EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES NOMBRES COMPLEXES

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1 EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES NOMRES COMPLEXES Exercce 1 Valeur exacte du cosus et du sus de /1 O cosdère les deux ombres comlexes suvats : 1. Écrre z 1 et z sous forme algébrque. z 1 e 3 et z - e. Détermer les écrtures sous formes algébrque, exoetelle et trgoométrque de z 1 z. 3. E dédure la valeur exacte du cosus et sus suvats : cos et 1 s 1 Exercce Des stes our démotrer qu'u comlexe est réel ou magare ur Démotrer les équvaleces suvates : Z réel Û Z Z Z Î Û ( Z 0 ou arg(z) 0 [ ] ) Z magare ur Û Z +Z 0 Z Î Û ( Z 0 ou arg(z) [ ] ) lcatos : 1. Commet chosr le ombre comlexe z our que Z z + z - 3 sot réel? Sot E l'esemble des ots M du la comlexe d'affxe z tels que Z sot réel. Détermer E..O cosdère les ots et d'affxes resectves et 1. Sot M u ot du la d'affxe z dstct de. O ose Z 1- z - z Détermer l'esemble E des ots M tels que Z sot réel. Détermer l'esemble F des ots M tels que Z sot magare ur. Exercce 3 Écrture comlexe de trasformatos 1.Sot la trasformato du la comlexe qu à M(z) assoce M'(z') tel que : z' az + 3 Détermer la ature et les élémets caractérstques de lorsque a, us lorsque a -.O doe (1), ( + ), '() et '(1 + ). Vérfer que ''. Démotrer qu'l exste ue uque rotato r telle que r() ' et r() '. La détermer. Exercce Leux de ots Sot z u ombre comlexe dfféret de 1. O ote M le ot du la comlexe d'affxe z. O ose Z Détermer l'esemble : 1. E des ots M tels que Z sot réel.. F des ots M tels que Z G des ots M tels que arg(z) [ ]. z + z -. 1 Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 1 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

2 Exercce 5 Utlsato des ombres comlexes our établr ue rorété algébrque Soet a, b Î. O suose que a et b sot la somme de deux carrés : l exste x, y Î tels que a x + et l exste z, t Î tels que b z + t x + y x + y etc...) y Démotrer que le rodut ab est ecore la somme de deux carrés. (Idée : écrre ( ) Exercce 6 Idetté du arallélogramme Démotrer que our tous ombres comlexes Z et Z', o a : Z + Z' + Z - Z' Z + Z' (Idcato : utlser la relato : Z ZZ) Iterréter géométrquemet. Exercce 7 Races de l'uté. lcatos Sot Î *. O aelle race ème de l'uté tout ombre comlexe z tel que : z 1 O ote l'esemble des races èmes de l'uté. Par exemle, { - 1, 1}. 1.Démotrer que : ìü ïï íý e ïï îþ k,{0,1,...,1} kî- Démotrer que la somme des races èmes de l'uté est ulle. uruur Démotrer que, das reère orthoormal drect ( Oee,, ), les mages k (0 k - 1) des ombres w k e k.lcatos : sot les sommets d'u olygoe réguler. a)sot Z Î. O aelle race ème de Z tout ombre comlexe tel que : 1 z Z Sot R Z et Q u argumet de Z. Démotrer que Z admet les races èmes suvates : b)sot la focto olyôme défe ar : Q k + Re, 0 k - 1 (x) x + 1 Détermer les races quatrèmes de - 1 us e dédure que eut s'écrre comme u rodut de deux foctos olyômes de degré à coeffcets réels. c)sot z u ombre comlexe tel que : 1 + z + z 8 0 Démotrer que z est ue race 1 ème de l'uté. Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

