Une approche pour un contrôle non-linéaire temps réel

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1 Une approche pour un contrôle non-linéaire temps réel L. Mathelin 1 L. Pastur 1,2 O. Le Maître 1 1 LIMSI - CNRS Orsay 2 Université Paris-Sud 11 Orsay GdR Contrôle des décollements 25 Nov Orléans

2 Contrôle des écoulemements: la problèmatique... écoulements de plus en plus complexes modèles complexes (> 10 7 DDLs spatiaux, > 10 5 DDLs temporels): 3-D instationnaire et turbulent, écoulements à haut nombre de Reynolds, physiques couplées (e.g. fluide / structure / thermique). spécifications strictes nécessite des algorithmes de contrôle efficaces et non triviaux, contrôle temps réel...

3 Constat général Plusieurs joueurs non coopératifs: Efficacité doit pouvoir reposer sur des principes d optimalité (coûteux!), Temps réel doit utiliser un modèle très simple (écoulements à haut nombre de Reynolds impliquent une commande haute fréquence des actionneurs, > khz). besoin de réduire drastiquement le problème et d utiliser une expression quasi-explicite pour le contrôle.

4 Réduction de modèle On a besoin d un modèle réduit: de faible dimension: 10 7 O(10 1 ) DDLs, robuste: des perturbations et incertitudes sont présents. De plus le contrôle a pour but de modifier le comportement du système, capable de prendre en compte les transitoires du système. La description du système est restreinte à un espace de dimension finie (faible) (réduction de modèle), par exemple: ou. u(x, y, z, t) N 1 u(x, t) N 2 N 3 N 4 k 1 =1 k 2 =1 k 3 =1 k 4 =1 N X k (t) φ k (x), k=1 σ k1,k 2,k 3,k 4 X k1 φ (x) k 2 φ (y) k 3 φ (z) k 4,

5 Contrôle temps réel Soit un système représenté par son état X. Temps réel: contrôle linéaire e.g. Riccati & Co., contrôle non-linéaire: gain scheduling?, SDRE...? On recherche une expression explicite. Pour (X(t), µ(t)) donné, la commande optimale (au sens de la fonction coût) µ(t < τ < t + T ) peut être calculée sur un horizon T (approche par horizon récessif). On veut: avec t < T et µ(t + t; X, µ) = F t (X(t), µ(t)), X Ω X = [ B X ; B X ] N R N, µ Ω µ = [ B µ ; B µ ] M R M. contrôle basé une approche de type mapping.

6 Formulation de la stratégie On cherche une approximation Q t de la forme non-linéaire F t sur L 2 (Ω; W ), Ω Ω X Ω µ. On considère une approximation polynômiale tronquée à un ordre total α N o : F t Q t = Q α L α (X, µ), α N o Q α = µ(t + t; X, µ) L α (X, µ) W (X, µ) dx dµ, Ω avec α T = (α 1... α N+M ) un multi-index, α = i α i, et N M Ω (X, µ) W (X, µ) = w(x i ) w(µ j ) R. i=1 j=1

7 En pratique... Les coefficients Q α de l approximation s obtiennent par intégrales de grande dimension (N + M) très difficile à évaluer. Alternative: intégration par grille creuse (N q points): N q Q α µ (t + t; X (q), µ (q)) ( L α X (q), µ (q)) ( W X (q), µ (q)) ω (q), q=1 avec ω (q) le poids associé à chaque point de quadrature ( X (q) µ (q) ) T. Cubature de Smolyak

8 Algorithme On suppose qu un modèle réduit (ROM) du système est disponible. 1 Pour 1 q N q, reconstruire le champ fluide: u(x, t) NX k=1 X (q) k φ k (x), µ(t) = µ (q), 2 simuler l écoulement avec le ROM sur un horizon T, 3 calculer la loi de contrôle optimale sur l horizon (peu coûteux grâce au ROM), 4 retenir la commande µ (q) (t + t) = F t (X (q), µ (q) ), 5 retourner en (1) si q < N q, 6 de la collection de N q lois de commande µ (q) (t + t), calculer les coefficients Q α par cubature. [ hors-ligne ] Le contrôle d écoulement ne nécessite donc que l estimation de l état du système X(t) et µ(t). La nouvelle loi de commande µ(t + t) à appliquer s exprime comme: µ (t + t) = X α N o Q α L α (X(t), µ(t)). [ en-ligne ]

9 Test préliminaire d application Contrôle de la trainée d un écoulement 2-D autour d un cylindre circulaire. Contrôle par aspiration uniforme à la surface.

