CSMA e Colloque National en Calcul des Structures Mai 2013

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1 Enrichissmnt modal du Slctiv Mass Scaling Sylvain GAVOILLE 1 * CSMA Colloqu National n Calcul ds Structurs Mai ESI, * Autur corrspondant Résumé En raison d problèms d convrgnc t ds tmps d calcul prohibitifs, ls méthods d résolution xplicit sont souvnt préférés pour la résolution d problèms non linéairs. Par aillurs, on obsrv qu, pour la plupart ds problèms quasi-statiqus, l énrgi st ssntillmnt associé aux basss fréquncs, t qu la stabilité du schéma tmporl st associé aux hauts fréquncs. L idé du Slctiv Mass Scaling st d ajoutr sulmnt d la mass artificill sur ls mods associés aux hauts fréquncs. D ctt façon, l pas d tmps critiqu augmnt sans affctr d façon significativ la répons d la structur n basss fréquncs. Cla prmt d réduir considérablmnt ls tmps d calcul. Mots clés mass scaling, résolution xplicit. 1. Introduction Au sin d ESI, nous nous intérssons particulièrmnt à la simulation d crash t ds problèms d mboutissag. Pour c gnr d applications, la stratégi rtnu st l utilisation d un schéma d résolution xplicit. Ctt approch prmt d s affranchir ds problèms d convrgnc généralmnt rncontrés avc un approch implicit. L utilisation du mass scaling standard st un stratégi bin connu pour accélérr ls calculs réalisés dans un cadr xplicit. L mass scaling augmnt la mass ds élémnts ayant l plus ptit pas d tmps critiqu [1] afin d pouvoir choisir un pas d tmps d calcul plus grand. Cla a pour fft d réduir l tmps d calcul n diminuant l nombr d itérations à fair pour un tmps d étud donné. Malhurusmnt, ct ajout d mass non physiqu dégrad considérablmnt la solution. Pour améliorr la qualité ds résultats, Olovsson [2] propos un nouvll méthod d mass scaling : l Slctiv Mass Scaling (SMS). Ctt méthod prmt d obtnir un solution cohérnt pour ls mouvmnts d corps rigids au nivau élémntair. Cla a pour fft d améliorr la précision vis-à-vis d la méthod standard d scaling tout n ayant un gain d tmps d calcul. Ctt approch a motivé d nombrux travaux tls qu cux réalisés par Cocchtti t al. [3] sur ls élémnts coqu-solid, mais ncor Asks t al. [4] pour unifir ctt approch SMS avc la méthod d micro-inrti ou d pénalité sur l inrti. Bin qu ctt méthod ait largmnt prouvé son fficacité sur ds problèms d quasistatiqu, ctt approch rst ncor difficilmnt applicabl à ds problèms d dynamiqu rapid comm l crash d un voitur. L approch qu nous proposons dans cs travaux prmt d prndr n compt plus d mods au nivau élémntair. Cla a pour fft d pouvoir obtnir ds résultats plus précis t par conséqunt d s intérssr à un gamm d problèms plus larg. 1

2 2. Stabilité du schéma xplicit Ls travaux qui suivnt s concntrnt sur ds approchs utilisant l schéma aux différncs cntrés, lqul st conditionnllmnt stabl. Cla signifi qu l pas d tmps choisi pour l étud doit vérifir la condition suivant : 2 t max (1) où max st la pulsation maximal associé à la structur étudié. On put aussi vérifir qu : max max (2) où max st la pulsation maximal parmi l nsmbl ds élémnts du maillag. Ctt drnièr condition nous prmttra par la suit d raisonnr pour l nrichissmnt dirctmnt au nivau élémntair. La pulsation maximal put êtr obtnu n résolvant l problèm suivant pour chaqu élémnt t n prnant la valur maximal d max : k m 2 Argmax(dt 0) (3) où t sont rspctivmnt ls matrics d rigidité t d mass au nivau élémntair. k m 3. Slctiv Mass Scaling 3.1. Princip L idé d bas d ctt approch st d ajoutr d la mass artificill afin d réduir ls hauts fréquncs du systèm, tout n affctant l moins possibl ls basss fréquncs. On put définir la matric d mass élémntair modifié m d ctt façon : où artificills ajoutés. m = m + λ m st la matric d mass diagonal t contint ls trms d masss (4) L princip d bas d l approch consist à définir la matric d mass ajouté λ d un tll façon qu ll n affct pas l comportmnt pour un famill d mods i : m m λ 0 i i i (5) 2

