Modélisation stochastique du risque de dégradation par processus de diffusion

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1 Modélisaion sochasique du risque de dégradaion par processus de diffusion Kamal Boukheala, Nawel Khellouf Faculé de Mahémaiques Bp. 32, El-Alia, Bab-Ezzouar, USTHB Alger, Algeria Conseil Naional des Assurances, Minisère des Finances 1 rue chahid Aîssa Azzi Daly Ibrahim, Alger kboukheala@ushb.dz Faculé de Mahémaiques Bp. 32, El-Alia, Bab-Ezzouar, USTHB Alger, Algeria Bureau Spécialisé en Tarificaion, Minisère des Finances 1 rue chahid Aîssa Azzi Daly Ibrahim, Alger nawelkhellouf@gmail.com Résumé. Ce ravail a pour bu d éudier le modèle de dégradaion srucurelle, qui représene l évoluion emporelle de la aille d un défau de fissuraion dans des srucures physiques. La descripion déaillée du phénomène e la définiion de ses paramères physiques son représenées. Des soluions analyiques du processus de dégradaion son examinées. La loi de probabilié du premier insan de franchissemen par la aille de la fissure, d un seuil de dégradaion indésirable, es esimée. 1 Inroducion La problémaique de la faigue des srucures, es issue de la révoluion indusrielle du XIXe siècle. Plus précisémen, un cerain nombre d accidens graves (ferroviaires pour la plupar) on moivé les ingénieurs pour oeuvrer sur ce suje. La rupure bruale d élémens mécaniques soumis à des charges cycliques els les essieux du maériel roulan par exemple, a éé un suje d éude de Rankine en Angleerre dès 1843 ou Andrean en Allemagne dès A ce effe, les problèmes de dégradaion consiuen un souci majeur d une enreprise d assurance en maière de couverure de risque dynamique srucurel. Afin de pouvoir calculer des primes de risque e déerminer des provisions mahémaiques sochasiques adéquaes, l acuaire cherche à comprendre au mieux, le comporemen dynamique aléaoire de la srucure e à concevoir des modèles mahémaiques appropriés. La modélisaion par des processus aléaoires (cf. Parzen (1962), Friedman (1975), Gikhman e Skorokhod (1972a,b), Gikhman e Skorokhod (1979)), es un ouil puissan e sophisiqué qu on uilise pour décrire la dynamique d un processus de dégradaion. La naure complexe e le degré de dangerosié d un phénomène de dégradaion, se ransformen en un risque poeniel. Les acuaires s appuien généralemen sur les approches de modélisaion pour mieux comprendre le comporemen de ce ype de

2 Risque de Dégradaion Srucurelle risque e oeuvren à concevoir des principes de prime pour sa couverure. Des méhodologies d approvisionnemen son égalemen à développer. Dans le cas de risques de dégradaion, de comporemen exrême, on fai appel à la réassurance. Dans ce dernier cas, on cherche à déerminer un seuil de réenion adéqua ou opimal, en s appuyan sur un processus de réserve, qui ien compe d un capial iniial fixe, une prime de risque e un coû de la dégradaion. Ce coû peu êre déerminé par rappor au franchissemen seuil de dégradaion indésirable, donné. Dans ce aricle, nous proposons une éude d un modèle de dégradaion srucurelle (cf. Sobczyk (1986), Peer e Eckhard (1992)), qui représene l évoluion emporelle de la aille d un défau de fissuraion dans cerains méaux, a savoir le plasique e l aluminium. Nous monrons, dans cerains cas, que ce modèle perme une soluion unique e que cee soluion es expliciemen analyique. Dans d aures cas la soluion exace es difficile à déerminer, les packages Sim.Diffproc e Sim.diffprocGUI (Boukheala e Guidoum (2011)), son uilisés pour effecuer de l échanillonnage rajecoires, soluions du modèle. Une éude saisique es réalisée, permean d approximer la soluion e ceraines grandeurs d inérê praique. La loi de probabilié du processus de dégradaion, à ou insan, ainsi que la loi de la variable aléaoire, premier insan de franchissemen de la aille de la fissure d un seuil de dégradaion indésirable, son déerminées selon des méhodes non paramériques. 2 Modèle de diffusion pour la propagaion des fissures Sobczyk (1986) a proposé un modèle de dégradaion qui s appuie sur l approximaion asympoique de processus de aille de fissure L à diffusion, gouvernée par une équaion différenielle sochasique, inerpréée au sens de Sraonovich de la manière suivane : Pour p > 0, 0, dl = mf(l ) p d + f(l ) p dw, (1) où (w ) 0 es le mouvemen brownien sandard, f = mcg(r)s 2p = consan e S un faceur d inensié de conraines de fissuraion définie par S = 1 2 (S max S min ), m : la moyenne des influences exérieures, comme la empéraure, g(r) : foncion de raio des conraines, R = S min S max, c,p : des paramères de maériaux, supposés consans pour un maériel donné. Lorsque p = 1 l équaion (1) es linéaire e ses soluions exisen pour ou 0. Si p>1, l équaion (1) es une équaion différenielle sochasique non linéaire e les résulas de cee équaion son définis pour un emps infini. L équaion (1) inerpréée comme équaion différenielle de Sraonovich es équivalene à l Équaion Différenielle Sochasique ou EDS d Iô dl = mf(l ) p + p 2 f 2 (L ) 2p 1 )d + f(l ) p dw. (2)

