Collège Saint-Lambert (Herstal) Décembre BILAN DE MATHEMATIQUE (math 4h/sem) Consigne : calculatrice non-autorisée pour les 2 premières parties

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1 Collège Saint-Lambert (Herstal) Décembre 0 Professeur : H.-M. Nguen NOM : Prénom : Classes : GTB BILAN DE MATHEMATIQUE (math h/sem) Consigne : calculatrice non-autorisée pour les premières parties ère PARTIE (durée : h) EXPLICITER LES SAVOIRS ET LES PROCEDURES ) a) Sur le cercle trigonométrique, place les points A, B, C et I tels que la mesure de l angle IÔA est a, celle de l angle IÔB est b et AB= CI. b) Traduis l égalité AB= CI en utilisant la formule de la distance entre points. c) Développe et simplifie l égalité obtenue pour établir la formule de cos (a - b). OU a) Ecris la distance entre les points A et B en utilisant la formule de la longueur d un côté d un triangle quelconque. b) Ecris la distance entre les points A et B en utilisant la formule de la distance entre points. c) Egale les résultats obtenus et déduis-en la formule de cos (a - b). ) Applique la formule démontrée en ) pour déterminer cos. ) (a) Définis une fonction homographique. (b) Les epressions suivantes sont-elles des fonctions homographiques? Entoure la ou les bonne(s) réponse(s). Justifie en identifiant les paramètres de la définition aucune des réponses

2 ) Démontre que l epression suivante est indépendante de α (justifie chaque ligne), (sin α + cos α) + (cos α sin α) ) (a) Donne la définition mathématique d une fonction paire. (b) Illustre cette définition avec la fonction suivante : f() = ) (a) Donne la définition mathématique d une fonction périodique. (b) Illustre cette définition avec la fonction suivante : f() = sin (c) détermine la parité et le domaine d étude de f() ) Soit le tableau de variations de f, TV f() Ma = min = Complète les pointillés par «<» ou «>» ou «=» et justifie : f() f() 8) Complète le graphique pour qu il réponde au conditions suivantes : graphique d une fonction impaire et périodique de période. 0 9) Soit f ( ) ³ a) détermine le domaine, ² b) étudie la parité. Bilan de mathématique (GTB h/sem.) Collège Saint-Lambert Décembre 0

3 e PARTIE (durée : h0) APPLIQUER UNE PROCEDURE ANALYSER : 0) Entoure ta réponse ou complète les pointillés (a) f() = +, dom f = R\{,} R\{,} R\{, } R autre réponse (b) cos( ) = cos () VRAI FAUX (Justifie) (c) sin( ) cos VRAI FAUX (Justifie) (d) tan (θ + π ) = eprime comme un N.T. de θ, esquisse le cercle trigono. pour illustrer l égalité. (e) f() = cos ( - ) est une fonction de période p = (f) l équation de l asmptote horizontale au graphique de f() = est (g) f est une fonction paire, son epression analtique peut être (entoure toutes les bonnes réponses) : f() = ² f() = f() = ³ f() = f() = cos (h) cos( ) cos cos VRAI FAUX Bilan de mathématique (GTB h/sem.) Collège Saint-Lambert Décembre 0

4 ) (a) Complète le tableau Epression de la fonction associée à f() (traite les rangées séparément) Transformations de l équation du graphique Transformations des coordonnées du graphique Manipulations du graphique g() = f ( ) + h() = j() = ) C.V. k=/ ) translation verticale de U vers le bas f() =. j() = (b) Si f() = tan, écris l epression de g(). g() =. (c) Trace au craon sur une feuille quadrillée entière le graphique des fonctions f() et de g() entre π et π ( unité = cm, tu peu utiliser l approimation π sur le graphique). Dessine au moins points pour chaque fonction, et les asmptotes éventuelles. (d) Quelle est la période d une fonction de la forme k. tan(a + b) + c? Applique la formule à g() pour trouver sa période. ) Entoure les graphiques de fonctions impaires : A B C D A B C D Bilan de mathématique (GTB h/sem.) Collège Saint-Lambert Décembre 0

5 Appliquer une procédure ) Détermine l epression analtique de f() dont le graphique est donné ci-dessous : 0 ) Résous et montre les solutions sur le cercle trigonométrique : cos ( π + ) = ) Sachant que, (a) tan = et ε IIIe quadrant, calcule sin (b) sin = et ε IV e quadrant, calcule cos Bilan de mathématique (GTB h/sem.) Collège Saint-Lambert Décembre 0

6 ) Détermine les équations des asmptotes de v() = et le facteur d étirement ou + de compression de la fonction usuelle correspondante. ) g() a le même domaine que f() = (plusieurs choi possibles). Quelle est la fonction g()? g() =. g() = g() = g() = Justifie mathématiquement en écrivant le domaine de f() et de(s) g() choisi(s). Bilan de mathématique (GTB h/sem.) Collège Saint-Lambert Décembre 0

7 e PARTIE (durée : h) : calculatrice autorisée 8) a) Complète Domaine : Ensemble Image : Tableau des signes : f() Donne un intervalle sur lequel f est croissante : Epression analtique de f : f() = 9) Soit une coupe de la planète Jupiter passant par les deu pôles (r = 9 9 km). Calcule la longueur de l arc et l aire du secteur angulaire définies par un angle au centre de 8 sur cette coupe. 0) Résous : tan =, ) Un mécanicien veut réparer une roue de vélo sur laquelle est fiée une rustine. Pour cela, il suspend l ae de la roue à une barre horizontale située au-dessus de lui et se place pile endessous de la roue, puis il fait tourner la roue pour trouver la rustine. Soit h(t) la hauteur de la rustine en fonction du temps : h(t) =, + sin(π t π ) [h est eprimé en m, et t en s.] A quel(s) moment(s) verra-t-il la rustine (quand elle sera située juste au-dessus de sa tête)? Bilan de mathématique (GTB h/sem.) Collège Saint-Lambert Décembre 0

8 ) Le pendule simple Le mouvement d un pendule simple (une masse accrochée au bout d un fil) peut être décrit par la fonction harmonique suivante : e(t) = cos (πt + π ) où e(t) représente la position (en cm) de la masse par rapport à la position d équilibre en fonction du temps (en s). Notons que e(t) ne mesure que l écartement horizontal, muni d un signe (voir la figure ci-dessous). e(t) + a) Ecris l epression analtique de la fonction e(t) sous la forme d une fonction harmonique sinusoïdale. b) Précise tous les paramètres de la fonction harmonique obtenue en a) (en ce compris la période, la fréquence et le déphasage). Indique à chaque fois le nom complet à côté de la lettre représentant le paramètre. c) En combien de secondes le ressort atteint-il sa position d équilibre (la position verticale sur le dessin)? d) Combien de temps faut-il au pendule pour aller de l etrémité gauche à l etrémité droite? Eplique ton raisonnement. Question Bonus ) Détermine une fonction f(t) = A sin( t + ) qui admet : pour période, pour valeur maimale et pour zéro. Bilan de mathématique (GTB h/sem.) Collège Saint-Lambert Décembre 0 8