3 Exercce 8 Trasformato de a cos x + b s x Soet a et b deux réels. Démotrer qu'l exste deux réels R et q tels que our tout x Î : a cos x + b s x R cos(x - q ) lcato : résoudre, sur, l'équato : cos x + s x 1 Exercce 9 Calcul de la valeur exacte de cos( /5) et cos( /5) Pour coaître le but de cet exercce, se reorter à la questo 5. 1.Résoudre, das, le système suvat :.O ose w e 5 ì u + v - 1 ï í ï uv - 1 î. Démotrer que : w0 + w1 + w + w3 + w 0 E dédure (à l'ade des formules d'euler) que : cos + cos Démotrer que : cos cos 5 + s 5 s 5 cos 5 cos cos 5.E dédure que : cos 5.Démotrer que : cos et - s cos s - 1 et cos 5 cos Exercce 10 Carrés et arallélogramme C est u tragle de ses drect. D est u tragle socèle et rectagle e D de ses drect. CE est u tragle socèle et rectagle e E de ses drect. O costrut le ot L tel que CL D. 1.Fare ue fgure..démotrer que EDL est u tragle rectagle socèle e E de ses drect. Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 3 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

4 Exercce 11 Des carrés autour d'u quadrlatère (Théorème de Vo ubel) O cosdère u quadrlatère CD de ses drect. O costrut quatre carrés de cetres resectfs P, Q, R et S qu s'auet extéreuremet sur les côtés [], [C], [CD] et [D] du quadrlatère CD. (Vor fgure) Le but du roblème est de démotrer que les dagoales du quadrlatère PQRS sot eredculares et de même logueur. R S D C Q P O otre a, b, c, d,, q, r et s les affxes resectves des ots,, C, D, P, Q, R et S das u reère orthoormé ( uruur Oee,, ) de ses drect. 1 1.Démotrer que das le carré costrut sur [], o a : ab - 1- Établr des relatos aalogues our q, r et s e rasoat das les tros autres carrés..calculer : Coclure. sq- r- Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

5 Exercce 1 Des carrés autour d'u tragle (Pot de Vecte) O cosdère u tragle C de ses drect. O costrut tros carrés de cetres resectfs P, Q et R qu s'auet extéreuremet sur les côtés [], [C] et [C] du tragle C. (Vor fgure) R P C Q O otre a, b, c,, q et r les affxes resectves des ots,, C, P, Q et R das u reère orthoormé uruur ( Oee,, ) de ses drect. 1 1.Démotrer que les tragles C et PQR ot le même cetre de gravté..démotrer que das le carré costrut sur [], o a : ab - 1- Établr des relatos aalogues our q et r e rasoat das les deux autres carrés. 3.Démotrer que les drotes (Q) et (PR) sot eredculares E dédure que les drotes (Q), (R) et (CP) sot cocourates. Iformato : ce ot de cocours s'aelle "ot de Vecte" du tragle C. Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 5 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

6 Exercce 13 Théorème de Naoléo O mut le la d'u reère orthoormé ( Oee,, ) uruur de ses drect. 1 PRTIE : des caractérsatos du tragle équlatéral O ote j e 3. Soet U, V et W tros ots du la d'affxes resectves u, v et w. 1.Démotrer l'équvalece suvate : UVW est équlatéral de ses drect Û u - v - j (w - v).démotrer l'équvalece suvate : UVW est équlatéral de ses drect Û u + jv + j w 0 PRTIE : démostrato du théorème de Naoléo C est u tragle quelcoque de ses drect. O costrut les ots P, Q et R tels que PC, CQ et R soet des tragles équlatéraux de ses drect. O ote U, V et W les cetres de gravté de PC, CQ et R resectvemet. Démotrer que UVW est équlatéral de même cetre de gravté que C. Q R W V C U P Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 6 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

7 Exercce 1 Nombres comlexes et sutes Le but de cet exercce est l'étude de la sute (S ) défe, our, ar : S å k 0 k s 1.O ose, our : z e Calculer la somme -1 å k 0 z k.motrer que, our : z 1 ta 3.E dédure que, our : S 1 ta.étuder la lmte de la sute (u ) défe, our, ar : u S Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 7 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

