1. Notion d intégrale Interprétation graphique

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Aurore Duval
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Clcul intégrl TS 1. Notion d intégrle Interpréttion grphique Le pln étnt muni du repère orthogonl ( O,I, J ) l unité d ire ( u. ) est l ire du rectngle âti à prtir des points O, I, J.

Ce domine est l ensemle des points M ( x, y ) du pln tels que : x et 0 y f (x) o A M Ex : Aire du domine à l fonction en esclier f représentée ci-contre : Aire = 21 u.

1 Clcul intégrl TS 1. Notion d intégrle Interpréttion grphique Le pln étnt muni du repère orthogonl ( O,I, J ) l unité d ire ( u. ) est l ire du rectngle âti à prtir des points O, I, J. on ppelle domine ssocié à une fonction f positive sur [, ], le domine délimité pr l coure C, l xe des scisses et les droites d équtions x = et x = ( ). Ce domine est l ensemle des points M ( x, y ) du pln tels que : x et 0 y f (x) o A M Ex : Aire du domine à l fonction en esclier f représentée ci-contre : Aire = 21 u. ( il suffit de compter les crreux ) Aire du domine ssocié à f : x x 2 sur [ 0, 1 ] ; ire = 1 3 u. Dns l exemple qui précède, comme dns d utres, on clcule l ire «sous l prole» grâce à un encdrement à l ide de deux suites djcentes, suivi d un pssge à l limite. Nous dmettons que, de l sorte, ce procédé permet de clculer l ire «sous l coure» pour toute fonction continue positive. 2. Intégrle d une fonction continue positive soit f une fonction continue et positive sur [, ] ( vec ). on ppelle intégrle de à de l fonction f l ire du domine ssocié à f sur [, ], exprimée en unité d ire. ce nomre est noté : f ( x ) dx. ( se lit «somme de à de f (x) dx» ). Les réels et sont les ornes de l intégrle. l lettre x peut-être remplcée indifféremment pr t, u, ou n importe quel symole à l exception de et : c est une vrile muette. Ex : clculer A = k dx ( k > 0 ) et B = x dx

2 3. Vleur moyenne d une fonction continue positive Interpréttion grphique soit f une fonction continue et positive sur [, ] ( vec ). µ = 1 L vleur moyenne de f sur [, ], est le réel : f ( ) x dx Preuve : puisque µ dt = µ ( ) il est clir que µ dt = ( ) f L ire du domine ssociée à f sur [, ] est égle à celle du rectngle dont les dimensions sont et µ. Ce rectngle est slé sur l figure. Ex : interpréttion cinémtique : l vitesse moyenne d un moile est l vleur moyenne de l vitesse ( ce qui est plutôt rssurnt ). distnce prcourue 1 t2 vitesse moyenne = = v( t) dt durée du trjet t t t Extension ux fonctions de signe quelconque soit f une fonction continue sur [, ] ( vec ). on ppelle intégrle de à de f le nomre insi défini : si f est négtive sur [, ]: ( ) f x dx = ire( E ) si f est de signe quelconque sur [, ]: ( ) t dt f x dx = ire( E 1 ) + ire( E 2 ) ire( E 3 ) + ire( E 4 ) ire( E 5 ) Remrque : Cette extension lisse inchngée l définition de vleur moyenne. 5. Propriétés de l intégrle soit f une fonction continue sur un intervlle I. pour tout de I, f ( ) x dx = 0 c pour tout, et c de I tels que < c < : f ( ) + f ( ) = f ( ) x dx x dx x dx c ( reltion de Chsles ). Remrque : Pour que reste vlle, de fçon formelle, l reltion de Chsles, on doit voir : f ( x ) dx + f ( x ) dx f ( x ) dx = = 0. D où l définition qui suit. si, on pose f ( x ) dx = f ( ) x dx. Théorème : Reltion de Chsles soit f une fonction continue sur un intervlle I contennt, et c ; lors : ( ) + ( ) = ( ) c f x dx f x dx f x dx c Linérité de l intégrle soit f et g deux fonctions continues sur un intervlle I contennt et ; lors : pour tout réels α et β α f ( ) + β g ( ) = α f ( ) + β f ( ) x x dx x dx x dx Ex : clculer l intégrle de 0 à 1 de f : x 5 x 2 + 3x Intégrles et inéglités soit f et g deux fonctions continues sur [, ] ( vec ) Positivité si f 0 sur [, ] lors : f ( ) x dx 0. Intégrtion d une inéglité si f g sur [, ] lors : f ( x ) dx g ( ) Inéglités de l moyenne si pour tout x de [, ], m f (x) M lors : m ( ) f ( ) x dx. x dx M ( ) Cette inéglité trduit le fit que si µ est l vleur moyenne de f sur [, ] ; on m µ M

