Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

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1 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Table des matières 1 Vecteurs propres et espaces propres d un endomorphisme 2 11 Éléments propres d un endomorphisme 2 12 Obtention d éléments propres de Q(u) où Q [X ] à partir d éléments propres de u 2 2 Vecteurs propres et espaces propres d une matrice 2 21 Endomorphisme canoniquement associée à A n ( ) 2 22 Éléments propres d une matrice 2 23 Obtention d éléments propres de Q(A) où Q [X ] à partir d éléments propres de A 3 24 Recherche pratique des éléments propres d une matrice A n ( ) Cas des matrices triangulaires Cas des matrices de 2 ( ) Cas général 3 3 Propriétés générales 4 4 Polynôme annulateur d un endomorphisme 5 41 d un polynôme annulateur d un endomorphisme 5 42 Existence d un polynôme annulateur 5 43 Utilisation d un polynôme annulateur 5 5 Polynôme annulateur d une matrice carrée 5 51 d un polynôme annulateur d une matrice carrée 5 52 Existence d un polynôme annulateur 5 53 Utilisation d un polynôme annulateur 5 6 Réduction des endomorphismes 6 61 Diagonalisabilité 6 62 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité 6 63 Condition suffisante de diagonalisabilité 6 7 Réduction des matrices carrées 6 71 Diagonalisabilité 6 72 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité 6 73 Condition suffisante pour qu une matrice soit diagonalisable 7 8 Lien entre endomorphisme et matrice 7 9 Étude de quelques matrices ou endomorphismes particuliers 7 91 Endomorphisme ou matrice n ayant qu une valeur propre 7 92 Endomorphisme de n [X ] qui n augmente pas le degré 7 93 Matrices stochastiques 8 94 Matrices symétriques à coefficients réels 8 10 Application de la diagonalisation au calcul des puissances d une matrice carrée diagonalisable ou d un endomorphisme diagonalisable 9 11 Quelques questions classiques 9 1

2 Dans tout ce chapitre, E désigne un -espace vectoriel non réduit au vecteur nul, de dimension finie 1 Vecteurs propres et espaces propres d un endomorphisme 11 Éléments propres d un endomorphisme Soit u (E) On dit que λ est une valeur propre de l endomorphisme u si et seulement si : x E { 0 E } / u( x) = λ x Un tel vecteur x est alors appelé vecteur propre de u associé à la valeur propre λ Autrement dit, λ est valeur propre de u si et seulement si Ker(u λid E ) { 0 E } c est-à-dire si et seulement si u λid E n est pas injectif On appelle sous-espace propre de u associé à la valeur propre λ l ensemble constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés à λ, c est à dire l ensemble : E(λ) = { x E u( x) = λ x} = Ker(u λid E ) L ensemble des valeurs propres de u s appelle le spectre de u, on le note Sp(u) Propriété Soit u (E) 0 Sp(u) Ker(u) { 0 E } Si 0 Sp(u) alors E(0) = Ker(u) u est injectif 0 Sp(u) 12 Obtention d éléments propres de Q(u) où Q [X ] à partir d éléments propres de u Soient u (E), Q [X ], x E et λ Si u( x) = λ x alors Q(u)( x) = Q(λ) x 2 Vecteurs propres et espaces propres d une matrice 21 Endomorphisme canoniquement associée à A n ( ) Soit A n ( ) On note u A l endomorphisme de n,1 ( ) : X n,1 ( ) u A (X ) = AX n,1 ( ) On dit que u A est l endomorphisme de n,1 ( ) canoniquement associé à A La matrice de cet endomorphisme dans la base canonique de n,1 ( ) est A 22 Éléments propres d une matrice Soit A n ( ) Les éléments propres de A sont les éléments propres de u A En d autres termes : On dit que λ est une valeur propre de la matrice A si et seulement si : X n,1 ( ) {0} / AX = λx Une telle matrice colonne X est alors appelée vecteur propre de la matrice A associé à la valeur propre λ On appelle sous-espace propre de la matrice A associé à la valeur propre λ le sous-espace vectoriel de n,1 ( ) constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés à λ c est-à-dire : E(λ) = {X n,1 ( ) AX = λx } = Ker(A λi n ) 2

