P( 0.2 F 0.4 ). b) Das le cas = 0000, K = 3000, = 200, calculer P( 0.2 F 0.4 ). c) Das le cas = 0000, K = 500, = 20, calculer P( >. ) () La lo de probablté de F se dédut de celle de qu est bomale de paramètres, p. j j j 0, P F = j/ = P = j = p p ; comme o a Pour, ([ ]) ([ ]) ( j ) ( ) E( ) = p et σ ( ) = p( p), o e dédut ( ) σ ( ) E F = p et F = p( p) /. () et (v) La lo de probablté de F se dédut de celle de qu est hypergéométrque de K K j 0, P F = j/ = P = j = / ; paramètres,, p. Pour, ([ ]) ([ ]) ( j )( j ) ( ) E = p et = p( p), o e dédut comme o a ( ) σ ( ) E( F) = p et σ ( F) = p( p) /. Les approxmatos (cf. tableaux des los de probabltés usuelles et de leurs approxmatos) Le facteur est appelé e sodage "facteur de correcto pour populato fe" ; l est proche de / et doc proche de lorsque le taux de sodage / (talle de l'échatllo sur talle de la populato) est pett (< 0.). O motre que la lo hypergéométrque de paramètres,, p peut être approchée par la lo bomale de paramètres, p lorsque le taux de sodage / est pett (< 0.) (o suppose que et K tedet vers l'f et que le rapport K/ ted vers u ombre p). O motre que lorsque p est pett (< 0.) alors la lo bomale peut être approchée par ue lo de Posso de paramètre p (o suppose que p ted vers 0, vers l'f et p vers u réel λ ). Ef, la lo hypergéométrque et la lo bomale (resp. la lo de Posso de moyee λ ) peuvet être approchées par ue lo ormale dès que la talle de l'échatllo (resp. la moyee λ ) est suffsammet grade, 30 (resp. λ >0). Théorème cetral lmte Ces approxmatos reposet sur des théorèmes de covergece e lo, la covergece e lo de la lo bomale vers la lo ormale est u cas partculer du théorème cetral lmte : Jeae Fe festat.free.fr p. 4/7

5 sot ( ) * ue sute de v.a.r...d. admettat espérace et varace ; alors la lo de la moyee d'échatlloage cetrée rédute coverge vers la lo ormale cetrée rédute. 2 μ = E, σ = var et = = alors o a : 2 σ E( ) = μ, var ( ) =. La moyee d'échatlloage cetrée rédute est la v.a.r. : * μ Lo * = et le théorème cetral lmte s'écrt : ( ) (0 ;) σ / Formellemet, s o pose ( ) ( ) Cas partculer : schéma de Beroull S la lo de est la lo de Beroull de paramètre p (probablté de succès) alors μ = p, σ = p( p) et la moyee d'échatlloage 'est autre que la fréquece d'échatlloage (fréquece de succès sur expéreces) otée F. La fréquece * F p d'échatlloage cetrée rédute est alors la v.a.r. : F = dot la lo p( p) / asymptotque est ue lo ormale cetrée rédute (théorème cetral lmte). Applcato umérque Das les tros cas a) b) c), le taux de sodage / est églgeable ; la lo de la v.a.r. peut être cosdérée comme ue lo bomale de paramètre et p (où p est la proporto K / de boules rouges das l'ure) et la lo de probablté de la fréquece de boules rouges das l'échatllo F = / se dédut de celle de. Das le cas b) la talle de l'échatllo = 200 permet d'approcher la lo bomale par la lo ormale de même espérace et de même écart-type. Das le cas c) la proporto p état fable, égale à / 20, la lo bomale peut être approchée par la lo de Posso de paramètre p sot c. B P(0.2 F 0.4) = P( 4 8) P F P( U ) P () P( > ) a) (20 ; 0.3) ; b) F (0.3 ; ) ; c) ; ( ) = (avec U (0 ;) ). 4. Statstque féretelle, échatlloage et estmato La statstque féretelle cosste à obter des formatos sur les paramètres de la populato (c, proporto de boules rouges das l'ure) à partr des résumés umérques observés sur u échatllo de talle (c, fréquece de boules rouges das l'échatllo). La parte échatlloage cosste à détermer les los de probabltés des varables dtes d'échatlloage qu vot être utlsées das la deuxème phase d'estmato des paramètres. Ic, l s'agt de détermer la dstrbuto de probablté de la varable aléatore F, fréquece d'échatlloage de la catégore d'térêt. O e dédut l'tervalle de fluctuato de autour F Jeae Fe festat.free.fr p. 5/7

6 de p à 95% de probablté (ouveau programme de 2 de ). Cette parte est déductve (calcul de probabltés). La parte estmato cosste à partr d'u échatllo observé à fourr ue estmato par tervalle de coface des paramètres de la populato. Ic, c'est à partr d'ue fréquece f observée sur u échatllo de talle que l'o estme p par tervalle de coface à 95%. Cette parte est ductve (o fère u résultat d'u échatllo à la populato avec ue certae probablté d'erreur fxée à l'avace, c 5%). Itervalle de fluctuato de la fréquece d'échatlloage probablté 95% F autour de p au veau de O lt sur la table de la lo ormale cetrée rédute, que s U est ue v.a.r. (0 ;) alors P(.96 U +.96) = O e dédut que s est ue v.a.r. ( μ ; σ ) alors P( μ.96 σ μ +.96 σ ) = 0.95, doc, pour suffsammet grad : σ σ P μ.96 μ+.96 = 0.95 et p( p) p( p) P p.96 F p =. Pour tout p de [0, ] o a p( p) et égalté pour 4 P p F p c'est-à-dre : o a l'égalté F p avec ue probablté supéreure à p =, o e dédut : 2 Estmato de p par tervalle à 95% de coface cetré sur f Lorsque l'o répète ue épreuve de Beroull de paramètre p das les mêmes codtos u grad ombre de fos, o peut doc estmer la probablté p de succès lors d'ue expérece par la fréquece de succès f sur les épreuves (lettre muscule car l s'agt d'ue observato de la v.a.r. F sur LA sére de épreuves réalsées). Il s'agt du deuxème le etre fréquece et probablté trodut das les programmes sous le om d'approche fréquetste de la probablté. De la proposto "o a l'égalté F p avec ue probablté supéreure à 0.95", o dédut la proposto "o a l'égalté f p à 95 % de coface". Quad o e peut plus parler de probablté (pusqu'l 'y a pas de v.a.r. mas ue observato d'ue v.a.r.) o parle de coface. O peut doc estmer p par l'tervalle à 95 % de coface : f ; f +. Das le cadre du trage d'u échatllo à probabltés égales avec remse de talle das ue populato fe (approche sodage), à chaque échatllo o assoce la fréquece de Jeae Fe festat.free.fr p. 6/7

7 succès f et l'tervalle f ; f +, o peut dre qu'au mos 95 % des échatllos foursset u tervalle f ; f + qu cotet la proporto p. Das le cadre expérmetal, o pourra seulemet coclure que "la probablté p de succès lors d'ue expérece appartet à l'tervalle f ; f + à 95 % de coface, doc avec u rsque de se tromper de 5 %". Jeae Fe festat.free.fr p. 7/7

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