3 Olovsson [2] propos plusiurs méthods pour définir λ : Méthod I : La prmièr approch consist à utilisr la matric d raidur élémntair k. Cla nous amèn à la form suivant d mass modifié : m = m k (6) On vérifi aisémnt qu la matric λ = k prmt d vérifir la propriété (3). Définir chang tout au long d un simulation n raison d la déformation d l élémnt ou ncor l apparition d phénomèns non linéairs. Par aillurs, dans un cadr d résolution xplicit, la construction d la matric d raidur élémntair st rarmnt réalisé. On s intérss plutôt dirctmnt au calcul ds fforts intrns. λ = k n st pas pratiqu étant donné qu k Méthod II : Pour la scond approch, on construit λ n utilisant un famill d vcturs orthogonaux corrspondant aux mods d corps rigids n translation d R m T λ = I RT (7) RT n où, t n sont rspctivmnt la mass élémntair, l paramètr contrôlant la mass ajouté sur l élémnt t l nombr d nœuds sur l élémnt. m Ctt approch st intérssant vis-à-vis d l approch précédnt parc qu ll prmt d s affranchir d un rconstruction d la matric d mass tout au long du calcul puisqu ll n dépnd pas du comportmnt local. La matric d mass virtull λ comprnd dux valurs proprs : 0 t RT m n :. Cla prmt d choisir facilmnt l pas d tmps qu l on désir pour la simulation puisqu il xist un rlation simpl ntr l pas d tmps obtnu avc ctt approch t crit t l pas d tmps 2 critiqu obtnu sans scaling t crit. En fft, n utilisant ls équations (1) t (3) pour ls approchs avc t sans SMS, nous obtnons la rlation suivant : tcrit tcrit 1 (8) En fixant un pas d tmps objctif pour la simulation tobj r tcrit, on n déduit qu l on put choisir avc l xprssion suivant : t obj 2r 2 1 (9) 3

4 où r st un factur d sécurité compris ntr 0 t 1, généralmnt choisi à 0, Discussion L application d ctt approch avc la méthod II à un cas tst d poutr n flxion comm illustré à la figur 1, montr l apport d ctt approch n trms d précision vis-àvis d l approch standard d mass scaling. Dans c cas précis, nous obtnons un accélération d 4 sur l tmps d calcul pour l calcul avc SMS n comparaison avc l calcul sans mass scaling. Fig. 1. Cas tst d flxion d un poutr modélisé avc ds élémnts coqus t un comportmnt élastoplastiqu L utilisation du Slctiv Mass Scaling prmt, dans un cadr d résolution xplicit, d obtnir ds résultats précis pour un coût d calcul réduit. 4. Enrichissmnt modal du Slctiv Mass Scaling Dans ls approchs introduits par Olovsson [2], la méthod I st plus précis qu la méthod II puisqu la condition (5) st vérifié aussi pour ls mods d corps rigids n rotation, n plus ds mods d corps rigids n translation. Toutfois, la méthod I st pu intérssant n trms d tmps d calcul puisqu ll nécssit un réactualisation à chaqu incrémnt d la mass. Par aillurs, la matric d raidur élémntair n st généralmnt pas disponibl dans un cod d calcul xplicit puisqu l on a sulmnt bsoin d calculr ls fforts intrns. Pour définir un nouvll approch d construction d qu ctt matric doit vérifir : λ, il faut définir ls propriétés 1. Ell doit êtr positiv afin d s assurr qu l on rajout bin d la mass. 2. L noyau n doit êtr constitué qu ds mods d corps rigids. Si ds mods d déformation s situnt dans l noyau, la condition d stabilité sur l élémnt rvindrait à cll obtnu sans scaling. Pour s n assurr, on put écrir l équation (3) dans la bas ds mods d corps rigid d k. 4

5 3. Il faut définir un condition simpl pour contrôlr l ajout d mass n fonction du pas d tmps objctif t obj désiré. En d autrs trms, on chrch λ tl qu : R R λr 0 λ m D D D où st l nsmbl ds mods d corps rigids n translation t n rotation, t l nsmbl ds mods d déformation d la matric Cla nous amèn à définir la matric d mass ajouté λ d ctt façon : où s N i l élémnt t λ m k s s N : N d i s s Tr Ni : N jd st la parti symétriqu du gradint d la fonction d form st l support d l élémnt. j. N i au nœud En choisissant ctt form pour la matric d mass ajouté λ, nous nous assurons d n pas rconstruir tout au long du calcul la matric d mass. Par aillurs, nous pouvons choisir l paramètr contrôlant la mass ajouté n utilisant l équation (9). 5. Résultats numériqus On s propos d éprouvr l approch mis n plac précédmmnt sur un cas tst d flxion 3 points d un poutr n acir. Dans l cas tst présnté à la figur 2, la poutr n acir a ls dimnsions 5mm x 5mm x 160 mm. La poutr st discrétisé avc ds élémnts hxaédriqus d 1,25 mm d côté. Quant au comportmnt matériau, un loi d comportmnt élastoplastiqu st utilisé. Ls caractéristiqus matériaux sont un dnsité massiqu d 7,8kg/dm 3, un modul d comprssibilité d 172,5 GPa, un modul d cisaillmnt d 79,61 GPa, un limit d élasticité d 100 MPa t un modul tangnt pour la loi élastoplastiqu bilinéair d 207 GPa. La poutr st n appui simpl à chacun d ss xtrémités. Un déplacmnt d 10 mm st appliqué à la poutr via un corps rigid n contact avc la poutr. L pas d tmps critiqu pour c calcul dans un configuration sans mass scaling st d 132 µs. (10) D (11) i d 5

