Sommaire. 1. Le Cadre Industriel Présentation de la DGA Missions Organisation Quelques chiffres...

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1 Sommaire 1. Le Cadre Indusriel Présenaion de la DGA Missions Organisaion Quelques chiffres Présenaion de la DCN Missions Amiions Organisaion Quelques chiffres DCN Ingénierie Missions Aciviés principales acuelles Principes d organisaion Le Cenre Sud (DCN/ING/SUD) La sous-direcion Communicaions Surface - Air : CSA Missions Modèle d évoluion du filre Convenions e repères uilisés Définiions Repères Mise en équaions Calculs préliminaires Evoluion de la disance, du gisemen e du sie Evoluion des angles relaifs Le filre éudié Théorie du filrage pariculaire Présenaion du filrage non linéaire Le filre pariculaire Généraion de veceurs aléaoires Généraion d un veceur gaussien de aille n e de marice de covariance Q donnée Généraion d une réalisaion de variale aléaoire de densié f David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 1

2 4. Algorihme Présenaion Algorihmes de filrage Kalman Pariculaire Essais e résulas Esimaion des ruis de mesure Principe Résulas Crière uilisé pour évaluer les performances Evoluion des performances du filre en foncion du seuil de redisriuion Performances en foncion du nomre de paricules uilisées Comparaison de la qualié de filrage Esimaion de quelques variales d éa Innovaions Conclusion... 6 David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 2

3 GLOSSAIRE CEA CTSN DCN DGA DSBL ECN FOST ISC LCAM LSM MOI MOP MOSC OAI OP3A PACdG SC SD/AN SD/ASC SD/FS SENIT SM SNA SNLE STCAN STSN TCD Commissaria à l Energie Aomique. Cenre Technique des Sysèmes Navals. Direcion des Consrucions Navales. Délégaion Générale pour l Armemen. Dossiers de Spécificaion des Besoins Logiciels. Ealissemen des Consrucions Navales. Force Océanique STraégique. Inégraion e Sysèmes de Commandemen. Lue Communicaion Air Mer Lue Sous Marine Maîre d Oeuvre Indusriel. Maîre d Oeuvre Principal. Maîre d Oeuvre des Sysèmes de Coma. Opéraions d Adapaion Indusrielle. Opéraion d Amélioraion de l Auodéfense Animissile. Pore-Avions Charles de Gaulle. Sysème de Coma. Sous Direcion Archiecure Navale. Sous Direcion Archiecure des Sysèmes de Coma. Sous Direcion Floe en Service. Sysème de raiemen de l Informaion Tacique. Sous-Marin. Sous-marin Nucléaire d Aaque. Sous-marin Lanceur d Engins. Service Technique des Consrucions e Armes Navales. Service Technique des Sysèmes Navals. Transpor Chalands de Déarquemen. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 3

4 Remerciemens Je voudrais émoigner oue ma reconnaissance aux dirigeans de DCN ingénierie Cenre Sud ainsi qu à ceux du déparemen ELC pour l accueil qu ils m on réservé dans leur service. Plus pariculièremen, je souhaie adresser mes plus vifs remerciemens à Monsieur Chrisophe VIVES qui a ien voulu me confier ce sage e m aider lorsque le esoin s en faisai senir. Je iens aussi à exprimer ma profonde graiude à Monsieur Alain MARTIN, avec qui j ai eaucoup ravaillé e qui m a, malgré ses occupaions, suivi e aidé ou au long de ce sage. Je remercie égalemen Monsieur André LADURELLE (chef du déparemen) pour ses idées e ses remarques consrucives ainsi que ou le personnel du déparemen ELC de la DCN Ingénierie Sud pour l accueil e les condiions de ravail qui m on éé offeres. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 4

5 Inroducion A l issue de ma roisième année d école d ingénieur à l ENSEEIHT (Ecole Naionale Supérieure d Elecroechnique, d Elecronique, d Informaique e d Hydraulique de Toulouse) e dans le cadre du D.E.A. SIC (Signaux, Images e Communicaions), j ai effecué un sage au cenre sud de la Direcion des Consrucions Navales au sein de la division armes du déparemen ELC. Le suje de ce sage éai le développemen de filres de rajecographie par une oue nouvelle echnique : le filrage pariculaire. Plus précisémen, il s agissai de connaîre les avanages e les inconvéniens de cee méhode par rappor aux filres de Kalman employés jusqu alors. J ai choisi ce sage car il me permeai de mere en applicaion mes connaissances héoriques acquises ou au long de ma scolarié. De plus, il devai me permere de m iniier à la recherche scienifique car on m a demandé de ravailler sur un concep rès récen. Le leceur rouvera dans ce rappor les différens chapires suivans : Présenaion de l enreprise. Modèle d évoluion du filre. Théorie du filrage pariculaire. Algorihmes. Essais e résulas. Annexes. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 5

6 1. Le Cadre Indusriel David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 6

7 1.1. Présenaion de la DGA Sous l auorié direce du minisre de la Défense, la Délégaion Générale pour l Armemen (DGA) a pour rôle de concevoir e procurer aux armées françaises les sysèmes d armes modernes, nucléaires e convenionnels, nécessaires à la défense de la lieré e de l auonomie de décision de la France Missions Les programmes son définis en collaoraion éroie enre les éas-majors, qui apporen leur connaissance du esoin opéraionnel, e la DGA, qui appore sa connaissance de l éa des echniques, de leur coû, e des compéences de l indusrie. La DGA assure ensuie la conduie des programmes, depuis l éude des maériels jusqu à leur uilisaion. Elle en confie la réalisaion aux indusriels, les évalue dans ses cenres d essais à mesure de leur développemen, s assure de leur qualié finale. Pour les consrucions navales e la mainenance aéronauique, elle dispose de son propre ouil indusriel. La DGA condui des recherches dans ous les domaines de la connaissance scienifique, pour inégrer les innovaions les plus récenes dans la concepion des sysèmes de défense fuurs. Elle assume la maîrise de la poliique indusrielle en maière de défense. Dans ce espri, elle souien les indusriels dans leurs effors à l exporaion, au conrôle de laquelle elle paricipe. Pour accompagner l évoluion vers une sécurié commune en Europe, la DGA conriue à renforcer les liens avec les parenaires de la France. En maière d armemen, la coopéraion perme ainsi de parager à plusieurs les coûs fixes d équipemens des forces ; elle garani égalemen l iner-opérailié des maériels. Son amiion : êre au cœur de l Europe de l armemen, un aceur professionnel e reconnu dans la préparaion, l archiecure e la fourniure de sysèmes de défense. Elle s organise, à cee fin auour des quare axes sraégiques majeurs : Gagner la aaille des coûs, Renforcer la cohérence des sysèmes de force, Bâir l Europe de l armemen, Moiliser e valoriser les compéences de chacun Organisaion Organisme d éa, la DGA dispose d une srucure rès décenralisée e ournée vers la foncionnalié de chaque enié. Elle peu êre divisée en cinq sous-ensemles : Direcion e Adminisraion : fixen les ojecifs généraux e assuren la liaison avec le minisère de la défense (CHEAr, Communicaion, Inspecion Générale), Direcion e Gesion des Ressources Humaines : gèren le capial humain e assuren la cohésion de l organisaion de la srucure (Direcion de l Organisaion, Direcion des ressources Humaines), Direcion Programmes : défini les programmes d armemen des prochaines années (Direcion des Sysèmes de Force e de Prospecive, Direcion des Programmes e Méhodes), David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 7