3 K. Boukheala e N. Khellouf 3 Éude de l équaion (1) dans le cas de p = 1 Dans le cas de p = 1, l équaion (1) es linéaire, signifian que la relaion enre les charges appliquées e le aux de croissance des fissures son presque linéaires. Physiquemen, c es le cas de la aille d une fissure coure d un maériel plasique, définie par la relaion dl = mfl d + fl dw, (3) qui es équivalene à l équaion différenielle sochasique d Iô suivane : dl = (mf + 12 ) f 2 L d + fl dw. (4) 3.1 Eude de l exisence e l unicié de la soluion de l équaion (3) L équaion (3) à une soluion unique si elle saisfai les condiions suivanes : b(x, ) = mfx e σ(x, ) = fx. Condiion de Lipchiz : b(x, ) b(y, ) + σ(x, ) σ(y, ) = mfx mfy + fx fy Borne à accroissemen linéaire : = mf x y + f x y = K 1 x y b(x, ) 2 σ(x, ) 2 = mfx 2 + fx 2 = ( m 2 f 2 + f 2) x 2 On a b(x, ) 2 σ(x, ) 2 Max(m 2 f 2 + f 2 )(1 + x 2 ). En prenan K 2 = Max(m 2 f 2 + f 2 ), on obien b(x, ) 2 σ(x, ) 2 K 2 (1 + x 2 ). L équaion (3) saisfai les condiions d exisence e d unicié d une soluion. 3.2 La soluion associée à la condiion iniiale L 0 > 0 En appliquan la formule d Iô à l équaion (4) e en posan L() = log L(), on obien d ln(l ) = mfd + fdw (5) Ce qui résule que L = ln L es le processus de aux d accroissemen de fissure, de drif mf e de diffusion f 2 ; donné sous la forme inégrale suivane : ln(l ) = ln(l 0 ) + mf 0 ds + f = ln(l 0 ) + mf + fw 0 dw s

