Correction Devoir Surveillé 3 : matrices et graphes. Sommet A B C D E F G H I Degré

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1 Correction Devoir Surveillé 3 Term ES spé Maths Maths Term ES spé Exercice Partie A : Étude d un graphe On considère le graphegci-dessous D H A F E B I G C a Déterminer en justifiant si le graphegest complet G n est pas complet car, en particulier, il manque l arête A-E b Déterminer en justifiant si le graphegest connexe G est connexe car il existe une chaîne passant par tous les sommets : A-B-F-D-E-B-C-G-I-H 2 a Donner le degré de chacun des sommets du grapheg Sommet A B C D E F G H I Degré b Déterminer en justifiant si le graphegadmet un cycle eulérien ou une chaîne eulérienne Le grapheg, qui est connexe, admet exactement deux sommets de degré impair (B et G), donc d après le théorème d Euler,G admet (au moins) une chaîne eulérienne (qui commence en B ou G et qui finit en G ou B respectivement) mais n admet pas de cycle eulérien 3 a Donner la matrice M associée au grapheg (les sommets seront rangés dans l ordre alphabétique) M= Roussot / / 207

2 b On donne : M 2 = Montrer, par calcul, que le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de la matrice M 3 est égal à 3 M 3 =M 2 M donc le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de M 3 est le produit matriciel de la septième ligne de M 2 avec la quatrième colonne de M : 0 0 ( ) = = CQFD (Comme M 3 = M M 2, on peut aussi faire le produit matriciel de la septième ligne de M avec la quatrième colonne de M 2 ) Partie B : Applications Dans cette partie, on pourra justifier les réponses en s aidant de la partie A On donne ci-dessous le plan simplifié d un lycée ADMINISTRATION VIE SCOLAIRE ET INFIRMERIE SALLE DES PROFESSEURS HALL HALL 2 BÂTIMENT 2 C D I BÂTIMENT CANTINE Le grapheg donné en partie A modélise cette situation Compléter le tableau suivant : Sommet du grapheg A B C D E Lieu correspondant dans le lycée ADMINIS- TRATION HALL HALL 2 SALLE DES PROFS CDI Sommet du grapheg F G H I Lieu correspondant dans le lycée CANTINE BÂTIMENT VIE SCOLAIRE BÂTIMENT 2 On peut échanger le rôle du CDI et de la CANTINE pour les sommets E et F Roussot 2/ / 207

3 2 Un élève a cours de mathématiques dans le bâtiment À la fin du cours, il doit rejoindre la salle des professeurs pour un rendez-vous avec ses parents Déterminer le nombre de chemins en trois étapes permettant à l élève de rejoindre ses parents puis indiquer quels sont ces chemins Le bâtiment correspond au sommet G (septième sommet) et la salle des professeurs correspond au sommet D (quatrième sommet), on cherche les chemins en trois étapes, par conséquent, le nombre de chemins cherché est le coefficient de la septième ligne et quatrième colonne de la matrice M 3 D après la question 2b de la partie A, il y a donc 3 chemins qui conviennent Les voici : G-H-A-D : Bâtiment Vie scolaire Administration Salle des professeurs G-C-A-D : Bâtiment Hall 2 Administration Salle des professeurs G-C-B-D : Bâtiment Hall 2 Hall Salle des professeurs 3 Le lycée organise une journée portes-ouvertes a Déterminer, en justifiant, s il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux Le plan du lycée est modélisé par le grapheg, or dans la question 2b partie A, on a montré que celui-ci admet une chaîne eulérienne, par conséquent, il est possible de visiter le lycée en empruntant une seule fois chaque passage entre les différents lieux (par exemple : B-F-D-E-B-D-A-B-C-A-H-C-G-I-H-G) b Sur les arêtes du graphegsont indiqués les temps de parcours exprimés en seconde entre deux endroits du lycée D H A F E B I 20 G C Déterminer, à l aide de l algorithme de Dijkstra, le chemin permettant de relier le sommet G au sommet D en un temps minimal Déterminer ce temps minimal, exprimé en seconde On va faire tourner l algorithme de Dijkstra en partant du sommet G : A B C D E F G H I Sommet atteint 0 G 90, G 40, G 20, G I 90, G 40, G H 00, H 65, H C 00, H 95, C B 00, H 75, B 45, B 30, B A 70, A 45, B 30, B F 65, F 45, B E 65, F D Le chemin le plus court pour aller de G vers D est de longueur 65 : G 40 H 25 C 30 B F D : le temps minimal pour aller du bâtiment à la salle des professeurs est de 65 secondes (2 minutes et 45 secondes) Roussot 3/ / 207