8 Direcion Inernaionale : gère les conras d exporaion e de coopéraion inernaionale (Direcion des Relaions Inernaionales, Direcion de la Coopéraion e des Affaires Inernaionales), Direcions Opéraionnelles e Indusrielles : groupes indusriels chargés de la mise en œuvre des programmes (Direcion des Consrucions Navales, Direcion d Experise e d Essais, Service de la Mainenance Aéronauique). Communicaion Délégué Général pour l Armemen Adjoin CHEAr Inspecion Direcion de la Coopéraion e des affaires Indusrielles DCI Direcion des Sysèmes de force e de Prospecive DSP Direcion des Programmes des Méhodes d acquisiion e de la Qualié DPM Direcion de la Gesion e de l Organisaion DGO Direcion des Relaions Inernaionales DRI Direcion des Cenres d experise e d Essais DCE Direcion des Consrucions Navales DCN Services de la Mainemance Aéronauique SMA Direcion des Ressources Humaines DRH Figure 1 : Organisaion de la DGA Quelques chiffres En ref, la DGA c es : 64,7 milliards de francs de commande, 61 milliards de francs de paiemen dans ses foncions éaiques, 14,87 milliards de francs de chiffre d affaire dans ses foncions indusrielles, 425 personnes employées don 11 dans la DCE, un peu moins de 19 dans la DCN e 35 dans le SMA, En 1997, la réducion des coûs acquise sur les programmes d armemen par rappor aux devis qui prévalaien lors de la loi de programmaion miliaire on éé de 3 milliards. Pour 1998, l ojecif éai de 15 milliards de francs d économies supplémenaires. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 8

9 1.2. Présenaion de la DCN La Direcion des Consrucions Navales (DCN) au sein de la DGA, a pour missions la concepion, l ingénierie, la consrucion, l armemen, les essais, l enreien, l adapaion, la logisique e la modernisaion des âimens ainsi que de leurs sysèmes d armes. Elle œuvre pour la Marine Naionale e les marines amies Missions Les missions éaiques Les éudes amons, les spécificaions des sysèmes navals e leurs évaluaions s effecuen au sein du Service des Programmes e de la Coopéraion Inernaionale (SPCI). Il assure égalemen les direcions de programmes dans le domaine des programmes naionaux, de l enreien de la floe, e de la coopéraion. Un service echnique lui es raaché Les missions indusrielles La DCN, par son Service Indusriel (neuf éalissemens), me au service de la Marine Naionale e des puissances amies un savoir-faire comple e des compéences éendues pour l ingénierie, la réalisaion, la mainenance e la logisique des navires e des sysèmes de coma Amiions Saisfaire les esoins de la Marine Naionale La mission principale de la DCN es de fournir à la Marine Naionale, dans les meilleures condiions de coûs e de délais, les navires, sysèmes d armes, e services don elle a esoin. Cee mission a éé rappelée dans les exes poran sur l organisaion de la nouvelle DCN, le 17 janvier 1997, lui confian l ensemle des âches indusrielles de consrucion navale e d enreien de la floe en service. La DCN connaî aujourd hui une aisse imporane dans les aciviés qu elle exerce au profi de la Marine Naionale e doi par ailleurs répondre à l ojecif de réducion de 3% des coûs des programmes d armemen engagés par la DGA. Pour relever ce doule défi, la DCN doi s adaper, êre compéiive, se moderniser, exporer. Projes en cours pour la marine naionale : 3 sous-marins nucléaires lanceurs d engins nouvelle généraion (SNLE NG) de classe Triomphan. Pore avion nucléaire Charles de Gaulle. 4 ème e 5 ème frégae de classe La Fayee. 1 Transpor e Chaland de Déarquemen (TCD) de classe (Siroco). David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 9

10 Le sysème OP3A (Opéraion d Amélioraion de l Auodéfense Animissile). Le SMAF (Sous-Marin d Aaque du Fuur). Projes en coopéraion Inernaionale : 3 orpilles MU 9. Les frégaes Horizon S ouvrir vers l exérieur La DCN a l amiion de devenir un aceur majeur de la consrucion navale miliaire en s ouvran vers les marchés exérieurs. Elle s es ainsi lancée dans une vigoureuse offensive commerciale e son effor pore ses fruis puisque les commandes qui en résulen son élevées en 1997 à 8,9 milliards de francs don 7,5 milliards à l exporaion e 1,5 milliards en diversificaion. Projes en cours pour l exporaion : 3 frégaes exrapolées de la classe La Fayee pour l Araie Saoudie (Sawari II). 3 sous-marins Agosa 9B e 3 chasseurs de mines pour le Paisan 14 (+8 en opion) sysèmes de coma Seni-8 pour les parouilleurs de la Marine Norvégienne. Refone des sysèmes de comas de 6 frégaes de la classe Nieroi pour la Marine Brésilienne. Inégraion de sysèmes d arme lance missiles sur 8 parouilleurs Koweïiens. 5 chasseurs de mines de ype Circée pour la Turquie. Carénage de 4 péroliers raviailleurs Saoudiens (Mouee). Livraison de 4 sysèmes SAMAHE (Sysème Auomaique de Manuenion d Hélicopères Emarqués) pour la Marine Hollandaise. Projes de diversificaion : 2 plaes-formes Offshores SFX pour la sociéé Sedco-Forex Développer les alliances indusrielles Parce que le développemen d alliances indusrielles es indispensale pour pouvoir accéder aux marchés d exporaion de son maériel naval, la DCN a inensifié son effor dans ce domaine, en visan à erme des alliances srucuranes avec différens parenaires européens. L exporaion sera de plus en plus riuaire de la capacié des indusries inervenanes de s inégrer dans de elles alliances. Le succès de ces alliances européennes représene par ailleurs une opporunié de raionaliser une srucure indusrielle rop dispersée face au poeniel nord-américain rès foremen concenré. La DCN s appuie sur DCN Inernaional e crée au cas par cas des srucures adapées, qui permeen aux eniés ainsi consiuées de mieux répondre aux esoins du marché expor y compris pour les ransfers de echnologie. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 1

