GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE

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1 GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE DROITE ET PLANS DE L ESPACE. Pour décrire les positions relatives de droites et de plans dans l espace voici l exemple du cube : Les 8 sommets du cube sont : A, B, C, D, E, F, G, H. Les 12 arêtes sont : [AB], [BC], [CD], [DA], [EH], [HG], [GF], [FE], [AE], [DH], [CG], [BF]. Les 6 faces sont les carrés ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, ADHE, BCGF. (ABFE) est le plan qui contient les 4 points A, B, F et E. Propriétés générales. Points coplanaires. Quatre points non alignés sont coplanaires si et seulement si ils appartiennent à un même plan. Étant donné quatre points dans l espace, il n est pas certain qu ils soient coplanaires, alors que trois points le sont toujours. Quatre points sont coplanaires si : - Trois d entre eux sont alignés. - Deux sont sur une droite d et deux autres sur une droite d parallèle à d. - Deux sont sur une droite d et deux autres sont sur une droite d sécante avec d. Deux points non confondus pris n importe où dans l espace définissent une droite unique. Tous les points de cette droite sont contenus dans un même plan. Trois points non alignés, pris n importe où dans l espace, déterminent un plan unique.

2 Droites coplanaires. Deux droites sont coplanaires s il existe un plan qui contient à la fois ces deux droites. Quatre points peuvent aussi déterminer deux droites n appartenant pas au même plan. Deux droites de l espace peuvent être : - Perpendiculaire : elles sont coplanaires et perpendiculaires (donc sécantes) dans le plan qui les contient. - Orthogonales : elles sont non coplanaires et l une est perpendiculaire à une parallèle à l autre. - Parallèles : elles sont coplanaires et parallèles dans le plan qui les contient (elles n ont aucun point commun ou sont confondues). Propriété 1 Deux plans sont orthogonaux s ils sont sécants en formant un angle droit. Propriété 2 Deux droites sont orthogonales si elles sont contenues dans des plans orthogonaux. Deux droites sont perpendiculaires si elles sont orthogonales et sécantes (et donc appartenant au même plan).

3 Propriété 3 Deux droites d1 et d2 sont orthogonales dans l espace et leurs parallèles d 1 et d 2, menées par un point donné O sont perpendiculaires dans le plan défini par d 1 et d 2. NB1 : Si une droite est orthogonale en un point à un plan, alors elle est perpendiculaire à toute droite de ce plan passant par ce point. Pour qu une droite soit orthogonale à un plan, il suffit qu elle soit orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Si une droite est orthogonale à un plan alors toute parallèle à cette droite est aussi orthogonale à ce plan. NB2 : Un plan coupe deux plans parallèles selon deux droites parallèles. Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si l un des plans contient une droite orthogonale à l autre plan. LES POLYÈDRES. On distingue les polyèdres des non-polyèdres. Polyèdres : solides délimités par des surfaces planes. Non-polyèdres : solides ayant certaines faces qui ne peuvent pas être planes (ex : le cylindre) voire aucune (ex : la sphère). Un polyèdre est un solide délimité par des faces qui sont toutes des polygones. L intersection de deux faces d un polygone forme une arête (= un segment) du polyèdre. L intersection de deux arêtes est un sommet (= un point). Les sommets des polygones sont aussi les sommets du polyèdre. Les faces d un polyèdre sont planes.

4 Un polyèdre est convexe s il est situé tout entier d un même côté de tout plan contenant une quelconque de ses faces ; donc si ses diagonales sont toutes à l intérieur du polyèdre. S il n est pas convexe il est dit concave. Relation d Euler (valable pour tous les polyèdres). Si A est le nombre d arêtes, S le nombre de sommets, F le nombre de faces, on a : S + F A = 2 - POLYÈDRES RÉGULIERS. Un polyèdre est dit régulier si toutes ses faces sont des polygones réguliers superposables et s il existe une sphère tangente à chaque face en son centre. Il n existe que cinq polyèdres convexes qualifiés de réguliers : ce sont les solides de Platon. Solides de Platon = tétraèdre (4 faces triangles équilatéraux) ; hexaèdre ou cube (6 faces carrés) ; octaèdre (8 faces triangles équilatéraux) ; dodécaèdre (12 faces pentagones réguliers) ; icosaèdre (20 faces triangles équilatéraux). - POLYÈDRES PARTICULIERS. Les prismes. Un prisme est un polyèdre dont les deux faces de base sont situées dans les plans parallèles et dont toutes les arêtes latérales sont parallèles. Les autres faces, appelées faces latérales, sont des parallélogrammes. La hauteur d un prisme est la distance séparant les deux plans des bases. Selon la nature de la base, on parle de prisme à base triangulaire, à base carrée, à base losange etc. Ex : prisme à base pentagonale.