6 Fig. 2. Illustration n fin d simulation d l ssai d flxion 3 points d un poutr n acir. Par la suit, nous allons ffctur un étud comparativ d la méthod II introduit par Olovsson [2] (noté «SMS») avc la méthod présnté ci-dssus à la sction 4 (noté «SMS nrichi»). Nous comparons cs dux approchs n trm d précision avc l calcul réalisé sans scaling (noté «rfrnc» ou courb roug). Pour c fair, nous ffctuons un étud paramétriqu n fonction du pas d tmps objctif. Ls valurs d pas d tmps objctifs 1,6ms t 3,2ms. t obj choisis sont rspctivmnt pour ls courbs vrts, blus t jauns : 0,8ms, A la figur 3, nous avons tracé l pas d tmps utilisé au cours du calcul. Nous rmarquons qu, qul qu soit l pas d tmps objctif choisi, l approch «SMS nrichi» st plus stabl t prmt d consrvr l pas d tmps fixé pour la simulation. Par aillurs, il st plus difficil pour la méthod «SMS» d rspctr l pas objctif quand sa valur dvint nttmnt plus important qu cll du pas d tmps critiqu. En d autrs trms, l approch «SMS nrichi» prmt d consrvr un valur stabl du pas d tmps tout au long du calcul qull qu soit la valur d pas tmps objctif choisi t. t obj t obj obj 6

7 Fig. 3. Pas d tmps utilisé au cours du calcul Fig. 4. Enrgi intrn Quant à la figur 4, ll rprésnt l énrgi intrn au cours du calcul pour chacun ds configurations étudiés. Ctt étud prmt d stimr la précision ds différnts approchs n fonction ds différnts pas d tmps objctifs t fixés. Comm nous obj 7

8 pouvons l obsrvr, l approch «SMS nrichi» prmt d rstitur la solution d référnc qul qu soit l pas d tmps objctif. Quant à l approch «SMS», ll prd t obj rapidmnt n précision. Ls résultats sont très imprécis pour ds valurs d 1,6ms t 3,2ms. 6. Conclusion t obj égals à Dans ctt étud, un nouvll méthod pour l Slctiv Mass Scaling a été introduit. L objctif d ctt approch st d prmttr d augmntr l pas d tmps d calcul, dans l cadr d un résolution à l aid d un schéma xplicit, sans altérr significativmnt la répons d la structur. L approch proposé st simpl, dans l sns où ll put êtr facilmnt mis n plac dans un cod xplicit xistant. Pour l instant, ctt approch st appliqué par intuition sur différnts typs d problèms. Il rst à définir un critèr prtinnt prmttant d savoir si ctt approch put êtr appliqué sur un cas ou non, sachant qu un analys modal sur l nsmbl d la structur aurait un coût d calcul prohibitif. Par aillurs, il srait intérssant d construir un stimatur d rrur ntr la solution obtnu avc l SMS t la solution sans scaling. A travrs l cas tst présnté dans c papir, nous avons pu obsrvr qu l approch mis n plac st plus robust qu l approch initial proposé pour l Slctiv Mass Scaling. Cpndant, il rst à éprouvr ctt approch sur d autrs cas afin d s n assurr. Référncs [1] T.J.R. Hughs. Th Finit Elmnt Mthod : Linar and Dynamic Finit Elmnt Analysis, Dovr Publication, [2] L. Olovsson, K. Simonsson, M. Unosson. Slctiv Mass Scaling for xplicit finit lmnt analyss. Intrnational Journal for Numrical Mthods in Enginring, volum 63, pag1436-pag1445, [3] G. Cocchtti, M. Pagani, U. Prgo. Slctiv mass scaling and critical tim-stp stimat for xplicit dynamics analyss with solid-shll lmnts. Computrs and Structurs (accpté pour publication), [4] H. Asks, D.C.D. Nguyn, A. Tyas. Incrasing th critical tim stp: micro-inrtia, inrtia pnaltis and mass scaling, Comput Mch, volum 47, pags 657-pag667,

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