11 Des produis Plusieurs alliances inernaionales son aujourd hui pleinemen opéraionnelles : UDS Inernaional, filiale de Thomson-CSF e de la DCN, assure le développemen e la commercialisaion de sysèmes de coma pour sousmarins, en France e sur le marché expor. Les GEIE Euroorp e Eurosla rassemlen la DCN, Thomson e WASS (filiale du groupe Ialien Aliena) pour la commercialisaion e la maîrise d œuvre des orpilles légères MU 9 e des sysèmes de lue ani-orpilles. La join venure Horizon (IJVC) allie la DCN, le groupe Briannique GEC e le consorium Ialien Orrizone pour la réalisaion de la frégae HORIZON. Le conra de modernisaion des sysèmes de coma de parouilleurs de la Marine Norvégienne à éé signé grâce à une alliance avec le norvégien Konserg. Dans le domaine des sous-marins la DCN es parenaire avec l Espagnol BAZAN pour le développemen, la commercialisaion, e la producion de sous-marins Scorpène au profi de la Marine Chilienne. Dans le domaine de la propulsion sous-marine, la DCN développe le sysème MESMA (Module d Energie Sous-Marine Auonome) conjoinemen avec des indusriels français e l espagnol BAZAN Une gamme complèe de produis e des nomreux aous La DCN propose 7 lignes de produis e services. Les sous-marins, les âimens de surface miliaires (réparis en rois caégories navire de grande aille, navire de aille moyenne, navires de serviude e de surveillance), les sysèmes de comas sous-sysèmes e services. Les sous-marins : une parie de la gamme es spécifique à la France comme les Sous-marins Nucléaires d Aaque (SNA) e les Sousmarins Nucléaires Lanceurs d Engin (SNLE), insrumens majeurs de la souveraineé naionale. Les nomreuses avancées echnologiques, oenues grâce à la réalisaion de ces âimens, profien aux sousmarins convenionnels proposés à l exporaion. Les grands âimens : Pore-avions, frégaes de 1 er rang, âimens d inervenion e de projecion de forces. Bâimens de aille moyenne ou de complexié inermédiaire : Frégaes de 2 ème rang, parouilleurs armés, chasseurs de mines. Navires de surveillance ou de serviude. Les sysèmes de coma : la DCN a développé une gamme de sysèmes de raiemen de l informaion, les SENIT, cœur des sysèmes de coma, don le plus récen es le SENIT 8. Ce sysème es déjà insallé sur les âimens de la Marine Naionale e a déjà prouvé son efficacié en mer. Produi modulaire, il peu équiper ous les ypes de âimens modernes e permere la modernisaion de navires plus anciens. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 11

12 Les sous-sysèmes e équipemens : Appareils propulsifs, simulaeurs d enraînemen, sysèmes d aide à l apponage e de conduie de plae-forme. Les services (don l enreien des navires) : la DCN possède un savoir-faire connu en maière d ingénierie navale, de logisique, d assisance à la maîrise d ouvrages, de ransfer de echnologie (élémen déerminan dans la signaure des conras à l exporaion) e de formaion. DCN Log, filiale de DCN Inernaional, propose aux marines érangères, en éroie relaion avec Marine Naionale, de l assisance en logisique, de la mainenance e de l enreien programmé, complémen naurel des aciviés de consrucion navale. Des aous La DCN possède de nomreux aous : Maîrise du cycle de vie de ses produis (de la concepion à la mainenance) qui lui perme d offrir une associaion de compéences uniques au monde dans ce seceur. Capacié à maîriser des projes complexes à ravers son méier d inégraeur. Gamme complèe e diversifiée de produis. Experise de la concepion de ous ypes de navires, du parouilleur au pore-avions. Caracère innovan e réacif de modes de consrucion e d inégraion des équipemens. Démarche qualié visan la cerificaion Qualié selon la norme ISO Organisaion Le siège de la DCN se rouve à Paris e assure le rôle de direcion générale. Il s es doé d une organisaion qui s aricule auour de la gesion des projes e il dispose de l ensemle des foncions haiuellemen présene dans les enreprises Trois services opéraionnels qui regroupen l acion commerciale, la recherche e le développemen e la producion ; deux sous-direcions ransversales poren sur les achas e les ressources humaines ; enfin finances e compailié, conrôle de gesion, affaires générales e qualié consiuen les rois sous-direcions foncionnelles. Le service de la recherche e du développemen indusriel comprend l éalissemen de DCN Ingénierie, implané sur 5 sies : Paris, Cherourg, Lorien, Toulon e S-Tropez. Le service de producion Indusrielle regroupe les éalissemens de producion e d enreien de la floe, siués à Cherourg, Bres, Lorien, Indre, Ruelle, Toulon e S-Tropez. A Paris, se siue égalemen DCN Inernaional, sociéé pulique de droi privé créée en 1991, qui consiue la ranche commerciale à l exporaion, exclusive, de la DCN. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 12

13 Direceur Adjoin Sous-Direcion des Ressources Humaines Sous-Direcion des Achas Service des Affaires Commerciales e Inernaionales Service de la recherche e du Développemen Indusriel Sous-Direcion des Affaires Générales e de la Qualié Service de la Producion Indusrielle Sous-Direcion des Finances e de la Compailié Sous-Direcion des Projes Sous-Direcion du Conrôle de Gesion DCN Inernaional DCN Ingénierie Cenre Paris Cenre Breagne Cenre Normandie Cenre S-Tropez Cenre SUD DCN Lorien DCN Indre DCN Cherourg DCN Bres DCN Ruelle DCN Toulon DCN Papeee Figure 2 : Organisaion de la DCN David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 13

