Fonctions convexes. Jean-Paul Vincent

Transcription

1 2008

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3 Definition Une partie C du plan est dite convexe si le segment [A, B] est contenu dans C dès que les points A et B sont dans C.

4 Definition Une partie C du plan est dite convexe si le segment [A, B] est contenu dans C dès que les points A et B sont dans C. Definition Une fonction f définie sur un intervalle I et à valeurs réelles est dite convexe si {(x, f (x)) R 2 /x I} est une partie convexe. f est dite concave si f est convexe.

5 Definition Une partie C du plan est dite convexe si le segment [A, B] est contenu dans C dès que les points A et B sont dans C. Definition Une fonction f définie sur un intervalle I et à valeurs réelles est dite convexe si {(x, f (x)) R 2 /x I} est une partie convexe. f est dite concave si f est convexe. {(x, f (x)) R 2 /x I} est appelé épigraphe.

6 Autrement dit, f est convexe si pour tous x et x dans I et tout u dans [0, 1] : f (ux + (1 u)x ) uf (x) + (1 u)f (x ) La corde est au-dessus du graphe.

7 Autrement dit, f est convexe si pour tous x et x dans I et tout u dans [0, 1] : f (ux + (1 u)x ) uf (x) + (1 u)f (x ) La corde est au-dessus du graphe. (a, f(a)) uf(a) + (1 u)f(b) f(ua + (1 u)b) (b, f(b)) ua + (1 u)b

8 Taux d accroissement d une fonction convexe Theorem f est convexe si et seulement si, pour tout a dans I, l application x f (x) f (a) x a est croissante sur I \ {a}.

9 Taux d accroissement d une fonction convexe Theorem f est convexe si et seulement si, pour tout a dans I, l application x f (x) f (a) x a est croissante sur I \ {a}. Preuve Soient x, y, z des réels tels que : x < y < z et α dans [0, 1]. Choisissons α de manière à avoir : αx + (1 α)z = y, soit : α = z y z x. Alors : f (y) αf (x) + (1 α)f (z) Donc : 0 z y z x (f (x) f (z)) + f (z) f (y).

10 Taux d accroissement d une fonction convexe Preuve (suite) Nous en déduisons que : ( 0 (z y) Comme z > y, il vient : f (z) f (x) z x + ) f (z) f (y) z y f (z) f (x) z x f (z) f (y) z y En échangeant x et z on obtient α = x y x z et 0 (x y) ( f (x) f (z) x z + ) f (x) f (y) x y

11 Taux d accroissement d une fonction convexe (suite). et comme x < y : f (x) f (y) x y f (z) f (x) z x nous obtenons la formule des trois cordes : f (x) f (y) x y f (z) f (x) z x f (z) f (y) z y qui démontre la croissance du taux d accroissement. La réciproque se prouve en remontant les calculs.

12 Des conséquences sur les dérivées Corollaire 1 La démonstration précédente prouve que : existe car f (z) f (y) z y f (x) f (y) x y. De même f (x) f (y) lim x y x y est une fonction croissante de x, majorée par f (x) f (y) x y minore f (z) f (y) lim z y + z y f (z) f (y) z y donc : existe. Ainsi, f admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite en y. Par suite, une fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue.

13 Des conséquences sur les dérivées Corollaire 2 Soit f dérivable sur I alors f est convexe si et seulement si f est croissante.

14 Des conséquences sur les dérivées Démonstration Supposons f convexe. En faisant tendre y vers x dans l inégalité f (z) f (y) f (x) f (y) z y x y 0, on trouve : f (z) f (x) z x f (x) De même, en faisant tendre y vers z dans continue) : f (z) f (x) f (z) z x D où f (x) f (z). f (z) f (x) z x f (z) f (y) z y (f est

15 Des conséquences sur les dérivées Réciproque. Supposons f croissante. La somme de deux fonctions convexes est convexe et une fonction affine est convexe, il suffit donc de montrer que, pour tous a et b dans I, la fonction g : g(x) = f (x) f (a) f (b) f (a) (x a) b a est croissante. Comme g(a) = g(b) = 0, si g(x) 0 lorsque x est dans ]a, b[ alors la courbe est sous la corde. Or d après le théorème de f (b) f (a) Rolle, il existe c dans ]a, b[ tel que : b a = f (c). f étant croissante, g est négative sur ]a, c[, nulle en c et positive sur ]c, b[. Donc g est négative sur ]a, b[.

16 Des conséquences sur les dérivées Remarque La courbe est située au-dessus de ses tangentes. En effet, soit h définie par : h(x) = f (x) (f (a) + f (a)(x a)) a une dérivée négative pour x a et positive pour x a, donc h admet un minimum en a or : h(a) = 0, donc pour tout x dans I : h(x) 0.

17 deux fois dérivables Corollaire 3 Si f est deux fois dérivable sur I alors f est convexe si et seulement si f 0.

18 deux fois dérivables Corollaire 3 Si f est deux fois dérivable sur I alors f est convexe si et seulement si f 0. Démonstration. f est convexe si et seulement si f est croissante, donc si et seulement si f 0.