Soutien cours PI centre du Havre

Transcription

1 ENSM - cours PI - Marc Bizet 0-0 Soutien cours PI centre du Havre Situation A Dans le plan affine euclidien P rapporté au repère orthonormé Oy, on donne les points A( ;0 ) et B( 0;m ), où m est un paramètre réel non nul La droite perpendiculaire en A à la droite ( AB ) coupe l ae [ Oy ) en C et la parallèle à l ae [ O ) passant par B en D Question Si nous associons au plan P le plan complee alors l affie du point A est z A = et celle du point B est zb = mi a Re( z ) = Re( z ) car la droite ( BD ) est parallèle à l ae [ ) D b z z i( z z ) c B A C A B = car l angle ( AC,AB) m zd = + mi Re 0 Im z d ( z ) = et ( ) C D = m est droit O Question Nous avons les relations : a AC AD = AB b AC + AB = BD c AB CD = BD BC d CA CD = AB Question On suppose que m = Une équation de la droite ( CD ) est : a y = b y = Les coordonnées de C et D sont : c C( 0; ) et D( ; 0) d C( 0; ) et D( 0; ) Question D peut être considéré comme le barycentre des points A, B et C affectés respectivement de coefficients α, β et γ a Les points A, C et D étant alignés, alors α, β et γ n eistent pas b α = 5, β =, γ = c α = 5, β = 0, γ = d α =, β = 0, γ = - -

2 ENSM - cours PI - Marc Bizet 0-0 Question 5 Soit I le point de concours des médianes du triangle ABC, ses coordonnées sont : a b m ; m m ; m L ensemble des points I lorsque m varie dans c une droite d un cercle R est sur : Situation B Dans le plan affine euclidien P, on considère le triangle ABC rectangle en A, tel que AC = et AB = m ( m réel strictement positif)) Soit I (respectivement J), le barycentre des points A, B et C, affectés des coefficients, et (respectivement, et ) On note D le point défini par AD = AB + AC Question a Le quadrilatère ABDC est un carré car les diagonales [ AD ] et [ ] b Le point de concours des droites ( AD ) et ( ) c Les quatre points A, B, C et D sont cocycliques d Le triangle BCD est rectangle en B BC sont perpendiculaires BC est l isobarycentre des points A, B, C et D Question a CI = DC b AI = BC c DI = AB d AJ = AD Question a La droite ( IB ) coupe le segment [ ] b Les droites ( IA ) et ( ) c Les droites ( IB ) et ( ) d Les droites ( AD ) et ( ) CJ sont parallèles CJ sont parallèles AC en son milieu CJ sont perpendiculaires Question L ensemble E des points M tels que AM BM+ CM = AM+ BM+ CM est : a la médiatrice du segment [ AJ ] b La médiatrice du segment [ JI ] c Le cercle de diamètre [ AJ ] d Le cercle de diamètre [ JI ] - -

3 ENSM - cours PI - Marc Bizet 0-0 Question 5 L ensemble E des points M tels que a un cercle passant par C b inclus (strictement) dans E c un cercle de centre I d une droite passant par J AM BM + CM = 5m est : Situation C Le plan est rapporté au repère orthonormal Oy (unité : cm) C C est la courbe d équation y = ( C correspond à > 0 et C à < 0) et C C est la courbe d équation y = ( C correspond à > 0 et C à < 0) On note C = C C C C Question La courbe C C admet : a O pour centre de symétrie b [ Oy ) pour ae de symétrie La courbe C C admet : c O pour centre de symétrie d [ O ) pour ae de symétrie Question Un point M du plan de coordonnées et y appartient à C si et seulement si : a ( y )( y ) b y = c y = d + = 0 y + = 0 Question A et B désignent les points de C d abscisses respectives et respectives et et désignent les droites d équations respectives y C et D désignent les points de C d abscisses = et y = a Les points A, B, C et D sont alignés b ABCD est un rectangle c A et B sont symétriques par rapport à la droite d B et D sont symétriques par rapport à la droite - -