8 EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES NOMRES COMPLEXES : SOLUTIONS Exercce 1 Valeur exacte du cosus et du sus de /1 1.O a : z et z -.Forme algébrque de z 1 z : z 1 z Forme exoetelle de z 1 z : Forme trgoométrque de z 1 z : z 1 z e z 1 z cos e e 1 + s 3.E detfat la forme trgoométrque avec la forme algébrque de z 1z, l vet : cos 1 6+ et 1 s 1 6- Exercce Des stes our démotrer qu'u comlexe est réel ou magare ur D'ue art : Z est réel Û Im(Z) 0 Û Z - Z 0 Û Z Z D'autre art : Z est magare ur Û Re(Z) 0 Û Z +Z 0 Z Î Û ( Z 0 ou arg(z) 0 [ ] ou arg(z) [ ] ) Û ( Z 0 ou arg(z) 0 [ ] ) Z Î Û ( Z 0 ou arg(z) [ ] ou arg(z) - [ ] ) Û ( Z 0 ou arg(z) [ ] ) lcatos : 1.D'arès ce qu récède et d'arès les rorétés de la cojugaso : Z réel Û Z Z Û z + z - 3 z + z - 3 Û (z - z )[(z + z ) + ] 0 Z réel Û (z z ou Re(z) - ) Û (z réel ou Re(z) - 1) L'esemble E recherché est l'uo des deux drotes d'équatos resectves y 0 et x - 1..Détermato de E : O raelle que z ¹. utremet dt M est dstct de. O a alors : Z Î Û (Z 0 ou arg Z 0 [ ]) Û (z 1 ou arg - zz zz - Z Î Û, M et algés, M ¹ 0 [ ]) Û (M ou (M, M ) 0 [ ]) O e dédut : Détermato de F : O raelle que z ¹. O a alors : E est la drote () rvée du ot Z Î Û (Z 0 ou arg(z) [ ]) Û (z 1 ou arg Z Î Û (M ou (M, M - zz zz - ) [ ]) [ ]) D'où : F est le cercle de damètre [] rvé du ot Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 8 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

9 Exercce 3 Écrture comlexe de trasformatos 1. a Motros que admet u uque ot varat. Pour cela o résout l'équato : ( w ) w w w + 3 w - 3 La trasformato admet u uque ot varat W d'affxe w - 3. Pour détermer la ature de o exrme z' - w e focto de z - w. ìzz '3 + O a : í î ww+ 3 E soustrayat, membre à membre, ces deux égaltés, o obtet : z' - w (z - w ) O e dédut, grâce à so écrture comlexe, que est l'homothéte de cetre W ( - 3) et de raort k. a - Motros que admet u uque ot varat. Pour cela o résout l'équato : ( w ) w w - w + 3 w La trasformato admet u uque ot varat W d'affxe w Pour détermer la ature de o exrme z' - w e focto de z - w. ìzz '3 -+ O a : í î ww+ 3 E soustrayat, membre à membre, ces deux égaltés, o obtet : z' - w - (z - w ) O e dédut, grâce à so écrture comlexe, que est rotato de cetre W et d'agle -..O a : '' Sot r ue rotato de cetre W et d'agle q. So écrture comlexe est : z' - w q e (z - w ) Motros que l'o eut chosr, de maère uque, w Î et q Î [0, [ tels que r() ' et r() '. La codto r() ' doe : - w La codto r() ' doe : w E soustrayat membre à membre : - 1 D'où : q e (1 - w ) q e ( + - w ) q e ( ) e q - q - [ ] O e dédut : - w - (1 - w ) w 33 + La trasformato cherchée est la rotato de cetre W d'affxe 33 + et d'agle -. Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 9 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