14 Quelques chiffres Répariion des effecifs Les effecifs moyens de la DCN son de 189 personnes pour l année 1998 qui se réparissen en 31 cadres de niveau I e II, 158 personnes de niveau III e 2 apprenis de l ITII PACA. Bres 26% Siège 1% Ingénierie 7% Toulon 19% Papeee 2% Ruelle 6% Lorien 13% Indre 7% Cherourg 19% Figure 3 : Répariion des effecifs de la DCN Répariion de la producion La producion pour l année 1998 es de l ordre de 11,6 milliards de francs pour 18,6 millions d heures producives. Elles se réparissen ainsi : 34% pour les consrucions neuves, 31% pour l enreien de la floe, 21% pour l exporaion, 9% pour la diversificaion e 5% de divers. Consrucion Neuves 34% Divers 5% % Enreien Floe 31% Diversificaion 9% Exporaion 21% Figure 4 : Répariion de la producion David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 14

15 Siuaion Géographique des Ealissemens DCN BREST Consrucion, Enreien Effecifs : 488 pers. DCN LORIENT Consrucion Effecifs : 244 pers. DCN Ingénierie Breagne Eudes Bâimens de Surface DCN CHERBOURG Consrucion de Sous-Marins Effecifs : 358 pers. DCN Ingénierie Normandie Eudes Sous-Marins Direcion des Consrucions Navales (Siège) DCN Ingénierie Paris Archiecure Navale DCN Inernaional Commerce, Expor DCN INDRET Propulion Effecifs : 138 pers. DCN Ingénierie S-Tropez Torpilles DCN RUELLE Equipemens, Sysèmes effecifs : 116 pers. DCN TOULON Enreien, Modernisaion Effecifs : 368 pers. DCN PAPEETE (Tahii) Enreien Effecifs : 28 pers. DCN Ingénierie SUD Sysèmes de Coma Figure 5 : Répariion géographique des Ealissemens de la DCN David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 15

16 1.3. DCN Ingénierie DCN Ingénierie, le plus récen des éalissemens indusriels de la DCN, es né de la séparaion des aciviés éaiques e indusrielles du Service Technique des Consrucions e Armes Navales (STCAN). MINISTERE DE LA DEFENSE DGA DCN DCN INDUSTRIELLE DCN INGENIERIE Service Généraux Adjoins Techniques e Produis Sous-Direcion Archiecure Navale Sous-Direcion Sysème de Plae-Forme Sous-Direcion Sysèmes de Lue CENTRE SUD Figure 6 : La place de DCN Ingénierie dans la DGA Missions DCN Ingénierie a pour missions principales : La concepion des sysèmes navals. La maîrise d œuvre de réalisaion de sysèmes, principalemen dans le domaine des sysèmes de coma. Cee acivié principale es exercée pour le compe du Service des Programmes e de la Coopéraion Inernaionale, du Maîre d Oeuvre Principal (MOP) COELACANTHE e de la Sous- Direcion Floe en Service (SDFS) dans le cas des ouvrages desinés à la Marine Naionale. Elle peu aussi concerner d aures cliens français dans le cadre d opéraions de diversificaion ou érangers dans le cadre d opéraions d exporaion. Au ire de ses missions secondaires, DCN Ingénierie assure ous ravaux d éudes ou d ingénierie qui pourraien lui êre confiés par le Service Indusriel de la DCN, noammen dans le cadre d acions d exporaion ou de diversificaion. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 16

17 Enfin, en raison de la variéé de ses compéences e de la place de son acion dans le déroulemen des affaires raiées par la DCN, DCN Ingénierie exerce pour le compe du Service Indusriel un cerain nomre d aciviés générales à caracère echnique, noifiées par insrucions pariculières, dans les domaines suivans : gesion des éudes, gesion des Opéraions d Adapaion Indusrielle (OAI), gesion des cenres echniques indusriels, gesion des compéences, réglemenaion echnique, normalisaion, sraégie produi, prospecive echnique, Propriéé indusrielle, renseignemen Aciviés principales acuelles Les principales affaires acuellemen raiées par DCN Ingénierie son les suivanes : Commandes du udge Frégae HORIZON (en coopéraion avec la Grande Breagne e l'ialie) : aciviés d assisance au maîre d ouvrage pour les éudes de définiion. SNA de nouvelle généraion : éudes de faisailié. Adapaion M51 des SNLE LE TRIOMPHANT : éude de définiion. Sous-marin LE TRIOMPHANT : maîrise d œuvre consrucion navale pour le compe du MOP, maîrise d œuvre sysème de coma, réalisaion du SENIT, sysème de ranquilisaion, sysème aviaion. Frégaes LA FAYETTE : suivi d archiece, maîrise d œuvre sysème de coma. TCD SIROCO : suivi d archiece, maîrise d œuvre du sysème de coma. Modernisaion auodéfense (OP3A) : maîrise d œuvre du sysème de coma. Recherches e éudes diverses Affaires à l exporaion Souien aux opéraions BRAVO (frégaes) e Paisan. Projes de âimens de surface (parouilleurs, avisos, frégaes, pore-avions, âimens d inervenion polyvalens, péroliers raviailleurs, chasseurs de mines). Projes de sous-marins : SCORPENE, dérivés de SNA à propulsion diesel. Frégaes SAWARI II e sous-marins Agosa 9 : archiecure e maîrise d œuvre sysème de coma. Sysèmes de coma : SENIT expor, sysème acique de Sous-Marins (SM), sonar léger, sysème de lue ani-orpille, ec... David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 17

