Etude de fonctions. Sylvain Dotti. Prix de l essence 1,57 euro 3,14 euros 54,95 euros 62,80 euros 70,65 euros

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1 Etude de fonctions Sylvain Dotti I La notion la plus élémentaire de fonction vient du tableau de proportionnalité. Prenons la relation entre le prix de l essence et la quantité d essence achetée. Un tel tableau peut se représenter de la manière suivante : Quantité litre litres 35 litres 40 litres 45 litres d essence Prix de l essence,57 euro 3,4 euros 54,95 euros 6,80 euros 70,65 euros Bien entendu on pourrait rajouter de nombreuses colonnes à ce tableau pour le rendre plus complet. Une manière plus complète d avoir le lien entre le prix de l essence et la quantité d essence achetée, est d en faire une représentation graphique : (quantité en abscisses à lire horizontalement, prix en ordonnées à lire verticalement) On peut même être plus précis et calculer le prix pour des quantités d essence non entières (par exemple pour,0 litre ;,0 litre ;,03 litre ) pour obtenir le graphique suivant :

2 Cela donne plus d informations, mais la lecture exacte du prix peut être approximative, et nous n avons pas d informations pour des quantités supérieures à 50 litres. En réalité, le lien essentiel entre le prix de l essence et la quantité achetée est la multiplication par,57. Cette opération est une fonction et s écrit x,57 x ou bien P(x) =,57 x ou bien P: x,57 x P(x) désigne le prix en fonction de la quantité x. L ensemble des fonctions du type x a x où a est un nombre quelconque s appelle les fonctions linéaires, on peut aussi les écrire f(x) = a x, on peut bien sûr remplacer f par g, h, k Remarque :,57 x s écrit en général,57x, de même a x s écrit le plus souvent ax. Un exemple similaire est celui du prix de location d une voiture : la location à la semaine demande un forfait de 50 euros auquel il faut ajouter 0,50 euro par kilomètre parcouru. On peut représenter le prix à payer par un vacancier qui loue la voiture pour une semaine par un tableau : Kilomètres 0 km 0 km 50 km 00 km parcourus Prix à payer 50 euros ,50 = 60 euros ,50 = 75 euros ,50 = 50 euros Bien entendu on pourrait rajouter de nombreuses colonnes à ce tableau pour le rendre plus complet. Une manière plus complète d avoir le lien entre le prix à payer et le nombre de kilomètres parcourus, est d en faire une représentation graphique : (kilomètres en abscisses à lire horizontalement, prix en ordonnées à lire verticalement) Cette droite a été obtenue en ayant calculé le prix pour 0 km ; 0, km ; 0, km jusqu à 00 km parcouru. Cela donne plus d informations que le tableau précédent, mais la lecture exacte du prix peut être approximative, et nous n avons pas d informations pour des distances parcourues supérieures à 00 km.

3 En réalité, le lien essentiel entre le prix de la location et la distance parcourue est la multiplication par 0,50 suivie de l addition par 50. Cette opération est une fonction et s écrit x 0,50x + 50 ou bien P(x) = 0,50x + 50 ou bien P: x 0,50x + 50 P(x) désigne le prix en fonction de la distance parcourue x. L ensemble des fonctions du type x ax + b où a et b sont des nombres quelconques s appelle les fonctions affines, on peut aussi les écrire f(x) = ax + b, on peut bien sûr remplacer f par g, h, k On peut bien entendu créer toutes sortes de fonctions en utilisant les opérations élémentaires (+,,,/). Par exemple : P(x) = x est le prix d une pierre semi-précieuse où x est la masse de la pierre (en grammes) Remarque : je rappelle que x = x x, c est-à-dire 3 = 9 ; 5 = 5 ; 0 = 00 ;,5 =,5 C(x) = x + 50x est le coût mensuel de production en euros de x meubles d un artisan. Remarque : C(0) = = 900 est le coût fixe de l artisan, cela signifie qu il dépense 900 euros même sans fabriquer un seul meuble. Cela peut correspondre au loyer de son atelier. Pour un article vendu au prix de x euros, la demande est de D(x) = x 4 0,x 0, centaines d articles. II Si la fonction représentant un certain prix (ou tout autre chose) est connue, par exemple P(x) = x, il est pratique d en connaître une représentation graphique. Pour tracer la courbe qui représente P(x), il faut effectuer le calcul x pour certaines valeurs de x. En effet : la courbe représentant une fonction P(x) est l ensemble des points de coordonnées (x ; P(x)) Donnons différentes valeurs de x sous forme d un tableau : x 0 0,4 0,8,,6,4,8 3, P(x) 0 0,6 0,64,44,56 4 5,76 7,84 0,4 Si on place ces points dans un repère, on obtient : 3

4 Cela me donne l allure de la courbe, pour la tracer, je n ai qu à relier ces points de manière cohérente. Si je choisis de calculer plus de valeurs de x, je peux obtenir par exemple Le but est d obtenir la courbe de P(x) suivante (pour x variant de 0 à 3,) : De même essayons de construire la courbe de la fonction D(x) = calculer les valeurs de x 4 0,x 0, pour des x positifs : x 4 0,x 0,. x étant un prix, je me contente de x 0,50,50,50 3 3,50 4 4,50 D(x) 4 0 7,4 5 3,33 0,90 0-0,77 Si on place ces points dans un repère, on obtient : 4

5 Cela me donne l allure de la courbe, pour la tracer, je n ai qu à relier ces points de manière cohérente. Si je choisis de calculer plus de valeurs de x 4 0,x 0, je peux obtenir par exemple Le but est d obtenir la courbe de D(x) suivante (pour x variant de 0 à 4,5) : 5

6 On remarque d un coup d œil que si l article est vendu 4 euros ou plus, il n aura plus d acheteur. Remarque : Pour les fonctions linéaires f(x) = ax et les fonctions affines g(x) = ax + b, il n est pas nécessaire de calculer f(x) et g(x) pour autant de valeurs x. En effet, les courbes qui représentent f(x) et g(x) sont des droites, il suffit d avoir deux points pour les tracer. Et même pour f(x), un seul point autre que l origine suffit car la droite représentant f(x) passe toujours par l origine du repère. (en effet f(0) = a 0 = 0) III Si la fonction représentant un certain prix (ou tout autre chose) est connue, on peut aussi vouloir connaître ses caractéristiques essentielles en un coup d œil : Quand est-ce que la fonction est croissante i.e. quand la courbe monte? (pour savoir par exemple quand un bénéfice augmente) Quand est-ce que la fonction est décroissante i.e. quand la courbe descend? (pour savoir par exemple quand un coût moyen de production diminue) Quand est-ce que la fonction atteint son minimum i.e. quand la courbe est au plus bas? (pour savoir par exemple quel est le coût moyen de production minimal) Quand est-ce que la fonction atteint son maximum i.e. quand la courbe est au plus haut? (pour savoir par exemple quel est le bénéfice maximal) Prenons une fonction B(x) = x 3 + 7x 96x 00 donnant le bénéfice réalisé lors de la vente de x articles produits dans la journée. La courbe de cette fonction est la suivante : Cela veut dire que l entreprise perd de l argent si elle vend 6 articles ou moins. La plus grosse perte a lieu pour articles vendus. Au-delà de 6 articles vendus, l entreprise gagne de l argent. Le bénéfice maximal étant lorsqu elle vend 6 articles. On peut résumer ceci grâce au tableau de variations suivant : x 0 6, B(x) Regardons maintenant la fonction f(x) = 0,x donnant le prix moyen unitaire en euros d un kg de x chocolats pour une commande de x kg. La courbe de cette fonction est la suivante : 6

7 Son tableau de variations est très simple car la fonction est décroissante, c est-à-dire qu au plus on commande de chocolat, au plus le prix baisse : x 0 00 f(x) 56 30,80 IV L utilité des fonctions en économie étant maintenant acquise, énumérons les différentes fonctions principalement utilisées en économie : ) La fonction polynôme : f(x) = a n x n + a n x n + + a x + a x + a 0 Je rappelle que x n = x x x où n est un entier naturel quelconque. Par exemple x 3 = x x x. Je rappelle n facteurs aussi que par convention x = x et que x 0 =. a) Lorsque n = 0, la fonction polynôme est tout simplement une fonction constante : f(x) = a 0 Par exemple la fonction f(x) = 3 est représentée par la droite horizontale suivante : b) Lorsque n =, la fonction polynôme est une fonction affine : f(x) = a x + a 0 Par exemple la fonction f(x) = 3x + est représentée par la droite suivante : 7