10 Exercce Leux de ots L'dée est de se rameer à ue exresso du tye Z Itrodusos our y arver le ot d'affxe - et le ot d'affxe 1. 1.O a as : Or, Z réel Û (Z 0 ou arg(z) 0 [ ]) Û (z z ou (M (M, M O e dédut falemet : zz- zz- af de ouvor l'terréter géométrquemet., M ) 0 [ ]) ) 0 [ ] Û M aartet à la drote () rvée de et E est la drote () rvée de. Z Û z - z z - z Û M M Û M aartet à la médatrce de [] F est la médatrce de [] 3. arg(z) [ ] Û (M, M ) [ ] G est le dem-cercle de damètre [], rvé de, tel que le tragle M sot drect Exercce 5 Utlsato des ombres comlexes our établr ue rorété algébrque O a : ab x + y zt + Et d'arès les rorétés des modules : ab ()() xyzt ++ ab ()() xzytyzxt -++ ab (xz - yt) + (yz + xt) Or, xz - yt Î et yz + xt Î, doc ab est auss la somme de deux carrés. Exercce 6 Idetté du arallélogramme O a : Z + Z' + Z - Z' (Z + Z')()ZZ++ (Z - Z')()ZZ- ZZ + ZZ + Z'Z + Z'Z + ZZ - ZZ - Z'Z + Z'Z Z + Z' + Z - Z' Z + Z' Iterrétato : Sot CD u arallélogramme. Notos Z l'affxe de et Z' l'affxe ded. D O a doc : C + D + D Z' Z + Z' C utremet dt : das u arallélogramme, la somme des carrés des dagoales est égale à la somme des carrés des Z - Z' côtés Z Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 10 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

11 Exercce 7 Races de l'uté. lcatos 1.Déjà, our tout ombre comlexe w k déf our k Î {0, 1,..., - 1} ar w k w k k e 1 k e, o a : Les élémets de sot be des races èmes de l'uté. Récroquemet, sot z ue race ème de l'uté : z 1 Notos r le module de z et q l'argumet de z stué das [0, [. s, o a : q r e 1 Or, deux ombres comlexes égaux ot même module et des argumets égaux (modulo ), d'où : 0 e r 1 et q º 0 [ ] Comme r est u réel ostf, o a écessaremet r 1. D'autre art, l'égalté q º 0 [ ] sgfe qu'l exste u eter relatf k tel que : q k q k Et comme o a chos q Î [0, [, l vet : 0 k < Et comme k est u eter : 0 k - 1 Il y a doc exactemet races ème de l'uté qu sot les ombres w k our 0 k - 1 : ìü ïï íý e ïï îþ k,{0,1,...,1} kî- vec les otatos récédetes, et e otat w w 1, o costate que : w w k k La formule de sommato de termes cosécutfs d'ue sute géométrque doe alors : -1 å w 1 k k 1 0 -w -w 0 usque w 1 De lus, our tout k Î 0, - 1, o a : uuuur uuuuuuur ( Ok, O k + 1 ) w k arg w + 1 k e [ ] O a oté, ar commodté : w w 0 1 et 0 O e dédut que est u olygoe réguler..lcatos : a)o rocède comme our les races de l'uté. Sot z r e Î. q O a : z Z Û r e q R Q e Û ì rr í î qºq [] ì rr ï Û í Qéù ïqº îëû êú ì rr ï Û í ïl exste ktel Îq+ î que Q k Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 11 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

12 Et comme o eut toujours chosr q Î ééqq êê ëë, +, l vet : 0 k - 1 Les races èmes de Z sot doc les ombres comlexes suvats : Q k + Re, 0 k - 1 Remarque : s o coaît déjà ue race ème artculère z 0 de Z, o eut e dédure toutes les autres e multlat z 0 ar les races èmes de l'uté. E effet : ( z 0 Z et z Z) Û z z 0 1 Û l exste k Î 0, - 1 z tel que w k z 0 D'où : ( z 0 Z et z Z) Û l exste k Î 0, - 1 tel que z w kz 0 b)les races quatrèmes de l'uté sot : 1, - 1, et - O coaît ue race quatrème artculère de - 1 : Les races quatrèmes de - 1 sot doc : e e, - e, e et - e C'est-à-dre : e, e, e et e - 3 Or, les races de x + 1 sot récsémet les races quatrèmes de - 1. O a doc la factorsato : 3 - (x) x + 1 x e x e x - e 3 x - e 3 - E regrouat les races deux ar deux (e chosssat celles qu sot cojuguées), o obtet : (x) xx -+ 3 cos1 xx -+ cos1 (x) ( xx ) -+ 1 ( xx ) ++ 1 Nota : les amateurs de forme caoque euvet retrouver ce résultat sas asser ar les comlexes : x + 1 ( 1 ) x + - x ( ) 1 c)o sat que : 1 + z + z 8 0 E multlat ar z : z + z 5 + z 9 0 Pus ecore : z + z 6 + z 10 0 xx -+ ( xx ) ++ 1 z 3 + z 7 + z 11 0 E sommat les quatre égaltés, membre à membre : 11 å k z 0 k 0 Il est clar que z e eut as être égal à 1. La formule de sommato de termes cosécutfs d'ue sute géométrque doe alors : Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 1 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

