Table des matières. Mémento de mathématiques Brevet 2016

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1 Mémento de mathématiques Brevet 2016 Table des matières PROPRIETE DE PYTHAGORE... 2 RECIPROQUE DE LA PROPRIÉTÉ. DE PYTHAGORE... 3 ESPACE... 4 TRIGONOMETRIE... 6 Propriétés :... 8 PROBABILITES... 9 PROPRIETE DE THALES CALCULS PUISSANCES STATISTIQUES RACINES CARRÉES FONCTIONS CALCUL LITTERAL ARITHMETIQUE GRANDEURS Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 1

2 PROPRIETE DE PYTHAGORE Permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle. ABC est rectangle en A donc d après la propriété de Pythagore, on a BBCC 2 = AABB 2 + AACC 2 = = = 34 d où BBBB = 34 5,8 cccc (à 1 mmmm ppppèss) Retour Table des matières Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 2

3 RECIPROQUE DE LA PROPRIÉTÉ. DE PYTHAGORE Permet de prouver qu un triangle est rectangle. D une part BBCC 2 = 7,52 = 56,25 D autre part AABB 2 + AACC 2 = ,5 2 = ,25 = 56,25 On constate que : AABB 2 + AACC 2 = BBCC 2, donc d après la réciproque de la propriété de Pythagore, ABC est rectangle en A. Si l égalité n est pas vérifiée, on conclut directement que le triangle n est pas rectangle. Retour Table des matières Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 3

4 ESPACE VV PPPPPPé dddddddddd = LLLLLLLLLLLLLLLL llllllllllllll haauuuuuuuuuu VV CCCCCCCC = cc 3 VV PPPPPPPPPPPP = AAAAAAAA dddd llll bbbbbbbb haaaaaaaaaaaa VV CCCCCCCCCCCCCCCC = ππ rr 2 haaaaaaaaaaaa VV pppppppppppppppp = AAAAAAAA dddd llll bbbbbbbb haaaaaaaaaaaa 3 VV CCônnnn = ππ rr2 haaaaaaaaaaaa 3 VV BBBBBBBBBB = 4 ππ rr3 3 AA SSSShèrrrr = 4 ππ rr 2 Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 4

5 La section d un pavé par un plan parallèle à l une de ses faces ou l une de ses arêtes est un rectangle. La section d un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle et perpendiculaire à son axe est un disque. La section d un cône ou d une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de sa base. Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k 2 et les volumes par k 3 Retour Table des matières Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 5

6 TRIGONOMETRIE Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu αα donné : sin αα = ccccccé ooooooooooé à αα hyyyyyyyyénnnnnnnn cos αα = ccccccé aaaaaaaaaaaaaaaa à αα hyyyyyyyyénnnnnnnn ccccccé ooooooooooé à αα tan αα = ccccccé aaaaaaaaaaaaaaaa à αα Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 6

7 Permet de calculer une longueur : Dans le triangle rectangle RTL, on a tan RRRRRR = RRRR RRRR tan 43 = RRRR 6 d où RRRR = 6 tan 43 (vvvvvvvvvvvv eeeeeeeeeeee dddd RRRR) RRRR 5,6 cccc (vvvvvvvvvvvv aaaaaaaaaaaahéee aaaa mmmm ppppèss) Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 7

8 Permet de calculer un angle : Dans le triangle rectangle EDF, on a : sin EEEEEE = EEEE DDDD = 4 7 EEEEEE 35 (à 1 ppppèss) Propriétés : cos 2 xx + sin 2 xx = 1 eeee tan xx = sin xx cccccccc Retour Table des matières Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 8

9 PROBABILITES pp = nnnnnnnnnnnn dd iiiiiiiiiiii ffffffffffffffffffff nnnnnnnnnnnn dd iiiiiiiiiiii pppppppppppppppppp Dans un jeu de 32 cartes : pp(rrrrrr) = 4 32 = 1 8 pp(aaaa dddd ccœuuuu) = 1 32 La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1 La probabilité d un événement impossible (qui ne peut pas se réaliser) est égale à 0. La probabilité d un événement certain (qui se réalise à chaque fois) est égale à 1. La somme des probabilités de A et de son contraire est 1. Retour Table des matières Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 9

10 PROPRIETE DE THALES Permet de calculer une longueur. Les points A, C, E et A, D, F sont alignés, de plus les droites (CD) et (EF) sont parallèles, donc d après la propriété de Thalès, on a AAAA AAAA = AAAA AAAA = CCCC EEEE dd ooù AAAA = ssoooooo 4 6 = 5 AAAA = CCCC 1,8 = 7,5 cccc eeee CCCC = 4 1,8 6 = 7,2 6 = 1,2 cccc Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 10

11 Retour Table des matières RECIPROQUE DE LA PROPRIÉTÉ. DE THALES Permet de prouver que deux droites sont parallèles. DD uuuuuu pppppppp AAAA AAAA = 2 5 = 0,4 DD aaaaaaaaaa pppppppp AAAA AAAA = 3 7,5 = 0,4 OOOO cccccccccccccccc qqqqqq AAAA AAAA = AAAA AAAA Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 11

12 De plus les points A, E, B et A, F, C sont alignés dans le même ordre, donc d après la réciproque de la propriété de Thalès les droites (BC) et (EF) sont parallèles. Si l égalité n est pas vérifiée, on conclut directement que les droites ne sont pas parallèles. Retour Table des matières Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 12

