Section 4. MAT Mathématiques d appoint pour l électromécanique. Puissances et notation scientifique

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1 MAT Mathématiques d appoint pour l électromécanique Section 4 Puissances et notation scientifique Site web CSPO : Adaptation et conception : Sylvie Leblond Gilles Coulombe CSPO

2 Mise en situation La puissance d une résistance correspond à sa capacité de dissiper la chaleur. Cette puissance est calculée en watts à l aide de la formule suivante : R est la valeur en ohms de la résistance I est la valeur en ampères du courant qui circule dans la résistance Vous travaillez avec un circuit électrique dans lequel circule un courant de 6,1 X A. Vous voulez connaitre la puissance dissipée aux bornes d une résistance de ce circuit, mais vous avez malheureusement oublié votre wattmètre à la maison. Sachant que la valeur de la résistance est de 8,2 X Ω, vous vous dites que rien n est perdu, vous pouvez calculer la puissance plutôt que la mesurer. Quelle est donc cette puissance? 1

3 L'exponentiation L'exponentiation est une opération qui consiste à affecter un exposant à une base. Le résultat d'une exponentiation est une puissance. Base exposant = Puissance L'exposant représente en fait le nombre de fois que la base est multipliée par elle-même. L'exponentiation d un nombre entier positif On peut appliquer un exposant (négatif, nul ou positif) à toute base représentée par un nombre entier positif. Exemple 1 Calculer la puissance de 7 5. Solution : Pour calculer cette puissance, il suffit de multiplier le chiffre 7 cinq fois par luimême, soit : 2

4 7 X 7 X 7 X 7 X 7 =?. Cette puissance est donc de Exemple 2 Calculer la puissance de 2-3. Solution : Une expression contenant un exposant négatif peut être transformée en une expression où l exposant devient positif. Parmi les lois sur les exposants, l une d elle concerne la division de termes : Exemple : Développement : = En conclusion, on peut affirmer que : Pour calculer cette puissance, il faut d abord écrire le problème sous forme de fraction, soit : Ensuite, on doit inverser le numérateur et le dénominateur de la fraction obtenue pour que l exposant négatif devienne un exposant positif (selon la loi des exposants vue dans l encadré). Enfin, on peut trouver le produit au dénominateur, soit : 2 3 = 2 X 2 X 2 = 8 Il ne restera plus qu à trouver la valeur de : 1 = 0,

5 La puissance peut alors être écrite sous forme de nombre décimal, c est-à-dire 0,125. L'exponentiation d un nombre entier négatif On peut appliquer un exposant (négatif, nul ou positif) à toute base représentée par un nombre entier négatif. Calculer la puissance de (-3) 4. Solution : Pour calculer cette puissance, il suffit de multiplier le chiffre négatif -3 quatre fois par lui-même, soit : (-3) X (-3) X (-3) X (-3) =?. Cette puissance est donc de Il faut remarquer que la réponse obtenue est positive, même si la base est négative. L exponentiation des nombres entiers négatifs a une petite particularité quant à son calcul. Les parenthèses ont une grande importance, mais son calcul demeure une multiplication répétée. Voyons l'importance des parenthèses en calculant -6 2 et (-6) = -1 x 6 2 À cause de la priorité des opérations, les puissances se calculent avant les produits. Étape 1 : 6 x 6 = 36 Étape 2 : -1 x 36 = -36 La réponse finale est donc :

6 (-6) 2 À cause de la priorité des opérations, on calcule les parenthèses en premier et ensuite l'exposant. On calcule la puissance tout de suite. C'est tout le nombre -6 dans les parenthèses qui se multiplie. (-6) x (-6) = 36 La réponse finale est donc : 36. Remarque : Lorsque l'exposant est un nombre pair, il y a donc un nombre pair de multiplications de nombres négatifs. La puissance est positive. Exemple: (-5) 4 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = 625 Lorsque l'exposant est un nombre impair, il y a donc un nombre impair de multiplications de nombres négatifs. La puissance est négative. Exemple: (-5) 3 = (-5) x (-5) x (-5) = -125 Exercice 1 Calculer la puissance des expressions suivantes