4 Risque de Dégradaion Srucurelle D où la soluion de l équaion (3), pour 0 e L 0 > 0, a la forme la suivane : L = L 0 exp (mf + fw ) (6) La soluion (6) es un processus de diffusion de Markov, formulée par l équaion de Fokker- Planck régissan la densié de ransiion p = p(, L,, L ) de L, L éan l éa iniial du processus (3) : ] p = 1 [f 2 2 L 2 p [(mf + 12 ) ] f 2 L p 2 2 avec (, L) fixe. (7) L 2 L Sous l hypohèse de la aille de fissure de faigue L, considérée comme processus de diffusion, la soluion de l équaion (7) es donné par p(, L,, L ) = 1 fl 2π ( ) exp F (L ) = ϕ [ ( ) ] 2 L log mf( ) L 2f 2 ( ) L sui une loi Log-Normale, don la foncion de répariion es donnée par [ ( ) ] L log mf( ) L 2f 2 ( ) (8), (9) où ϕ es la foncion de répariion de la loi normale Simulaion Pour simuler une seule rajecoire du processus de dégradaion, on uilise la soluion (6) sur un inervalle de emps [ 0, T ] avec un pas = T 0 N. Cee rajecoire es représenée dans la figure (1), obenue, en uilisan le package Sim.DiffProc. Un flux de 100 rajecoires de la soluion (3) es illusré par la figure (2). Dans nore exemple, on pose mf = , f = e l 0 = 9 mm. Les résulas obenus monren que le processus de dégradaion L prend ses valeurs dans R + e la aille de dégradaion évolue de manière monoone croissane dans le emps, ce qui jusifie le caracère de dégradaion physique de la srucure. 3.3 Esimaion des paramères Soi L vérifian l équaion différenielle sochasique qui es une soluion de l équaion L = L 0 exp (mf + fw ) (10) dl = mfl d + fl dw. (11)

5 K. Boukheala e N. Khellouf FIG. 1 Trajecoire de propagaion de fissure simulée pour p = 1. FIG. 2 Flux de rajecoires de propagaion de fissure simulées pour p = 1. Le modèle conien les deux paramères inconnus µ = mf e σ = f, à esimer. Présenons mainenan la echnique d esimaion sur la base de la foncion du vraisemblance. Cee méhode consise à esimer les paramères µ = mf e σ 2 = f 2 du processus de diffusion L, par consrucion de la foncion de vraisemblance à parir de la densié de ransiion Esimaion des paramères du modèle de Dégradaion On esime les paramères du modèle (6), par le maximum de vraisemblance. Soi L (0) = l 0, L (h) = l 1,..., L (nh) = l n e l accroissemen des fissures x j = log l j. l j 1 Comme la aille de la fissure de dégradaion sui une loi Log-normale, la foncion de vraisemblance s écri L(µ, σ) = n j=1 1 σl j 1 2πh exp [ ( lj log l j 1 2σ 2 h ) ] 2 µh. (12) Maximiser cee foncion, pour µ = mf R e σ = f > 0, revien à minimiser g (µ, σ) = ln (L(µ, σ)) ; on écri encore g (µ, σ) = ln (L(µ, σ)) = n 2 ln (2πh) + n ln (σ) + 1 2σ 2 h n j=1 ( ( ) 2 lj log hµ). l j

6 Risque de Dégradaion Srucurelle On obien les équaions de vraisemblance µ g = n µh σ 2 1 n ( log n σ g = n σ 1 σ 3 h La soluion ( µ, σ) es donnée par Par suie, En praique, on uilise sans biais. n j=1 j=1 l j l j 1 ) = 0, (13) ( log l ) 2 j hµ = 0. (14) l j 1 µ = m f = x h, (15) σ = f = 1 n (x i x) 2. (16) nh i=1 i=1 m = x hsx, (17) f = 1 n (x i x) 2 = s x. (18) nh h 1 n i=1 (n 1) h (x i x) 2 pour esimer f 2, car rès proche de s x e h Simulaion numérique de la disribuion du modèle (6) : On simule un flux de M rajecoires pour un emps donné. On obien un échanillon de M observaions à un emps = v. On effecue un ajusemen de la disribuion de la variable aléaoire L v, en uilisan deux méhodes : la méhode de l hisogramme e celle du noyau. Le package Sim.DiffProc, plus précisémen la foncion AnaSimX, perme de simuler numériquemen un échanillon L v de aille M = 50 à parir de l équaion différenielle sochasique (4). On obien les résulas ci-après : Min. 1s Qu. Variance Median Mean 3rd Qu. Max TAB. 1 Saisique descripive. Esimaion des paramères : Cee esimaion es obenue par la méhode de maximum de vraisemblance

