Matrices et recherche de courbes sous contraintes

Transcription

1 Lyée Frnçis de DOH nnée Mtries et reherhe de oures sous ontrintes ) Coures sous ontrintes : retour sur des s simples L reherhe d une fontion polynomile f de degré 1 n dont l oure f C psse pr n points donnés onduit à érire un système de n équtions otenues grâe à l reltion : f x f y C y x ; Exemple : On donne trois points 6 1 ;, 8 3 ; B et 0 ; C On reherhe l fontion f du seond degré telle que s oure représenttive psse pr les points :, B et C On pose : x x x f où, et sont des nomres à déterminer L reherhe d'une fontion polynôme de degré onduit à reherher 3 réels, et don à résoudre un système ynt 3 inonnues De même, pour une fontion de degré n, on reherhe 1 n réels, don un système ynt 1 n inonnues 1) Existene d une telle fontion : On vérifie que les trois points ne sont ps lignés r sinon il s git d une droite : le oeffiient direteur de l droite B est : B B x x y y le oeffiient direteur de l droite BC est : 5 0, C B C B x x y y Ces oeffiients direteurs ne sont ps égux don les droites B et BC ne sont ps prllèles, les points, B et C ne sont don ps lignés ) Détermintion du système donnnt les vleurs : ; C f ; C B f 0 0 ; 0 C C f On otient don le système suivnt : ) Résolution du système : N ynt ps d utre méthode, nous llons résoudre e système «à l min» : D où l fontion f définie sur R pr : 5 x x x f Conlusion : Cette résolution, si elle outie, reste nénmoins ssez pénile du fit de l résolution du système Nous llons don herher une méthode plus rpide pour le résoudre

2 B) Mtries : introdution intuitive 1 Qu est-e qu une mtrie? Voii les produtions (en milliers) de deux usines de yles pprtennt à une même enseigne pour le premier semestre de l nnée 010 : Si on veut fire entrer les données de e tleu dns un enhînement de lul, on les regroupe dns le tleu de nomres suivnt ppelé mtrie : Cette mtrie lignes et 5 olonnes On dit que ette mtrie est de formt 5 Elle ontient 10 éléments, ppelés «oeffiients de l mtrie» Pour repérer un oeffiient d'une mtrie, on indique son indie de ligne puis son indie de olonne, les lignes se omptnt du hut vers le s et les olonnes de l guhe vers l droite L disposition générle des oeffiients de l mtrie est don l suivnte : 3 désigne le terme de l ème ligne et de l 3 ème olonne : 3, 16 Mtries lignes et mtrie olonnes L prodution de l usine 1 pour le premier semestre 011 peut être représentée pr l mtrie 1,99 13,0 5,58 1,53 1,95 ppelée «mtrie ligne» de formt 1 5 1,99 L prodution des VTT dultes dns les deux usines est représentée pr l mtrie, qui est 4,6 ppelée «mtrie olonne» de formt 1 3 Somme et différene de deux mtries Les produtions (en milliers) des deux usines de yles pour le seond semestre de l nnée 010 sont les suivntes : Ces données sont représentées pr l mtrie : L mtrie C représentnt l prodution nnuelle pour es deux usines est otenue en joutnt termes à termes les oeffiients des deux mtries et B L mtrie C est, pr définition, l somme des mtries et B On note : C B Lyée Frnçis de DOH nnée

3 Si l on ppelle ij l élément de l i ième ligne et j ième olonne de l mtrie C, on, pour tout i égl à 1 ou et pour tout j ompris entre 1 et 5 : ij ij ij Pr définition, l mtrie B est l différene des mtries C et : B C On lors pour tout i égl à 1 ou et pour tout j ompris entre 1 et 5 : Ces opértions sont rélisles sur des mtries de même formt 4 Multiplition et division d une mtrie pr un réel L mtrie D qui représente l prodution mensuelle moyenne dns es deux usines est otenue en 1 divisnt hun des oeffiients ij pr 1 insi on otient l mtrie D C qui vut : 1 ij ij ij C) Définition d une mtrie Définition : Un tleu de nomre ynt n lignes et p olonnes est une mtrie de dimension notée «n p» Une mtrie à une seule ligne est ppelée mtrie ligne Une mtrie à une seule olonne est ppelée mtrie olonne Exemple : Les oeffiients du système de l prtie ) peuvent s érire sous forme d une mtrie et les seonds memres sous forme pr une mtrie olonne B ve : et B On otient lors : Lyée Frnçis de DOH nnée

