FONCTION EXPONENTIELLE 4 ème MATHEMATIQUES. Exercice 1. Soit f la fonction définie sur IR par : f (x) = e. d) Montrer que x IR on a : f (x) 1

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1 FONCTION EXPONENTIELLE 4 èm MATHEMATIQUES Ercic A) Soit g la foctio défii sur IR par : g() + ( ) ) Motrr qu IR o a : g () ( ) ) Etudir l ss d variatio d g Calculr g () 3) E déduir qu IR o a : g () > B) Soit f la foctio défii sur IR par : f () + t soit (C) sa courb rpréstativ ) a) Motrr qu IR o a : f () g() b) Calculr ) f ( t ) f ( c) Drssr l tablau d variatio d f ) Motrr qu l poit I d (C) d absciss st u poit d iflio d (C) 3) a) Motrr qu la droit D : y st u asymptot à (C) au voisiag d + b) Etudir la positio d (C) t D f () c) Motrr qu Itrprétr l résultat obtu graphiqumt 4) a) Motrr qu f réalis u bijctio d IR sur IR b) E déduir qu l équatio f () admt das IR u uiqu solutio α t qu,5 < α < 5) O ot f la réciproqu d f t soit (C ) sa courb rpréstativ a) Justifir qu f st dérivabl sur IR b) Calculr () f puis ( ) f d) Costruir (C) t (C ) das l mêm rpèr 5) Calculr l air Α d la parti du pla ité par la courb (C) la droit D t ls droits t Ercic Soit f la foctio défii sur IR par : f () + t soit (C) sa courb rpréstativ ) a) Calculr ) f ( t ) f ( b) Vérifir qu IR o a : f () ( ) c) Drssr l tablau d variatio d f d) Motrr qu IR o a : f () ) a) Résoudr das IR l équatio f () b) Etudir alors la positio d (C) par rapport à la droit : y c) Etudir ls brachs ifiis d (C) d) Tracr (C) t 3) Soit g la rstrictio d f à l itrvall[, + [ a) Motrr qu g admt u foctio réciproqu g défii sur [, + [

2 b) Costruir das l mêm rpèr la courb (C ) d g 4) Soit F la foctio défii sur IR par a) Vérifir qu F st u primitiv d f sur IR b) Drssr l tablau d variatio d F c) Motrr qu l équatio F( ) admt das IR u uiqu solutio α t qu < α < l 4 Ercic 3 I ) O a rprésté ci-dssous la courb rpréstativ (C) d u foctio f défii, cotiu t dérivabl sur IR O sait qu la courb (C) admt : U asymptot d équatio y au voisiag d + t u brach paraboliqu d dirctio ( O, j) au voisiag d Sulmt du tagts horizotals ; l u au poit O t l autr au poit - A(, 4 ) F() + E utilisat l graphiqu : ) Détrmir f (), f () ) Détrmir, suivat la valur du paramètr rél m, l ombr d solutios d l équatio f () m II ) O suppos qu la foctio f t défii par : d f ) Vérifir qu, pour tout rél, t f () ) Soit I d t J f () d a) Motrr, à l aid d u itégratio par partis, qu I 3 b) E utilisat II- ), motrr qu J I f () c) E déduir la valur d J t itrprétr graphiqumt l résultat f () f () f () d O ot f la foctio dérivé

3 Ercic 4 Soit la suit réll U défii sur ) a) Motrr qu : U d N par : + IN o a U b) Motrr qu la suit U st mooto c) Motrr qu : IN, [, ] o a : d) E déduir qu : IN o a U ( + ) ( + 3) ) Détrmir la it d la suit U ) Soit la suit V défii sur N par : V U k k k dt a) Motrr qu k IN o a : + k t k 3 b) E déduir qu IN o a : + l ( + 4) l 4 k 4 k c) E déduir qu IN o a : V ( l ( + 4) - l4) d) Détrmir alors la it d la suit V + Ercic 5 Pour tout tir aturl o ul, o cosidèr la foctio défii sur, par : ) Etudir ls variatios d ) Motrr qu pour tout tir aturl o ul, l équatio admt u uiqu solutio t qu, O défii aisi sur, u suit 3) a) Soit u tir aturl o ul t u rél d l itrvall, Comparr ls réls t b) Motrr qu pour tout, < c) Motrr qu la suit st croissat t déduir qu ll st covrgt 4) a) Motrr qu pour, l b) Calculr la it d suit Ercic 6 Soit la foctio défii sur par + t soit C sa courb rpréstativ (uité graphiqu #$ ) ) a) Motrr qu ( b) Motrr qu la droit :, st u asymptot à C au voisiag d