4 ENSM - cours PI - Marc Bizet 0-0 Question L aire de la portion grisée A (en unités d aire) est donnée par : d a ( y ) b ln c ( + ln) d d d + 0 Question 5 On appelle g la fonction définie sur l intervalle [ ;] sa courbe représentative Γ, voir ci-contre par L arc AB est inclus dans C, l arc CD est inclus dans C et [ BC ] est un segment Pour nous notons : G( ) ( ) en unité d aire) a G( ) = = g t dt (eprimée b G = 0 c Pour, G( ) = ln d Pour, G( ) est constante Question 6 a Pour, G( ) = + ln ln G est égale à l aire de la portion grisée A b ( ) On considère les points de coordonnées I( ;0), J( 0; ) et K( ;0 ) c La droite ( IJ ) est la tangente à Γ au point d abscisse d Le triangle IJK est un triangle rectangle isocèle Question 7 On considère l aire A ' comprise entre le segment [ IJ ] et la courbe Γ pour compris entre et 0 En unités d aire : 0 0 a ( ) A' = g + d b ( ) A' = g + d A c A ' = d A ' = ln + - -

5 ENSM - cours PI - Marc Bizet 0-0 Situation D Nous considérons le polynôme dans C : ( ) ( ) f z = z 6i z + i z Question f admet un zéro réel α 0 qui vaut : a b c d Question f est divisible par le polynôme ( ) g z = z + A z + B tel que A vaut : a b c d + i i i + i + i i Question B vaut : a i b c d Question Une racine carrée du discriminant du trinôme du second degré g ( z ) est : a b c d + i i i + i - 5 -

6 ENSM - cours PI - Marc Bizet 0-0 Question 5 g admet deu zéros complees α et géométrique dont la raison q vaut : Re 0 α avec ( ) α <, tels que 0 α, α et α sont des éléments d une suite a + i + i b c + i d i Question 6 n Pour la suite géométrique αn = α0q, où, n N, nous avons : Im α > 0 a ( ) b α = Re α < 0 c ( ) d ( ) Im α < 0 Situation E Nous considérons le nombre complee Z sinα icosα module ρ et l argument θ du complee Z = +, où α ] 0; π [ i = ρe θ Question Nous avons les relations trigonométriques, pour tout réel : et on se propose de déterminer le a b c d sin sin = cos cos + = π + sin = cos π cos = sin Question Il est possible d eprimer ( ) sin cos a ( + cos ) b ( + sin ) c d cos sin π π + + sous la forme : - 6 -

7 ENSM - cours PI - Marc Bizet 0-0 Question α 0; π, nous avons : Pour tout ] [ a b π α π π π π α π Nous pouvons eprimer ρ sous la forme : α π c ρ = cos π α d ρ = sin Question Nous pouvons déduire de ce qui précède que : a b c d α π θ = π α θ = i α π Z = cos e i π α Z = sin e α π π α Situation F Nous considérons, dans l ensemble des nombres complees C, l équation : ( ) ( ) ( ) E : z + i z + 5i z + i = 0 Question a Toutes les racines de ( E ) ont une partie imaginaire non nulle α = E admet au moins deu racines réelles car c et une équation de degré b Une racine de ( E ) est c ( ) d ( E ) admet une seule racine réelle Question L équation ( ) a b c d 0 α = E peut être écrite sous la forme ( z α )( z az b) + + = 0 La valeur de a est : - 7 -

8 ENSM - cours PI - Marc Bizet 0-0 Question La valeur de b est : a 0i b i c d i Question Le discriminant = a b de l équation du second degré : est le carré du nombre complee : a 5+ 5i b 5 + 5i c 5 5i d 5i Question 5 ( ) Nous notons β et γ les racines de ( E ') avec ( ) Nous avons : a β = i et γ = α b αβ = i et γ = + i c β + γ est réel d Re( ) 0 Im β > 0 γ < et ( ) E' : z + az + b = 0 Re β > 0 Question 6 A, B, C étant les points d affies respectives α, β, γ : a α, β et γ sont tous distincts b A, B et C sont alignés BC c A est le milieu du segment [ ] d Le triangle ABC est isocèle en A Question 7 Nous désignons par O le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 0, λ et µ La valeur de λ est : a 0 b c d Question 8 La valeur de µ est : a 0 b c d - 8 -