7 K. Boukheala e N. Khellouf FIG. 3 Simulaion d un échanillon de aille 50 à parir du modèle de dégradaion. Esimaeur Sd.Error meanlog (moyenne) sdlog (écar-ype) TAB. 2 Esimaion des paramères. Ajusemen de la disribuion de l échanillon de L v : Pour ajuser la disribuion de l échanillon de L v, deux méhodes son uilisées, la méhode de l hisogramme e celle du noyau. D aure par, le résula du es de Kolmogorov-Smirnov perme de conserver la loi log-normale, comme disribuion de probabilié de la variable aléaoire L v. 3.4 L insan de Premier Passage En praique, les insans de premier passage jouen un rôle rès imporan. L objecif de cee éude es de déerminer la densié de probabilié de la variable T, l insan de premier passage du processus de dégradaion L. Les modèles de l insan de premier passage se basen esseniellemen sur - Une foncion de dégradaion sochasique L qui représene l évoluion d une aille de la fissure au cours du emps ; - Un seuil c à parir duquel la dégradaion es considérée criique. A parir de ces deux crières, le premier insan d aeine T c du seuil de dégradaion criique es T c = inf { 0, L δ, L = c}, (19) où {L, 0} es le processus de diffusion soluion de l équaion différenielle sochasique (3), une parie de R supposé ouvere e bornée e c un élémen de

8 Risque de Dégradaion Srucurelle FIG. 4 Ajusemen de la disribuion du modèle de dégradaion par la méhode du noyau. FIG. 5 Ajusemen de la disribuion du modèle de dégradaion par la méhode de l hisogramme. L équaion (3) es uilisée pour déerminer expliciemen la loi de probabilié de T c. La probabilié de ransiion P (c a) représene la densié de L avec L 0 = a, qui es soluion de l équaion (7). Ce qui donne p(c, c a, 0 ) = 1 fc 2π ( c 0 ) exp avec T c = inf { 0, L c, L 0 = a}. Pour des peies valeurs de c, on a [ ( c ] 2 log mf( c 0 ) a) 2f 2 ( c 0 ), (20) R() = P (T c > ) = P (L c) = 1 F Tc () Par suie, P (T c ) = 1 P (L c) [ log = 1 ϕ ( c a) mf( c 0 ) 2f 2 ( c 0 ) ]

9 K. Boukheala e N. Khellouf La disribuion de probabilié de l insan de premier passage es Gaussienne Inverse, e représenée par la foncion de densié suivane : ( c [ ( c ] 2 log log mf f Tc () = a) f exp a) 2π 3 2 2f 2. (21) L espérance e la variance de T son données ci-dessous : ( c log E (T ) = a) (mf 12 ), f 2 ( c f 2 log var (T ) = a) (mf 12 ) 3 f 2 En praique, il es connu que la loi de la durée de vie d une srucure, sui approximaivemen l une des lois parmi la loi exponenielle, lognormale ou de Weibull. Cependan, la durée de vie résiduelle moyenne (mean residual life) s obien comme sui : MRL() = E (T c T c > ), = = = (y ) dp (T c y T c > ), ( ) R() R(y) (y ) d, R() ( ) R (y)dy (y ) d, R() = (y )R(y) + R() Ce qui monre que yr() 0 quand y e par suie Taux de rupure par faigue : MRL() = R()dy. R(y)dy. (22) R() Une aure approche pour caracériser la fiabilié des maériaux, es définie par le concep du aux insanané de rupure par faigue (faigue insananée). Soi T une durée de vie aléaoire. Soi F () la foncion de répariion de T e f() sa densié de probabilié. On défini la foncion µ(), appellée foncion d inensié de faigue ou aux de rupure par faigue ou foncion de risque par µ() = f() 1 F (). (23)