4 Exercice 2 Un parc de loisirs décide d ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pédestre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient F B A C G D E Partie A H Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi Donnons le degré de chaque sommet : Sommet A B C D E F G H Degré Dans le graphe, qui est connexe, il y a exactement deux sommets de degré impair ainsi, d après le théorème d Euler, il existe au moins une chaine eulérienne ce qui correspond au fait qu un enfant pourra parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule En voici une possibilité de parcours : A-E-D-A-B-D-C-B-F-C-H-G-F 2 On note M la matrice d adjacence associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l ordre alphabétique) On donne la matrice M 4 = Déterminer le nombre de parcours allant de E à H en 4 chemins pédestres Les citer tous On regarde de le coefficient de la matrice M 4 de la cinquième ligne (correspondant à E) et de la huitième colonne (correspondant à H) : il y a donc 3 parcours allant de E à H en 4 chemins Les voici : E-D-B-C-H E-A-B-C-H E-A-D-C-H Roussot 4/ / 207

5 Correction Devoir Surveillé 3 : matrices et graphes Partie B Afin d améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d attente en minutes à la billetterie du parc en fonction de l heure Ce relevé a eu lieu chaque heure de 9 h à 6 h On obtient le relevé suivant : y x Ainsi, à 0 h, il y avait 4 minutes d attente à la billetterie On souhaite modéliser cette durée d attente par une fonction qui à l heure associe la durée d attente en minutes Ainsi, il sera possible d avoir une estimation de la durée d attente On choisit de modéliser cette situation à l aide de la fonction f définie par f(x)=ax 2 +bx+c avec a, b, c des réels et a non nul telle que les trois points(9 ; 9),( ; 20) et(6 ; 2) appartiennent à la représentation graphique de f Déterminer les trois réels a, b et c Les trois points(9 ; 9),( ; 20) et(6 ; 2) appartiennent à la représentation graphique de f se traduit par : f(9)=9 a 9 2 +b 9+c=9 8a+9b+c=9 f()=20 a 2 +b +c=20 2a+b+c=20 f(6)=2 a 6 2 +b 6+c=2 256a+6b+c=2 8 9 a Ce dernier système se traduit par l égalité matricielle AX= B avec A= 2 et X= b c 9 et B= 20 2 À l aide de la calculatrice, on trouve que A est inversible et A = AX=B A AX=A B I 3 X=A B X=A B 3 0,3 On calcule avec la calculatrice : X= 63 2 = 3,5 Donc a=,3; b=3,5 et c= 69, , 2 Conclusion : f(x)=,3x 2 +3,5x 69, En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l attente peut être inférieure à dix minutes On va résoudre l inéquation : f(x)<0,3x 2 +3,5x 69,2<0,3x 2 +3,5x 79,2<0 Roussot 5/ /

6 On étudie le signe du polynôme du second degré,3x 2 +3,5x 79,2 : =3,5 2 4 (,3) ( 79,2)=60,4 >0 donc,3x 2 +3,5x 79,2 admet deux racines réelles distinctes : x = 3,5+ 60,4 9, et x 2 = 3,5 60,4 5, 2 (,3) 2 (,3) On obtient le tableau de signe : x 9 x 9, x 2 5, 6 Signe de,3x 2 +3,5x 79, Or 0, heure = de 60 minutes = 6 minutes 0 Donc, avec ce modèle, on attendra moins de dix minutes, entre 9 h et 9 h 06, puis entre 5 h 06 et 6 h Barème Exercice 2=[(0,5+0,5)+(+)+(,5+)]+[,5+,5+(0,5+3)] Exercice 2 8=,5+,5+2,75+2,25 E nde nd Roussot 6/ / 207