9 ENSM - cours PI - Marc Bizet 0-0 Question 9 Nous avons : a O est le centre de gravité du triangle ABC b O est l orthocentre du triangle ABC c O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC d O est le centre du cercle inscrit au triangle ABC Situation G Un livreur de pizzas doit servir un client qui se trouve à 6 km et qui eige d être servi à 0 h 00 précisément Pour se déplacer, il utilise un scooter qui roule constamment à 6 km/h (on néglige les phases d accélération et de décélération) Sur son trajet, il va rencontrer deu feu tricolores non synchronisés et indépendants S il arrive à un feu orange, il s arrête 60 secondes et il repart S il arrive à un feu rouge, il s arrête 0 secondes et il repart Pour chaque feu, la probabilité d être vert à l arrivée du livreur est et la probabilité d être orange à l arrivée du livreur est X est la variable aléatoire «temps en minutes mis par le livreur pour arriver à destination» P X = = 6 P X = 0 = P X = 0,5 = P X = 0 a ( ) b ( ) c ( ) ( ) P X = = E X = d (,5) e ( ) Situation H On dispose de deu urnes U et U contenant des boules indiscernables au toucher L urne U contient n boules blanches et boules noires ( n est un entier naturel supérieur ou égal à ) L urne U contient boules blanches et une boule noire On tire au hasard une boule de U et on la met dans U, puis on tire au hasard une boule de U et on la met dans U ; l ensemble de ces opérations constitue une épreuve Pour i = et i =, on considère l événement B i: «On a tiré une boule blanche dans l urne U i» On considère l événement A : «Après l épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur configuration de départ» et l évènement B :«Après l épreuve, l urne U contient une seule boule blanche» n + = n + lim P A = n + P B = n + a P( A) b ( ) c ( ) ( ) - 9 -

10 ENSM - cours PI - Marc Bizet 0-0 Un joueur mise 0 euros et effectue une épreuve A l issue de cette épreuve, on compte les boules blanches contenues dans l urne U X est la variable indiquant son bilan financier Si U contient une seule boule blanche, le joueur reçoit n euros Si U contient boules blanches, le joueur reçoit n euros Si U contient boules blanches, le joueur ne reçoit rien d Le joueur n a aucun intérêt à jouer avec n 0 n + e P( X = 0) = n + f E ( X ) = ( ) n 6n 0 ( n + ) g Le jeu est favorable si n 5 Situation I A l'issue d'un QCU de mathématiques portant sur les probabilités, le correcteur constate que les notes obtenues par les étudiants de la promotion se répartissent approimativement selon une loi normale de paramètres µ = 8 et σ =,5 On note X la variable aléatoire prenant comme valeur la note d'une copie tirée au sort parmi toutes les copies On considère donc que X suit la loi normale N ( µ, σ ) Par ailleurs, on note T une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite N ( 0, ) a P( T ) 0 < <, 0,90 b P( τ T τ ) 0,955 < < équivaut à τ,69 c La probabilité qu une copie tirée au hasard soit inférieure à 0 est d environ 0,79 à 0 près d Si le correcteur souhaite ajouter le même nombre de points à chaque étudiant afin d obtenir une proportion de 5 %de notes supérieures ou égales à 5, alors =,5 e Avec un écart-type de,, il aurait 5 % de notes supérieures ou égales à 5, en conservant µ = 8 situation Q Q Q Q Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 A FFFF VFVF FVFF FFVF VFVF B FVVF VFFV FFVF FVFF FFVF C FFVF VFVF FFVF FFVV FFVF FFFV FFFF D FFVF FFVF FVFF FFFV FFFV FVFV E FVVF FVVF FFVF VFVF F FVFV FFFF FFFV FVVF FFVF VFFF FVFF FFVF FFFF G H I FVVFV FVVVFVV VFVFV - 0 -