Module 1. La numération de position

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1 Module 1 Section 1 Arithmétique, p. 8 La numération de position Il y a plusieurs milliers d années, nos ancêtres ont voulu compter leurs biens. Ils ont inventé différents systèmes de numération pour représenter des quantités. Dans notre système, un nombre est composé de chiffres. Chaque chiffre a une valeur précise selon la position qu il occupe dans le nombre. Le nombre possède 6 chiffres et chaque chiffre occupe une position précise. Centaines de mille (CM) Dizaines de mille (DM) Unités de mille (UM) Centaines (c) Dizaines (d) Unités (u) Le 5 occupe la position des unités (u). Il a une valeur de 5 1 = 5. Le 2 occupe la position des dizaines (d). Il a une valeur de 2 10 = 20. Le 4 occupe la position des centaines (c). Il a une valeur de = 400. Le 9 occupe la position des unités de mille (UM). Il a une valeur de = Le 3 occupe la position des dizaines de mille (DM). Il a une valeur de = Le 6 occupe la position des centaines de mille (CM). II a une valeur de = Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc. Cinémath Encadrés théoriques 371

2 Section 1 Arithmétique, p. 9 Les représentations d un nombre Différents supports permettent de représenter un nombre. Pour représenter le nombre (cent vingt-sept mille neuf cent soixante-six), on peut utiliser : un tableau de numération un abaque CM DM UM c d u c d u UM DM CM un boulier japonais Le nombre se lit dans la partie du centre. CM DM UM c d u = Cinémath Encadrés théoriques Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc.

3 Section 1 Arithmétique, p. 11 La comparaison de nombres La comparaison de 2 nombres permet de déterminer si le premier est inférieur, égal ou supérieur au second. Voici 3 nombres : est inférieur à < est supérieur à > est égal à = Il est possible de placer ces trois nombres par ordre : croissant (du plus petit au plus grand) : , , décroissant (du plus grand au plus petit) : , , La droite numérique Une droite numérique est une droite qui représente un ensemble de nombres. Le pas de graduation d'une droite numérique est l écart entre deux marques qui se suivent. Pour une droite donnée, cet écart est toujours le même. Lorsqu on place un nombre sur une droite numérique, il faut tenir compte du pas de graduation. Le nombre a été placé sur deux droites numériques dont le pas de graduation est différent. Sur la droite a), le pas de graduation est Le nombre est donc situé sur la première graduation à droite de a) Sur la droite b), le pas de graduation est 500. Le nombre est donc situé sur la deuxième graduation à droite de b) Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc. Cinémath Encadrés théoriques 373

4 Section 2 Arithmétique, p. 14 La table de multiplication Le résultat d une multiplication est le produit. Les nombres qui sont multipliés sont les facteurs du produit. Facteurs 8 9 = 72 Produit La table de multiplication permet d énumérer les produits d une suite de facteurs. X Multiples de 4 Nombres carrés Quand on examine cette table de multiplication, on remarque que la multiplication est commutative. Cela signifie qu on peut inverser l ordre des facteurs sans en changer le résultat. Par exemple : 6 8 = 48 et 8 6 = Cinémath Encadrés théoriques Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc.

5 Section 2 Arithmétique, p. 15 Les multiples et la divisibilité d un nombre par 2, 3, 5 et 10 Observe la table de multiplication à la page précédente. Les multiples de 2 sont des nombres pairs. En fait, tous les nombres pairs sont divisibles par 2. Par exemple : Les nombres pairs 32, 108, et sont divisibles par 2. Les nombres impairs 3, 507 et ne sont pas divisibles par 2. La somme des chiffres qui composent un multiple de 3 est toujours divisible par 3. En fait, tous les nombres dont la somme des chiffres est divisible par 3 sont eux-mêmes divisibles par 3. Par exemple : est divisible par 3, puisque = 18, et que 18 est divisible par n est pas divisible par 3, parce que = 13, et que 13 n est pas divisible par 3. Les multiples de 10 se terminent par 0. En fait, tous les nombres qui se terminent par 0 sont divisibles par 10. Par exemple : 90, 130, et sont divisibles par et ne sont pas divisibles par 10, parce qu ils ne se terminent pas par 0. Les multiples de 5 se terminent par 0 ou par 5. En fait, tous les nombres qui se terminent par 0 ou par 5 sont divisibles par 5. Par exemple : 75, 610, et sont divisibles par 5. 23, 456 et 543 ne sont pas divisibles par 5, parce qu ils ne se terminent ni par 0 ni par 5. Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc. Cinémath Encadrés théoriques 375