18 Affaires de diversificaion Sysèmes d exploiaion acique des ATLANTIQUES 2 e ATL 3. Sysème de ransmission HF OMAR Principes d organisaion L organisaion de DCN Ingénierie découle des missions évoquées ci-dessus ainsi que de la répariion géographique de ses moyens : Sie Vicor à Paris, Cenre Sud à Toulon, Cenre Normandie à Cherourg, Cenre Breagne à Lorien e le sie de S-Tropez. Figure 7 : Siuaion Géographique de DCN Ingénierie Le conseil de direcion es composé des six adjoins foncionnels, des rois sous-direceurs opéraionnels de Paris e du chef du Cenre Sud. Il se réuni ous les quinze jours. Un communiqué résuman ses déas e les décisions prises es poré à l affichage Le Cenre Sud (DCN/ING/SUD) Le Cenre Sud de DCN Ingénierie a pour vocaion principale d assurer la maîrise d œuvre de réalisaion des sysèmes de coma des navires, des sysèmes de lue consiuifs de ces sysèmes de coma e des sysèmes de raiemen de l informaion acique (SENIT). De plus, c es au sein du Cenre Sud que son formés les expers echniques de DCN Ingénierie sur les sysèmes, les équipemens e l'environnemen du coma naval. Figure 8 : Le cenre SUD à Toulon David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 18

19 A Toulon, le Cenre Sud qui comprend, oure des services communs (personnel, gesion, achas,...) e des Maîres d Oeuvre Sysèmes de Coma (MOSC), les sous-direcions suivanes : sous-direcion Lue Sous - Marine (LSM) sous-direcion Communicaions Surface - Air (CSA). Avec le ransfer du CPM e des MOSC, DCN Ingénierie a achevé la spécialisaion de ses deux sies, Paris se consacran aux aciviés de siège e aux aciviés de concepion, le Cenre Sud se consacran aux aciviés d experise e de maîrise d œuvre dans le domaine des sysèmes de coma. Le Cenre Sud mène donc l esseniel des éudes amon de DCN Ingénierie nécessaires à la connaissance des sysèmes de coma e à la compéence des ingénieurs ; il appore son souien aux Archieces Navals (SD/AN) e à la sous-direcion Archiecure Sysèmes de Coma (SD/ASC) pour leurs âches de concepion, choix d archiecures e pour les offres vers les cliens. Pour la réalisaion des sysèmes de coma, il condui les aciviés suivanes : développemen e qualificaion des sysèmes, approvisionnemen des équipemens, inégraion foncionnelle e informaique, e mise en exploiaion opéraionnelle. Ajoin Pierre SANCHEZ Chef du Cenre SUD André BERTRAND OSSI Philippe PRADIER Sous-Direcion Foncionnemen Qualié Vincen JESTIN Sous-Direcion Affaires Projes Luc TREHARD Sous-Direcion CSA Henry SAUVANT Sous-Direcion LSM Bernard LUCAS Ressources Humaines Dominique JUDE Qualié Paric JAN Offres Produis Equipemens Lue e Communicaion André LADURELLE Anennes Informaique Générale Jean-Pierre GLOUX Achas Anoine RUBINO Projes Sysèmes de Communicaion Inégrés Pascal CLOITRE Reconnaissance Accousique Sysèmes d'informaions Gesion de projes Lue e Traiemen de l'informaion Pierre VIALLE Récepion Sonar Documenaion Francis MERCIER Souien Logisique Inégraion e Plaes-Formes Guillaume BOLOGNA Lancemen d'armes Sie du BRUSC Jean-Yves BARETY Sie de S MANDRIER Jacques BAILLOUX Organigramme du Cenre SUD Produis e Moyens Informaiques Eric BUJON Exploiaion e Tacique Figure 9 : Organigramme du Cenre SUD David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 19

20 1.4. La sous-direcion Communicaions Surface - Air : CSA Au sein du Cenre Sud, la sous-direcion CSA déploie ses aciviés dans les domaines de compéences diverses où elle maîrise oues les echniques de ase : équipemens assuran les foncions de déecion élecromagnéique, de veille opronique e de guerre élecronique, sysèmes de veille mulisenseurs (radars, opronique e mesure du renseignemen élecronique), sysèmes de mise en œuvre cenralisée des armes (armes de desrucion e armes de neuralisaion) sysèmes de guerre élecronique, sysèmes de lue Air - Surface. Dans ces domaines, la sous-direcion CSA assure des presaions d'experise ainsi que des presaions de Maîrise d'oeuvre Indusrielle (MOI). En ref, le rôle du déparemen es riple : experises e éudes souien pour la phase d'archiecure navale MOI de réalisaion. Enfin, la sous-direcion développe ses aciviés sur deux sies : le Mourillon e Sain-Mandrier (plae-forme d'inégraion) Missions Experise Les presaions d'experise son assurées au profi des éudes (éudes amon, opéraions d'adapaion indusrielle, éudes lires e fond d'invesissemen), des avan-projes ou de l'exporaion, e des projes menés au sade de la concepion pour les programmes naionaux e les affaires Expor. La sous-direcion appore égalemen son concours d'exper dans le cadre de la poliique produi. Pour ces âches, elle dépend foncionnellemen des services de DCN Ingénierie Paris Maîrise d'œuvre indusrielle de réalisaion La sous-direcion CSA exerce des maîrises d œuvres indusrielles de réalisaion de sysèmes de Lue Air-Surface qui lui son confiées par les maîres d'œuvre de sysème de coma. Au niveau de la foncion sysème Lue Air - Surface, la sous-direcion es responsale des âches de managemen, d'assurance qualié, de préparaion de la logisique, de la définiion déaillée, de l'inégraion foncionnelle sur plae-forme à erre. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 2

21 Elle paricipe en oure à l'inégraion à ord e aux essais consruceurs en souien de l'éalissemen ou chanier chargé du navire ainsi qu'aux essais d'accepaion. Elle assure égalemen des presaions de service pour les essais de recee. Au niveau des équipemens, la sous-direcion exerce des responsailiés de maîrise d'œuvre ainsi que des évaluaions e des inégraions de ces maériels. Elle paricipe à la définiion des inerfaces avec le sysème, assure le suivi des évaluaions conduies par les services éaiques de manière à ce que les exigences d'inégraion au sysème soien prises en compe e inègren les maériels. Enfin, au niveau du logiciel d'exploiaion acique, le déparemen conçoi, rédige e jusifie les Dossiers de Spécificaion de Besoin Logiciel (DSBL) des sysèmes de Lue Air - Surface qui son fournis au maîre d'œuvre de réalisaion du sysème de raiemen de l'informaion (SENIT). Aujourd'hui, la lue Air - Surface revien dans les prioriés d'armemen naionaux e inernaionaux ; pluridisciplinaire, ce domaine du Temps Réel conraignan pour lequel les emps de réacion Déecion - Acion son de quelques secondes, demeure plus capivan que jamais dans le héâre echnologique de la menace e de l'auodéfense. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 21