4 c) Détrmir la positio rlativ d C t ) O do ci-dssous l tablau d variatio d la foctio a) Motrr qu l équatio admt, das u sul solutio / t vérifir qu </< b) Tracr la droit t la courb C (O précisra la dmi tagt à C au poit d absciss t o prdra /,4) 3) O désig par la suit défii sur par 4 5 a) Calculr Itrprétr graphiqumt l résultat obtu b) Motrr qu pour tout tir aturl o ul, c) E déduir la it d la suit Ercic 7 Soit f la foctio défii sur IR par : f () + f () > ) a) Vérifir qu pour tout rél o a : t soit (C) sa courb rpréstativ b) Drssr l tablau d variatio d f ) a) Motrr qu la droit : y t la droit : y sot asymptots à la courb (C) b) Précisr ls positios d (C) par rapport à t 3) a) Motrr qu f réalis u bijctio d IR sur IR t déduir qu l équatio f () admt das IR u uiqu solutio α t qu,4 < α < b) Vérifir qu + α α 4) a) Motrr qu I st u poit d iflio d la courb (C), b) Dor u équatio cartési d la tagt T à la courb (C) au poit I c) Motrr qu la tagt T coup l a ds abscisss au poit A d absciss,4 5) Tracr,, T t (C) (O prdra α, 45) 6) Pour tout IN o cosidèr la suit réll ( U ) IN défii par : U ( f ()) a) Dor u itrprétatio d U b) Calculr U foctio dα t (O pourra vérifir qu IR o a : f () + α d

5 c) Motrr qu U ( Ercic 8 Das l graphiqu ci-cotr ζ t Γ sot ls courbs rpréstativs, das u rpèr orthogoal (O, i, j ), d u foctio f dérivabl sur IR t d sa foctio dérivé f 3 Chacu ds du courbs ζ t Γ possèd : ζ * u brach paraboliqu d dirctio l a ds ordoés au voisiag d + * u asymptot d équatio y au voisiag d ) Par u lctur graphiqu : a) Détrmir, parmi ls courbs ζ t Γ cll qui rprést la foctio f b) Détrmir f (), f () t f () c) Drssr l tablau d variatio d f ) O admt qu la foctio f st défii sur par : f () a) Calculr f (), pour IR b) Motrr qu pour tout IR o a : f () f () f () c) E déduir ls coordoés du poit d itrsctio ds du courbs ζ t Γ d) Motrr qu pour tout o a : f () f () 3) Soit t u rél supériur ou égal à O désig par A(t) l air d la parti du pla ité par ls du courbs ζ t Γ t ls droits : a) Motrr qu A(t) l( b) E déduir A(t) t 3 4 α + l α ) ( O pourra utilisr 3)b) ) + t + t t t 4 3 ) l 3 4 Γ Ercic 9 ) O cosidèr la suit ( U ) défii sur a) Motrr qu IN o a : U IN par U d b) Calculr alors U ) O cosidèr la suit ( V ) défii sur t a) Motrr qu o a : U IN par V d + k/ +

6 b) E déduir qu IN o a : U + V U c) E déduir alors V Ercic V t Soit f la foctio défii sur IR par : ) a) Calculr ) f ( t ) f ( f () b) Motrr qu pour tout rél o a : + t soit (C) sa courb rpréstativ f () ( + ) c) Motrr qu l poit I, st u ctr d symétri d (C) d) Dor u équatio cartési d la tagt T à (C) au poit I ) a) Motrr qu pour tout rél t o a : f (t) b) E itégrat ls du mmbrs d l iégalité précédt, motrr qu pour o a : f () ( + ) c) Détrmir alors la positio d (C) par rapport à T 3) Tracr (C) t T 4) O cosidèr la suit ( I ) défii pour tout tir aturl o ul par : I IN a) Motrr qu la suit ( st décroissat t positiv I ) IN b) E déduir qu la suit ( st covrgt I ) IN c) Motrr qu pour tout tir aturl o ul o a : d) E déduir I I t + t dt Ercic A) Soit g la foctio défii sur [, + [ ) Drssr l tablau d variatio d g par : g() ) a) E déduir qu il ist u sul rél α tl qu g ( α ) t tl qu b) Détrmir suivat ls valurs d l sig d g () < α < 3 B) Soit f la foctio défii sur [, + [ par f () + t soit (C) sa courb rpréstativ