4 D) Prinipe de multiplition sur les mtries : (ligne pr olonne) Le produit d'une mtrie ligne à n éléments pr une mtrie olonne B à n éléments s otient en multiplint le premier élément de pr le premier élément de B, le deuxième élément de pr le deuxième élément de B et insi de suite jusqu'u dernier élément de pr le dernier élément de B puis en joutnt tous es produits ttention : l ordre est importnt : B B Exemple : Un mgsin fit une promotion sur qutre rtiles le fé (3,50 ), l soupe (1,50 ), l huile (4,0 ) et l eu minérle (0,65 ) Une ssoition hète 8 pquets de fé, 3 soupes, 4 outeilles d'huile et 60 outeilles d eu On veut hiffrer l dépense Pour el, on trduit les prix en une mtrie olonne C et les quntités en mtrie ligne D et on effetue le produit : D C L dépense totle est don de 131,80 E) Produit de mtries Définition : Le produit d une mtrie de dimension m p pr une mtrie B de dimension p n est une mtrie C de dimension m n L élément de C plé en ligne k et olonne j est le produit de l ligne k de l mtrie pr l olonne j de l mtrie B, suivnt le prinipe de multiplition vu en D) Lyée Frnçis de DOH nnée

5 Exemple : Trois lients hètent les mêmes 4 rtiles dns deux mgsins Mg et Net qui prtiquent les prix suivnts : Les quntités, de es 4 rtiles, hetées de pr es trois lients sont les suivntes : On désire onnître leurs dépenses respetives On trduit le tleu des quntités pr une mtrie de dimension 3 4 et le tleu des prix pr une mtrie B de dimension 4 L mtrie des dépenses des trois lients dns les deux mgsins est le produit mtriiel B C, mtrie de dimension 3 : On peut lors trduire es luls sous forme de tleu pour onlure : Lyée Frnçis de DOH nnée

6 Exerie n 1 : Pour hque mois du seond trimestre 011, on donne i-dessous l'évolution en euros des prix HT (hors txes) de 4 ppreils reflex numériques : Rppel : l TV est de : 19,6% 1) Donner une reltion lint P TTC, P HT et P TV ) Cluler l mtrie P TV des montnts pyés pour l TV pr ppreil et pr mois sur le nd trimestre 011 3) En déduire l mtrie P TTC des prix TTC des 4 ppreils sur hque mois du nd trimestre 4) Pr quel lul urit-on pu otenir diretement P TTC à prtir de P HT? Exerie n : Dns hque s, l multiplition B -t-elle une signifition? Si non, pourquoi? 1) L première ligne de désigne les quntités de jus d ornge hetées pr Félix et Zoé et l seonde désigne les quntités de jus de pomme B désigne les prix unitires TTC, en euro, du jus d ornge et du jus de pomme 5 3 et B 4 8 1,5 ) L première ligne de désigne le prix unitires, en euro, d'une rêpe et d'une gufre hez SLOW et l seonde désigne les prix hez FST B désigne les quntités de rêpes et de gufres à ommnder 1,5 1,7 30 et B 1,8 1,75 50 Exerie n 3 : On onsidère les 4 mtries i-dessous : Indiquer si les produits i-dessous sont possiles et préiser, si tel est le s, l dimension de l mtrie produit : 1) B ) B 3) B C 4) C D 5) D 6) D B Lyée Frnçis de DOH nnée

7 Exerie n 4 : Trois mgsins spéilisés en informtique vendent, entre utres, des imprimntes, des rtouhes d enre et des ordinteurs Pour hun des mtériels on s intéresse uniquement à un modèle ien préis vendu en promotion durnt un mois À l fin de e mois de promotion hque mgsin fit le iln des ventes qui est résumé dns le tleu suivnt : 1) Déterminer, pour hun des trois mgsins, quel étit le montnt totl des hts de mtériel ) Déterminer, pour hun des trois mgsins, l reette totle otenue durnt e mois de promotion 3) En déduire, pour hun des trois mgsins, le montnt des énéfies du mois Exerie n 5 : Une entreprise doit équiper 5 slles en ureu, rmoire, élirge et hise Le servie omptle relevé les prix unitires, en euro, dns deux mgsins d'meulement spéilisés : OFFI et BURO 1) Erire l mtrie des quntités et l mtrie des prix B qui permettent de luler le montnt de l fture dns hun des mgsins ttention à l ordre d'ériture des mtries, fin que le produit B it une signifition ) Cluler B et interpréter les résultts otenus 3) Cluler le montnt totl des hts dns les mgsins OFFI et BURO 4) Quel est le mgsin le plus vntgeux? Lyée Frnçis de DOH nnée