6 Section 2 Arithmétique, p. 19 La décomposition d un nombre en facteurs premiers Un nombre est premier s il possède exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même. Un nombre est composé s il possède plus de 2 diviseurs. Le nombre 1 n est ni un nombre premier ni un nombre composé. Les critères de divisibilité aident parfois à déterminer si un nombre est premier ou composé. Le nombre 12 est un nombre composé. Ses diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Le nombre 17 est un nombre premier. Ses diviseurs sont 1 et 17. Le nombre 21 est un nombre composé. Ses diviseurs sont 1, 3, 7 et 21. Le nombre est un nombre composé, puisque 5 est l un des ses diviseurs. En effet, se termine par 5. Il a au moins 3 diviseurs : 1, 5 et Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, il faut chercher tous les nombres premiers dont le produit est égal au nombre à décomposer. Il faut donc : 1. Trouver deux facteurs du nombre à décomposer. 2. Décomposer chaque facteur jusqu à ce que tous les facteurs soient des nombres premiers. La représentation en arbre est très utile quand on cherche les facteurs premiers d un nombre. Les critères de divisibilité aident aussi à trouver les facteurs des grands nombres = On peut ensuite récrire les facteurs premiers par ordre croissant pour faciliter la lecture : = Cinémath Encadrés théoriques Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc.

7 Section 3 Mesure, p. 22 Les angles Un angle est une figure géométrique formée de deux demi-droites qui ont la même origine (le sommet de l angle). L angle formé par des demi-droites perpendiculaires est appelé «angle droit». Pour déterminer si un angle est aigu ou obtus, on le compare à un angle droit. Angle droit (90 ) Angle aigu (moins de 90 ) Angle obtus (plus de 90 ) On mesure les angles à l aide d un rapporteur d angle. Il s agit d un demi-cercle divisé en 180 parties égales. Chacune des parties correspond à un degré (1 ). Le degré est l unité de base pour mesurer un angle. Échelle de degré Ligne de foi Angle droit 90 Origine du rapporteur Angle à mesurer Sommet de l angle Sommet de l angle Voici un angle aigu. Pour le mesurer : on place l origine du rapporteur sur le sommet de l angle ; on superpose la ligne de foi du rapporteur sur un des côtés de l angle. La mesure de l angle correspond à la graduation qui est superposée à l autre côté de l angle. Dans l exemple, le rapporteur indique 62 ou 118. Quelle mesure choisir? L angle mesuré est un angle aigu. Sa mesure doit être inférieure à celle d un angle droit, donc inférieure à 90. On peut conclure que l angle mesure 62. Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc. Cinémath Encadrés théoriques 377

8 Section 3 Géométrie, p. 24 Les triangles Les triangles sont des polygones à 3 côtés. On peut les classer selon les propriétés de leurs côtés. Un triangle scalène est un triangle qui possède 3 côtés de longueurs différentes. A B C Un triangle isocèle est un triangle qui possède au moins 2 côtés isométriques (de même mesure). D Ce symbole signifie «de même mesure». Un triangle équilatéral est un triangle qui possède 3 côtés isométriques. E G F H I On peut aussi classer un triangle selon les propriétés de ses angles. Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90 ). J M N O K L Il est intéressant de remarquer : qu un triangle isocèle possède aussi 2 angles de même mesure ; qu un triangle équilatéral possède aussi 3 angles de même mesure (60 ) ; qu un triangle rectangle peut être isocèle. Il possède alors 2 côtés isométriques. 378 Cinémath Encadrés théoriques Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc.