7 L'exponentiation d'une fraction ou d'un nombre fractionnaire Dans le cas d'une fraction ou d'un nombre fractionnaire affecté d'un exposant, il suffit encore une fois de multiplier le nombre par lui-même le nombre de fois indiqué par l'exposant en utilisant la méthode de multiplication des fractions. Solution : L'application d'un exposant 4 à une base constituée d'un nombre fractionnaire revient dans ce cas à faire ceci : Pour faciliter la résolution, il est préférable de transformer dès le départ le nombre fractionnaire en fraction. On aura alors : Il ne restera alors qu'à utiliser la méthode de multiplication de fraction, soit de multiplier les numérateurs ensemble pour obtenir le nouveau numérateur et faire la même chose pour les dénominateurs. = 150 ou 150,0625 6

8 L'exponentiation d'un nombre décimal Pour les nombres décimaux, le principe reste toujours le même : multiplier le nombre par lui-même selon l'exposant. Trouver la puissance équivalente à : 0,25 3 Solution : L'application d'un exposant 3 à une base constituée d'un nombre décimal revient à ce cas-ci à ceci : 0,25 x 0,25 x 0,25 = 0,

9 Trouver la puissance équivalente à ceci : 0,7-4 Solution : Pour calculer cette puissance, il faut transformer la fraction de départ en inversant le numérateur et le dénominateur (qui est 1) : 8

10 Les types d'exposant Type 1 L'exposant positif est le cas le plus souvent rencontré. On a tout simplement à multiplier par lui-même la base le nombre de fois indiqué par l'exposant. 6 4 = 6 x 6 x 6 x 6 = = 3 x 3 x 3 = 27 Lorsque l'exposant est égal à 1, la réponse est automatiquement la base. D'ailleurs, il arrive très souvent que l'exposant 1 ne soit pas écrit. 4 1 = 4 Type 2 L'exposant nul, c'est-à-dire l'exposant égal à 0, équivaut toujours à une puissance de 1, sauf dans un seul cas : 0 0 est indéfini. 4 0 = = = 1 Type 3 L'exposant négatif est souvent appelé "exposant contraire". Cela est dû au fait que lorsqu'il y a un exposant négatif, on doit inverser le numérateur et le dénominateur pour ainsi obtenir un exposant positif au dénominateur. Dans le cas où le nombre est un entier, il suffit de considérer l'entier sur un dénominateur de 1. 9

11 Type 4 L'exposant fractionnaire, c'est-à-dire un exposant qui a la forme d'une fraction, peut être traduit par une racine. Le numérateur de la fraction reste exposant de la base alors que le dénominateur correspond au nombre dans le radical. lorsqu il y a une racine carrée, il n est pas nécessaire d indiquer «2» comme nombre dans le radical. Exercice 2 Calculer la puissance des expressions suivantes Capsule vidéo : Exponentiation 10

12 Les nombres carrés Un nombre carré est le produit d un nombre 2 fois multiplié par lui-même. On peut aussi désigner un nombre carré grâce à l exposant = 2 x 2 = = 3 x 3 = = 4 x 4 = 16 4, 9 et 16 sont des nombres carrés. Les nombres cubes Un nombre cubique est le produit d un nombre 3 fois multiplié par lui-même. On peut aussi désigner un nombre cubique grâce à l exposant 3 : 2 3 = 2 x 2 x 2 = = 3 x 3 x 3 = = 6 x 6 x 6 = 216 8, 27, et 216 sont des nombres cubiques. 11

13 Les racines carrées et cubiques Le symbole se nomme radical. Si l'on voit ce symbole, il s'agit habituellement de la racine carrée. Cependant, s'il y a un chiffre au-dessus du radical, cela modifie le type de racine. est la racine carrée du nombre x est aussi la racine carrée du nombre x est la racine cubique du nombre x est la racine quatrième du nombre x est la racine n e du nombre x 12