13 1- z 1- z D'où : z 1 1 Doc z est ue race douzème de l'uté. 1 0 Exercce 8 Trasformato de a cos x + b s x S a b 0, l sufft de chosr R 0 et q quelcoque. Suosos (a, b) ¹ (0, 0) et osos Z a + b. O a doc Z ¹ 0. Notos : R Z et q u argumet de Z. O sat qu'alors : O a as, our tout x Î : Et d'arès les formules d'addtos : lcato : a Z cos q et b Z s q a cos x + b s x R(cos q cos x + s q s x) a cos x + b s x R cos(x - q ) E utlsat ce qu récède e osat Z 1 + (R et q [ ]), l'équato roosée s'écrt : cos cos x - x - 1 cos D'où : x - [ ] ou x - - [ ] x [ ] ou x 0 [ ] Exercce 9 Calcul de la valeur exacte de cos( /5) et cos( /5) 1.O rocède ar substtuto. La remère équato doe : v - u - 1 E remlaçat v ar - u - 1 das la secode équato, l vet : E multlat ar - et e déveloat : u -- u 1-1 u + u O obtet ue équato du secod degré. So dscrmat est : D b - ac 0 Comme D > 0, l y a doc deux races réelles dstctes : u 1 --D b a et u -+D b a Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 13 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

14 O e dédut les valeurs de v corresodates : v - 1 u Cocluso : le système admet deux coules de solutos : S ìü íý ,;, îþ et v - u Il s'agt de la somme de cq termes cosécutfs d'ue sute géométrque de raso e D'où : 1 + e 5 Or : O eut doc écrre : 1 + e 5 w0 + w1 + w + w3 + w 5 1-w 1-w 0 car w e 5 + e 5 + e º - [ 8 ] et º - [ ] e 5 + e 5 + e 5 0 Et d'arès les formules d'euler : 1 + cos + cos 5 cos 3.D'arès les formules d'addtos : cos cos cos cos - 5 cos cos 5 cos cos cos cos + s cos 5 s - s.e addtoat, membre à membre, les deux égaltés c-dessus et e utlsat la questo. : - 1 cos cos 5 5.Posos u cos Or, cos et v cos > 0 car Î éù êú0, 5 ëû D'arès la questo 1, o e dédut : cos cos cos. O costate que : et cos ì u + v - 1 ï í ï uv - 1 î - 1 < 0 car Î éù êú, 5 ëû. et cos O a doc : s Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 1 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

15 Exercce 10 Carrés et arallélogramme 1. Fgure E D I C L uruur.mussos le la d'u reère orthoormal drect ( Oee,, ). Notos a, b, c, d, e et l les affxes resectves des ots,, C, D, E et L. Comme est l'mage de ar la rotato de cetre D et d'agle : 1 a - d (b - d) De même das CE : c - e (a - e) Ef, usque L est l'mage de C ar la traslato de vecteurd : Exrmos l - e e focto de d - e : l c + b - d l - e c - e + b - d (a - e) - (a - d) (d - e) Doc L est l'mage de D ar la rotato de cetre E et d'agle. Le tragle EDL est be rectagle socèle e E de ses drect. Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 15 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

16 Exercce 11 Des carrés autour d'u quadrlatère (Théorème de Vo ubel) R S D C Q P 1.Pusque CD est de ses drect et que P est le cetre du carré costrut extéreuremet sur [], o eut affrmer que est l'mage de ar la rotato de cetre P et d'agle : D'où : O obtet de même :.O a alors : q bc a - (b - ) a - b -, r sq- r- ab - 1- cd - 1- dbca -+- () cabd -+- () et s da - 1- O e dédut, d'ue art, que les drotes (PR) et (QS) sot eredculares. De lus, comme sq- r- 1, o a : PR QS Les dagoales du quadrlatère PQRS sot doc eredculares et de même logueur. Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 16 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