8 On aura par exemple utilisé le tableau de valeurs suivant : x 0 3x + 4 c) Lorsque n =, la fonction polynôme s écrit : f(x) = a x + a x + a 0 Sa courbe est une parabole tournée vers le haut lorsque a > 0, et une parabole tournée vers le bas lorsque a < 0. Par exemple la courbe de f(x) = 3x + est Remarque : on peut aussi écrire f(x) = 3x + 0x + La courbe de g(x) = x + x + est 8

9 ) La fonction rationnelle : c est le quotient de deux fonctions polynômes, elle s écrit g(x) = a nx n + a n x n + + a x + a x + a 0 b p x p + b p x p + + b x + b x + b 0 Elle n est définie que pour des valeurs de x telles que b p x p + b p x p + + b x + b x + b 0 0. En effet, la division par 0 n existe pas. a) Lorsque g(x) = x on parle de la fonction inverse. Sa courbe est la suivante : Remarquons que cette fonction n est pas définie pour x = 0. b) Lorsque g(x) = a x+a 0, on parle de fonction homographique. b x+b 0 Par exemple, si g(x) = x+ on obtient la courbe suivante x+ 9

10 Remarquons que cette fonction n est pas définie pour x = 0,5 car 0,5 + = 0. 3) La fonction exponentielle exp(x) = e x. Elle a toutes les propriétés des puissances, c est-à-dire : Quels que soient x, y réels et n entier : e x e y = e x+y, e x e y = ex y, ex = e x (e x ) n = e x n e 0 =, e = e,78 Elle vérifie aussi quel que soit le nombre réel x e x > 0 Sa courbe est la suivante : Elle est caractérisée par le fait que sa croissance est très rapide, bien plus rapide que f(x) = x, que g(x) = x ou que n importe quelle fonction h(x) = x n 0

11 4) La fonction logarithme népérien notée ln (x). Elle n est définie que pour des x > 0. Par exemple ln() = 0, ln() 0,693 mais ln(0) et ln( 3) n existent pas! On dit que c est la fonction réciproque de la fonction exponentielle, dans le sens où elle vérifie : ln(e x ) = x x R et e ln(x) = x x > 0 Grâce à cette propriété qui la lie à la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien a des propriétés similaires à celles de l exponentielle : Quels que soient x, y réels et n entier : ln(x) + ln(y) = ln(x y) ln(x) ln(y) = ln ( x y ) n ln(x) = ln(x n ) ln(x) = ln ( x ) ln() = 0 ln(e) = Elle vérifie ln(x) > 0 si x > et ln(x) < 0 si 0 < x < comme le montre sa courbe : Elle est caractérisée par le fait que sa croissance est très lente, bien plus lente que f(x) = x, que g(x) = x ou que n importe quelle fonction h(x) = x α (cf paragraphe suivant). Exemples numériques des propriétés de la fonction exp et de la fonction ln : e 5 e 7 = e 5+7 = e e 7 e 5 = e7 5 = e (e 3 ) = e 3 = e 6 e e 3 e 8 = e 3 8 = e 0 = ln(3) + ln(5) = ln(3 5) = ln(5) ln(50) ln(5) = ln ( 50 5 ) = ln(0) ln(7) = ln(7 ) = ln(49) ln(4) ln() ln() = ln ( 4 ) = ln() = 0 ln(3) ln(5) ln(0) + ln(7) = ln ( 3 7 ) = ln ( ) e 3 ln(5) = e ln(53) = 5 3 = 5 ln ( e6 e 5) = ln(e6 5 ) = ln(e ) =

12 Exercice corrigé : Simplifier les écritures suivantes a) e e 3 e 5 b) e 3 e e7 c) ln(5) + ln(5) ln ( ) 5 d) ln() ln(6) + ln() (ln( 5+)+ln( 5 )) e) f) ln( + ) + ln( + 3) g) ln( 7) + ln ( ) h) eln(x)+ e ln(x) i) ln(e 7 ) ln ( e3 e ) Correction : a) e e 3 e 5 = e+3 e 5 = e5 e 5 = e5 5 = e 0 b) e 3 e e7 = e 3 e 7 = e 3+7 = e4 = e e e e4 ( ) = e 6 c) ln(5) + ln(5) ln ( ) = 5 ln(5 ) + ln(5) ( ln(5)) = ln(5) + ln(5) + ln(5) = 5ln (5) d) ln() ln(6) + ln() = ln ( ) + ln() = ln() + ln() = ln( ) = ln(4) (ou = ln ()) 6 e) ln( 5+)+ln( 5 ) = ln(( 5+)( 5 )) = ln( 5 ) = ln(4) = ln( ) = ln() = ln () f) ln( + ) + ln( + 3) = ln (( + ) ) + ln( + 3) = ln ( + + ) + ln( + 3) = ln(3 + ) + ln(3 ) = ln ((3 + )(3 )) = ln (3 ( ) ) = ln(9 8) = ln() = 0 g) ln( 7) + ln ( ) = ln ( 7 ( )) = ln(4 + 3) = ln(7) 7 7 e ln(x)+ h) = e ln(x) eln(x)+ (ln(x) ) = e ln(x)+ ln(x)+ = e i) ln(e 7 ) ln ( e3 e ln(e3 ) = 7 ln(e ) = 7 = 5 5) Les fonctions puissances x x α où x > 0 définies par x α = eαln (x) Cette définition est naturelle dans le sens où x α = e ln(xα ) car y = e ln(y) et que ln(x α ) = αln (x) Elles ont bien sûr toutes les propriétés des puissances, c est-à-dire : Quels que soient α, β réels et x > 0 : x α x β = x α+β, x α x β = xα β, = x β xβ (x α ) β = x αβ, x 0 =,

13 (x α ) α = x Certains cas particuliers sont faciles à comprendre a) α = n, alors x α = x n = x x x et où n est un entier positif b) α = n, alors x α = x n = xn et où n est un entier positif c) α =, alors xα = x = x 0,5 = x C est la fonction racine carrée, qui n est définie que pour des x 0. Sa courbe est la suivante : c est la fonction réciproque de la fonction carrée, dans le sens où elle vérifie : x = x x 0 et ( x) = x x 0 Elle a aussi les propriétés suivantes x y = x y et x y = x y Quels que soient x 0 et y > 0 Exemples : 8 = 4 = 4 = 4 3 = 4 3 = 3 d) α =, alors 3 xα = x 3 3 = x C est la fonction racine cubique, sa courbe est la suivante : c est la fonction réciproque de la fonction cube, dans le sens où elle vérifie : 3 x 3 = x x > 0 et 3 ( x) 3 = x x > 0 3

14 Exemples : 3 = 8 8 = = 7 7 = = = 5 e) α =, alors n xα = x n n = x C est la fonction racine n ième. C est la fonction réciproque de la fonction puissance n, dans le sens où elle vérifie : n x n = x x > 0 et n ( x) n = x x > 0 Remarque : cette fonction sert en particulier à résoudre les équations du type "trouver le nombre x > 0, qui vérifie x 5 = 00" La solution est alors x = 00 5,88 Exemples numériques des propriétés des fonctions puissances = 3 7+ = 3 9 ( 4 ) = 37 = = = = ( ) = 4 ( ) = (5 0 ) = 5 0 = ( ) = (3 5 5 ) = (3 5 5 ) = 3 5 ( 5 ) = 3 = 3 Exercice corrigé : soit x > 0, simplifier les écritures suivantes : a) (x ) b) x 3 4 c) x x e ln(x) e) x 0,5 x,3 g) (x ) (x 5 ) x 5 + d) x 3x 3e f) (x 3 ) 3 (x 0,5 ) x Correction : 3 a) (x 4 ) = x 3 4 = x 3 8 b) x = x ( 5 +) = x 5 = x 5 x5 c) x x e ln(x) = x x x = x + = x 0 = d) x 3x 3e = x 3 + 3e = x e = xe e) x 0,5 x,3 (x 5 ) = x 0,5+,3 x 5 ( ) = x,8 x 5 = x,8 ( 5) = x 6,8 f) (x 3 ) 3 (x 0,5 ) = x 3 3 x 0,5 ( ) = x x = 0 g) (x ) x = x x = x x = x = x = x 4