3 On appelle spectre de la matrice A l ensemble Sp(A) constitué des valeurs propres de A (on le note aussi Sp (A) Sp (A) Sp (A), mais l inclusion peut être stricte) Propriétés Soient A n ( ) et λ λ est une valeur propre de la matrice A Ker (A λi n ) {0} λ est une valeur propre de la matrice A A λi n n est pas inversible En particulier, la matrice A est inversible si et seulement si 0 / Sp(A) λ est une valeur propre de la matrice A rg(a λi n ) < n Si λ Sp(A), alors E(λ) = Ker(A λi n ) est un sous-espace vectoriel de n,1 ( ) de dimension n rg(a λi n ) 23 Obtention d éléments propres de Q(A) où Q [X ] à partir d éléments propres de A Soit A n ( ), Q [X ], X n,1 ( ) et λ Si AX = λx alors Q(A)X = Q(λ)X 24 Recherche pratique des éléments propres d une matrice A n ( ) 241 Cas des matrices triangulaires Si A n ( ) est triangulaire (supérieure ou inférieure), les valeurs propres de A sont exactement ses éléments diagonaux 242 Cas des matrices de 2 ( ) a b Soient A = c d 2 ( ) et λ λ est une valeur propre de A si et seulement si (a λ)(d λ) bc = 0 Exercice 1 Déterminer les éléments propres de la matrice suivante : 3 5 A = Cas général Soit A n ( ) Méthode 1 On utilise le résultat : λ est une valeur propre de la matrice A rg(a λi n ) < n On recherche alors le rang de la matrice A λi n en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes de A λi n On note C 1,, C n les colonnes de la matrice A λi n et L 1,, L n les lignes de la matrice A λi n Le rang de la matrice A λi n est inchangé par une des opérations élémentaires suivantes : C j C j + βc i avec i j C j βc j avec β 0 Permutation des colonnes L j L j + β L i avec i j L j β L j avec β 0 Permutation des lignes 3

4 Exercice 2 Déterminer les éléments propres des matrices suivantes : Méthode 2 On utilise le résultat : B = , C = λ est une valeur propre de la matrice A Ker (A λi n ) {0} On recherche alors le noyau de la matrice A λi n (0) Exercice 3 Soit J = n ( ) Déterminer les éléments propres de J Propriétés générales Soit u (E) On suppose que λ 1,, λ p (p ) sont p valeurs propres de u deux à deux distinctes Pour tout i [1, p ], on note E(λ i ) l espace propre de u associé à λ i Alors : La somme E(λ 1 ) + + E(λ p ) est directe Remarque Si pour tout i [1, p ], on considère une base i de E(λ i ) alors 1 p est une famille libre de E Corollaire Une concaténation de familles libres de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes forme une famille libre de E En particulier, une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est une famille libre de E Soit u (E) Alors u admet un nombre fini de valeurs propres Plus précisément : Card(Sp(u)) dim(e) Les sous-espaces propres sont en somme directe et par suite : dim ker(u λid E ) dim(e) λ Sp(u) Soit A n ( ) Alors A admet au plus n valeurs propres distinctes Card(Sp (A)) n Les sous-espaces propres de A sont en somme directe et par suite : 4 λ Sp (A) dim ker(a λi n ) n

5 4 Polynôme annulateur d un endomorphisme 41 d un polynôme annulateur d un endomorphisme Soit u (E) On dit que Q [X ] est un polynôme annulateur de u si et seulement si Q(u) = 0 Exemples Soit u (E) u est un projecteur si et seulement si X 2 X est un polynôme annulateur de u u est une symétrie si et seulement si X 2 1 est un polynôme annulateur de u u est une homothétie si et seulement si u admet un polynôme annulateur de degré 1 42 Existence d un polynôme annulateur d existence d un polynôme annulateur Tout endomorphisme d un -espace vectoriel E de dimension finie admet au moins un polynôme annulateur non nul 43 Utilisation d un polynôme annulateur Si Q est un polynôme annulateur de u et λ une valeur propre de u, alors λ est racine de Q c est à dire que : Attention toutefois, la réciproque est fausse λ Sp(u) = Q(λ) = 0 5 Polynôme annulateur d une matrice carrée 51 d un polynôme annulateur d une matrice carrée Soit A n ( ) On dit que Q [X ] est un polynôme annulateur de A si et seulement si Q(A) = 0 52 Existence d un polynôme annulateur d existence d un polynôme annulateur Toute matrice de n ( ) admet un polynôme annulateur non nul Corollaire Soit A n ( ), alors A admet au moins une valeur propre complexe 53 Utilisation d un polynôme annulateur Soit A n ( ) Soit P [X ] Si P est un polynôme annulateur de A alors les valeurs propres de A sont parmi les racines de P, c est à dire que : λ Sp(A) = P(λ) = 0 5