22 2. Modèle d évoluion du filre David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 22

23 2.1. Convenions e repères uilisés Les mesures de rajecographie effecuées, provenan de radars ou de capeurs oproniques, délivren des mesures en disance, gisemen e sie (voir les définiions ci dessous). Deux grands ypes de filres son uilisés : les filres polaires (en «d, g, s» : disance, gisemen, sie) qui filren direcemen les mesures fournies à l aide d un modèle d évoluion non linéaire e les filres carésiens (en «x, y, z») qui filren une ransformaion des mesures en repère carésien. Dans ce dernier cas le modèle d évoluion es linéaire, mais c es l équaion d oservaion qui devien non linéaire. On a choisi d éudier ici la première soluion. En effe, les filres en d, g, s on 3 avanages principaux : - Les ruis de mesure en d, g, s conserven ien leur caracère lanc, gaussien e indépendan car il n y a aucune ransformaion non linéaire à faire. - On peu envisager des modèles plus proches de la réalié physique du sysème (l avion poursuivi) : Au lieu de supposer que la n ième dérivée de l accéléraion en repère asolu égale + rui, il semle plus «physique» de supposer oujours la n ième dérivée de l accéléraion égale à + rui, mais en repère relaif cile. - Les principaux paramères de réglage du filre (ruis de mesure e de modèle) on, là encore, un sens physique plus for. L inconvénien majeur de ce ype de filre es d avoir un modèle d évoluion non linéaire, ce qui enraînera des approximaions de linéarisaion si on veu implaner un filre de Kalman. D aure par, il fau rappeler que le filre de Kalman es le meilleur filre linéaire (au sens du minimum de la variance de l erreur de prédicion) si on suppose que les ruis de mesure e d oservaion, ainsi que l éa iniial, son à disriuion gaussienne. En praique (dans le cas du filrage de rajecographies), on se rend compe que même si le rui d oservaion a ien une répariion proche de la gaussienne (conformémen au héorème de la limie cenrale) ce n es pas le cas pour le rui de modélisaion. Le filrage pariculaire, qui perme héoriquemen un filrage opimal en non linéaire e ne fai pas d hypohèse quan aux disriuions des ruis, semle donc rès ien adapé pour résoudre ce ype de prolème. Pour consruire le modèle d évoluion du sysème, nous allons préciser quelques convenions e définiions Définiions Commençons par définir différens ermes propres aux miliaires e à la DCN e uilisés dans le vocaulaire du filrage de rajecographies d engins manoeuvran. Voici ci dessous le schéma synopique des direcions auquel se réfèren les définiions : David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 23

24 Cap : Gisemen : Azimu : Le cap es l angle horizonal formé enre le Nord e la ligne de foi du âimen, compé posiivemen dans le sens inverse rigonomérique (sens horaire) par rappor au Nord. Le gisemen es l angle horizonal formé enre la ligne de foi du âimen e la ligne de visée, compé posiivemen dans le sens inverse rigonomérique (sens horaire) par rappor à la ligne de foi du âimen. L azimu es l angle horizonal formé enre le Nord e la ligne de visée, compé posiivemen dans le sens inverse rigonomérique (sens horaire) par rappor au Nord. On a la relaion : Azimu = Cap + Gisemen. Circulaire : Sie : Hausse : Elevaion : La circulaire es l angle horizonal formé enre la ligne de foi e la ligne de ir, compé posiivemen dans le sens inverse rigonomérique (sens horaire) par rappor à la ligne de foi du âimen. Le sie es l angle verical formé enre la ligne de pon ou l horizon e la ligne de visée, compé posiivemen dans le sens rigonomérique direc par rappor à la ligne de pon ou l horizon (sie relaif ou asolu). La hausse es l angle verical formé enre la ligne de visée e la ligne de ir, compé posiivemen dans le sens rigonomérique direc par rappor à la ligne de visée. L élevaion es l angle verical formé enre la ligne de pon ou l horizon e la ligne de ir, compé posiivemen dans le sens rigonomérique direc par rappor à la ligne de pon ou l horizon. On a la relaion : Elevaion = Sie + Hausse. Roulis : Le roulis es l angle de roaion du âimen auour de son axe longiudinal, compé posiivemen lorsque âord (gauche) s enfonce (sens rigonomérique direc). David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 24

25 Tangage : Bande : Assiee : Le angage es l angle de roaion du âimen auour de son axe ransversal, compé posiivemen lorsque la proue (avan du aeau) s enfonce (sens inverse rigonomérique). La ande es l angle de roaion d un avion auour de son axe longiudinal, compé posiivemen dans le sens rigonomérique direc. (analogue au roulis). L assiee es l angle de roaion du âimen auour de son axe ransversal, compé posiivemen dans le sens inverse rigonomérique. (analogue au angage) Repères On peu commencer par définir 3 repères : - Repère fixe géocenrique (X f,y f,z f ) avec Z f dirigé selon la vericale vers hau e Y f dirigé vers le Nord. - Repère engin (X,Y,Z ) ournan avec Y axe longiudinal posiif vers la proue e X dirigé sur riord. C es le repère lié au âimen sur lequel sera inégré le sysème d armes que l on éudie. - Repère u (X,Y,Z ) ournan avec Y axe longiudinal posiif vers le nez e X dirigé sur la droie de l avion. C es le repère lié à la cile que l on vise. Dans la suie, on exprimera oues les coordonnées dans le repère engin. On désignera par x, y e z les coordonnées de la cile dans le repère engin e d, g, s désigneron respecivemen la disance, le gisemen e le sie associés. Une illusraion es donnée sur la figure ci dessous. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 25