9 Section 4 Géométrie, p. 27 Le cercle Un cercle est une ligne courbe fermée dont tous les points sont situés à égale distance d un autre point qui est le centre du cercle (O). Voici un cercle qu on a tracé à l aide d une ficelle et d un clou. Une extrémité de la ficelle est fixée à un point à l aide du clou. Un crayon est attaché à l autre extrémité de la ficelle. Clou Centre du cercle La circonférence d un cercle est la longueur du cercle. Elle correspond à la longueur du trait de crayon de notre exemple. Centre O Circonférence Le rayon est un segment qui relie le centre du cercle à un point du cercle. Il correspond à la longueur de la ficelle de notre exemple. Les rayons d un cercle ont tous la même longueur. O Rayons Le diamètre est un segment qui relie 2 points du cercle en passant par son centre. La longueur du diamètre est égale à 2 longueurs de rayon. O Diamètre Un angle au centre est un angle dont le sommet correspond au centre du cercle. La mesure d un angle au centre se situe entre 0 et 360. O Angle au centre Le disque est la zone située à l intérieur du cercle. Disque O Cercle Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc. Cinémath Encadrés théoriques 379

10 Section 5 Arithmétique, p. 29 et 30 La notation exponentielle Lorsqu on décompose un grand nombre en facteurs premiers, on obtient un long produit de facteurs. La notation exponentielle permet de simplifier un long produit en regroupant les facteurs qui se répètent. Si on décompose en facteurs premiers, on obtient : Dans cette représentation, le facteur 2 est répété 4 fois et le facteur 3 est répété 8 fois. En utilisant la notation exponentielle, on peut écrire : = Dans l exemple, l exposant 4 indique que le facteur 2 est répété 4 fois : 2 4 = L exposant 8 indique que le facteur 3 est répété 8 fois : 3 8 = Le résultat de chacune de ces expressions s appelle «puissance». Exposant Exposant Base 2 4 = 16 Base 3 8 = Puissance Puissance Pour calculer une puissance, on effectue la multiplication répétée équivalente. Les puissances de 3 5 et 5 3 se calculent de la façon suivante. 3 5 = = = = = = = = 125 L expression 2 4 se lit «2 exposant 4» ou «2 à la 4». Le mot carré est utilisé lorsque l exposant est 2 ; le mot cube est utilisé lorsque l exposant est 3. Voici quelques exemples. 8 2 = 64 On dit «8 au carré est égal à 64» et «64 est le carré de 8». 4 3 = 64 On dit «4 au cube est égal à 64» et «64 est le cube de 4». 2 5 = 32 On dit «2 exposant 5 est égal à 32» et «32 est la 5 e puissance de 2». 380 Cinémath Encadrés théoriques Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc.

11 Section 6 Probabilité, p. 34 Le hasard Les expériences aléatoires sont des expériences liées au hasard. Quand on joue aux dés ou à pile ou face, par exemple, le résultat relève du hasard. Par contre, notre résultat au soccer ou à un test de mathématique ne dépend pas du hasard : il dépend de nos habiletés ou de nos connaissances. Les résultats liés au hasard L une des expériences aléatoires les plus populaires est le jeu de pile ou face. On lance une pièce de monnaie et on note sur quel côté elle tombe. En théorie, si on lance la pièce 10 fois, on peut s attendre à obtenir 5 fois pile et 5 fois face. Pourtant, comme le résultat relève entièrement du hasard, on peut très bien arriver à d autres résultats. Par exemple, la pièce pourrait tomber 7 fois sur le côté pile ou 3 fois, ou 2 fois Il faut répéter l expérience un très grand nombre de fois pour obtenir des résultats qui se rapprochent des résultats théoriques. Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc. Cinémath Encadrés théoriques 381

12 Section 6 Probabilité, p. 35 L équiprobabilité et la ligne des probabilités La probabilité, c est la chance qu un événement se produise. Dans une expérience aléatoire, un résultat est certain si on sait qu il se produira toujours. Il est impossible si on sait qu il ne se produira jamais. Deux événements sont équiprobables (également probables) s ils ont la même chance de se produire. Un événement peut aussi être plus probable ou moins probable qu un autre. Observe la roulette de jeu. Elle est composée de 8 sections équivalentes. On la fait tourner, puis on note sur quelle couleur la flèche s arrête. Dans cette roulette, les événements «obtenir gris foncé» et «obtenir noir» sont équiprobables. L événement «obtenir gris pâle» est plus probable que l événement «obtenir blanc». Une ligne des probabilités sert à illustrer et à comparer les probabilités qu un événement ou un résultat se produise. Sur cette ligne, plus un événement ou un résultat est situé à gauche, moins il a de chances de se produire. Les résultats du jeu de roulette Impossible Possible Certain Obtenir jaune Obtenir blanc Obtenir gris pâle Obtenir gris foncé, noir, gris pâle ou blanc Obtenir noir Obtenir gris foncé 382 Cinémath Encadrés théoriques Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc.