15 6) La fonction valeur absolue qui permet d enlever le signe négatif d un nombre. Plus précisément, la fonction valeur absolue notée x est définie par : x x si x 0 = { x si x < 0 En effet, 3 = 3, 5 = 5 Que l on peut aussi écrire 3 = ( 3) car 3 < 0, 5 = 5 car 5 > 0 La courbe de cette fonction est la suivante : 7) Les fonctions composées des fonctions précédentes Premier exemple : Soit f(x) = 3x + et g(x) = x 3 alors g(f(x)) = g( 3x + ) = ( 3x + ) 3, c est-à-dire qu on a appliqué f à x, puis g à f(x). En langage mathématique, on dit qu on a composé f par g et on note la nouvelle fonction g f, de sorte que (g f)(x) = ( 3x + ) 3 Deuxième exemple : Soit f(x) = x et g(x) = exp (x), alors si on compose f par g, on obtient la fonction g(f(x)) = exp(x ) = e x Que l on note aussi (g f)(x) = e x Cette opération sur les fonctions permet de créer toute sorte de fonctions utilisées en économie du type : x x + 4, x ( + x ) 3, x ln(4x x + 5) La définition formelle de la composition de fonction est : La composée d une fonction f(x) par une fonction g(x) est la fonction notée (g f)(x) et définie par (g f)(x) = g(f(x)) Remarque : En général, la fonction (g f)(x) est différente de la fonction (f g)(x). Si on reprend le premier exemple, (g f)(x) = ( 3x + ) 3 et (f g)(x) = 3x 3 + On voit bien que ces deux fonctions sont différentes. Par exemple (g f)() = ( 3 + ) 3 = ( ) 3 = 8 Alors que (f g)() = = 3 + = 5

16 Exercice corrigé 3 : Calculer g f(0), g f(), f g() pour les fonctions suivantes (en donnant éventuellement une valeur approchée avec deux chiffres après la virgule) : Pour la question e), on calculera g f(0), g f( ), f g(). a) f(x) = x, g(x) = x + b) f(x) = x 3, g(x) = 4x c) f(x) = exp(x), g(x) = x + 4 d) f(x) = ln(x + ), g(x) = 3x e) f(x) = x, g(x) = x 3 + x Correction : a) g f(0) = g(f(0)) = g(0 ) = g(0) = 0 + = g f() = g(f()) = g( ) = g() = + = 3 f g() = f(g()) = f( + ) = f(5) = 5 = 5 b) g f(0) = g(f(0)) = g(0 3 ) = g(0) = 4 0 = g f() = g(f()) = g( 3 ) = g() = 4 = 3 f g() = f(g()) = f( 4 ) = f( 7) = ( 7) 3 = 343 c) g f(0) = g(f(0)) = g(e 0 ) = g() = + 4 = + 4 = 5 g f() = g(f()) = g(e ) = g(e) = e + 4 5,65 f g() = f(g()) = f ( + 4) = exp ( + 4) 4,58 d) g f(0) = g(f(0)) = g(ln()) = g(0) = 3 0 = 0 g f() = g(f()) = g(ln()) = 3 ln(),08 f g() = f(g()) = f(3 ) = f(6) = ln(6 + ) = ln(7),95 e) g f(0) = g(f(0)) = g( 0 ) = g(0) = = 0 g f( ) = g(f( )) = g( ) = g() = 3 + = + = f g() = f(g()) = f( 3 + ) = f( 4) = 4 = 4 V Reprenons les questions fondamentales de l étude des fonctions : Quand est-ce que la fonction est croissante i.e. quand la courbe monte? (pour savoir par exemple quand un bénéfice augmente) Quand est-ce que la fonction est décroissante i.e. quand la courbe descend? (pour savoir par exemple quand un coût moyen de production diminue) Quand est-ce que la fonction atteint son minimum i.e. quand la courbe est au plus bas? (pour savoir par exemple quel est le coût moyen de production minimal) Quand est-ce que la fonction atteint son maximum i.e. quand la courbe est au plus haut? (pour savoir par exemple quel est le bénéfice maximal) La technique qui permet de répondre très souvent à ces questions est la dérivation. Bien entendu toutes les fonctions ne sont pas dérivables, mais la plupart des fonctions utilisées pour modéliser des situations économiques le sont. ) Je ne donnerai pas de définition formelle de la dérivation en un point (qui utilise les ites), mais l idée est assez simple si on regarde les courbes des fonctions. En gros, si la courbe d une fonction est lisse, sans pointe, la fonction est dérivable. Par exemple : La fonction qui admet cette courbe est dérivable (c est x x 4 x 3 6x + 3 ) 6

17 Celle qui représente cette courbe aussi (c est x e x+7 ) : Celle qui représente cette courbe aussi (c est x e x ) : 7

18 Par contre, la fonction valeur absolue n est pas dérivable pour x = 0 car sa courbe a une pointe au point d abscisse x = 0 (elle est cependant dérivable partout ailleurs) De même, la fonction représentée par la courbe d un graphique boursier n est nulle part dérivable (elle se nomme mouvement brownien). Ces deux dernières fonctions restent cependant continues car leurs graphes se tracent sans lever le crayon. D autres fonctions ne sont pas continues, dans ce cas elles ne sont pas dérivables. Par exemple la fonction dont la courbe est la suivante est discontinue pas dérivable (aux points de discontinuité) : De même pour la fonction dont la courbe est la suivante : 8

19 ) La dérivation est une opération sur les fonctions, c est-à-dire si on se donne une fonction f(x) et qu on la dérive, on obtient une autre fonction que l on note f (x) et qui s appelle la dérivée de la fonction f(x). Voici un tableau qui énumère les dérivées des fonctions de référence : f(x) = f (x) = Cste 0 x x x x 3 3x x n avec n entier nx n x x x α avec α réel αx α x e x ln (x) x Pour pouvoir dériver toutes les fonctions usuelles, il faut savoir dériver une somme, un produit, un quotient et une composée de fonctions dérivables. Complétons le tableau précédent par : f(x) = f (x) = u(x) + v(x) u (x) + v (x) u(x) v(x) u (x) v(x) + u(x) v (x) Cste v(x) u(x) v(x) v(x) (u v)(x) e v(x) ln(v(x)) (v(x)) α v(x) x e x Cste v (x) u (x) v(x) u(x) v (x) (v(x)) v (x) (v(x)) v (x) (u v)(x) = v (x) u (v(x)) v (x) e v(x) v (x) v(x) = v (x) v(x) v (x) α(v(x)) α v (x) v(x) = v (x) v(x) 9