13 CALCULS On commence par les ( ), puis les multiplications ou divisions et enfin les additions ou soustractions. On fait les calculs dans l ordre lorsque l expression ne comporte que des additions ou soustractions, et que des multiplications ou divisions. Diviser par une fraction c est multiplier par son inverse. Ex : donner votre réponse sous forme irréductible! = = = = = = = = Retour Table des matières Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 13

14 PUISSANCES aa nn aa mm = aa nn+mm aa nn = aann mm aamm (aa nn ) mm = aa nn mm aa 1 = 1 aa Pour multiplier 2 puissances d un même nombre, on ajoute les exposants et pour diviser 2 puissances d un même nombre, on soustrait les exposants. Pour prendre la puissance d une puissance on multiplie les exposants. Notation scientifique : un nombre avec un seul chiffre non nul avant la virgule, multiplié par une puissance de (10 5 ) = 1, = 1, Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 14

15 Retour Table des matières STATISTIQUES Voici les 13 pointures des filles d une classe rangées par ordre CROISSANT : 36 ; 36 ; 37 ; 37 ; 37 ; 38 ; 38 ; 39 ; 39 ; 39 ; 40 ; 41 ; 42 L étendue de cette série est : = 6 Il y a 13 valeurs, la médiane qui partage la série en 2 groupes de même effectif, est la 7ème valeur soit 38. Il y a autant d'élèves qui chaussent du 38 ou moins que d'élèves qui chaussent du 38 ou plus. Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 15

16 La position du premier quartile Q1 est obtenue en prenant 1/4 des valeurs, soit 1/4 x 13 = 3,25 ; On choisit le rang 4 (entier qui suit 3,25) correspondant à une pointure de 37. Au moins 25% des filles ont une pointure inférieure ou égale à du 37. Retour Table des matières Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 16

17 RACINES CARRÉES aa bb = aa bb aa bb = aa bb 12 = 4 3 = = 25 3 = = = = 17 3 Retour Table des matières Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 17

18 FONCTIONS nombre de départ x un antécédent abscisse nombre d arrivée f(x) ; y l image ordonnée Fonction affine ff: xx axx + bb avec a coefficient directeur et b ordonnée à l origine. Fonction linéaire ff: xx aaaa Fonction constante ff: xx bb Soit ff: xx 2xx 7 ff(5) = = 10 7 = 3 5 aa pppppppp iiiiiiiiii 3 pppppp ff eeee 3 à pppppppp aaaaaaéccédddddddd 5 pppppp ff Retour Table des matières Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 18

19 CALCUL LITTERAL On développe kk(aa + bb) = kk aa + kk bb (aa + bb)(cc + dd) = aa cc + aa dd + bb cc + bb dd (aa + bb) 2 = aa 2 + 2aaaa + bb 2 (aa bb) 2 = aa 2 2aaaa + bb 2 (aa + bb)(aa bb) = aa 2 bb 2 On factorise Développer et réduire : EE = (xx 2) 2 + (xx 2)(xx + 5) EE = xx 2 4xx xx 2 + 5xx 2xx 10 EE = 2xx 2 xx 6 Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 19

20 Factoriser : EE = (xx 2) 2 + (xx 2)(xx + 5) EE = (xx 2)[(xx 2) + (xx + 5)] EE = (xx 2)(xx 2 + xx + 5) EE = (xx 2) (2xx + 3) Résoudre : (xx 2)(2xx + 3) = 0 xx 2 = 0 oooo 2xx + 3 = 0 xx = 2 oooo 2xx = 3 xx = 2 oooo xx = 3 2 = 1,5 SS = {2; 1,5} Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 20

21 Résoudre : (xx 3) 2 = 36 xx 3 = 36 = 6 oooo xx 3 = 36 = 6 xx = = 9 oooo xx = = 3 SS = {9; 3} Résolution d une inéquation : 5xx xx 5xx 7xx 24 12xx 24 xx xx 2 Attention : si on divise ou multiplie les 2 membres d une inégalité par un même nombre négatif, il faut changer le sens de l inégalité. Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 21

22 Retour Table des matières ARITHMETIQUE Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise a et qui divise b. Lorsque PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux. Pour rendre irréductible une fraction en une seule simplification, on calcule le PGCD (a ; b) puis on divise numérateur et dénominateur par ce PGCD. Réduire Calculer PGCD (294 ; 70) (Algorithme d Euclide) : PGCD(294 ;70)= = = Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 22

23 Retour Table des matières GRANDEURS 1 litre = 1 dm 3 = cm 3 et 1 m 3 = litres Combien de litres d eau pour remplir une piscine rectangulaire de 5m par 4m et de profondeur 1,5m? V piscine = 5 x 4 x 1,5 = 30 m 3 = litres. Un TGV parcourt 1600 km en 5 heures. Sa vitesse est vv = dd tt = 1600 kkkk 5 h = 320 kkkk/ h (oooo kkkk. h 1 ) Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 23

24 Un robinet a un débit de 1,5 m 3 /h : cela signifie que le robinet laisse couler 1,5 m 3 d eau en 1 heure. Le débit de ce robinet en L/min est de 1,5mm 3 pppppp h = 1,5 mm3 1 h = LL 60 mmmmmmmmmmmm = 25 LL pppppp mmmmmmmmmmmm Retour Table des matières Pascal DORR Adaptation Marie-Laure Besson : 24