Généralités sur les fonctions

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1 Généralités sur les fonctions I Ensemble de définition On appelle fonction f un procédé, qui, à tout nombre x d un ensemble, associe un nombre f (x). Définition : L ensemble de définition d une fonction est l ensemble des nombres derpour lesquels l on peut calculer f (x). Exemples. Soit f : x x. Une fraction ne peut avoir un dénominateur nul. x doit être différent de 0 ; or x =0 x =. Il faut donc exclure. D =R \ {}.. Soit f : x x. Le nombre dont on calcule la racine carrée dit toujours être positif ou nul. On doit donc avoir x 0, c est-à-dire x. L ensemble de définition est : D =] ; + [. x. Soit f : x x. Il faut d abord que la fraction existe, donc que le dénominateur ne s annule pas ; or x =0 pour x =. Il faut exclure. Il faut que le nombre dont on calcule la racine carrée soit positif ; il faut donc que x x 0. Pour étudier le signe de cette expression, on renseigne un tableau de signes. x et x s annulent respectivement en et en Signe de x : x >0 x> donc (x <0 x < ). Signe de x : x <0 x< donc x >0 x > x + Signe de x 0+ + Signe de x 0+ Signe du quotient x x x 0 pour x ] ; ] ] ; + [ donc l ensemble de définition de cette fonction est : x D =] ; ] ] ; + [ II Fonctions associées Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Rappel : On appelle courbe représentative de f sur I, noté, l ensemble des points M de coordonnées (x ; f (x)), o (x ; f (x)) f (x) x O Page

2 Fonction x f(x)+a Soit a un réel fixé ; on considère la fonction g définie sur I par : g (x) = f (x) + a. Un point M(x M ; y M ) appartient à si, et seulement si, y M = f (x M ). Prenons le point N de, d abscisse x (donc la même abscisse que M. N(x N ; y N ) y N = g (x N ) y N = g (x M ) y N = f (x M )+a. On en déduit que les coordonnées du vecteur M N sont M N (0 ; a) ; par conséquent M N = a. La courbe s obtient à partir de la courbe par la translation de vecteur a. Exemple : Soient f la fonction carré : x x et g la fonction définie par g (x)= f (x)+,. f g N M 0 O Fonction x f(x+a) Soit a un réel fixé ; on considère la fonction g définie sur I par : g (x) = f (x + a). Un point M(x M ; y M ) appartient à si, et seulement si, y M = f (x M ). Prenons le point N de, d abscisse x M a. Alors : g (x N )= g (x M a)= f ((x M a)+a)= f (x M )= y M. M et N ont donc la même ordonnée. Le vecteur M N a pour coordonnées ( ) x M x N ; y M y N, soit : ( a ; 0). Par conséquent : M N = a. La courbe s obtient à partir de la courbe par la translation de vecteur a. Exemple : Soient la fonction f : x (x+ 5)(x ) et la fonction g : x f (x+ ). 0 N M O Exercices page 9 Page

3 Fonction x kf(x) Soit k une constante réelle. On considère la fonction g définie par g (x) = k f (x). M ( x M ; y M ) appartient à la courbe Cf si, et seulement si, y M = f (x M ). On considère le point N de la courbe qui a la même abscisse que M. x N = x M ; y N = g (x N )= g (x M )=k f (x M ). La courbe est obtenue à partir de la courbe en multipliant toutes les ordonnées par le nombre k. Exemple : Soit f la fonction définie par f (x) = sin(x) (fonction vue en seconde) et soit g la fonction définie par g (x)= f (x) (on écrit : g = f ). O Fonction x f(x) Rappel : Pour tout x, x vaut x si x 0 et x si x 0. Ainsi, x est-il positif pour tout x. Soit g la fonction définie par g (x)= f (x). Pour tout x tel que f (x) 0, on a g (x)= f (x) et g (x)= f (x) pour tout x tel que f (x) 0. La courbe coïncide avec pour la partie positive de et est remplacée par sa symétrique par rapport à l axe des abscisses pour la partie négative. Exemple : Soit f définie par f (x)=x et soit g = f. Représentons les deux courbes côte à côte. Page

4 O La partie en trait épais remplace la partie en pointillés 5 Somme de deux fonctions Soient deux fonctions f et g définies sur le même intervalle I. La somme f + g est définie par (f + g )(x)= f (x)+ g (x). Représentation graphique : on représente les deux courbes et sur le même graphique. Pour chaque abscisse x, on ajoute les ordonnées f (x) et g (x). Exemple : Sur [0 ; ], représenter la fonction h : x x+ x. On a h(x)= f (x)+ g (x) en posant f (x)=x et g (x)= x j O h(x)= f (x)+ g (x) f (x) g (x) P M N C h H 5 7 H N = MP Page