20 Exemples : a) Si f(x) = 3 alors f (x) = 0 b) Si f(x) = x + 5 alors f (x) = + 0 = c) Si f(x) = 5x alors f (x) = 5 = 5 d) Si f(x) = x + 4 alors f (x) = + 0 = e) Si f(x) = 4x alors f (x) = 4 x = 8x f) Si f(x) = x x + 4 alors f (x) = x + 0 = x g) Si f(x) = 5x 3 alors f (x) = 5 3x = 5x h) Si f(x) = x 3 + 7x alors f (x) = 3x + 7 i) Si f(x) = x 4 + 7x 4 alors f (x) = 4x x 0 = 4x 3 + 4x j) Si f(x) = 4x (x + 5) alors f (x) = 8x(x + 5) + 4x = 8x + 40x + 4x = x + 40x car 8x(x + 5) = 8x x + 8x 5 = 8x x = 8x + 40x k) Si f(x) = (x )e x alors f (x) = e x + (x )e x = ( + (x ))e x = ( + x)e x l) Si f(x) = ln(x) (x ) alors f (x) = x (x ) + ln(x) ( x 0) = x + 4x ln(x) x car x x x x = = x x m) Si f(x) = x ( 5x) alors f (x) = ( 5x) + x ( 5) = 5 x 5 x = x x x 5 x Car n) Si f(x) = x alors f (x) = 5x ( 5x) = x x = 5 x x = 5 (x ) o) Si f(x) = 4x + alors f (x) = (4 x+0) (4x +) = 8x (4x +) p) Si f(x) = x 3 +x alors f (x) = (3x +) (x 3 +x) = 3x (x 3 +x) x x x = 5 x q) Si f(x) = x+ alors 3x f (x) = (3x ) (x+) 3 = (3x ) 3(x+) = 3x 3x 6 = 7 (3x ) (3x ) (3x ) (3x ) r) Si f(x) = x alors on peut écrire f(x) = x 3 3 f (x) = = 3 3 s) Si f(x) = 4x + alors f (x) = 8x x3 (4x +) 3x = 8x+3 3x (4x +) x 3 (x 3 ) 8x 4 x 4 3x = 4x4 3x = x ( 4x 3) x 6 x 6 x 6 car 4x 4 3x = 4x x 3x = x ( 4x 3) t) Si f(x) = x 5 alors f (x) = 5 x 5 = 5 x 4 5 Car 5 = = 5 = u) Si f(x) = (3x) 5 alors f (x) = 3 5 (3x) 5 = 3 5 (3x) 4 5 v) Si f(x) = (x + ) 3 alors f (x) = 3 (x + ) 3 = 6(x + ) w) Si f(x) = e x+ alors f (x) = e x+ x) Si f(x) = ln (4x + ) alors f (x) = 4 x = 8x 4x + 4x + = 8x+3 3 4x + 3x = x 3 x 3 y) Si f(x) = x x + 4 alors f (x) = x x x+4 z) Si f(x) = e 3x x+ alors f (x) = (3 x )e 3x x+ = (6x )e 3x x+ aa) Si f(x) = ln (5x ) alors f (x) = 5 5x bb) Si f(x) = ( 5x)e 3x alors f (x) = 5e 3x + ( 5x) ( 3)e 3x = ( 5 + ( 5x) ( 3))e 3x = ( x)e 3x = ( 8 + 5x)e 3x cc) Si f(x) = ln( + x) 3x alors f (x) = 3 = 3 = 3(+x) = 3 3x = 5 3x +x +x +x (+x) +x +x 0

21 dd) Si f(x) = x ln (x) alors f (x) = ln(x) + x x = ln(x) + ee) Si f(x) = 4e x + (3x )e x alors f (x) = 4 ( )e x + 3e x + (3x ) e x = 8e x + (3 + (3x ) )e x = 8e x + (3 + 6x )e x = 8e x + ( + 6x)e x ff) Si f(x) = ex alors +3x f (x) = ex (+3x) e x 3 = ((+3x) 3)ex = ( +6x)ex (+3x) (+3x) (+3x) gg) Si f(x) = ( 4x )ln( + x) alors f (x) = 4 x ln( + x) + ( 4x ) x) + ( x)( + x) Car +x +x = 8x ln( + = 8x ln( + x) + ( x) = 8x ln( + x) + 4x 4x = (x) = ( x)( + x) 3) La propriété fondamentale qui fait le lien entre le sens de variation d une fonction et le signe de sa dérivée est la suivante : Soit I un intervalle réel, I = [a ; b], ]a ; b], [a ; b[ ou ]a ; b[ avec a b +, et f: I R une fonction dérivable sur l intervalle I alors : a) Si f (x) 0 sur l intervalle I, alors f(x) est croissante sur l intervalle I b) Si f (x) > 0 sur l intervalle I, alors f(x) est strictement croissante sur l intervalle I c) Si f (x) 0 sur l intervalle I, alors f(x) est décroissante sur l intervalle I d) Si f (x) < 0 sur l intervalle I, alors f(x) est strictement décroissante sur l intervalle I e) Si f (x) = 0 sur l intervalle I, alors f(x) est constante sur l intervalle I Exemple : f(x) = 4x, f (x) = 8x. 8x 0? 8x x 0 8x 0? 8x x 0 Pour x ] ; 0], f est décroissante. Autrement dit, f est décroissante sur ] ; 0]. Pour x [0, + [, f est croissante. Autrement dit, f est croissante sur [0, + [. Remarque : une fonction croissante a «le droit» d être parfois constante, une fonction strictement croissante non! idem pour la différence éventuelle entre fonction décroissante et fonction strictement décroissante. Cette propriété nous invite à connaître le signe de f (x) (lorsque cela est possible), c est-à-dire à résoudre les inéquations du type f (x) 0 4) Rappelons différentes méthodes de résolution d équations et d inéquations : Une équation est une égalité du type f(x) = g(x) mais qui peut toujours s écrire h(x) = 0. Résoudre l équation h(x) = 0 signifie : «trouver tous les nombres x qui vérifient l égalité h(x) = 0». Une inéquation est une inégalité du type f(x) < g(x) ou du type f(x) g(x), mais qui peut toujours s écrire h(x) < 0 ou h(x) 0. Résoudre l inéquation h(x) < 0 signifie : «trouver tous les nombres x qui vérifient l inégalité h(x) < 0». a) Equations de degré

22 Pour résoudre x + 3 = 5x, on met les termes en x d un côté, les nombres de l autre à l aide de la transposition : 3 + = 5x x, on réduit : 4 = 3x, puis on divise des deux côtés par 3 pour isoler le x pour obtenir 4 3 = 3x 3 = x b) Inéquations de degré Pour résoudre x + 3 < 5x, on transpose pour obtenir 3 + < 5x x ou x 5x < 3, c est-à-dire 4 < 3x ou 3x < 4. Pour isoler le x, il reste à diviser par 3 ou par -3, mais il faut faire très attention, en divisant par un nombre négatif -3, on change le sens de l inégalité, pour obtenir 4 4 < x ou x > 3 3 = 4 3 Ce qui est la même chose. Tous les nombres strictement plus grands que 4 sont les solutions de l inéquation. On note parfois 3 S = ] 4 3 ; + [ c) Equations de degré Pour résoudre ax + bx + c = 0, on doit calculer le discriminant Δ = b 4ac Si Δ > 0, il y a deux solutions x et x qui sont données par b + Δ b Δ x = et x a = a Si Δ = 0, il y a une solutions x qui est donnée par x = b a Si Δ < 0, il n y a pas de solution réelle. Remarque : x et x sont aussi appelées les racines du polynôme ax + bx + c Par exemple, pour résoudre x 3x + = 0, on doit calculer le discriminant Δ = ( 3) 4 = > 0 Il y a deux solutions qui sont x = ( ( 3) + ) = et x = Pour résoudre x x + = 0, on doit calculer le discriminant Δ = ( ) 4 = 0 Il y a une seule solution qui est x = x = ( ) = ( ( 3) ) = Pour résoudre x + x + = 0, on doit calculer le discriminant Δ = 4 = 3 < 0 Il n y a pas de solutions réelles. d) Inéquations de degré Tout polynôme ax + bx + c est du signe de a sauf entre ses racines x et x s il en a C est-à-dire sauf pour x [x, x ] si Δ > 0 Si a > 0, ax + bx + c > 0 { sauf pour x = x si Δ = 0 x R si Δ < 0 De même,