7 ) a) Calculr f () t vérifir qu pour tout rél positif o a : f () g() ( + ) + f ( α ) α + b) Vérifir qu f () ; déduir ) f ( c) Vérifir qu d) Drssr l tablau d variatio d f ) a) Précisr u équatio cartési d la dmi-tagt T à la courb (C) au poit O b) Tracr (C) t T ( O prdra α, ) 3) Soit I f ()d C + a) Motrr qu I l( + ) 7O pourra utilisr l prssio f () b) E déduir l air Α du domai du pla ité par la courb (C) t ls droits d équatios rspctivs t 4) Pour tout tir aturl o ul o pos U Calculr U foctio d t déduir U f () d Ercic A) Soit f la foctio défii sur IR par : f () l( + ) O désig par (C) sa courb (uit graph cm) ) a) Motrr qu Itrprétr géométriqumt l résultat f () b) Motrr qu f () ) a) Motrr qu pour tout rél o a : f () + l( + ) (O pourra écrir : + ( + ) b) E déduir qu la droit D : y + st u asymptot obliqu à (C)au voisiag d c) Détrmir la positio d (C) t D 3) a) Motrr qu pour tout rél o a : f () + b) Etudir ls variatios d f c) Motrr qu l équatio f (), admt u sul solutio 4) Tracr la courb (C) t ss asymptots B) Soit U la suit défii sur IN par : U t U f (U ) + t qu l( ) ) Motrr qu l o a : f () si t sulmt si [O pourra utilisr l résultat d A))a) ] ) a) Motrr par récurrc, qu pour tout tir aturl o a : U

8 b) Motrr qu la suit U st décroissat c) E déduir qu la suit U st covrgt t calculr sa it Ercic 3 Soit la suit ( I ) défii sur IN par I ) a) Calculr I t I b) Motrr à l aid d u itégratio par parti qu IN o a : I ( + )I 4 c) E déduir qu I ( 5 ) ) O pos J (5 + 3) d Calculr J 3) a) Motrr qu [, ] t IN b) E déduir qu IN o a : c) Calculr alors I d o a : I + + Ercic 4 A) O cosidèr la foctio f défii sur IR par : f () + f() - l si si > Soit (C) sa courb rpréstativ (uité graphiqu cm) ) a) Motrr qu f st cotiu b) Motrr qu f st dérivabl à gauch st qu l ombr dérivé à gauch st c) Etudir la dérivabilité d f à droit ) a) Etudir ls variatios d f sur ]-, ] puis sur ], + [ b) E déduir l tablau d variatio d f sur IR 3) a) Motrr qu la droit : y st u asymptot à (C) au voisiag d b) Précisr pour, la positio d (C) par rapport à c) Précisr pour >, la positio d (C) par rapport à : y d) Détrmir u équatio cartési d la tagt T à la courb (C) au poit A (, ) 4) Tracr,, T t (C) B) Soit g la rstrictio d f à l itrvall [, + [ ) a) Motrr qu g admt u foctio réciproqu g défii sur u itrvall J qu l o précisra O désig par ( C ) la courb rpréstativ d g B ( b) Vérifir qu la droit T défii das A)3)d) st tagt à la courb ( C ) au poit, ) c) Tracr ( C ) ) Soit I (, ) Calculr cm, l air du domai pla ité par ls as d coordoés l arc [ A ] I d la courb (C) t l arc [ B ] I d la courb ( C )

9 Ercic 5 Soit f la foctio défii sur ], [ ) a) Drssr l tablau d variatio d f f () l par : + b) Motrr qu f possèd u foctio réciproqu défii sur IR par g() ) O désig par (C) la courb d g ( Uité graphiqu 4cm ) a) Motrr qu (C) st symétriqu par rapport au poit I, b) Calculr g () pour tout IR t drssr l tablau d variatio d g c) Vérifir qu I (C) t motrr qu la tagt T à (C) I a pour équatio : d) Motrr qu pour tout IR 3) Soit h la foctio défii sur IR par g () 4 h() g() 4 a) Etudir l ss d variatio d h b) Calculr h() t déduir l sig d h () sur IR y + 4 4) Etudir la positio d (C) t T 5) a) Motrr qu l équatio f () possèd u sul solutio α t qu,5 < α <, 75 b) Tracr (C) t T t la courb (C ) d f 6) Soit G la primitiv d g tl qu () l G t F : a l[ g() ] a) Motrr qu pour tout IR F() G() b) Drssr l tablau d variatio d F c) Motrr qu la courb Γ d F st asymptot à la droit D : y au voisiag d d) Précisr la positio d Γ par rapport à D Tracr Γ Ercic 6 A) Soit f la foctio défii par f () + l( + 3) t soit (C) sa courb rpréstativ ) a) Motrr qu -, + st l domai d défiitio d la foctio f 3 b) Vérifir qu ], + [ 3 f () + l + l + o a : ) a) Drssr l tablau d variatio d f b) Motrr qu l équatio f () admt actmt du solutios α t β tlls qu :,4 < α <,3 t,9 < β < c) E déduir l sig d f () lorsqu décrit -, + 3) a) Etudir la positio rlativ d (C) par rapport à la droit D : y b) Costruir la courb (C) t la droit D ( uité graphiqu cm ) 3