17 Exercce 1 Des carrés autour d'u tragle (Pot de Vecte) R P C Q 1.Comme est l'mage de ar la rotato de cetre P et d'agle a - (b - ) De même : b - q (c - q) c - r (a - r) E addtoat membre à membre ces tros égaltés : D'où :.De la relato a - (b - ) o dédut : De même : q bc : a + b + c - ( + q + r) (a + b + c - ( + q + r)) a + b + c + q + r ab - 1- et r cā 1 - Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 17 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

18 3.O a : r- qa- caba -+baac -+() () O e dédut que les drotes (PR) et (Q) sot eredculares. utremet dt : (Q) est la hauteur ssue de das le tragle PQR E rasoat de même ar raort aux autres côtés, o costate que ( R) et (CP) sot les deux autres hauteurs du tragle PQR. Les drotes (Q), (R) et (CP) sot doc cocourates. Exercce 13 Théorème de Naoléo PRTIE : des caractérsatos du tragle équlatéral 1.S UVW est équlatéral de ses drect, alors U est l'mage de W ar la rotato de cetre V et d'agle Or : - j - 3 u - v e 3 (w - v) e - - e 3 e D'où : u - v - j (w - v) Récroquemet, suosos : - 3 e e 3 u - v - j (w - v) e 3 (w - v) lors, U est l'mage de W ar la rotato de cetre V et d'agle.suosos UVW équlatéral de ses drect. D'arès ce qu récède, o a : u - v - j (w - v) u + ( j )v + j w 0 Or, 1 + j + j 0 doc : u + jv + j w 0 Récroquemet, suosos : u + jv + j w 0 lors, ar le même calcul : u - v - j (w - v) Et d'arès la questo 1. : UVW équlatéral de ses drect 3 U W 3 : doc UVW est équlatéral de ses drect. V Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 18 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

19 Q R W V C U P PRTIE : démostrato du théorème de Naoléo Par hyothèse, o a : a - w j(b - w) (E 1 ) b - u j(c - u) (E ) c - v j(a - v) (E 3 ) E addtoat, membre à membre, les tros égaltés, l vet : D'où : a + b + c - (u + v + w) j(a + b + c - (u + v + w)) a + b + c u + v + w Ce qu rouve déjà que UVW a le même cetre de gravté que C. De (E 1 ) o dédut : w ab - 1-j j De même avec (E ) et (E 3 ) : u bc - j 1 - j v cā j 1- j O calcule mateat : u + jv + j w abbcca jjjj 1- j 0 Doc : UVW est équlatéral de ses drect Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 19 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

20 Remarque : our aller lus lo avec cette cofgurato, o eut auss démotrer que les drotes ( P), (Q) et (CR) sot cocourates e u ot T aelé "ot de Torrcell". Ce ot T ossède de belles rorétés : l est le ot de cocours des cercles crcoscrts aux tragles C, R, CQ et CP, c'est auss le ot qu red mmal la dstace M + M + MC (lorsque les agles du tragle sot féreurs à 10 ). Q R W V T C U P Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 0 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/

21 Exercce 1 Nombres comlexes et sutes 1.Il s'agt d'ue somme de termes cosécutfs d'ue sute géométrque de raso z ¹ 1, doc : -1 å k z 1 k z - z 1- z car z e - 1.O a, our tout : 1 - z 1 - e e ee e s D'où : 1- z - e s 3.E detfat les artes magares, o obtet :.O a, our tout : u Or, o sat que : æö ç coss - èø s S Im 1 - z u 1 ta s lm + s 1 ta cos s cos ta Et comme lm cos + (Car lm x 0 sx x 1, l vet falemet : 1) lm + u O dt que la sute (S ) coverge "e moyee" vers. Exercces rédgés sur les ombres comlexes Page 1 G. COSTNTINI htt://bacamaths.et/