23 sauf pour x [x, x ] si Δ > 0 Si a < 0, ax + bx + c < 0 { sauf pour x = x si Δ = 0 x R si Δ < 0 Par exemple : Pour résoudre 4x 5x + 3 < 0, on calcule Δ = ( 5) = 5 48 = 3 < 0, cela veut dire que 4x 5x + 3 > 0 quel que soit le nombre x (car 4 > 0) l inéquation 4x 5x + 3 < 0 n a aucune solution. On note parfois S = Pour résoudre x + x 0 0, on calcule Δ = 4 ( 0) = 64, on trouve deux racines x = = = = = et x = = + 4 cela veut dire que x + x 0 > 0 sauf pour x [x, x ] (car > 0). Les solutions de l inéquation appartiennent à ] ; 4] [ + 4 ; + [, que l on peut noter : ou ou ou S =], 4] [ + 4, + [ S =] ; x ] [x ; + [ S = R ] 4 ; + 4[ S = R ] x ; x [ e) Les équations du type e x = a où a est un nombre réel quelconque Pour que cette équation ait une solution, c est-à-dire pour qu il existe un nombre x tel que e x = a, il faut que a > 0, sinon l équation n a pas de solution et on note S = Si maintenant a > 0, pour isoler le x, il suffit d utiliser la fonction ln pour obtenir : ln(e x ) = ln(a) D où x = ln (a) Par exemple : L équation e 5x 3 = devient ln(e 5x 3 ) = ln (), c est-à-dire 5x 3 = 0, d où 5x = 3 et enfin x = 3 5 f) Les équations du type ln(x) = a où a est un nombre réel quelconque Pour isoler le x, il suffit d utiliser la fonction exp(. ) pour obtenir : e ln(x) = e a D où x = e a Par exemple : ln(x 3) = devient e ln(x 3) = e x 3 = e c est-à-dire x = 3 + e pour obtenir Exercice corrigé 4 : x = 3 + e 3

24 Résoudre les équations suivantes a) 4x + = 0 k) e 3x = 4 u) x 4 = 7 b) 5(x ) + x = 4 l) e x = e v) 5x 5 3 = 0 c) ( 3x + 5) x = 0 m) e x = d) (5x + )(3x 3) = 0 n) e x 5x = e e) x 5x + = 0 o) ln(x 4) = 7 f) x x 3 = 0 p) ln(3 x) = 4 g) 9x + 6x + = 0 q) ln(x x) = ln (3) h) 4x 4x = 0 r) ln(3 x) + ln(3 + x) = ln( + x ) i) x + x + 3 = 0 s) 5x 7 = 000 j) x + x = 9 t) 4x 3 x = ( 0,5x) Correction : a) 4x + = 0 4x = x = 4 b) 5(x ) + x = 4 0x 5 + x = 4 x = x = 9 c) ( 3x + 5) x = 0 3x + 5 = 0 ou x = 0 3x = 5 ou x = 0 x = 5 3 = 5 ou x = 0 3 d) (5x + )(3x 3) = 0 5x + = 0 ou 3x 3 = 0 5x = ou 3x = 3 x = 5 ou x = 3 3 = e) x 5x + = 0 Δ = ( 5) 4 = 5 6 = 9 > 0 L équation a deux solutions : ( 5) 9 x = = 5 3 ( 5) + 9 = 0,5 et x 4 = = f) x x 3 = 0 Δ = ( ) 4 ( 3) = + = 3 > 0 L équation a deux solutions : ( ) 3 x = = 3 ( ) + 3 et x = = + 3 g) 9x + 6x + = 0 L équation a une seule solution x = x = Δ = = = 6 8 = = 3 h) 4x 4x = 0 4x 4x + = 0 Δ = ( 4) 4 ( 4) = = 3 > 0 L équation a deux solutions x = ( 4)+ 3 ( 4) et = = = = = 4+4 = = 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4

25 x = ( 4) 3 ( 4) = + i) x + x + 3 = 0 Δ = 4 3 = < 0 L équation n a pas de solution réelle. j) x + x = 9 x + x 9 = 0 Δ = 4 ( ) ( 9) = 4 36 = 3 < 0 L équation n a pas de solution réelle. k) e 3x = 4 ln(e 3x ) = ln(4) 3x = ln(4) 3x = ln(4) + x = ln(4)+ 3 l) e x = e ln(e x ) = ln(e ) x = x = x = m) e x = n a pas de solution car e x > 0 et < 0. On note parfois S = où S est l ensemble des solution et est l ensemble vide. n) e x 5x = e ln(e x 5x ) = ln(e) x 5x = x 5x = 0 Δ = ( 5) 4 ( ) = = 9 > 0 L équation a deux solutions : x = ( 5) 9 = 5 9 et x = ( 5) + 9 = o) ln(x 4) = 7 exp(ln(x 4)) = exp(7) x 4 = e 7 x = e x = e7 + 4 Remarque : x 4 = e 7 > 0, pour x = e7 +4, ln(x 4) est bien défini. p) ln(3 x) = 4 exp(ln(3 x)) = exp( 4) 3 x = e 4 3 e 4 = x 3 e 4 q) ln(x x) = ln(3) exp(ln(x x)) = exp(ln(3)) x x = 3 x x 3 = 0 Δ = ( ) 4 ( 3) = 4 + = 6 > 0 L équation a deux solutions : x = ( ) 6 = x = et x = ( ) + 6 r) ln(3 x) + ln(3 + x) = ln( + x ) implique ln((3 x)(3 + x)) = ln( + x ) exp(ln((3 x)(3 + x))) = exp(ln( + x )) (3 x)(3 + x) = + x 3 x = + x 9 = x + x 8 = x 8 = x 4 = x 0 = x 4 0 = x 0 = (x + )(x ) x = ou x = Remarque : 3 = > 0 ; 3 ( ) = 5 > 0 ; 3 + ( ) = > 0 ; 3 + = 5 > 0 ln(3 x) et ln(3 + x) sont bien définis pour x = et x =. Ces deux nombres sont les solutions de l équation ln(3 x) + ln(3 + x) = ln( + x ). = 3 s) 5x 7 = 000 x 7 = x 7 = 00 (x 7 ) 7 = 00 7 x = 00 7,3 5

26 t) 4x 3 x = ( 0,5x) 4x 3 x = x 4x 3 = x 3 = 4 = = 0,5 (x 3 ) 3 = 0,5 3 x = 0,5 3 0,7937 u) x 4 = 7 x 4 = 7 4 = 3,5 (x 4 ) = 3,5 4 x = 3,5 4 = 50,065 v) 5x 5 3 = 0 x 5 = 3 5 = 0,6 5 (x 5) = 0,6 5 x = 0,6 5 3,58 g) Les inéquations du type e x < a, ln(x) < a, x α < a On va se servir d une définition plus précise de fonction croissante ou fonction décroissante pour résoudre ces inéquations : Une fonction f: I R est croissante sur l intervalle I, si quels que soient x, y I on a x < y f(x) f(y) Une fonction f: I R est strictement croissante sur l intervalle I, si quels que soient x, y I on a x < y f(x) < f(y) Une fonction f: I R est décroissante sur l intervalle I, si quels que soient x, y I on a x < y f(x) f(y) Une fonction f: I R est strictement décroissante sur l intervalle I, si quels que soient x, y I on a x < y f(x) > f(y) On se servira par exemple du fait que e x, ln(x) sont strictement croissantes, que x α avec α > 0 est strictement croissante sur ]0, + [ ou que x, xα avec α < 0 sont strictement décroissantes sur ]0, + [ pour résoudre certaines inéquations Par exemple : Pour résoudre e 5x 3 > 4, on compose les deux termes par ln (. ) qui est une fonction strictement croissante pour obtenir ln(e 5x 3 ) > ln(4), c est-à-dire 5x 3 > ln (4). Il est facile de conclure : 5x > ln(4) + 3 et enfin x > ln(4) Finalement on considère que les nombres x plus grands que ln(4) sont aussi plus petits que > x > ln(4) Ce qui nous permet d écrire l ensemble des solutions S de l inéquation e 5x 3 > 4 sous forme d un intervalle S = ] ln(4) ; + [ Pour résoudre ln(x + ) 0, il faut d abord se poser la question : Pour quelles valeurs de x, ln (x + ) existe? c est-à-dire, pour quelles valeurs de x, x + > 0? La réponse est simple : pour les x >. Pour ces nombres x, on peut résoudre cette inéquation en composant par la fonction exponentielle : e ln(x+) e 0 Donc 6