10 Risque de Dégradaion Srucurelle Pour µ() donné, la foncion de disribuion es donnée par Si F ( 0 ) = 1, alors 1 F () = F () = F ( 0 ) exp { } µ(τ)dτ 0 { } F () = 1 exp µ(τ)dτ, (24) 0 f() = F () = µ() exp { 0 µ(τ)dτ }. (25) Si µ() = λ = consan, 0, λ > 0, alors la durée de vie d un échanillon es une loi exponenielle Simulaion de l insan de premier passage : L esimaion de la densié de probabilié de la variable T c sera effecuée sur la base de la simulaion d un flux de rajecoires. Pour esimer cee densié, nous raions saisiquemen les observaions simulées par deux méhodes : la méhode de l hisogramme e la méhode du noyau. On uilise le package Sim.DiffProc pour simuler un échanillon de aille M=100, de la variable T c, avec un pas de discréisaion = T N, e c = 16mm. FIG. 6 L insan de premier passage du modèle de dégradaion. Esimaion de la disribuion de T c : On ajuse d une façon non paramérique la loi de la variable T c, respecivemen aux lois lognormale, exponenielle e de Weibull. Le choix de modèle es réalisé, selon le crière AIC : le

11 K. Boukheala e N. Khellouf Log-normale Weibull Exponenielle AIC Esimaeur Sd.Error shape scale TAB. 3 Esimaion des paramères. FIG. 7 Ajusemen de la disribuion de l insan de premier passage par la méhode du noyau. FIG. 8 Ajusemen de la disribuion de l insan de premier passage par la méhode d hisogramme. minimum, selon le crière AIC, es obenu pour la loi de Weibull. Les résulas de ce es son donnés dans le ableau e illusrés par les figures 7 e 8, ci-après. Alernaivemen le es de Kolmogorov-Smirnov confirme la loi de Weibull, comme ajusan au mieux les observaions. 4 Éude de l équaion (1) dans le cas de p > 1 L équaion (1) es une EDS linéaire. Dans la praique, ce modèle es renconré dans les maériaux à base d alliage méallique e où 2 p 4. Cee équaion es équivalene à l équaion différenielle sochasique d Iô suivane : ( dl = mfl p + p 2 f 2 L 2p 1 ) d + fl p dw. (26)

12 Risque de Dégradaion Srucurelle En posan Y = ϕ(l ) = 1 Y 0 = 1 L p 1 0, L p 1 e en appliquan la formule d Iô à la foncion ϕ(l), ( dy = (p 1) mf (p 1) P 2 f 2 L p 1 + (p 1) P ) 2 f 2 L p 1 d (p 1) fdw, = (p 1) mfd (p 1) fdw. Par conséquen,, (27) Y = Y 0 (p 1) mfds (p 1) 0 fdw s, 0 (28) = Y 0 (p 1) mf ( 0 ) (p 1) f (w w 0.) (29) Ainsi, Λ = 1 L p L p 1 = (p 1) mfds (p 1) fdw s. (30) 0 0 Lorsque L 0 es déerminise, l équaion (30) représene une disribuion normale avec ( ) E(Λ ) = (p 1) mfdsevar(λ ) = (p 1) 2 var fdw s (31) 0 0 Dans le cas saionnaire, E(Λ ) = (p 1) mf ( 0 ), var(λ ) = (p 1) 2 ( 0 ). (32) D où la soluion de l équaion (28), pour 0 e L 0 > 0, L = 1 Y 1 p 1 où Y, donnée par l équaion (30), es la soluion de l équaion (32). (33) L équaion (1) es résolvable e formulée par (7), régissan la densié condiionnelle ρ = p(, L,, L ) de L, où L es l éa iniial du processus (1). L équaion (1) devien 2 ρ = 1 2 L 2 ( ) f 2 L 2p ρ [( L mfl p + p 2 f 2 L 2p 1 ) ] ρ. (34) On peu monrer que cee équaion adme une soluion explicie, donnée pour p 1, par ( ) 2 p(, L,, L p 1 L 1 p L 1 p mf( ) ) = L p f 2π ( ) exp (p 1) 2 (35) 2f 2 ( )