6. Notion de primitive soit f une fonction définie sur un intervlle I de R, on ppelle primitive de f sur I toute fonction F dérivle sur I, telle que, pour tout x de I : F (x) = f (x).

3 6. Notion de primitive soit f une fonction définie sur un intervlle I de R, on ppelle primitive de f sur I toute fonction F dérivle sur I, telle que, pour tout x de I : F (x) = f (x). Ex : Déterminer une primitive des fonctions : f : x x ; g : x x 2 h : x x n ( n N ) sur R k : x 1 x et l : x 1 x sur R* + Théorème : soit f une fonction dmettnt une primitive F sur un intervlle I. Interpréttion grphique pour tout réel k, l fonction G : x F (x) + k est ussi une primitive de f sur I. toute primitive de f sur I est de ce type. Théorème : soit f une fonction dmettnt des primitives sur un intervlle I ; soit x o un réel de I et y o un réel quelconque ; il existe une unique primitive F de f sur I vérifint l «condition initile» F ( x o ) = y o. Ex : Déterminer l primitive F de f : x cos x sur R, vérifint F = Intégrle et primitive x Théorème : soit f une fonction continue sur un intervlle I et un point de I. L fonction F : x ( ) Preuve : est une primitive de f sur I. C est l unique primitive de f sur I qui s nnule en. f t d t Conséquence : toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I d où l existence de l fonction ln x = 8. Théorème fondmentl du clcul intégrl 1 x 1 dt t Théorème : soit f une fonction continue sur un intervlle I contennt et ; lors : ( ) d ( ) ( ) ( ) où F est une primitive quelconque de f sur I. Ex : Clculer l ire A du domine ssocié à f : x sin x sur [ 0, ]. f t t = F F = F t

4 9. Intégrtion pr prties Intérêt et mise en œuvre soit u et v deux fonctions dérivles sur [, ] dmettnt des dérivées u et v continues ; lors : ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) u t. v ' t dt u t. v t u ' t. v t dt L formule d intégrtion pr prties permet principlement : de clculer certines intégrles dont on ignore une primitive «à vue». de déterminer certines nouvelles primitives de déterminer des reltions de récurrence. Preuve : l fonction u.v est dérivle sur [, ] ; Les fonctions u.v, u v et donc ( uv ) sont continues sur [, ] ( u.v ) = u.v + u.v donc ( u v) ( ) ( u v + u v)( ) = u ( ) v ( ) + u ( ) v( ). ' t dt =. ' '. t dt t. ' t dt ' t. t dt l première intégrle est égle à u ( t ). v( t) 2 Ex : Clculer I = t.sin t dt 0 ; le résultt en découle. Posons u (t) = t d où u (t) = 1 Toutes les fonctions écrites sont continues ; v (t) = sin t v (t) = cos t en effectunt une intégrtion pr prties : 2 2 I = [ ] 2 ( ) t.sin t dt = t.cos t cos t dt =.cos ( 0.cos 0) + [ sin t] 0 2 Finlement I = Clcul de grndeurs : ires, Théorème : le clcul d ires Le domine D peut-être décrit, si esoin est, comme l ensemle des points M ( x ; y ) tes que : x et f ( x) y g ( x) Ex : Clculer l ire ( en u. ) du domine coloré.

v est le volume du cue construit sur ( O, I, J, K ) Ex : Clculer le volume V du phre

5 11. Clcul de grndeurs : volumes, Théorème : le clcul de volumes l espce est muni d un repère orthonorml ( O, I, J, K ) l unité de volume u.v est le volume du cue construit sur ( O, I, J, K ) Ex : Clculer le volume V du phre otenu pr révolution utour de l xe (Oz) du morceu de prole d éqution : z = x 2 ( 0 x 2 ) dns le pln (xoz) ; ( unité : 6 cm ).

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