27 Et enfin Conclusion : x e0 x + e 0 = e0 = + e0 < x e0 Donc les nombres x, solutions de l inéquation appartiennent à l intervalle ] ; e0 ], ce que l on peut écrire aussi S = ] ; e0 ] Si on veut résoudre l inéquation x 5 < 0, on remarque d abord que x > 0 sinon x 5 n existe pas, puis on compose par la fonction x x 5 qui est strictement croissante pour x ]0, + [ et on obtient : C est-à-dire Conclusion : (x 5) 5 < 0 5 x < < x < L ensemble des solutions de l inéquation x 5 < 0 est S = ]0 ; [ h) Les inéquations produit On utilise la règle des signes ( = + ; += ; + = ; + += +) et un tableau de signe pour résoudre ce type d inéquations : Exemple : Résoudre (x + 4)( x + ) > 0 comme et On a le tableau de signes suivant : x + 4 = 0 x = 4 x = 4 = x + = 0 = x x + x x (x + 4)( x + ) Ce qui nous permet de conclure : Les solutions de l inéquations (x + 4)( x + ) > 0 appartiennent à l intervalle ] ; [ C est à dire S = ] ; [ Exemple : Résoudre ( x + 4) exp(3x) 0 7

28 comme et On a le tableau de signes suivant : x + 4 = 0 x = 4 x = 4 = exp(3x) > 0 x + x exp (3x) + + ( x + 4)exp (3x) + 0 Ce qui nous permet de conclure : Les solutions de l inéquation ( x + 4) exp(3x) 0 appartiennent à l intervalle [ ; + [ C est à dire S = [ ; + [ Exemple 3 : Résoudre comme et On a le tableau de signes suivant : ln(x) (x 3) 0 ln(x) = 0 x = x 3 = 0 x = 3 x x ln (x) ln(x) (x 3) signifie que la valeur 0 est interdite ou impossible (ln (0) n existe pas) Ce qui nous permet de conclure : Les solutions de l inéquations ln(x) (x 3) 0 appartiennent à l intervalle [ ; 3] C est à dire S = [ ; 3] i) Les inéquations quotient On utilise la règle des signes ( = + ; += ; + = ; + += +) et un tableau de signe pour résoudre ce type d inéquations : Exemple : Résoudre 3x x Cette inégalité ne peut être vraie lorsque x + 3 = 0, c est à dire lorsque x = 3 car le dénominateur d une fraction ne peut être égal à 0. Cela se traduira dans le tableau de signe par une double barre. Comme on a le tableau de signe suivant : 3x = 0 x = 3 8

29 x 3 3 3x 0 + x x x L ensemble des solutions de l inéquation 3x 0 est x+3 S = ] ; 3 [ [ 3 ; + [ Exemple : Résoudre x + 4 ln (x + ) 0 x + > 0 x > x > Cette inégalité ne peut être vraie lorsque x + 0, c est à dire lorsque x car seul le logarithme d un nombre strictement positif existe. De plus, pour que la fraction existe, il faut que ln(x + ) 0, c est à dire x + x 0, Et Comme ln(x + ) > 0 x + > e 0 x > x > 0 x > 0 on a le tableau de signe suivant : x + 4 = 0 4 = x x x ln(x + ) x + 4 ln (x + ) + 0 L ensemble des solutions de l inéquation x+4 ln (x+) 0 est S = ]0 ; 4] Exercice corrigé 5 : Résoudre les inéquations suivantes a) 0x + 5x > 0 b) 4 4x + 4x 4x c) x 3x > ( + x) d) e 3x+5 e) e x+ x f) ln( 3x + 5) < 7 g) ln(x x) > ln (3) h) (x ) ln(x) > 0 i) x < 4 9

30 j) { 5x3 < 7 x > 0 k) { x4,5 3 x > 0 l) x > 0 Correction : a) 0x + 5x > 0 Δ = ( 0) 4 5 = 0 Le polynôme 0x + 5x a une seule racine : x = x = ( 0) 5 = 0, 5 > 0 0x + 5x > 0 pour tout x R [0, ; 0,] = R {0,} (pour x = 0,, le polynôme 0x + 5x vaut 0) Donc l ensemble des solutions de l inéquation 0x + 5x > 0 est : S = R {0,} que l on peut aussi écrire S =] ; + [ {0,} ou bien S =] ; 0,[ ]0, ; + [ c est à dire tous les nombres reels sont solutions de l inéquation sauf 0,. b) 4 4x + 4x 4x 4 + 4x 4x + 4x 4 + 4x 0 or 4x x 4 il n existe aucun nombre x tel que 4 + 4x 0. On peut conclure S = c) x 3x > ( + x) x 3x > 4 + x x 5x 4 > 0 Δ = ( 5) 4 ( 4) = = 57 Le polynôme x 5x 4 a deux racines x = ( 5) 57 = et x = ( 5) + 57 > 0 x 5x 4 > 0 pour tout x R [x ; x ] S = R [x ; x ] = ] ; x [ ]x ; + [ = d) e 3x+5 ln(e 3x+5 ) ln() 3x + 5 ln() 3x ln() 5 x ln() 5 3 d où S = [ ln() 5 ; + [ 3 e) e x+ x ln (e x+ x ) ln() x+ x 0 Cette inégalité ne peut être vraie lorsque x = 0, c est à dire lorsque x = car le dénominateur d une fraction ne peut être égal à 0. Cela se traduira dans le tableau de signe par une double barre. Comme x + = 0 x = on a le tableau de signe suivant : x + x

31 x 0 + x x L ensemble des solutions de l inéquation x+ 0 est x S = ] ; ] ]; + [ f) ln( 3x + 5) < 7 exp(ln( 3x + 5)) < e 7 3x + 5 < e 7 3x < e 7 5 x > e7 5 3 Il faut aussi que 3x + 5 > 0 pour que ln( 3x + 5) existe, c est à dire que 3x > 5 Donc que x < 5 3 x < 5 3 Or e = 5 e7 3 et 5 3,666 Conclusion : 5 3 e7 3 < x < 5 3 L ensemble des solutions de l inéquation précédente est : = 5 3 e ,877 S = ] 5 3 e7 3 ; 5 3 [ g) ln(x x) > ln(3) exp(ln(x x)) > exp(ln(3)) x x > 3 x x 3 > 0 Δ = ( ) 4 ( 3) = 6 Le polynôme x x 3 a deux racines ( ) 6 ( ) + 6 x = = et x = comme > 0, x x 3 > 0 pour tout x R [ ; 3] Si x R [ ; 3], alors x x 3 > 0 x x > 3 > 0 ln(x x) existe Conclusion : l inéquation ln(x x) > ln(3) a pour ensemble de solutions S = R [ ; 3] = ] ; [ ]3 ; + [ = 3 h) (x ) ln(x) > 0 Comme et On a le tableau de signes suivant : ln(x) = 0 x = x = 0 x = x 0 + x 0 + ln (x) (x ) ln(x) Ce qui nous permet de conclure : Les solutions de l inéquations ln(x) (x ) > 0 appartiennent à l intervalle ]0 ; [ ou à l intervalle ] ; + [ 3

32 C est à dire S = ]0 ; [ ] ; + [ i) x < 4 x < {( x) < et x 0} {x < 4 et x 0} 0 x < 4 S = [0; 4[ j) { 5x3 < 7 x > 0 { 5x3 < 9 x > 0 { x3 < 9 5 x > 0 {(x3 ) 3 < ( 9 ) 3 5 x > 0 0 < x < ( 9 5 ) 3 {x < ( 9 5 ) 3 x > 0 S = ]0; ( 9 5 ) 3 [ k) { x4,5 3 x > 0 { x4 0,5 x > 0 { (x4 ) 4 0,5 4 x > 0 { x4 0,5 x > 0 {x 0,5 4 x > 0 S = ]0; 0,5 4] { x4 0,5 x > 0 0 < x 0,5 4 l) x > 0 { x 3 5 > 7 x > 0 { x 3 5 > 7 x > 0 S = ]0; 3,5 5 3[ {(x 3 5) 5 3 < 3,5 5 3 x > 0 {x < 3,5 5 3 x > 0 5) On a maintenant tous les outils pour dresser le tableau de variations d une fonction f(x) a) Etape : dériver la fonction et trouver f (x) b) Etape : étudier le signe de f (x), c est-à-dire résoudre l inéquation f (x) > 0 (on obtient ainsi facilement les solutions de l inéquation f (x) < 0 et de l équation f (x) = 0) Remarque : si f (x) s écrit sous la forme d un produit f (x) = g(x) h(x) obtenu grâce à une factorisation ou d un quotient f (x) = g(x), on étudiera le signe de g(x), le signe de h(x) pour trouver h(x) le signe de f (x) grâce à la règle des signes de la multiplication et de la division ( = + ; += ; + = ; + += +) c) Etape 3 : On en déduit les variations de la fonction f(x) Exemple : dresser le tableau de variations de la fonction f(x) = x 3 4x + 5x f (x) = 3x 4 x = 6x 8x + 5 Pour connaître le signe du polynôme 6x 8x + 5, il suffit de chercher ses racines éventuelles : Δ = ( 8) = 64 0 = 56 < 0 Donc le polynôme n a pas de racine, il est toujours du signe de 6, c est-à-dire toujours positif. Donc la fonction f(x) est toujours croissante. 3