26 Compe enu des noaions inroduies e des définiions du gisemen e du sie, on a : x = d cos s sin( g) y = ( ) ( d cos s) cos( g) z = d sin s Soi, en simplifian : x = d cos s sin g y = d cos s cos g z = d sin s 2.2. Mise en équaions Calculs préliminaires La mise en équaions nécessie de calculer l évoluion de chaque variale d éa, c es à dire sa dérivée en foncion des aures variales d éa. Pour ous ces calculs, on exprimera les coordonnées des veceurs uilisés en repère engin. Comme ce dernier es ournan, on devra uiliser la formule de calcul de dérivées en repère ournan suivane : = Ω u u repère ournan u repèrenon ournan Avec : u : veceur quelconque Ω : veceur roaion insananée du repère. Dans les fichiers de rajecographie radar uilisés, les mesures de viesse, cap, roulis e angage du âimen son déjà pré filrées à la sorie de la cenrale inerielle (fournissan des mesures gyroscopiques déjà relaivemen précises). Ces différenes grandeurs pourron donc êre uilisées direcemen, sans raiemen pariculier. Déerminons les formules de passage du repère u (X,Y,Z ) vers le repère fixe engin (X,Y,Z ) On commence par déerminer les formules de passage du repère ournan relaif engin (X,Y,Z ) vers le repère fixe asolu géocenrique (X f,y f,z f ). On noe : - K le cap du âimen. - R son roulis. - T son angage. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 26

27 Pour cela, on considère un repère inermédiaire (X s,y s,z s ) sailisé en roulis e angage e les ransformaions géomériques suivanes qui permeen de passer du repère relaif engin vers le repère asolu : (les marices de roaion associées son données en dessous) M 1 = cos R sin R 1 sin R cos R M 2 = 1 cost sint sint cost cos K sin K M 3 = sin K cos K Alors la marice de passage es donnée par le produi de ces 3 marices comme sui : X f X s X1 X Y f = M 3 Ys = M 3M 2 Y1 = M 3M 2M1 Y Z f Z s Z1 Z Tous calculs fais, on rouve : X f X Yf M. Y = Z Z f sin K sin R sin T + cos K cos R sin K cost sin K cos R sin T cos K sin R avec M = cos K sin R sin T sin K cos R sin R cost cos K cost sin T cos K cos R sin T + sin K sin R cos R cost De même, pour passer du repère u (X,Y,Z ) vers le repère fixe géocenrique (X f,y f,z f ), il suffi de remplacer (la définiion des angles e des roaions éan analogue) : - le roulis du âimen R par la ande du u ϕ. - le angage du âimen T par l assiee du u θ. - Le cap du âimen K par le cap du u ψ. 1 David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 27

28 On oien alors : avec M sin Ψ = cos Ψ X f X Yf M. Y = Z Z f sinϕ sinθ + cos Ψ cosϕ sin Ψ sinϕ sinθ sin Ψ sinϕ cosθ cosϕ cos Ψ cosθ sinθ cosθ sin Ψ cos Ψ cosϕ sinθ cos Ψ cosϕ sinθ + sin Ψ cosϕ cosθ sinϕ sinϕ Enfin, on en dédui que le passage du repère u (X,Y,Z ) vers le repère engin (X,Y,Z ) s effecue en faisan : X X X T = Y = M M. Y M. Y Z Z Z En inroduisan les angles relaifs ϕ, θ, ψ, on a alors : sin Ψ sinϕ sinθ + cosψ cosϕ sin Ψ cosθ sin Ψ cosϕ sinθ cosψsinϕ M = cosψ sinϕ sinθ sin Ψ cosϕ sinϕ cosθ cosψ cosθ sinθ cosψ cosϕ sinθ + sin Ψ sinϕ cosϕ cosθ Le veceur roaion insananée Ω du repère u exprimé en repère u es noé : p Ω = Déerminons le veceur roaion insananée Ω du repère engin : Par définiion, on a Ω = p X + q Y + r Z Or, d après ce qui précède, Ω = ( R) Y + ( T ) X 1 + ( K) Z s avec X1 = cos RX sin RZ Z s = cos T sin RX sin TY + cost cos RZ Finalemen : p q = T cos R K cost sin R r = T sin R K cost cos R q r = R+ K sint Déerminons le veceur viesse engin en repère engin : En négligean le dérapage e l incidence du âimen, auremen di en supposan que le veceur viesse du âimen es colinéaire à son axe longiudinal, on a : David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 28

29 V V = V V x y z = = V = Déerminons le veceur viesse u en repère engin : En négligean de même le dérapage e l incidence du u, le veceur viesse u en repère u es : V = V = V V x y z = V = = V Pour exprimer ce veceur en repère engin, il suffi de calculer M.V. On oien : V V = V V x y z = V.sin Ψ cosθ = V.cosΨ cosθ = V.sinθ Evoluion de la disance, du gisemen e du sie On noe i = Ψ g. Evoluion de la disance Le veceur posiion u - engin es par définiion: x = d cos s sin g X = y = d cos s cos g z = d sin s d es la disance, g le gisemen e s le sie. On calcule la dérivée de X dans le repère ournan engin, avec insananée de l'engin : X& = X& Ω= ( ) Ω ^ X p r Ω = q le veceur roaion La disance d éan la norme de X, on a d²=x X (produi scalaire),soi en dérivan le scalaire: 2 d & d = 2 XX & donc d& d ( X& ^ X )X = ( Ω= ) Ω e en remarquan que Ω ^ X e X son orhogonaux, il rese d &. d = X & ( Ω =). X La dérivée X & ( Ω =) es donnée par la définiion des viesses: X & ( Ω ) = V - V = e finalemen d & d = (V - V ) dcoss sing + (V - V ) d coss cosg + (V - V ) d sins x x y y z z David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 29