14 Le nombre sous le radical s appelle le radicande. Dans les exemples précédents, il s'agit du x. Une racine carrée d'un nombre x correspond à un autre nombre qui, élevé au carré, nous donne x. Pour tout nombre positif, il existe 2 racines carrées : l'une positive et l'autre négative. = ±3 car 3 2 = 9 et (-3) 2 = 9 3 x 3 = 3 2 = 9. On souhaite effectuer l'opération inverse à celle d élever le chiffre 3 au carré. Pour ce faire, on se demande : quel chiffre, 2 fois multiplié par lui-même, nous permet d obtenir 9. La réponse est 3. Donc, = ±3. Une racine carrée d un nombre négatif n existe pas. Une racine cubique d'un nombre x correspond à un autre nombre qui, élevé au cube, nous donne x. Pour tout nombre réel, il n'existe qu'une seule racine cubique qui est du même signe que ce nombre. 3 x 3 x 3 = 3 3 = 27. Afin d'effectuer l'opération inverse, on doit se demander quel est le chiffre, 3 fois multiplié par lui-même, qui nous permet d obtenir 27. La réponse est 3. Donc, = 3 13

15 Exercice 3 1. Indiquer si le nombre est un nombre carré ou cubique? NOMBRE NOMBRE CARRÉ NOMBRE CUBIQUE NOMBRE NOMBRE CARRÉ NOMBRE CUBIQUE / / / /4 1/ Calculez les expressions suivantes en indiquant les étapes de la solution. 14

16 15

17 Les lois des exposants 1. Les propriétés des exposants 1) Un exposant entier et positif indique le nombre de fois par lequel une base est multipliée par elle-même. a m = a x a x a x a x a... m fois (m > 0) (2 3 = 2 x 2 x 2) 2) N'importe quelle base (sauf 0) affectée de l'exposant 0 donne 1. a 0 = = est indéfini 3) Un nombre affecté d un exposant 1 donne toujours la base. a 1 = a 25 1 = 25 4) Un nombre affecté d un exposant négatif est équivalent à l inverse du nombre affecté de l exposant positif. Remarque : sur une calculatrice, la fonction 1/x (ou x -1 ) sert à calculer l inverse d un nombre Pour x = 4 0,25 (en notation décimale) 5) Un nombre affecté d un exposant fractionnaire se traduit en une racine. 6) Si de chaque côté d une égalité on a la même base, on doit avoir le même exposant sur les bases. Si a m = a n, alors m = n 8 4 = 8 x alors x = 4 16

18 2. Les lois des exposants Ces lois s appliquent si tous les termes de l opération ont la même base. Produit de puissances On additionne les exposants lors d une multiplication. Pour a 0 : a m a n = a m + n Exemples : 10 4 x 10 6 = X = = x 10 6 = = x 10-2 = 0,001 x 0,01 = 0, = x 10-2 = = 10-5 Quotient de puissances On soustrait les exposants lors d une division. Pour a 0 : a m a n = a m n Exemples : Puissance d un produit On peut distribuer un exposant lorsqu il affecte une parenthèse qui contient une multiplication. Pour a et b 0 : (ab) m = a m b m Exemples : Puissance d'un quotient On peut distribuer un exposant lorsqu il affecte une parenthèse qui contient une division. Pour a et b 0 : ( ) m = Exemple : ( ) 3 = Puissance d'une puissance On multiplie les exposants quand une base est affectée de plusieurs exposants. Pour a 0 : (a m ) n = a mn Exemple : (7 2 ) 3 = =