13 Section 7 Arithmétique, p. 38 La multiplication des grands nombres Voici une représentation de la multiplication suivante : = = 639 Ce type de représentation est un peu difficile à utiliser lorsqu on multiplie des grands nombres. D autres processus ont donc été inventés pour faire ces multiplications. Observe le petit film ci-dessous. Il illustre le processus de multiplication le plus répandu en Amérique du nord. On veut multiplier 284 par 9. On place les facteurs en colonne en alignant les unités, puis on multiplie 9 par 4, ce qui donne 36. On place le 6 sous la barre d égalité et le 3 en retenue. On multiplie 9 par 8, ce qui donne 72. On additionne 72 à la retenue (3), ce qui donne 75. On place le 5 sous la barre d égalité et le 7 en retenue. On multiplie 9 par 2, ce qui donne 18. On additionne 18 à la retenue (7), ce qui donne 25. On place 25 sous la barre d égalité. On obtient la réponse : prise 1 prise 2 prise Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc. Cinémath Encadrés théoriques 383

14 Section 7 Arithmétique, p. 39 On utilise un processus semblable pour multiplier un nombre à 3 chiffres par un nombre à 2 chiffres. Observe l exemple suivant. prises 1, 2 et prise prise prise prise prise On peut résumer ce processus en trois étapes. 1. On multiplie 284 par 9 en prenant soin de compter les retenues (on obtient 2 556). 2. On multiplie 284 par 40. Pour ce faire, on ajoute un 0 sous le résultat en l alignant sur la position des unités. Ensuite, on multiplie 284 par 4 (on obtient ). 3. On additionne les 2 nombres obtenus pour trouver la réponse finale : Cinémath Encadrés théoriques Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc.

15 Section 8 Statistique, p. 43 L enquête L enquête est une recherche qui permet de répondre à une question précise pour mieux connaître un groupe de personnes. La question posée doit être simple, facile à comprendre et précise. Il est préférable de proposer un choix de réponses. On veut connaître le film préféré de 15 garçons de 5 e année. de mauvaise question : Quel film aimes-tu? La question n est pas assez précise : elle ne permet pas de connaître le film préféré d un élève, car celui-ci peut aimer plusieurs films. La collecte de données de bonne question : Quel est ton film préféré : Histoire de jouets, Harry Potter, Espions en herbe ou Shrek? Le tableau de données sert à organiser l information recueillie durant l enquête. Une fois le tableau rempli, on peut décrire les résultats obtenus. On veut connaître la saison préférée d un groupe d élèves. On pose la question suivante : Quelle est ta saison préférée : le printemps, l été, l automne ou l hiver? Voici les résultats de l enquête. Catégories de réponses Réponse de chaque personne notée par un trait. Saison Printemps Été Automne Hiver Compilation /// //// // / //// Effectif Voici les résultats : Au total, 15 élèves ont répondu à l enquête. Près de la moitié des élèves préfèrent l été (7 élèves sur 15 ont choisi cette saison). L hiver vient en deuxième place avec 4 élèves. Total des réponses par catégorie Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc. Cinémath Encadrés théoriques 385