8 Exerie n 6 : Une entreprise frique deux types de produits notés et B Ces produits sont friqués sur trois sites de prodution S 1, S et S 3 En septemre 01 : le site S 1 friqué 50 milliers d rtiles et 70 milliers d rtiles B ; le site S friqué 40 milliers d rtiles et 90 milliers d rtiles B ; le site S 3 friqué 10 milliers d rtiles B ; On représente l prodution du mois : de septemre 01 à l ide de l mtrie P d otore 01 à l ide de l mtrie P Prtie : 1) Déterminer l mtrie T 1 représentnt l prodution totle des mois de septemre et otore pour hque site ) En novemre 01, pour fire fe à l demnde, l diretion déide d ugmenter de 10% l prodution du mois d otore de hque rtile, dns hque site Déterminer l mtrie P représentnt l prodution de novemre 01 Prtie B : 1) Le oût de l min d œuvre est le même pour hque rtile friqué, mis il diffère selon le site de prodution Pour S 1 le oût de l min d œuvre est de 5 ; pour S, il est de 8 et pour S 3 il est de 30 ) Représenter le oût de l min d œuvre pr une mtrie olonne C ) Cluler, à l ide d un produit de mtries, l mtrie M 1 représentnt le oût de l min d œuvre, en otore 01, pour l frition des rtiles et B ) Le prix de l mtière première néessire à l frition de hque rtile est de 18 pour un rtile et pour un rtile B ) Représenter le oût de l mtière première pr une mtrie ligne L ) Cluler, à l ide d un produit de mtries, l mtrie 1 représentnt le montnt des hts de mtière première néessire à l frition des rtiles en otore 01 pour hun des trois sites Prtie C : 1) 0% des rtiles et 40 % des rtiles B sont destinés à l exporttion ) Cluler «mnuellement» le produit mtriiel suivnt : 0, 0, ,8 0, ) Donner une interpréttion du produit : 1 0, 0, ,8 0, ) Le prix de vente d un rtile est de 56 et elui d un rtile B est de 6 l ide d un lul mtriiel, déterminer le hiffre d ffire rélisé pr ette entreprise en otore 01, en supposnt que toute l prodution été vendue Lyée Frnçis de DOH nnée

9 F) Mtries inverse Définition : Une mtrie rrée est une mtrie ynt le même nomre de lignes n que de olonnes S dimension est n n ou n On prle de mtrie rrée d ordre n L mtrie identité I d ordre n est l mtrie omposée de zéros, suf l digonle qui ne ontient que des 1 Soit une mtrie rrée d ordre n, lors: I I L mtrie inverse d'une mtrie rrée, si elle existe, est l mtrie rrée telle que : 1 1 I Exemples : Mtrie identité d ordre 4 : L mtrie inverse de s otient à l lultrie pr l touhe inverse : Remrque : Toutes les mtries ne sont ps inversiles : L lultrie indique une erreur : Lors de l résolution de système, el indique que le système n ps de solution unique Lyée Frnçis de DOH nnée

10 G) Résolution d'un système pr lul mtriiel L reherhe d'une fontion polynôme du seond degré : f x x x dont l oure C psse pr trois points donnés, onduit à résoudre un f système de 3 équtions à 3 inonnues, et On prle de système 3 3 Sous ertines onditions sur es points (non lignement), l fontion f est unique 3 Si on herhe une fontion polynôme de degré 3 : f x x x x d qutre inonnues pprissent :,, et d Il est néessire de onnître qutre points Générlistion : Dns l résolution d'un système de n équtions à n inonnues : l mtrie des oeffiients du système est une mtrie rrée d ordre n l mtrie X des inonnues est une mtrie olonne à n lignes l mtrie B des seonds memres est une mtrie olonne à n lignes L reherhe des oeffiients de l fontion polynômile f se trduit pr un système qui s'érit sous forme d'une éqution mtriielle : X B Si l mtrie inverse de l mtrie existe, lors l fontion f existe et ses oeffiients sont otenus à l lultrie pr : X 1 B Remrque : 1 Lors de l résolution de l éqution mtriielle X B on multiplie à guhe pr si l mtrie inverse existe : X B or I don X I X X Exemple : Le oût totl de prodution est onnu pour quelques niveux de prodution : On herhe à modéliser pr une fontion du 3 ème 3 degré : f x x x x d L pprtenne des points à l oure C représentnt l fontion f onduit à résoudre le système : d d 4, on pose lors 8 4 d 5,6, d On lors : X B d où X B et don l ide de l lultrie on lule : f 4,4 X et B 5,6 d 8 X 1 B Lyée Frnçis de DOH nnée Pr leture du résultt de l lultrie, 0, 1 ; 0, 9 ; 3, et d 3 D où l fontion : x 0,1 x 0,9x 3,x f