33 x + f (x) + f(x) Exemple : dresser le tableau de variations de la fonction f(x) = x e x+ f (x) = e x+ + x ( ) e x+ = ( + x ( ))e x+ = ( x)e x+ La fonction exponentielle étant toujours positive, e x+ > 0. L inéquation x > 0 est équivalente à > x c est-à-dire > x Cela nous donne le tableau suivant : x e x+ + + x + 0 f (x) + 0 f(x) + Car f ( ) = e + = e0 = = Exemple 3 : dresser le tableau de variations de la fonction f(x) = ln(x) pour x [0, ; 0] x f (x) = x x ( ln(x)) = x + ln(x) x La fonction carrée est toujours positive pour x [0, ; 0], on a x > 0. L inéquation + ln(x) > 0 est équivalente à ln(x) > par croissance de la fonction exponentielle, cela nous donne e ln(x) > e, c est-à-dire x > e Cela nous donne le tableau suivant : x 0, e 0 x ln(x) 0 + f (x) 0 + f(x) 8,05 0,37 0,5 Car f(0,) = ln(0,) 0, 8,05 f(e) = ln(e) e = e 0,37 et f(0) = ln(0) 0 0,5 6) On voit sur les tableaux de variations précédents qu un minimum ou un maximum d une fonction est atteint lorsque la dérivée de la fonction s annule en changeant de signe. L autre possibilité pour obtenir un maximum ou un minimum est d être aux extrémités de l intervalle dans lequel la fonction est définie. Donnons quelques nuances entre les différents maximums, tout d abord grâce à des exemples : La fonction f(x) dont la courbe est la suivante a un minimum qui est atteint pour x = 0,46, on dit que c est un minimum local car x [ ; ], f(x) f( 0,46), mais ce n est pas un minimum global car f( 0,46) > f() 33

34 De la même manière, la fonction f(x) a un maximum qui est atteint pour x = 0,56, on dit que c est un maximum local car x [ 0,5 ; ], f(0,56) f(x), mais ce n est pas un maximum global car f( ) > f(0,56). Par contre, si on prend la courbe de la fonction f(x) = x +, on voit bien que le minimum qui est atteint pour x = 0 est un minimum global car f(x) f(0) x R VI Etant donné une fonction f(x) dérivable, il est possible de calculer sa dérivée f (x) pour étudier la fonction f(x). Si maintenant on décide d étudier cette fonction f (x), il faudra à nouveau la dériver et ainsi de suite ) La dérivée d une fonction dérivée f (x) s appelle dérivée seconde de f(x) et se note f (x) Calculons quelques dérivées secondes pour se familiariser avec cette notion : Si f(x) = e x alors f (x) = e x et f (x) = e x = 4e x Si f(x) = ln (x) alors f (x) = x et f (x) = x Si f(x) = 4x 3 x + alors f (x) = 4 3x = x et f (x) = x = 4x 34

35 Si f(x) = x 4 + x alors f (x) = 4 x 4 x = 4 x 3 4 x et f (x) = ( 3 4 ) x 3 4 ( ) x = 3 8 x x 3 On peut bien sûr continuer à dériver successivement ces fonction pour obtenir la dérivée troisième notée f (x) ou f (3) (x) et continuer jusqu à la dérivée n ième notée f (n) (x) ) La croissance ou la décroissance d une fonction n est parfois pas une information suffisante pour quelqu un qui analyse une courbe. Un politicien qui parle de la courbe du chômage (même si elle augmente) aimerait savoir si l augmentation diminue ou si l augmentation s accélère. La dérivée d une fonction ne donne pas cette information, c est la dérivée seconde qui va la donner. Lorsque la dérivée seconde d une fonction est positive, on sera face à ce type de courbe : On parlera de fonction convexe. C est à dire que si la fonction est décroissante, la décroissance aura tendance à s estomper, alors que si la fonction est croissante, la croissance aura tendance à s accélérer. Lorsque la dérivée seconde d une fonction est négative, on sera face à ce type de courbe : On parlera de fonction concave. C est à dire que si la fonction est décroissante, la décroissance aura tendance à s accélérer, alors que si la fonction est croissante, la croissance aura tendance à s estomper. Bien entendu, une fonction n est pas forcément toujours convexe ou toujours concave, par exemple la fonction f(x) = x 3 est concave pour x ] ; 0] et convexe pour x [0 ; + [. ` 35

36 Donnons une définition formelle de ces notions : Soit f I R une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I R, alors f(x) est convexe sur tout intervalle où f (x) 0 f(x) est strictement convexe sur tout intervalle où f (x) > 0 f(x) est concave sur tout intervalle où f (x) 0 f(x) est strictement concave sur tout intervalle où f (x) < 0 Graphiquement, la convexité (non stricte) ou la concavité (non stricte) autorise une fonction à n avoir de courbure ni vers le bas, ni vers le haut, c est à dire à être droite, autorise la fonction à être affine. Par exemple, si f(x) = 3x +, on a f (x) = 3 f (x) = 0. Donc cette fonction est à la fois concave et convexe. Etudier la convexité d une fonction, revient à étudier le signe de sa dérivée seconde Exemple : f(x) = e 3x f (x) = 3e 3x f (x) = 3 ( 3)e 3x = 9e 3x > 0 f(x) = e 3x est une fonction strictement convexe ( x R). Exemple : g(x) = ln (3x + 4) g (x) = 3 3x + 4 = 3 3x

37 g 3 (x) = 3 ( (3x + 4) ) = 9 (3x + 4) < 0 g(x) = ln (3x + 4) est strictement concave x ] 4 3 ; + [ (en effet, ln (3x + 4) existe à condition que 3x + 4 > 0, c est à dire 3x > 4, et x > 4 3 ) Exemple 3 : Or et h(x) = 4x 3 x + x h (x) = 4 3x x + = x 4x + h (x) = x 4 = 4x 4 4x 4 > 0 4x > 4 x > 4 4 x > 6 4x 4 < 0 4x < 4 x < 4 4 x < 6 Ce qui signifie que h(x) = 4x 3 x + x est convexe x [ 6 ; + [ et concave x ] ; 6 ] Exemple 4 : or Donc x = i(x) = 5x 4 x 3 7x x + i (x) = 5 4x 3 3x 7 x = 0x 3 6x 4x i (x) = 0 3x 6 x 4 = 60x x 4 Δ = ( ) 4 60 ( 4) = = = 0, et x = = 0, et 60x x 4 > 0 sauf pour x [x ; x ] c est à dire i (x) > 0 sauf pour x [x ; x ] i(x) = 5x 4 x 3 7x x + est convexe pour x ] ; x ] puis concave pour x [x ; x ] et enfin convexe pour x [x ; + [ Exemple 5 : j(x) = (x )e x j (x) = e x + (x ) ( )e x = ( + (x ) ( ))e x = ( x + )e x = ( x)e x j (x) = e x + ( x) ( )e x = ( + ( x) ( ))e x = ( + x)e x = ( 3 + x)e x en utilisant le tableau de signe suivant x x 0 + e x + + ( 3 + x)e x