16 Section 9 Arithmétique, p. 47 Les nombres décimaux Le nombre décimal est formé de 2 parties séparées par une virgule. La partie entière est située à gauche de la virgule et la partie décimale est située à droite de la virgule. Comme pour la partie entière, la valeur d un chiffre de la partie décimale est déterminée par sa position. Le nombre 4 971,625 possède 7 chiffres. Position Unités de mille (1 000) Partie entière Centaines (100) Dizaines (10) Unités (1) Dixièmes 0,1 ou 1 10 Partie décimale Centièmes 0,01 1 ou 100 Millièmes 0,001 1 ou Chiffre , Valeur ,6 ou ,02 2 ou 100 0,005 5 ou La partie décimale comprend : 6 dixièmes (0,6 ou 6 10 ) ; 2 2 centièmes (0,02 ou 100 ) ; 5 5 millièmes (0,005 ou ). Si on additionne ces trois valeurs, on obtient Le nombre 4 971,625 s écrit en lettres de cette façon : quatre mille neuf cent soixante et onze et six cent vingt-cinq millièmes. Lorsqu on ajoute des zéros à droite de la partie décimale d un nombre, les chiffres ne changent pas de position. La valeur du nombre demeure donc inchangée. Voici deux litres et demi de lait. La quantité totale de lait est égale à 2,5 litres ou 2,50 litres ou 2,500 litres. Attention! Lorsqu on ajoute un zéro à la partie entière d un nombre, la position des chiffres de cette partie change, ce qui change la valeur du nombre. Par exemple, 36,2 n est pas égal à 360, Cinémath Encadrés théoriques Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc.

17 Section 9 Arithmétique, p. 49 et 50 La comparaison de nombres décimaux Pour comparer 2 nombres décimaux, il faut d abord comparer la partie entière puis, si c est nécessaire, la partie décimale. Voici deux nombres : On veut les comparer. 4,31 4,267 La partie entière de chaque nombre est 4. On doit donc comparer leurs parties décimales. Pour s aider, on ajoute 0 à la partie décimale du premier nombre afin que les deux parties décimales comptent le même nombre de chiffres. Puisque 310 > 267, alors 4,310 > 4,267. La droite numérique Lorsqu on place un nombre décimal sur une droite numérique, il faut tenir compte du pas de graduation de la droite. Le pas de graduation d une droite est l écart entre 2 marques qui se suivent. On veut placer le nombre 5,45 sur la droite numérique suivante. Le pas de graduation est de 0,10. 0, On repère 5,40 et 5,50 sur la droite numérique, puisque 5,45 est situé entre ces deux nombres. 5,45 0,10 5 5,40 5,50 6 Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc. Cinémath Encadrés théoriques 387

18 Section 10 Mesure, p. 52 La longueur et le système international d unités Les humains ont toujours mesuré les objets et les distances. Au début, les unités de mesure variaient, puisque les gens utilisaient un pied, une main ou un pas. De nos jours, la majorité des pays utilisent le système international (SI). Les principales unités de longueur du système international et leurs symboles Unité de mesure kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre Symbole km hm dam m dm cm mm Au primaire, les hectomètres et les décamètres ne sont pas utilisés. Chaque unité est 10 fois plus grande que l unité qui la suit : 1 mètre mesure donc 10 décimètres, 1 décimètre mesure 10 centimètres, etc. 1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm Pour trouver une équivalence, il faut : multiplier l unité par 10 lorsqu on la transforme en une unité plus petite ; diviser l unité par 10 lorsqu on la transforme en une unité plus grande. Pour convertir 5 mètres en millimètres, il faut multiplier 5 par 10 à 3 reprises. Cela équivaut à multiplier 5 par = = = = On obtient l équivalence suivante : 5 m = mm 388 Cinémath Encadrés théoriques Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc.

19 Section 10 Mesure, p. 54 L estimation d une longueur Dans la vie de tous les jours, il n est pas toujours nécessaire de mesurer un objet. Il suffit parfois d estimer sa longueur. Il faut alors choisir l unité de mesure appropriée. Longueur 1 mm L épaisseur d un jean ou d une pièce de 10 cents 1 cm L épaisseur d une gomme à effacer 1 dm La largeur d une main 1 m La largeur d une porte La comparaison de longueurs Lorsqu on compare des longueurs, il faut tenir compte de l unité de mesure utilisée. Par exemple, pour comparer 60 mm et 15 cm, on exprime les deux longueurs avec une même unité de mesure. 60 mm = 6 cm Quelques exemples de longueurs 15 cm = 150 mm On voit alors que 60 mm < 15 cm. Reproduction autorisée Chenelière Éducation inc. Cinémath Encadrés théoriques 389