19 Exercice 4 Utiliser la loi des exposants pour résoudre les expressions suivantes 18

20 La notation scientifique La notation scientifique, dérivée de la notation exponentielle, permet de simplifier l écriture d un nombre très grand ou très petit. Elle se présente sous la forme où : - se situe entre 1 et 10 (10 exclu) ou entre -10 et -1 (-10 exclu) - est un nombre entier positif ou négatif, différent de 0. Lorsqu il s agit d un très grand nombre, l exposant sera toujours positif. S il s agit d un très petit nombre, l exposant sera toujours négatif. Définitions de puissances de dix 1. Puissances de dix avec des exposants positifs Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Nous noterons pour plus de facilité dans les calculs : Cas particuliers : 10 1 = 10 et 10 0 = 1 19

21 Exemples : 2. Puissances de dix avec des exposants négatifs Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Nous noterons pour plus de facilité dans les calculs : Cas particuliers : 10-1 = 0,1 et 10-0 = 10 0 = 1 20

22 Exemples : Remarques sur les puissances de dix Cela se généralise quelle que soit la puissance de dix et quel que soit le nombre entier relatif n : De plus : Quel que soit le nombre entier relatif n : 10 -n est l inverse de 10 n. 21

23 La notation scientifique 1. Écriture en notation scientifique Exemple 1 Écrire le nombre en notation scientifique , 4 3 0, 6, On déplace la virgule de 3 espaces vers la gauche, l exposant est 3 On déplace la virgule de manière à obtenir un nombre ayant un seul chiffre non nul avant la virgule, puis on multiplie par la puissance 10 de manière à avoir une égalité. L écriture scientifique de est donc 6, Exemple 2 Écrire le nombre 0,00432 en notation scientifique. 0, , 0 0 4, 3 2 4, On déplace la virgule de 3 espaces vers la droite, l exposant est -3 On déplace la virgule de manière à obtenir un nombre ayant un seul chiffre non nul avant la virgule, puis on multiplie par la puissance 10 de manière à avoir une égalité. L écriture scientifique de 0,00432 est donc 4, D autres exemples 22

24 Capsule vidéo : La notation scientifique Exercice 5 1. Transformer les nombres suivants en notation scientifique NOMBRES 0, NOTATION SCIENTIFIQUE , , , , , ,

25 2. Transformer les nombres suivants sous leur forme décimale. NOTATION SCIENTIFIQUE NOMBRES SOUS FORME DÉCIMALE 24

26 2. Calculs et notation scientifique Addition et Soustraction en notation scientifique : Pour additionner ou soustraire des nombres en notation scientifique il faut absolument que les nombres aient la même puissance de base 10. Il faut donc choisir une puissance de 10 et convertir les autres nombres dans cette même base. Il est préférable de choisir la puissance la plus grande. Une fois l opération effectuée, on s assure que le résultat respecte bien la notation scientifique. Si ce n est pas le cas, on modifie le résultat en conséquence. Par exemple : Autre exemple : Après l addition, nous obtenons le résultat qui ne respecte plus la notation scientifique. La mantisse 12,06 n est plus comprise entre 1 et 10 (10 exclu). Il faut donc faire une étape supplémentaire et modifier la mantisse ainsi que l exposant afin d exprimer notre résultat selon la notation scientifique. C est le même principe avec des exposants négatifs ; on convertit toujours dans la puissance la plus grande. Dans le cas suivant la puissance la plus grande est. 25

27 Multiplication et division en notation scientifique : Il est très facile de multiplier et de diviser des nombres en notation scientifique. Il suffit tout simplement de réarranger les facteurs et d utiliser la loi des exposants. On multiplie ou divise les mantisses entre elles puis on additionne (multiplication) ou soustrait (division) les exposants de la base 10. Par exemple : Autre exemple : Voici des exemples de calculs avec des expressions numériques écrites en notation scientifique. La somme 26

28 La différence 8, Le produit Le quotient Capsule vidéo : La notation scientifique et calculs 27

29 Exercice 6 Effectuer les calculs demandés et exprimer le résultat en notation scientifique 28

30 29

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