13 K. Boukheala e N. Khellouf La foncion de répariion de L es donnée par : (L 1 p L 1 p mf( ) F (L ) = Φ (p 1) 2f 2 ( ), (36) où Φ es la foncion de répariion de la loi normale sandard. A parir de cee densié, on peu définir la probabilié de ransiion de la aille de fissure pour oue valeur supérieure à un seuil criique L, P (L > L /L 0, 0 ) = p(, x, 0, L 0 )dx. (37) L La foncion de répariion de la variable aléaoire T L, qui représene le emps nécessaire pour aeindre L es donnée par P (T L < θ) = G T (θ). (38) 4.1 Simulaion La simulaion numérique, en uilisan le package Sim.DiffProc), déermine une seule rajecoire de l équaion (26), représenée par la figure (9) e un flux de M=50 rajecoires, en figure (10. Dans le cas où mf = , f = , = 0.1, la valeur iniiale l 0 = 0.9cm. FIG. 9 Trajecoire de propagaion de fissure simulée pour p = 2, 6. FIG. 10 Flux de rajecoires de propagaion de fissure simulées pour p = 2.6. Ce qui simule un échanillon de la quanié aléaoire L v de aille M à parir de l équaion différenielle sochasique (26). Une analyse saisique de ce échanillon donne les résulas graphiques e numériques ci-après.. Une esimaion des paramères de la loi L v es donnée par le ableau ci-après. Cee loi es significaivemen ajusée par une disribuion de probabilié de ype log normale, avec une valeur minimum de l AIC. L applicaion du es d ajusemen de Kolmogorov-Smirnov confirme égalemen ce résula

14 Risque de Dégradaion Srucurelle FIG. 11 Simulaion un échanillon du aille 50 à parir du modèle de dégradaion. Min. 1s Qu. Variance Median Mean 3rd Qu. Max TAB. 4 Saisique descripive de L ν. FIG. 12 Ajusemen de la disribuion du modèle de dégradaion par la méhode du noyau. FIG. 13 Ajusemen de la disribuion du modèle de dégradaion par la méhode d hisogramme. 4.2 Calcul de l insan de premier passage L esimaion de la densié de la variable aléaoire T c es effecuée sur la base de la simulaion d un flux de M=50 rajecoires avec mf = , f = e c = v = 1.7cm

15 K. Boukheala e N. Khellouf Esimaeur Sd.Error meanlog (moyenne) sdlog (écar-ype) TAB. 5 Esimaion des paramères. L ajusemen de la variable T c es faie par les lois gamma, exponenielle, lognormale e de FIG. 14 L insan de premier passage du modèle de dégradaion. Weibull. Le meilleur modèle es choisi par le crière AIC (minimum AIC). On remarque que la loi de Weibull es celle qui ajuse au mieux la disribuion de la variable aléaoire T c (AIC = , minimal). Alernaivemen, le Tes de Kolmogorov-Smirnov Esimaeur donne D = minimal, p-value = Sd.Error shape scale TAB. 6 Esimaion des paramères. 5 Influence de la variabilié des paramères du modèle de dégradaion (1) Plusieurs paramères mécaniques e micro-srucurels influen sur la propagaion des fissures. Cee influence es plus ou moins imporane suivan le domaine de fissuraion éudié e les condiions d essais, regroupées en deux caégories : les paramères inrinsèques (micro-srucures) e exrinsèques (rappor de charge (conraines appliquées) e l environnemen... )

16 Risque de Dégradaion Srucurelle FIG. 15 Ajusemen de la disribuion de L insan de premier passage par la méhode du noyau. FIG. 16 Ajusemen de la disribuion de L insan de premier passage par la méhode d hisogramme. Cee secion a pour objecif l éude de la durée de vie de la srucure, en enan compe de la variabilié des paramères du modèle de dégradaion de celle-ci. 5.1 Influence du rappor de charge On simule des rajecoires de la aille de la fissure, en enan compe des cinq ypes de foncion du rappor de charge, suivans : consan, linéaire, exponenielle, logarihmique e rigonomérique, pour les valeurs des paramères p = 1, m = 3.6, c = e S = 80. Les résulas obenus son représenés dans le ableau ci-dessous. Les résulas du rappor de Foncion de g(r) g(r) Moyenne Variance Max(mm) L insan de premier passage Consan Linéaire Logarihmique Trigonomérique Exponenielle TAB. 7 Influence du Rappor de Charge. charge es illusré par la figure 5.1 ci-après. Ainsi, les résulas obenus monren bien que le rappor de charge R es imporan e caracérise la viesse de propagaion des fissures. Lorsqu une srucure es solliciée d une charge plus élevée, sa résisance devien plus faible, ce qui fai diminuer la durée de vie de la srucure en quesion. Si le rappor de charge se rapproche de 0, l inensié de la conraine de fissuraion minimum es plus peie que celle de la conraine maximum, donc la viesse de fissuraion es faible e