10 B) Soit la foctio g défii sur [, + [ ) a) Motrr qu [, + [ b) Vérifir qu [, + [ g () - par : g () f Soit C g sa courb rpréstativ - o a : g() ( + 3) - o a : () ( ) c) Drssr l tablau d variatio d g d) Dor u équatio d la tagt T à C g au poit d absciss O ) Costruir C g t T das u autr rpèr ( uité graphiqu cm ) Ercic 7 A) Soit g la foctio défii sur IR par : g() ) a) Etudir ls variatios d g b) Déduir qu IR o a : g() B) Soit f la foctio défii sur IR par : f () + t soit (C) sa courb rpréstativ ) Motrr qu f () f () t qu Itrprétr ls résultats ) a) Motrr qu la droit : y st u asymptot obliqu à la courb (C) au voisiag d b) Précisr la positio d (C) par rapport à la droit 3) a) Motrr qu pour tout rél o a : f () g( ) b) E déduir qu la foctio f st strictmt croissat sur IR c) Drssr l tablau d variatio d f 4) Tracr la courb (C) précisat la tagt au poit d absciss -, o désig par Α(α) la msur d l air du domai 5) Soit α u rél d l itrvall ] [ pla ité par la courb (C), la droit t ls droits d équatios α t a) A l aid d u itégratio par parti primr Α (α) foctio d α b) Détrmir Α( α) Ercic 8 α Soit f la foctio défii sur IR par cm ) ) a) Calculr ) f ( t ) f ( f () + b) Motrr qu IR o a : f () ( + ) t soit (C) sa courb rpréstativ ( Uité c) Drssr l tablau d variatio d f ) a) Motrr qu l poit I d (C) d absciss st u ctr d symétri d (C) b) Dor u équatio cartési d la tagt T à (C) au poit I 3) O pos pour tout IR, g() f ()

11 a) Etudir ls variatios d g b) Motrr qu l équatio g () admt das IR u uiqu solutio α t qu,6 < α <, 7 c) Etudir alors ls positio rlativs d (C) t la droit : y 4) Costruir (C), T t 5) a) Motrr qu f réalis u bijctio d IR sur ], [ b) Calculr f () ], [ c) Costruir la courb (C ) rpréstativ d f das l mêm rpèr 6) calculr cm t foctio d α, l air A d la parti du pla ité par ls courbs (C) t (C ) l a ds abscisss t l a ds ordoés 7) Soit la suit ( U ) défii sur IN par : a) Motrr qu IN o a : U < α b) Motrr qu la suit ( U ) st croissat U t U f (U ) + c) E déduir qu la suit ( U ) st covrgt Détrmir U Ercic 9 Das tout l problèm désig u tir aturl o ul A/ ) Soit D la foctio défii sur par :D ++ a) Drssr l tablau d variatio d D b) Motrr qu l équatio D admt das u uiqu solutio / c) Prouvr qu </ < d) E déduir l sig d D suivat ls valurs d ) Soit la foctio défii sur par EF E F o désig par C la courb rpréstativ d a) Calculr (, ( t ( E déduir qu la courb C admt du asymptots qu l o précisra b) Motrr qu pour tout d, - EF G E F H c) Motrr qu / +/ d) Dor l tablau d variatio d 3) a) Etudir la positio rlativ d la courb C t la droit I:, b) Etudir la positio rlativ ds courb C t C + c) Tracr ls courbs C t C ( O prdra #$ pour uité d loguur ; o do /,4 t /, ) B/ J Soit J 4 t 4 ) Calculr

12 ) Motrr qu pour tout d l itrvall, EF 3) Motrr qu la suit st covrgt t calculr sa it 4) O pos K M MN a) Motrr qu pour tout tir aturl o ul O, M P b) E déduir qu l!l M M c) Motrr alors qu ( K Ercic O a rprésté ci-cotr, la courb (ζ ) d u foctio f défii, dérivabl t strictmt c Ls droits ( ) t ( ) d équatio rspctivs t sot ls asymptots à (ζ) La droit (T) st la tagt à (ζ ) O ) E utilisat l graphiqu détrmir f () t f () ) Soit g la foctio réciproqu d f t (ζ ) sa courb rpréstativ a) Détrmir g() t g () b) Tracr la courb (ζ ) 3) Sachat qu l prssio d g st d la form g() + a + b, pour tout IR, motrr utilisat c qui précèd qu 4) a) Vérifir qu g() +, pour tout + +, pour tout IR b) Calculr alors g () d 5) Soit A l air d la parti du pla ité ls courbs (ζ ) t (ζ ) ls droits d équatios t y a) Motrr qu A g() d b) E déduir A d croissat sur ], [ IR 6 EF EF EF6 M 4Q6 M S