6 6 Réduction des endomorphismes 61 Diagonalisabilité Soit u (E) L endomorphisme u est dit diagonalisable lorsqu il existe une base de E constituée exclusivement de vecteurs propres de u C est-à-dire si et seulement si il existe une base de E telle que Mat (u) soit une matrice diagonale Remarque Dans ce cas, la diagonale de cette matrice est constituée de valeurs propres de u écrites dans l ordre des vecteurs propres de la base 62 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité : condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité Soit u (E) u est diagonalisable E = ker(u λid E ) λ Sp(u) u est diagonalisable dim(e) = λ Sp(u) Remarque Tout projecteur p (E) est diagonalisable Toute symétrie s (E) est diagonalisable dim ker(u λid E ) 63 Condition suffisante de diagonalisabilité Si u (E) admet n = dim(e) valeurs propres deux à deux distinctes alors u est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont tous de dimension 1 7 Réduction des matrices carrées 71 Diagonalisabilité et définition Soit A n ( ) On note u A l endomorphisme de n,1 ( ) canoniquement associé à A définition A est diagonalisable u A est diagonalisable A est diagonalisable A est semblable à une matrice diagonale c est-à-dire A est diagonalisable si et seulement s il existe une matrice P inversible telle que P 1 AP est une matrice diagonale Remarque Les colonnes de P forment une base de n,1 ( ) constituée de vecteurs propres de A 72 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité Soit A n ( ) A est diagonalisable n,1 ( ) = A est diagonalisable n = λ Sp(A) λ Sp(A) dim E(λ) E(λ) 6

7 73 Condition suffisante pour qu une matrice soit diagonalisable Si A n ( ) admet n valeurs propres deux à deux distinctes alors A est diagonalisable et ses sousespaces propres sont tous de dimension 1 8 Lien entre endomorphisme et matrice : E est un -espace vectoriel de dimension n est une base de E Soit u (E) On note A = Mat (u) n ( ) Alors λ est valeur propre de u λ est valeur propre de A x est un vecteur propre de u associé à la valeur propre λ X est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ (où X est la matrice colonne des coordonnées de x dans la base ) u est diagonalisable A est diagonalisable dans Soit u (E) de matrice A dans la base On suppose que u est diagonalisable dans une base de vecteurs propres = ( e 1,, e n) associés aux valeurs propres respectives λ 1,, λ n (non nécessairement deux à deux distinctes) On pose : D = diag(λ 1,, λ n ) et P = P, Alors : D = P 1 AP ou bien A = P DP 1 Exercice 4 Soit n Soit u : u est-il diagonalisable? n [X ] n [X ] P P 1 n P Déterminer les éléments propres de u Exercice 5 Soit a fixé Soit u : u est-il diagonalisable? 3 [X ] 3 [X ] P (X a)p + ap Déterminer les valeurs propres de u 9 Étude de quelques matrices ou endomorphismes particuliers 91 Endomorphisme ou matrice n ayant qu une valeur propre Propriété Un endomorhisme u de E n ayant qu une seule valeur propre λ est diagonalisable si et seulement si il est égal à λid E Une matrice A de n ( ) n ayant qu une seule valeur propre λ est diagonalisable si et seulement si elle égale à λi n 92 Endomorphisme de n [X ] qui n augmente pas le degré Propriété Soit u un endomorphisme de n [X ] tel que : P n [X ], deg u(p) deg P Alors la matrice de u dans la base canonique de n [X ] est triangulaire supérieure et par suite sa diagonale fournit les valeurs propres de u 7