5 Un prisme droit est un prisme dont les arêtes latérales sont perpendiculaires aux plans des bases. Un pavé est donc un prisme droit particulier. Propriétés - Les deux bases d un prisme sont des polygones (réguliers ou non) qui sont superposables. - Les faces latérales des prismes droits sont des parallélogrammes possédant un angle droit, ce sont donc des rectangles. - Les arêtes latérales ont la même longueur. Cas particuliers. Si les faces d un prisme sont toutes des parallélogrammes, le prisme est un parallélépipède. Un parallélépipède a 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes. Deux faces opposées sont superposables. Si les faces d un prisme droit sont toutes des rectangle, le prise est appelé parallélépipède rectangle ou pavé droit. Si les faces d un parallélépipède rectangles sont toutes carrées, c est un cube. Les pyramides. Une pyramide est un polyèdre dont une face, la base, est un polygone. Ses autres faces sont des triangles. Selon la nature de la base, on parle de pyramide à base triangulaire (ou carrée, pentagonale, etc.). Si S est le sommet de la pyramide et H le pied de la perpendiculaire issue de S sur le plan de la base, on appelle hauteur de la pyramide indifféremment le segment [SH] ou sa longueur.

6 Une pyramide est régulière si sa base est un polygone régulier et si sa droite joignant le centre de sa base à son sommet est perpendiculaire à sa base en son centre. LES NON-POLYÈDRES. Cylindre. Un cylindre de révolution peut être considéré comme le solide engendré par la révolution d un rectangle, autour d un de ses côtés. Il est délimité par deux disques appelés les bases et une surface latérale non plane. Les plans des bases sont parallèles. Son axe est orthogonal. Cône. Un cône de révolution est un solide engendré par la révolution d un triangle rectangle autour d un de ses côtés de l angle droit. Il est délimité par un disque appelé base et une surface non plane. Son axe est orthogonal à la base. Les segments qui joignent le sommet du cône à un point quelconque du cercle de base s appellent les génératrices du cône et ont tous la même longueur.

7 Sphère. Une sphère de centre O et de rayon R est l ensemble des points M tels que OM = R. On peut concevoir une sphère comme le solide engendré par la révolution d un demicercle autour de son diamètre. Ce diamètre est appelé axe de la sphère et ses extrémités : pôles de la sphère. NB : L axe de révolution est un des axes de symétrie de la sphère. Il existe une infinité d axes de symétrie pour une sphère donnée : ces axes passent tous par le centre de la sphère. REPRÉSENTATIONS PLANES DE SOLIDES. Une représentation plane est un procédé graphique qui permet d évoquer un solide. Il existe plusieurs types de représentations planes : en perspective, vue de face, de dessus, de dessous Représentations en perspective. La perspective cavalière. Projection d un polyèdre sur un plan parallèle à l une de ses faces (=image). Ainsi, les faces parallèles au plan de projection sont représentées sans déformation et en grandeur réelle. Angles, distances, les directions sont conservés.

8 Les vues de face, de dessous, de droite, de gauche. Façon de représenter les solides dans le plan. On projette le solide sur trois, quatre, cinq ou six faces d un pavé droit. Sur chacune de ces faces, on obtient des vues appelées vues de face, de dessus, de droite, Patrons de solides. Le patron d un solide est une figure géométrique plane telle que, uniquement par pliage, on puisse obtenir ce solide, sans superposition. On parle aussi de «développement du solide». Deux faces sont solidaires par une arête. Pour un même solide, il existe plusieurs patrons (11 patrons non superposables pour le cube). On emploie le terme «patron de cône», bien que celui-ci ne soit pas d un seul tenant. En effet, il est constitué de deux surfaces : un disque et un secteur circulaire. Le patron d une pyramide à base hexagonale a des faces qui se tiennent par des segments.

9 De même, le patron d un cylindre de révolution est constitué de trois surfaces : un rectangle et deux disques. SECTIONS PLANES. Il s agit de la proportion obtenue en «coupant» le solide. Section plane d une pyramide régulière par un plan parallèle à la base. Comme la hauteur (SO) de la pyramide SABCD passe par le centre O du carré A B C D, alors (SO) est perpendiculaire au plan de section. OO est la distance du plan de section au plan de la base de la pyramide SABD. La pyramide SA B C D est aussi une pyramide régulière. Section plane d un cylindre droit par un plan parallèle à la base (horizontalement). La section d un cylindre droit par un plan parallèle aux bases est un disque de même rayon que les disques de base. Section plane d un cylindre droit par un plan passant par l axe de symétrie (verticalement). La section d un cylindre droit par un plan passant par l axe de symétrie est un rectangle dont les dimensions sont la hauteur et le diamètre du cylindre. Section plane d un cône droit par un plan parallèle à la base. La section d un cône droit par un plan parallèle à la base est un disque de rayon inférieur à celui de la base. Ce rayon dépend de la distance du sommet au plan de section. Section plane d un cône droit par un plan passant par l axe de symétrie. La section d un cône droit par un plan passant par l axe de symétrie du cône est un triangle isocèle de sommet principal le sommet du cône et dont la base a pour longueur le diamètre du disque de base du cône.

10 Pour démontrer que la longueur de la diagonale d un cube de côté a est égale à a 3. Utiliser les propriétés de droites orthogonales dans le plan. Appliquer le théorème de Pythagore. Savoir que la diagonale d un carré de côté a est égale à a NB : la longueur de la diagonale d un cube est égale à la longueur de l arête multipliée par 3. Pour calculer l apothème d un tétraèdre régulier. Savoir que l apothème sépare une face en deux triangles rectangles. Appliquer ensuite le théorème de Pythagore dans l un de ces triangles.

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