17 K. Boukheala e N. Khellouf FIG. 17 Influence du rappor de charge R. la durée de vie augmene. Par conre, si le rappor de charge se rapproche de 1, l inensié de conraine minimum es proche du maximum, par suie, la viesse de fissure augmene e la durée de vie diminue. 5.2 Influence du paramère p En réalisan des simulaions rajecoires pour différenes valeurs de p avec R = 0, 2, m = 3, 6, c = 2, e S = 80, on obien les résulas suivans : On remarque que la viesse de dégradaion de la srucure es exrêmemen sensible à la variap Moyenne Variance Max(cm) L insan de premier passage TAB. 8 Influence de paramère p. ion de paramère p, ce qui monre son imporance physique, pour la déerminaion du degré de fiabilié de la srucure. 6 Conclusion Les modèles de dégradaion on fai l obje de nombreuses publicaions duran ces dernières décennies. Ces modèles son à l origine des processus qui déerminen les échecs dans ces sysèmes. En oure, ils jouen un rôle cenral dans les effors visan à améliorer la fiabilié e la mainenance des sysèmes. Dans ce ravail, nous avons présené une famille de modèles de processus de dégradaion, consruie par des équaions différenielles sochasiques de ype Sraonovich

18 Risque de Dégradaion Srucurelle FIG. 18 Influence de paramère p. Nous avons égalemen développé quelques élémens héoriques fondamenaux du modèle, uiles pour la modélisaion du processus de dégradaion e l éude de la fiabilié des srucures physiques. Ainsi, à ravers quelques exemples praiques, nous avons monré l imporance e l inérê de la simulaion, ainsi que l adéquaion de ce modèle avec les phénomènes réels de dégradaion. L échanillonnage rajecoires généré par le modèle nous a permis d esimer saisiquemen ceraines grandeurs d inérê physique, liées à la fiabilié de la srucure, en maière de durée de vie probable e de résisance aux effes inernes e exernes sur la srucure. Références Boukheala, K. e A. Guidoum (2011). Sim.DiffProc : Simulaion of Diffusion Processes, R- package version 2.5. hp ://CRAN.R-projec.org/package=Sim.DiffProc : The R journal, 3/1, 93. Friedman, A. (1975). Sochasic Differenail Equaions and Applicaions. New york : Academic Press. Gikhman, I. I. e A. V. Skorokhod (1972a). Sochasic Differenial Equaions. Spronger. Gikhman, I. I. e A. V. Skorokhod (1972b). Sochasic Differenial Equaions and heir Applicaions. In Russian : Naukova Dumka Kiev. Gikhman, I. I. e A. V. Skorokhod (1979). The heory of Sochasic Processes, Volume I-III. In Russian : Springer. Parzen, E. (1962). Sochasic Processus. San Francisco: Holden-Day. Peer, E. e P. Eckhard (1992). Numerical Soluion of Sochasic Differenial Equaions (Second Ediion). Imperial College Press

19 K. Boukheala e N. Khellouf Sobczyk, K. (1986). Modelling of random faigue crack growh. Engineering Fracure Mechanics 19, Sobczyk, K., D. Kirknera, e B. Spencer (1999). On he relaionship of he cumulaive jump model for random faigue o empirical daa. Probabilisic Engineering Mechanics 14, Summary This work is o sudy a model of srucural degradaion, which represens he emporal evoluion of srucures cracking. A deailed discripion of phenomenon and he definiion of is physical parameers are presened. Analyical soluions of he process L(), he lengh of dominan crack, are discussed. We pu he associaed reliabiliy framework by considering he failure of he srucure once he degradaion process reaches a criical hreshold

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