8 93 Matrices stochastiques Exercice 6 On considère l espace vectoriel n (où n 2) rapporté à sa base canonique, notée = (e 1, e 2,, e n ) On se propose d étudier l ensemble S n des matrices stochastiques d ordre n, c est-à-dire des éléments M = (m i j ) 1 i,j n n ( ) dont les coefficients sont réels positifs ou nuls et tels que, pour tout nombre entier i appartenant à [1, n ] : m i,1 + m i,2 + + m i,n = 1 (Ces matrices jouent un rôle important, notamment en calcul des probabilités) 1 Soit V 1 la matrice colonne d ordre n dont les coefficients sont tous égaux à 1 (a) Montrer qu une matrice M de n ( ) à coefficients réels positifs ou nuls est stochastique si et seulement si M V 1 = V 1 (b) En déduire que, pour tout couple (A, B) d éléments de S n, le produit AB appartient encore à S n, de même que les puissances positives de A et B 2 On désigne par f un endomorphisme de n dont la matrice M = (m i,j ) dans la base est stochastique Pour tout vecteur x = (x 1, x 2,, x n ) de n, on convient de noter : x = max( x1, x2,, xn ) On admettra que, pour tout x n, pour tout λ λx = λ x (a) Établir que, pour tout élément x de n, f (x) x (b) En déduire que les modules de toutes les valeurs propres de f sont inférieurs ou égaux à 1 Montrer que 1 est valeur propre de f 94 Matrices symétriques à coefficients réels Toute matrice de n ( ) symétrique est diagonalisable dans n ( ) Exercice 7 Soit n 2 On considère la matrice J = 1 n ( ) Montrer que J est diagonalisable 2 Montrer que J 2 = nj 3 Montrer Sp J= {0, n} 4 Montrer que l espace propre de J associé à la valeur propre 0 est l hyperplan de n,1 ( ) déquation : x x n = Montrer que l espace propre de J associé à la valeur propre 0 est la droite vectorielle dirigée par 1 a (b) 6 a et b sont deux réels On considère la matrice M(a, b) = (b) n ( ) a (a) Déterminer un polynôme Q 1 [X ] vérifiant M(a, b) = Q(J) (b) En déduire les éléments propres de M(a, b) 8

9 10 Application de la diagonalisation au calcul des puissances d une matrice carrée diagonalisable ou d un endomorphisme diagonalisable : Puissances successives d une matrice diagonalisable Soit A n ( ) une matrice diagonalisable dans telle que A = P D P 1 où P est inversible et D est diagonale Alors : k, A k = P D k P 1 Exercice 8 Soit u (E)(E est un espace vectoriel sur de dimension finie) On suppose que u admet exactement 2 valeurs propres distinctes α et β et que u est diagonalisable Ansi E(α) E(β) = E On peut donc considérer le projecteur p sur E(α) parallèlement à E(β) et le projecteur q sur E(β) parallèlement à E(α) 1 Déterminer p + q, αp + βq, p q et q p 2 Montrer que : n, u n = α n p + β n q 11 Quelques questions classiques 1 E est un espace vectoriel sur de dimension finie n 2 Soit u (E) de rang 1 Montrer que u est diagonalisable si et seulement si u 2 n est pas l endomorphisme nul 2 Soit n, n 2 On considère une matrice A n ( ) de rang 1 Montrer que A est diagonalisable si et seulement si la trace de A n est pas nulle Exercice 9 Soit n, n 2 On considèrea 1,, a n n nombres complexes non tous nuls a 1 a 1 a 1 a On pose A = 2 a 2 a 2 n ( ) a n a n a n Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de A A est-elle diagonalisable? Indication : Remarquer que A est une matrice de rang 1 et écrire A sous la forme C L où C est une matrice colonne et L une matrice ligne 3 Soit A n ( ) Montrer que : Sp (A) = Sp( t A) (une matrice et sa transposée ont les mêmes valeurs propres) Soit λ Sp (A) = Sp( t A), montrer que l espace propre de A associé à la valeur propre λ a la même dimension que l espace propre de t A associé à la valeur propre λ 4 Soit A n ( ) diagonalisable Ainsi : P n ( ) et (λ 1,, λ n ) n /P 1 AP = diag(λ 1,, λ n ) n Montrer que Tr(A) = λ i i=1 5 Soit A n ( ) ayant n valeurs propres distinctes Soit M n ( ) telle que AM = MA Montrer que tout vecteur propre de A est un vecteur propre de M En déduire qu il existe une matrice P n ( ) telle que P 1 AP et P 1 M P soient diagonales 6 Soit A n ( ) ayant n valeurs propres distinctes Soit M n ( ) telle que M 2 = A Montrer que AM = MA En déduire que tout vecteur propre de A est un vecteur propre de M En déduire qu il existe une matrice P n ( ) telle que P 1 AP et P 1 M P soient diagonales 7 Soit u (E) Soit D une droite vectorielle de E Alors D est stable par u D est dirigée par un vecteur propre de u 9