11 Exerie n 7 : Pour hque système, indiquer les inonnues, l mtrie des oeffiients et l mtrie B des seonds memres, puis les résoudre : 3x 5y , 1) 4x 10y 4 3) ,8 x y z ) x 3y z 136 x y 3z 143 Exerie n 8 : On onsidère l prole P pssnt pr les points 0 ; ; B 3 ; 3 et 6 ; 6 1) Montrer que es points ne sont ps lignés C ) Soit f l fontion ssoiée à l prole P telle que : f x x x ) Déterminer un système dont les réels, et de ette fontion f sont solutions ) Résoudre le système préédent et déterminer l fontion f reherhée Exerie n 9 : Une ville vu s popultion ugmenter entre 1975 et 010 Mrjorie, stgiire ux servies muniipux, relevé l popultion tous les 5 ns, en dizine de milliers d'hitnts, et l' représentée sur tleur Elle noté une tendne et déide de l modéliser pr une fontion f de l forme : x 3 f x x x d où x est le rng de l'nnée à prtir de 1975 Pour déterminer ette fontion, elle hoisit d utiliser les qutre points de oordonnées entières 1) Montrer que les réels,, et d sont les solutions du système : d d d d 10 ) Érire e système sous l forme MX Y où M et Y sont des mtries que l on préiser 3) On dmet que l mtrie M est inversile Déterminer, à l ide de l lultrie, le qudruplet ; ; ; d solution du système S 4) Fire une prévision de popultion pour 015 Lyée Frnçis de DOH nnée

12 Exerie n 10 : Bernrd effetue une étude sur le logement en Frne Il reueilli le tleu suivnt dns les Tleux de l'éonomie Frnçise (008), ouvrge de l'insee Il herhe à modéliser l dépense en hrges et pour el, il utilise un tleur : Chrges Comme l'nnée 0 n' ps de sens éonomique, Krim définit un rng de l'nnée : 0 pour1990 et 1 pour1995 1) Quelle formule érire en ellule C pour otenir le rng de hque nnée, pr reopie vers l droite? ttention à l nnée 008 ) Sur le tleu Bernrd otenu le grphique i-dessous Il modélise l dépense en hrges pr une fontion de l forme : f x x x Lyée Frnçis de DOH nnée ) D'près l oure de tendne otenue à l'ide du tleur, quel est le signe de? ) Il déide d utiliser les points d sisses 0, et 3 pour déterminer l fontion f Montrer que, dns es onditions, les réels, et sont les solutions du système : 1,8 4 18, ,9 ) Érire e système sous l forme MX Y où M et Y sont des mtries d) On dmet que l mtrie M est inversile Déterminer, à l ide de l lultrie, le triplet ; ; solution du système S e) Cluler l vleur otenue pr e modèle pour l'nnée 008 f) Fire une prévision de popultion pour 015