10 Approximation de la surface de réponse Approximation de la surface de réponse {X 1, X 4 }. N o = 5.

11 Motivations Développement de la méthodologie Premiers tests Pour aller plus loin Portrait de phase Impact du contrôle sur le portrait de phase X5 X7. Gauche: contrôle optimal; Droite: stratégie par mapping. No = 5. Appendice

12 Motivations Développement de la méthodologie Premiers tests Pour aller plus loin Appendice Performance pour un écoulement non perturbé Gauche: loi de contrôle d une stratégie optimale (boucle ouverte) et issue du mapping. Droite: Evolution temporelle de la traînée totale correspondante. No = 5.

13 Motivations Développement de la méthodologie Premiers tests Pour aller plus loin Influence du degré polynomial No Evolution temporelle de la loi de commande (gauche) et du coefficient de traînée totale (droite) pour différent degrés polynomiaux No du mapping. Appendice

14 Dans la vraie vie... Evolution temporelle de l amplitude relative de la perturbation par rapport au mode réduit le plus énergétique ψ 1 (x). Imitation d un écoulement réel où des perturbations aléatoires sont présentes.

15 Motivations Développement de la méthodologie Premiers tests Pour aller plus loin Appendice Dans la vraie vie... Commande optimale et basée sur le mapping pour un écoulement incident perturbé.

16 Plus efficace, moins cher...

17 Plus efficace, moins cher... On cherche une approximation µ à N termes d un signal µ dans une base V donnée. Si sa représentation est K -creuse dans V, on peut retrouver déterminer la loi exacte avec M 5 K N mesures linéaires, Candès & Donoho (2004), comme la solution de: X arg min X 1, y A X 2 ε, X avec A matrice réelle de R M N, A mn φ m, ψ n, φ m V M V une famille de fonctions test orthonormées du sous-espace V M échantillonnée aléatoirement et ψ n une famille de fonctions de base orthonormées: y m φ m, µ, µ = X n ψ n. 1 n N Problème d optimisation dans L 1 avec contrainte d inégalité.

18 Plus efficace, moins cher... Le signal n est jamais exactement creux... On suppose qu il appartient à la boule L p de rayon R: X n R n 1/p, alors: µ µ 2 C 1 (K / log N) 1/2 1/p, avec une probabilité au moins O ( 1 N C 2) moyennant le fait que K C 3 η (log N) 6, η max N φm, ψ n, m,n où η mesure l incohérence mutuelle entre les bases de test Φ et de représentation Ψ. Résultat: mêmes performances que précédemment avec environ 3000 simulations (et non plus 47,000)...

19 En conclusion... Pour des systèmes non-linéaires, il est possible de déterminer un contrôle... efficace (quasi-optimal), robuste (boucle fermée), temps réel (sans calcul in-line ),

20 En conclusion... Pour des systèmes non-linéaires, il est possible de déterminer un contrôle... efficace (quasi-optimal), robuste (boucle fermée), temps réel (sans calcul in-line ),... mais il reste beaucoup à faire... configuration réaliste (travail en cours: cavité entrainée (3D) en régime turbulent), approche limitée aux systèmes réductibles à une approximation de dimension faible meilleures procédures de réduction de modèle (taux de convergence), approximations non polynômiales, support compact, etc. Travail en cours: curvelets, couplage avec un estimateur d état...

21 Sparse grid integration Gauss-Legendre quadrature: 961 points. Smolyak scheme: 257 points. Comparison of tensorized and regular sparse integration (2-D). We are using adaptive sparse grid even less number of points to consider. Back to the formulation

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