38 On peut affirmer que j(x) = (x )e x est concave pour x ] ; 3] et convexe pour x [3 ; + [ VII Les fonctions en économie dépendent souvent du temps t (et éventuellement d autres paramètres), c est la raison pour laquelle, les fonctions coût, les fonctions bénéfice se notent souvent C(t) ou B(t). D autres fonctions comme la demande des consommateurs D(t) dépendent clairement du temps. Si nous connaissons la demande des consommateurs d un certain produit entre les années 900 et 00, nous pouvons simplifier en disant que nous connaissons D(t) pour t [0 ; 0]. Cette connaissance nous permet de prévoir quelle sera la demande des consommateurs pour les années suivantes, c est à dire pour t [0 ; 0] en regardant comment la fonction se comporte pour de tels t. Une question qui se pose est de savoir quelle sera la demande des consommateurs dans un futur lointain, autrement dit, quel sera le comportement de D(t) pour des nombres t beaucoup plus grands que 0. Cette question peut être résolue mathématiquement grâce à la notion de ite. Commençons par les ites de fonctions f(x) lorsque x tend vers + qui se noteront f(x) et qui donneront le comportement de f(x) lorsque «x est très très grand», ou plus précisément lorsque «x est aussi grand que l on veut». x = + x = + x3 = + xn = + avec n entier car si x est très très grand alors, x n est encore plus grand (avec n entier ) = 0 x = 0 x 3 = 0 n = 0 avec n entier car divisé par très très grand donne un résultat très très proche de 0 ex = + car l exponentielle croît plus vite que n importe quelle fonction x n, si x est très très grand, e x est beaucoup plus grand que x n (avec n entier ) ln (x) = + difficile de le vérifier à la calculatrice car le logarithme est à croissance très très lente mais c est vrai! On peut quand même le comprendre ainsi : choisissons de rendre x aussi grand que l on veut de la manière suivante : prenons x n = 0 n, alors même si ln (x n ) est seulement égal à ln(0 n ) = n ln(0) n,3 en prenant n aussi grand que l on veut, on peut rendre ln(0 n ) aussi grand que l on veut. car e x = 0 e x = e x 38

39 car en particulier pour α =, car xα = + lorsque α > 0 x α = eαln (x) x = + x = x On a aussi pour les mêmes raisons : xα = 0 lorsque α < 0 Cela implique plein de ites du type : 3x + x = 3 (+ ) + = + 3x + ex = 3 (+ ) + (+ ) = + e x + x = 0 + = e x + x = = ln (x) + x = = + x = 0 = e x + 0 = = 0 3 x + 5 = = 5 x + 9 = 0 9 = 9 x π = 0 π = π D un autre côté, si on prend l opposé d un nombre très très grand, on obtient un nombre très très petit (dans les négatifs), c est à dire «aussi petit que l on veut», et l on notera : et x = xn = dès que n est un nombre entier ex = ln (x) = Les problèmes viennent maintenant car «très très grand plus très très petit» n a pas qu une valeur possible. Par exemple x x = 0 = 0 39

40 x x = x(x ) = + (+ ) = + car x x = x x x = x(x ) car «très très grand» fois «très très grand» est bien sûr «très très grand». Mais car x x = x( x) = + ( ) = ( ) = En fait, on peut éviter les factorisations en utilisant la règle suivante : e x x n x 3 x x x x 3 x n ln (x) où signifie «beaucoup plus grand lorsque x tend vers +» Ainsi x x = x = + 4x5 3x x = 4x5 = + x5 e x = ex = 3ln (x) x + = x = x6 + 4x 5 x = x6 = (+ ) = 3x4 x 3ex = 3ex = 3 (+ ) = 3 ln(x) + x 5 = 3 (+ ) = x x 4 + 0,0000x = x7 = + On peut utiliser cette règle pour enlever le problème épineux : «très très grand» divisé par «très très grand» qui n a pas non plus une seule valeur possible comme le montrent les exemples suivants x = = car x x = x x x x x = = x ou x = + x x = x x = x = x = x car x x = x x x = x ou x x = x x = x x = x = x = x x = 0 ou x x = x x = x = x = x Ainsi x 3 + 5x 4x + x 3 = 6x 9 x 3 x 3 = = 40

41 4x 5 + x + 8 x 5 6x 4 0 = 4x 5 x 5 = 4 = 3x 5 + x + x 6x 4 + x 0 = 3x 5 6x 4 = 3x 5 4 3x = 6 6 = x = + 7x 3 + x + x x 8 + x 0 = 7x 3 x 8 = 7 x 8 3 = 7 x 5 = 0 e x + x + x e x + x 9 = e x ex = ex x = ex = + 7x 4 + x 5 + x x 8 + x 00 = x 5 x 8 = x 8 5 = x 3 = 0 3x 3 + ln (x) + x 5x + x 0 = 3x 3 x = 3 3 x3 = x = 7x 3 + x x 7 x x 0 = x 7 x 5 = x 7 5 = x = + 3x 3 + x 5 + 7x x 5 + x 0 = x 5 x 5 = De manière plus mathématique, on peut parler de ites lorsque x tend vers ou même lorsque x tend vers un nombre fixé. En voici sept exemples : x = + x x ex = 0 car e x = 0 x 0 + x = + car Lorsque α > 0 car ln (x) = x 0 + ln(x) = ln ( x ) x 0 x = x 0 + xα = x 0 + eα ln(x) = X ex = 0 α ln (x) = x 0 + 4

42 Lorsque α < 0 car x 0 + xα = x 0 + eα ln(x) = X + ex = + α ln (x) = + x 0 + Cela nous permet de compléter la définition de la fonction x x α lorsque α > 0 (et uniquement lorsque α > 0) : { xα = e α ln(x) si x > 0 x α = 0 si x = 0 Autrement dit 0 α = 0 α > 0 VIII Donnons quelques exemples d études de fonctions où il faudra ) Dresser le tableau de variations (pour cela on dérivera, étudiera le signe de la dérivée suivant les valeurs de x, puis dressera le tableau de variations de la fonction étudiée). ) Donner les extremums (c est-à-dire les minimums et maximums), préciser s ils sont locaux ou globaux. 3) Etudier la convexité (calculer la dérivée seconde, puis étudier le signe de la dérivée seconde et conclure) a) f(x) = ln(7x ) pour x [0, ; ] f (x) = 7 7x 7x > 0 7x > x > 7 0,4 Or dans notre étude, x > 0, pour de tels x, f (x) > 0 Donc on a le tableau de variations suivant : x 0, f (x) + f(x) ln (0,4) ln(6) ln (0,4) est le minimum global pour la fonction f(x) = ln(7x ) définie sur [0, ; ] ln(6) est le maximum global pour la fonction f(x) = ln(7x ) définie sur [0, ; ] f est strictement concave. f (x) = 7 7x f 7 (x) = 7 (7x ) = 49 (7x ) < 0 b) f(x) = 3 ln(x) x pour x [0,5 ;,5] f (x) = 3 x = 3 x x x = 3 x x 3 x > 0 3 > x Or x 0,5 on a le tableau de variations suivant : x 0,5,5 4

43 3 x x + f (x) f(x) 3 ln(0,5) 0,5 3 ln(,5),5 3 ln(,5),5 est le minimum global pour la fonction f(x) = 3 ln(x) x définie sur [0,5 ;,5] 3 ln(0,5) 0,5 est le maximum global pour la fonction f(x) = 3 ln(x) x définie sur [0,5 ;,5] f est strictement convexe. f (x) = 3 x f (x) = 3 ( x ) = 3 x > 0 c) f(x) = x + e x pour x [ 5 ; ] f (x) = e x = e x e x > 0 > e x ln() > ln(e x ) ln() > x x > ln() 0,69 Donc on a le tableau de variations suivant : x 5 ln () f (x) 0 + f(x) 0 + e 5 ln () + e Remarque : f( ln()) = ( ln()) + e ( ln()) = ln() + e ln() = ln() + = ln() 0 + e 5 38,4 + e, e 5 est un maximum global pour la fonction f(x) = x + e x définie sur [ 5 ; 0] ln () est un minimum global pour la fonction f(x) = x + e x définie sur [ 5 ; 0] + e est un maximum local pour la fonction f(x) = x + e x définie sur [ 5 ; 0] f est strictement convexe. f (x) = e x f (x) = 0 ( ) e x = e x > 0 d) f(x) = ln (x + ) pour x [ 4 ; 5] f (x) = x x + x = 0 x = 0 x = 0 et x + > 0 Donc on a le tableau de variations suivant : x