13 Exerie n 11 : En septemre 010, une entrle d'hts psse ommnde uprès du mrhé de Rungis Elle désire se rvitiller en légumes, fruits et poissons On donne dns les tleux i-dessous les prix de gros du mrhé de Rungis (septemre 010, soure : INSEE) On donne i-dessous les quntités ommndées pr l entrle pr tégories 1) Indiquer une mtrie P des prix (en /kg) pour hque rtile des trois premiers tleux On pler les rtiles en ligne pr tégorie (Ligne 1 : Légumes ) ) Indiquer une mtrie Q des quntités (en kg) ommndées pr l entrle 3) En déduire pr un unique lul mtriiel l somme dépensée pour hune des tégories pr l entrle pour son rvitillement (revenir éventuellement sur le hoix de Q pour pouvoir réliser le lul demndé en une seule fois) Exerie n 1 : Une entreprise vend qutre types de produits notés P 1, P, P 3 et P 4 L mtrie des ommndes de trois lients notés X, Y et Z est : C les lignes étnt reltives ux lients et les olonnes ux produits 1 1 1) Effetuer «mnuellement» le produit C et interpréter le résultt 1 1 ) Effetuer «mnuellement» le produit C et interpréter le résultt 3) Les prix unitires de hun des qutre produits sont respetivement 45, 15, 0 et 30 Cluler à l ide d un produit de deux mtries, le montnt en euros de l ommnde de hun des lients Lyée Frnçis de DOH nnée

14 Exerie n 13 : B ES Pondihéry 014 L entreprise U fournit ses lients en rehrges pour les fontines à eu et dispose des résultts ntérieurs suivnts : Le oût totl de prodution est modélisé pr une fontion C définie pour tout nomre réel x de 3 l intervlle 0 ; 10 pr : C x x x x 10 où, et sont des nomres réels Lorsque le nomre x désigne le nomre de milliers de rehrges produites, C x est le oût totl de prodution en entines d euros On dmet que le triplet ; ; est solution du 1 système S ,4 et on pose X ) Érire e système sous l forme MX Y où M et Y sont des mtries que l on préiser ) On dmet que l mtrie M est inversile Déterminer, à l ide de l lultrie, le triplet ; ; solution du système S 3) En utilisnt ette modélistion, quel serit le oût totl nnuel de prodution pour 8000 rehrges d eu produites? Exerie n 14 : Coûts de prodution et prix de vente Pour l frition de deux produits et B, on distingue qutre fteurs tehniques de prodution : des unités de mtières premières, des unités de onditionnement, des unités de min d œuvre et des unités d énergie Le tleu suivnt indique les quntités d unités de es fteurs néessires à l prodution d une unité de produit et à elle d une unité de produit B insi que l vleur estimée du oût de revient d une unité de hun de es fteurs Lyée Frnçis de DOH nnée L mrge énéfiiire sur hque produit et B est un pourentge du oût totl de prodution Elle est égle à 30% pour le produit et à 35% pour le produit B On onsidère les mtries suivntes : F dont les éléments sont les quntités de fteurs de prodution néessires à l frition des deux produits et B U dont les éléments sont les oûts unitires des fteurs de prodution C dont les éléments sont les oûts totux de prodution des produits et B V dont les éléments sont les prix de vente des deux produits et B 1) Déterminer les éléments de l mtrie U de fçon à e que le produit des mtries F et U soit égl à l mtrie C des oûts de prodution ) En déduire que le oût totl de prodution du produit est 36 et que elui de B est 38 46,8 3) Justifier que l mtrie V des prix de vente est : V 51,3 4) Un lient ommnde 150 unités de produit et 00 unités de produit B l ide d un produit de mtries (que vous donnerez), luler le montnt totl (en euros) de l ommnde

15 Exerie n 15 : B Pro rtisnt et métiers d'rts, option horlogerie 007 Pour modifier les propriétés physiques de leurs pièes, les rtisns horlogers ont reours à des tritements thermiques onsistnt en un ensemle d'opértions de huffge et de refroidissement Prmi es tehniques, le revenu, est un tritement permettnt de modifier l résiliene, 'est-à-dire l pité d'llongement de l pièe L entreprise «Tritherme» désire modéliser les vritions de l résiliene en fontion de l tempérture On onsidère des tempértures omprises entre 100 C et 750 C Dns l suite, l tempérture t est exprimée en entines de degrés Celsius et vrie don entre 3 1 et 7,5 L résiliene R s'exprime pr l reltion : Rt t t t d où,, et d sont des oeffiients réels à déterminer 1) En shnt R 1 11, R 3 9, R 4 0 et R 7 9 déterminer un système d'équtions vérifié pr les oeffiients,, et d ) Déterminer à l'ide de l lultrie l mtrie : inverse de l mtrie i-dessous : ) l'ide de e qui préède, déterminer les vleurs des oeffiients,, et d 4) On onsidère l fontion f définie sur 1 ; 7,5 pr : f x x 3 1x 36x 36 ) Etudier les vritions de f sur 1 ; 7,5 ) En déduire l tempérture permettnt d'otenir l résiliene mximum ) Etudier l onvexité de l fontion f sur 1 ; 7,5 et en déduire les oordonnées du point d inflexion de l oure représenttive C de f Exerie n 16 : B ES Polynésie 015 Un onstruteur de plnhes de surf frique 3 modèles L oneption de hque modèle néessite le pssge pr 3 postes de trvil Le tleu 1 indique le nomre d heures néessires pr modèle et pr poste pour réliser les plnhes et le tleu indique le oût horire pr poste de trvil f ) Soit H et C les deux mtries suivntes : H et C ) Donner l mtrie produit : P H C ) Que représentent les oeffiients de l mtrie P H C? ) près une étude de mrhé, le frint souhite que les prix de revient pr modèle soient les suivnts : Modèle 1 : 500 ; Modèle : 350 et Modèle 3 : 650 Il herhe à déterminer les nouveux oûts horires pr poste, notés, et permettnt d otenir es prix de revient 500 ) Montrer que les réels, et doivent être solutions du système : H ) Déterminer les réels, et Lyée Frnçis de DOH nnée