5 III Composée de deux fonctions Définition : Soient f et g deux fonctions. On appelle composée de f suivie de g, notée g f, la fonction définie par : g f : x f f (x)= y g g (y)= g (f (x)) Exemples : g f (x)= g (f (x)).. Soient f et g définies par f (x)=x et f (x)=x+. Pour tout x, g f (x)=g (f (x))=g (y) avec y = f (x)=x+ ; or g (y)= y = (x+ ). Par conséquent : g f (x)=(x+ ). Soient f et g définies par f (x)= x et g (x)=x. + Pour tout x, g f (x)=g (f (x))= g (y) avec y = f (x)= x et g (y)=y. + Par conséquent : g f (x)= x + = x +. Avec les deux mêmes fonctions, calculons f g (x). Pour tout x, f g (x)= f (g (x))= f (x)= f (y) avec y = x ; or f (y)= y + donc f (x)= (x) + = 9x + Remarque : f g (x)= 9x et g f (x)= + x donc f g (x) g f (x). + Par conséquent : f g g f ; l ordre de composition est important. Exercices IV Sens de variation d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est croissante si, pour tous nombres x et x de I avec x < x, f (x ) f (x ). f est décroissante si, pour tous nombres x et x de I avec x < x, f (x ) f (x ). Pour une fonction croissante, les images sont classées dans le même ordre que les antécédents. Pour une fonction décroissante, les images sont classées dans l ordre inverse de celui des antécédents. Exemple : la fonction carré : x x. f est décroissante sur ] ; 0] et croissante sur [0 ; + [. Démonstration : Sur ] ; 0] ; soient deux nombres x et x quelconques, avec x < x. On veut comparer f (x ) et f (x ). Pour cela, on étudie le signe de la différence. f (x f (x ))= x x = (x + x )(x x ). x + x < 0 (somme de nombres négatifs) x x > 0 car x > x. Par conséquent : f (x f (x ))<0 donc f (x )< f (x ). La fonction f est décroissante sur ] ; 0]. Sur ] ; 0] ; soient deux nombres x et x quelconques, avec x < x. On veut comparer f (x ) et f (x ). f (x f (x ))=(x + x )(x x ). x + x > 0 (somme de nombres positifs) x x > 0 car x > x. Page 5

6 Par conséquent : f (x f (x ))>0 donc f (x )> f (x ). La fonction f est croissante sur ] ; 0]. Somme de deux fonctions monotones de même sens Théorème : Si f et g sont deux fonctions croissantes sur un intervalle I, la somme f + g est croissante sur I. Si f et g sont deux fonctions décroissantes sur un intervalle I, la somme f + g est décroissante sur I. Démonstration : Soient deux nombres quelconques de I avec a < b. Supposons f et g croissantes. f est croissante donc f (a) f (b). g est croissante donc g (a) g (b). En, ajoutant membre à membre : (f + g )(a) (f + g )(b) donc ces deux nombres sont classés dans le même ordre que a et b ; f + g est croissante. Même démarche pour montrer la décroissance. Exemple : Étudier les variation s de la fonction f définie sur [0 ; + [ par : f (x)= x + x+. On peut voir f comme somme de deux fonctions : f = u+ v en posant u(x)= x et v(x)=x+. u et v sont toute deux croissantes sur l intervalle [0 ; + [ donc f est croissante sur [0 ; + [. Théorème (admis) Soit f une fonction dont la variable appartient à un intervalle I et dont les images appartiennent à un intervalle J. Soit g une fonction dont la variable appartient à un intervalle J. Si f et g sont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, alors la composée g f est croissante. Si l une est croissante et l autre décroissante, alors la composée g f est décroissante. Exemples :. Soit f la fonction définie sur [0 ; + [ par f (x)= x +. On peut voir f comme f = g h avec h(x)= x + et g (x)= x. Sur [0 ; + [, h est croissante (somme d une fonction croissante et d une fonction constante) et les images h(x) sont des nombres positifs. On peut appliquer alors la fonction g qui est croissante sur [0 ; + [. f est alors la composée de deux fonctions croissantes : c est une fonction croissante.. Considérons la même fonction f, définie cette fois sur ] ; 0]. On a toujours f = g h. Cette fois h est décroissante sur ] ; 0] (somme d une fonction décroissante et d une fonction constante). Les images h(x) sont des nombres positifs. On compose alors avec la fonction g qui est croissante sur [0 ; + [. f est alors la composée d une fonction croissante et d une fonction décroissante : elle est donc décroissante sur ] ; 0]. On peut se convaincre en regardant la courbe ci-dessous. Page

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