Modèlisation statistique d un championnat de football. Extension au tournoi de fighting

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1 Modèlisation statistique d un championnat de football. Extension au tournoi de fighting Eric Parent, Edouard Kolf le 20 décembre 2012, AppliBUGS, Paris

2 Contents 1 Exemple du championnat de football

3 Structure du championnat de France 2012 Exemple du championnat de ligue 20 équipes (1,...,20) soit 20*20-20=380 rencontres 38 journées de championnats 10 matchs par journée 3 résultats possibles : victoire, nul ou défaite Objectif Estimer les forces relatives des équipes (λ 1,..., λ 20 ) Estimer les probabilités des différentes rencontres Parier sur les 3 résultats possibles (cf. LotoFoot)

4 Un exemple de Grille de LotoFoot

5 Modèle de comparaison par paires Notations Chaque équipe possède une force latente propre : λ i 3 issues possibles : i bat j avec probabilité Π ij i et j font match nul avec probabilité Π = ij i perd contre j avec probabilité Π ij Version Duel Bradley-Terry sans match nul Π ij = λ i λ i λ j Interprétation Diaconis : v. latentes Z i Exp(λ i ) ; Z j Exp(λ j ) Π ij = [Z i < Z j ]

6 Modele Bradley-Terry-Caron-Doucet Avec match nul θ Π ij = λ i λ i θλ j Π = ij = (θ 2 1)λ i λ j (λ i θλ j )(θλ i λ j ) Π ij = λ j = Π λ j θλ i ji Et oui! (θ2 1)λ i λ j λ i (θλ i λ j )λ j (λ i θλ j ) (λ i θλ j )(θλ i λ j ) = 1 Avantage terrain δ λ i δλ i si i joue à domicile Π ij = δλ i si i joue à domicile δλ i θλ j Π = ij = (θ 2 1)δλ i λ j (δλ i θλ j )(θδλ i λ j ) Π ij = λ j Π λ j θδλ i ji

7 Vraisemblance Bradley Terry Vraisemblance rencontre (ij) : l équipe i rencontre j et joue sur son terrain { } log[n λ, θ, δ] = (ij) n ij logπ ij n = ij logπ= ij n ij logπ ij log[n (ij) λ, θ, δ] = ( ) n (ij) n= log (ij) δλ i δλ i θλ j n = (ij) log(θ2 1) n (ij) n (ij) n = 1 : match entre i et j (ij) ( ) n (ij) n= (ij) λ log j λ j θδλ i Pb d inférence : les dénominateurs! Force brute : SIR séquentiel au cours des rencontres (cf Parent/Bernier) Force aveugle : go to WinBUGS (cf Parent/Bernier) Approximation Normale bayésienne de la logistique(cf Glickman) Asymptotique Normale fréquentiste (cf David) Elégance bayésienne : Augmentation de données (cf Caron-Doucet)

8 Astuce Caron-Doucet : Augmentation! Introduction de variables latentes Z ij λ i, λ j pour chaque rencontre (ij) Z (ij) Γ(n (ij) n= (ij), δλ i θλ j ) ; Z (ij) Γ(n (ij) n= (ij), δθλ i λ j ) ( ) ( ) log[n (ij), Z (ij) λ, θ, δ] n (ij) n= log δλ i n (ij) (ij) n= logλ j (ij) (δλ i θλ j )z (ij) (δθλ i λ j )z (ij) n= (ij) log(θ2 1) On prend des priors appropriés : δ Γ(a δ, b δ ), λ i Γ(a i, b i), éventuellement fixé en fonction du classement de la saison précédente NB λ i Γ(a i, b), Π ij = λ i λ i λ Dirichlet j Jolie vraisemblance complète : Gibbs ou MAP par EM (ou Max Vrais)!

9 Méthode Caron-Doucet : Algorithme de Gibbs Des conditionnelles complètes très Gamma Z (ij) Γ(n (ij) n=, δλ i θλ j ) ; Z (ij) (ij) Γ(n (ij) n=, δθλ i λ j ) (ij) ( ) ( ) λ i Γ(a i n (ij) n= n (ij) (ki) n=, b i (ki) j k ( ) ( ) δz (ij) δθz θz (ij) (ki) z ) (ki) j k ( ) ( ) δ Γ(a δ n (ij) n=, b δ λ i z (ij) (ij) δz ) (ij) (ij) i j n = (ij) [θ Z, N, λ, δ] [θ] (θ 2 (ij) 1) exp( Kθ) 1 θ>1

10 Comment générer selon la conditionnelle du paramètre de match nul? Comment générer selon ( θ 2 1 ) S exp Kθ 1θ>1? S est entier. θ = 1 x θ 2 1 = x (x 2) S x S (x 2) S = S! x Sk 2 S k k! (S k)! k=0 S ( ) ( ) x S (x 2) S Γ(S k 1)2 k K Sk1 x (Sk1) 1 exp Kx K k1 exp Kx k! (S k)! Γ(S k 1) k=0 Un mélange de S 1 lois gamma avec P k Γ(Sk1)2 k K k1 k!(s k)!