16 Exerie n 17 : B ES mérique du Nord 015 Un réteur d entreprise lné un réseu d genes de servies à domiile Depuis 010, le nomre d genes n fit qu ugmenter insi, l entreprise qui omptit 00 genes u 1 er jnvier 010 est pssée à 300 genes u 1 er jnvier 01 puis à 500 genes u 1 er jnvier 014 On dmet que l évolution du nomre d genes peut être modélisée pr une fontion f définie sur 0 ; pr : f x x x où, et sont trois nomres réels L vrile x désigne le nomre d nnées éoulées depuis 010 et f x exprime le nomre d genes en entines L vleur 0 de x orrespond don à l nnée 010 Sur le dessin i-dessous, on représenté grphiquement l fontion f On herhe à déterminer l vleur des oeffiients, et 1) prtir des données de l énoné, érire un système d équtions trduisnt ette sitution ) En déduire que le système préédent est équivlent à : MX R ve : M 4 1 ; X et R un mtrie olonne qu on préiser ,15 0,5 0,15 1 3) On dmet que M 0,75 1 0,5 l ide de ette mtrie, déterminer les vleurs des oeffiients, et en détillnt les luls 4) Suivnt e modèle, déterminer le nomre d genes que l entreprise posséder u 1 er jnvier 016 Exerie n 18 : B ES Polynésie 016 On onsidère les mtries = ( 0 0 ) et B = ( ) Existe-t-il un nomre réel pour lequel B est l inverse de? Lyée Frnçis de DOH nnée

17 Exerie n 19 : Mtrie de Leontief ( , prix Noel d éonomie en 1973) On se ple dns le s d une éonomie fermée à deux rnhes et B Une prtie de l prodution de hque rnhe ne sert ps diretement à l onsommtion finle, hque rnhe utilisnt des onsommtions intermédiires de prodution pour produire On suppose que : L prodution d une unité de l rnhe onsomme 0,1 unité de prodution du seteur et 0,4 unité de prodution du seteur B L prodution d une unité de l rnhe B onsomme 0,3 unité de prodution du seteur et 0, unité de prodution du seteur B On note : 0,1 0,3 l mtrie des oeffiients tehniques 0,4 0, p X l mtrie prodution des produtions totles exprimées en unité monétire de pb hque rnhe d D l mtrie demnde des onsommtions finles exprimées en unité monétire de d B hque rnhe On onsidère dns tout l exerie que X, et D vérifient l églité mtriielle : 1) On suppose dns ette question que l prodution totle p de l rnhe est de 400 unités monétires et que l prodution totle p B de l rnhe B est de 500 unités monétires ) Déterminer les onsommtions intermédiires de hune des deux rnhes ) Quelles sont les onsommtions finles de hune des deux rnhes? 1 0 ) On note I l mtrie identité d ordre On L mtrie de Leontief, définie pr L I, est inversile et 3 I ) Montrer que X I D 180 ) Si l demnde des onsommtions finles en unité monétire est D, quelle doit 70 être l prodution de hque rnhe pour stisfire l demnde des onsommtions finles? Lyée Frnçis de DOH nnée

18 H) Clultrie et lul mtriiel Lyée Frnçis de DOH nnée

19 Lyée Frnçis de DOH nnée

20 Lyée Frnçis de DOH nnée