PHYS-F Electricité et magnétisme Correction séance 6 - Induction magnétique

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1 PHYS-F Electricité et magnétisme Correction séance 6 - Induction magnétique 1 Exercices 22.2) B ds = cos 30BdS = cos 30BS = 1, 73mW eb 22.7) e, Le ux au travers de la spire va varier, il y aura donc une force électromotrice induite e = φ t = BS 0 0, 2 = 0, 4 0, 25 0, 2 = 0, 5V 22.12) Le ux est donné par φ(t) = NB(t)S et donc la force électromotrice(f.e.m) par e = NS db(t). Il s'agit donc de calculer e durant les trois périodes [0, 0.3s], [0.3s, 0.4s] et [0.4s, 0.5s] : e = 2, 5 0, 3 = 2, 5V 0, 3 0 < t < 0, 3s e = 0 0, 3s < t < 0, 4s e = 2, 5 ( 0 0, 3 ) = 7, 5V 0, 5 0, 4 0, 4s < t < 0, 5s 1

2 1 EXECICES ) On applique la formule e = Blv cos θ où B est le champ magnétique, l la longueur de la tige, v la vitesse de chute et θ l'angle que fait le champ magnétique avec la normale au plan formée par le vecteur vitesse et et celui de la tige. L'application numérique donne e = 1, , 8 cos 50 = 2, V 22.30) Pour que le déplacement soit à vitesse constante, il faut que la force F exercée soit égale en norme et opposée en direction à la force de Laplace dûe au courant le l Fl = I l B et I = ξ/ étant le courant induit. On calcul d'abord ξ = d BS cos 0 = Bvl. Pour la force de Laplace on a donc F l = IlB = Bvl lb = (Bl)2 v = F ext 22.31) La puissance fournie par l'opérateur est donnée par F ext v = (Bl)2 v Or la puissance dissipée par eet Joule P Joule = I 2 = ( Bvl expressions sont bien égales. )2 v cos 0 = (Blv)2. = (Bvl)2. Les deux 22.43) On utilise ici explicitement la loi de l'induction à savoir que la circulation du champ électrique induit E i le long d'un contour est égal à moins la dérivée du ux de champ magnétique φ M au travers de la surface délimitée par ce contour, E i dl = dφ M.

3 1 EXECICES 3 Pour ce faire, on choisit un contour circulaire de rayon r de même axe que le solénoïde(voir gure). Par symétrie, le champ électrique induit ne peut pas dépendre de θ et doit être tangent au cercle. Le ux de champ magnétique est donné par φ M = Bπ 2 = Ctπ 2, où est le rayon du solénoïde et C une constante exprimée en T/s. On obtient ainsi, 2π 0 E i rdθ = d Ctπ2 2πrE i = Cπ 2 E i = C2 2r Le signe moins indique que le champ électrique induit tourne dans le sens inverse de celui du courant dans le solénoïde! 22.46) La vitesse angulaire de la bobine w = 2πf = 2π 50 = 314, 1 rad/s et la tension fournie par un cadre en rotation dans un champ B perpendiculaire à l'axe de rotation est ξ = NSB sin(wt). On a donc, B = 22.68) ξ NSw = 26, 5mT Champ électromoteur E = v B = vb car v et B toujours et v = wr. On a donc ξ = 2lvB = 2lwrB = 0, π 0, 6 = 1, 13 V 22.91) En appliquant la loi des mailles on a V = L di +I et donc l'équation pour le courant, di = V I. L

4 1 EXECICES 4 A l'instant t = 0 le courant est nul di/ = V/L = 120/( ) = 2, A/s. A l'instant t = L/, I = 0, 63V/(I vaut 63% de sa valeur maximale) di/ = (V 0, 63V )/L = 0, 37V/L = 0, A/s ) Lorsque la tige se met en mouvement sous l'eet de la force de pesanteur, le ux de champ magnétique φ au travers du circuit formé par celle-ci, les deux conducteur verticaux et la résitance va varier dans le temps. Cette variation de ux va entrainer une force électromotrice e = dφ/ en accord avec la loi de Faraday, et donc un courant s'établit dans le circuit. Ce courant d'après la loi de Lenz va s'opposer par son action à la cause qui l'a crée. On s'attend alors à ce que la force de Laplace s'exerçant sur la tige soit orientée dans le sens opposé à la force de pesanteur(voir gure). Soit z la coordonnée de la tige. Le ux de champ magnétique sera donc donné par φ = Blz 1. On sait aussi que le courant s'établissant dans le circuit sera donné par e = I. On peut alors écrire la loi de faraday, e = I = dφ = B l dz où dz/ est bien entendu la vitesse v de la tige. On a alors une expression du courant I = Blv/. La force de Laplace s'exerçant sur la tige est donnée par F l = BIl 1 z = (Bl)2 v 1. Le signe positif du ux indique que l'on a choisi ds sortant de la feuille, ceci implique au travers de la loi de Faraday que le courant I positif est pris dans le sens trigonométrique 1 z

5 1 EXECICES 5 L'équation de Newton projetée sur l'axe z s'écrit alors, m dv = mg (Bl)2 v qui est une équation diérentielle ordinaire du premier ordre. On voit alors qu'à l'instant initial lorsqu'on lache la tige v = 0 qui implique dv/ = mg, on a donc un accroissement de la vitesse. Tant que mg (Bl) 2 v/ > 0 cette vitesse s'accroît. Celle-ci atteint alors l'équilibre lorsque dv/ = 0, c'est à dire lorsque v = gm/(bl) 2, ou encore lorsque l'on a équilibre entre d'une part la force de pesanteur et la force de Laplace s'exerçant sur la tige dûe au courant induit. 29.7)(Benson) Un l rectiligne parcouru par un courant variable i(t) est placé côte à côte avec un circuit rectangulaire(voir gure) à une distance a de celui-ci. Quel est le ux total de champ magnétique au travers du circuit? Quel est la force électromotrice induite dans le circuit si di/ = 9, 60 A/s? Dans quel sens le courant circule-t-il? (a = 12, 0 cm, b = 36, 0 cm, L = 24, 0 cm ). Le champ magnétique dû au l rectiligne est donné par B = µ 0 i(t)/2πr où r est la distance au l. Le ux au travers du champ magnétique est alors donné par b L ] b φ = a 0 µ 0 i(t) 2πr dzdr = L [ µ0 i(t)ln(r) On peut alors calculer la force électromotrice induite, e = + dφ = Lµ 0 2π 2π a = Lµ 0i(t) ln( b 2π a ). di(t) ln( b a ) = 0, V

6 1 EXECICES 6 Le courant induit circule dans le sens trigonométrique de sorte à s'opposer à l'augmentation de ux rentrant dans la feuille.