11 Remarques Sans problème pour un bayésien... chaque force λ i à une constante près, on n apprend rien sur leur somme possibilité de "parameter extension", améliore drastiquement, pas fait par WinBUGS on peut aussi faire de l EM, bien sûr...

12 Pour rappel, modèle Parent-Bernier Conditions de comportement vis à vis de l écart des forces Π ij Π = ij = g 1 ( ) Π = ij Π ij = g 2 ( ) g 1 ( ) et g 2 ( ) fonctions croissantes de On choisit g 1 ( ) = K 1 g( ) et g 2 ( ) = K 2 g( ) avec K 1 > 0, K 2 > 0 Par conséquent, le modèle doit s écrire Π ( ) = 1 K 2 g( ) 1 ) K 2 g( ) 1K 1g( ) Π = 1 ( ) = 1 K 2 g( ) 1K 1g( ) Π ( ) = K 1 g( ) 1 K 2 g( ) 1K 1g( )

13 Pour rappel, modèle Parent-Bernier Conditions de symétrie (sans avantage jeu à domicile) Π ( ) = Π ( ) Π = ( ) = Π = ( ) Si on choisit g( ) = exp( ), K 1 K 2 = 1 Π ( ij ) = Π = ( ij ) = Π ( ij ) = Kexp( ij ) Kexp( ij )1Kexp( ij ) 1 Kexp( ij )1Kexp( ij ) Kexp( ij ) Kexp( ij )1Kexp( ij ) Le dénominateur de ce modèle ne donne pas une écriture du type Bradley-Terry-Caron-Doucet...mais se factorise et permettrait la même astuce de data augmentation

14 Quel modèle? Comportement Bradley-Terry versus Parent-Bernier Prob Bradley Terry & Parent_Bernier home&win draw home&defeat Log ratio des forces

15 d inférence sur les paramètres δ et θ de réglage Avantage terrain Coefficient de match nul Matchs Matchs

16 d inférence sur les paramètres δ et θ de réglage (dernière journée) Match nul du local (sachant égalité de forces) Corrélation a posteriori Density Avantage terrain Probabilité Coef. égalité

17 d inférence sur la force des équipes Estimation des λ i au cours du temps Forces Montpellier Auxerre Marseille Lyon Rencontres

18 prédictifs Lyon recoit Montpellier (après la dernière journée) Posteriors prob playing Lyon Montpellier Prob Density win lost nul Virtuel Lyon reçoit Montpellier P(nul) P(defaite)

19 Le classement versus l estimation statistique de la force des équipes Dernière journée Force au jour Evian Marseille Brest Ajaccio Nancy Lorient Sochaux NiceValenciennes AuxerreDijon Caen Lyon Bordeaux Toulouse Saint Etienne Rennes Lille PSG Montpellier classement

20 Un bayésien peut-il gagner au lotofoot? Nombre de matchs (sur 10) prévus correctement modele Bradley Terry meanscorepb= 3.83 meanscorebt= Modele Parent Bernier

21 Conclusions : il reste du travail! Temps de calcul Facteur 3 entre augmentation de donnéesparameter extension et inférence brutale Part de bons résultats Moyenne de 40% de matchs correctement prévus sur tout le championnat Grimpe parfois à 50% sur la seconde partie du championnat Améliorations possibles Rechercher l information : expertise a priori, annees précédentes Changer le modèle : nb buts marqués, etc Covariables de composition des équipes

22 Extension au Fighting System du JuJitsu Données 3 phases de combats (Atemi (pieds-poings), Judo debout, Judo sol) 3 forces en présence pour chacun des combattants λ i = (λ 1 i, λ2 i, λ3 i ) 3 manières de gagner un combat...à faire

23 Références Bibliographiques R.A. Bradley and M.E. Terry. Rank analysis of incomplete block designs, 1. the method of paired comparisons. Biometrika, 39 :324Ű-345, F. Caron and A. Doucet. Efficient Bayesian inference for generalized bradley-terry models. Research Report 7445, INRIA, H.A. David. The Method of Paired Comparisons. Oxford University Press, New York, M.E. Glickman. Parameter estimation in large dynamic paired comparison experiments. JRSB Appl. Statist., 48(3) : , E. Parent and J Bernier. Le Raisonnement Bayésien : Modélisation et Inférence. Springer France, Paris, M. H. Tanner. Tools for Statistical Inference : Observed Data and Data Augmentation Methods. Springer-Verlag, New York, 1992.

24 C est fini Merci