Dans tout ce qui suit, n, m et p sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.

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1 I Généralités sur les matrices Activité 1 Dans tout ce qui suit, n, m et p sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1 Une matrice A de dimensions m p est un tableau de nombres à m lignes et p colonnes Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice A Pour 1 i m et 1 j p, on note a ij le coefficient de la matrice A situé au croisement de la i-ème ligne et de la j-ème colonne A = a 11 a 12 a 13 a 1p a 21 a 22 a 23 a 2 p a m1 a m2 a m3 a mp est une matrice de taille 2 3 Une matrice de dimension 1 p est appelée vecteur-ligne ou matrice-ligne Une matrice de dimension m 1est appelée vecteur-colonne ou matrice-colonne Si m = p alors la matrice est dite carrée d ordre p B = est une matrice carrée de taille 2 Propriété Deux matrices sont égales ssi elles ont la même taille et ont les coefficients égaux placés aux mêmes positions 1

2 II Opérations sur les matrices 1 Somme de matrices La somme de deux matrices de mêmes dimensions m p est la matrice de dimension m p obtenue en ajoutant entre eux les coefficients occupant la même position dans chacune des matrices = Propriété Soit A, B et C trois matrices de mêmes dimensions Alors on a : A + B = B + A : on dit que la somme de matrices est commutative ; A + B + C ( ) = A + ( B + C) : on dit que la somme de matrices est associative 2 Produit d une matrice par un nombre réel Le produit d'une matrice par un nombre réel est la matrice obtenue en multipliant chacun des coefficients de cette matrice par ce nombre réel Si A = alors 2A = Produit d une matrice carrée par une matrice colonne Soit A une matrice carrée de taille n et B une matrice colonne à n lignes telles que : a 11 a 12! a 1n b 1 a A = 21 a 22! a 1n b et B = 2!!!!! a n1 a n2! a nn b n Le produit de la matrice carrée A par la matrice colonnes B est la matrice colonne à n lignes notée A B telle que : 2

3 a 11 b 1 a 12 b 2! a 1n b n a A B = 21 b 1 a 22 b 2! a 2n b n!!!! a n1 b 1 a n2 b 2! a nn b n A = et B = , alors A B = = 26 5 II Produit de deux matrices carrées Activité 2 Soit A et B deux matrices de même taille Le produit de A et B est la matrice, notée A B, dont les colonnes correspondent au produit de chaque ligne de la matrice A par chaque colonne de la matrice B A = et B = ( ) ( ) ( ) + ( 3) ( 3) 2 ( ) A B = = et B A = = 4 2 Remarque = La multiplication de matrices n est pas commutative : A B B A = Propriétés Soit A, B et C trois matrices carrées de même taille et un réel k Associativité : A B ( ) C = A ( B C) = A B C ( ) = A B + A C et ( A + B) C = A C + B C ( ) B = A( kb) = k ( A B) Distributivité : A B + C ka 3

4 et propriété 1 0! " # La matrice carrée d ordre n notée I n = dans laquelle tous les coefficients # "" 0 0! 0 1 sont nuls sauf ceux qui sont situés sur la diagonale principale, qui sont égaux à 1, est appelée matrice identité d ordre n Pour toute matrice carrée A d ordre n, on a : A I n = I n A = A Exercice 1 Un élève qui suit un cours de programmation informatique a 80 % de chance de poursuivre son cours le prochain semestre et 20 % de chance d'entreprendre un nouveau cours Un élève qui ne suit pas un cours de programmation Informatique a 30 % de chance d'entreprendre le cours de programmation et 70 % de chance de ne pas entreprendre ce cours Pendant le premier semestre, 600 élèves suivaient le cours de programmation Informatique et 240 élèves ne suivaient pas ce cours 1 Représenter la situation à l aide d un schéma 2 Utiliser les matrices pour déterminer la distribution pour les deux prochains semestres III Systèmes linéaires : Inverse d une matrice carrée Activité 3 1 Ecriture matricielle d un système linéaire On se donne un système linéaire de n équations à n inconnues,x 2,,x n : a 11 + a a 11 = b 1! a 1n + a 2n + + a nn = b n a 11! a 1n b 1 a Posons A = 21! a 1n x, X = 2 b et B = 2!!!!! a n1! a nn x n b n ( ) Alors le système linéaire 1 ( 1) peut s écrire sous forme matricielle : AX = B 4

5 s Système 2 2 : 2x + y = 0 Le système peut s écrire sous x + 4y = x forme matricielle : 1 4 y = 0 1 Système 3 3 : x 2z = 1 Le système y 3z = 1 peut s écrire sous x + 2y = x 1 forme matricielle : y = z 4 2 Inverse d une matrice et propriété Soit A une matrice carrée d'ordre n S'il existe une matrice A' carrée d'ordre n telle que AA' = A' A = I n alors on dit que la matrice A est inversible, et la matrice A ' est appelée matrice inverse de A La matrice inverse de A, quand elle existe, est unique et est notée A 1 Calcul de l'inverse d'une matrice A part dans des cas simples, l'étude de l inversibilité et le calcul «à la main» de l'inverse d'une matrice carrée, en résolvant un système linéaire, est difficile à mettre en œuvre On préférera souvent utiliser la calculatrice ou un logiciel Un cas particulier est à retenir néanmoins, où le calcul direct est possible : Théorème Soit A = a b c d une matrice carrée d'ordre 2 On a A inversible ad bc 0 et alors A 1 = 1 d b ad bc c a Remarque Le nombre ad bc est appelé déterminant de la matrice A Démonstration Soient A = a b c d et B = d b c a 5

6 ab bc 0 Alors A B = 0 ad - bc = ( ad bc) I 2 1 Si ad bc 0 on a ad bc A B = I, cad A 1 2 ad bc B = I, donc A est 2 inversible Si ad bc = 0 on a A B = , donc A n est pas inversible Car si A était inversible d inverse la matrice C, on aurait C A B = I 2 B = B et de plus C A B = C = et donc B = 0 0 ce qui est impossible C = , comme = 1 0, alors C est inversible est on a : C 1 = = On vérifiera alors que CC 1 = C 1 C = I 2 Remarque On peut résoudre C C 1 = I 2 cad a b c d On retrouve évidemment le résultat à la calculatrice Théorème = Soit( S) un système dont une écriture matricielle est AX = B, où A est une matrice carrée d ordre p inversible Alors ce système est appelé système de Cramer Un tel système admet une unique solution, donnée par X = A 1 B Exercice 2 Déterminer la matrice colonne X vérifiant AX = X + B avec A = Réponse et B = 1 2 On a AX = X + B AX X = B ( A I 2 ) X = B Posons C = A I 2, on a CX = B C = = On a vu que précédemment que C est inversible 6

7 On a donc X = C 1 B = = 10 7 Exercice 3 Résoudre le système ( S)suivant : Réponse 5x + 2y = 16 4x + 3y = 17 Il suffit de résoudre l équation matricielle AX = B, avec A = B = A est inversible car = Et on a : A = Ainsi on a X = A B = = Le système a donc pour solution le couple ( x; y) = ( 2;3) , X = x y et 7