30 soi encore d = V cos s cos g + V ( cos s cosθ cosi sin s sinθ ) Remarque : Dans cee formule qui donne la dérivée emporelle de la disance en foncion des éas u e engin, la disance elle-même n'inervien pas (comporemen inégraeur pur),ni les roaions insananées. Les aure calculs son similaires à celui présené ci dessus. On ne donnera ensuie que les résulas. Evoluion du gisemen V g V i g.sin +.cos.sin = θ + r d.cos s q.cos g.an s p.sin g.an s Remarques : Dans cee formule donnan l'évoluion emporelle du gisemen en foncion des éas u e engin, les roaions insananées du u n inerviennen pas. Cee dérivée varie comme 1/d,c'es - à - dire que l'angle de gisemen es foremen divergean à faile disance. Cee remarque es capiale pour les algorihmes de guidage : A disance infinie, l'évoluion du gisemen ne dépend plus des viesses e on ne pourra donc pas uiliser une mesure de gisemen pour esimer une viesse quelconque. La dynamique varie égalemen comme 1/cos s ce qui n'es pas en réalié rès gênan car on se rouvera en praique à faile sie. Evoluion du sie V (cos s.sinθ + sin s.cos s = d θ.cosi) + V.cos g.sin s + q.sin g p.cos g d Remarques : Dans cee formule qui donne l'évoluion emporelle du sie en foncion des éas u e engin, les roaions insananées u n'inerviennen pas. On remarque que r n'inervien pas non plus. La dynamique varie comme 1/d e la même remarque que précédemmen s'applique. Remarque gloale sur l'évoluion emporelle de (d, g, s) A grande disance, seule la mesure de disance peu servir à l'esimaion des viesses e le sysème devien non oservale. A faile disance, les ermes conenan les roaions engin ou u deviennen négligeales e le sysème devien non commandale Evoluion des angles relaifs De même que précédemmen, on ne donnera ici que les résulas. Evoluion du cap ψ e de l assiee θ David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 3

31 On rouve : cosϕ + sinϕ Pour le cap : Ψ& r p = + r + q.cos Ψ.anθ + p.sin Ψ.anθ cosθ Pour l assiee : θ = r sinϕ p cosϕ + q.sin Ψ p.cos Ψ Pour la ande : ϕ = r cosϕ sinθ + p sinϕ sinθ cos Ψ sin Ψ + q + q. + p. cosθ cosθ cosθ On comprend ien physiquemen qu en mesuran seulemen la posiion de l avion, ce angle de ande ne sera pas oservale (il faudrai pouvoir connaîre l orienaion des ailes). Ainsi, ener de l esimer ne ferai que dégrader les performances du filre. On a donc décidé de poser ϕ = e l évoluion des angles de cap e d assiee relaifs Ψ e θ devien : Ψ& r = + r + ( q.cos Ψ + p.sin Ψ).anθ cosθ θ = p + q. sin Ψ p.cos Ψ De plus, comme seule l évoluion de la ande fai inervenir la viesse de roaion insananée q de l avion auour de son axe longiudinal, celle ci n a plus esoin d êre esimée e de figurer dans les variales d éa, conrairemen à p e r. Remarques : Les formules données pour l évoluion des angles Ψ e θ ne fon pas inervenir posiion, viesse des deux moiles. La variaion de l'assiee ne fai pas inervenir r ni l'assiee elle même (inégraeur pur). La commande en assiee relaive fai inervenir le cap relaif ce qui implique qu'une connaissance correce du cap relaif es nécessaire pour esimer e commander l'assiee, e par voie de conséquence le sie Le filre éudié Il s agi d un filres polaires (en «d, g, s») avec un éa de dimension 12 : X = d, g, s, θ, ψ, v, q, r, v, q, r, v Les symoles uilisés on la significaion suivane : d disance θ assiee g gisemen ψ cap s sie v module viesse u q r v viesse de roaion u en assiee viesse de roaion u en cap accéléraion u q r v T accéléraion de roaion u en assiee accéléraion de roaion u en cap dérivée de l accéléraion u Il fau noer que les rajecographies radar on éé relevées à ord. Pour ces rajecographies, le repère engin n es pas fixe e on doi uiliser les mesures fournies par la cenrale inerielle du âimen (angle David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 31

32 de roulis R, de angage T, de cap K ainsi que la viesse du âimen V ). Ce son des mesures pré filrées e elles son donc uilisées elles qu elles dans l algorihme de filrage. Le calcul des viesses angulaires du âimen nécessie la connaissance des dérivées de ces 3 angles de cap, roulis e angage. Ici, la dérivée a éé calculée simplemen par la méhode d Euler. Voici, pour illusrer, l allure de p, q e r en foncion du emps..2 Viesse de roaion p.2 Viesse de roaion q Viesse angulaire (rad/s) Viesse angulaire (rad/s) Temps (s) Viesse angulaire (rad/s) 8 x Viesse de roaion r Temps (s) Temps (s) On voi que ces grandeurs son relaivemen ruiées. Néanmoins, il fau préciser que les données de rajecographie fournissaien ces grandeurs avec une fréquence d échanillonnage de XX Hz alors que les cenrales inerielles des âimens son capales de les fournir à des fréquences supérieures à 1 Hz. Les rajecographies oproniques, par conre, on éé relevées sur ase fixe (à la ase de Sain Mandrier). Pour ces rajecographies, le repère engin es donc fixe e on peu poser dans les expressions d évoluion des variales d éa : V = p = q Ces rajecographies oproniques son plus faciles à filrer pour 2 raisons : - L algorihme de filrage n es pas peruré par les ruis présens sur R, T, K e V. - Les mesures d, g e s fournies par les capeurs oproniques son moins ruiées que celles fournies par un radar (par conre, on ne dispose pas de la mesure de viesse radiale) Equaion d oservaion = r = David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 32

33 Celle ci es rès simple e enièremen linéaire. A chaque dae on oserve : o y = H. X + ε Où H es l opéraeur d oservaion eε es le rui d oservaion. Ici, on a : 1 H = H = 1, Equaion d évoluion L équaion d évoluion coninue s écri : ( X ( ) ) B( ) X ( ) = f + Où f es la foncion d évoluion (non linéaire) de l éa, don on a déjà calculé l expression : E B() es un rui cenré de marice de covariance coninue Q c. L équaion discrèe associée es : x ( ) = M ( 1, ). x ( 1 ) Où x () es un veceur représenan l éa réel du sysème au emps, M ( s, ) es un opéraeur (non linéaire) expriman la ransiion du sysème de la dae s à la dae e η es le veceur de rui de modèle. Les 2 ruis η e ε son supposés êre indépendans, de moyenne nulle e de marice de covariance Q e R respecivemen. + η David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 33

34 La discréisaion de la foncion f a éé faie en uilisan l équaion d Euler pour la dérivaion : x ( ) x ( 1 ) x ( 1 ) = f ( x ( 1 )), ce qui mène à : e M, ). x ( ) x ( ) e. f x ( ) ( ) ( 1 1 = La discréisaion du rui es un peu plus délicae : le calcul de la marice de covariance Q du rui de modèle discre nécessie une linéarisaion du modèle coninu. Linéarisaion On se place en coninu e on suppose que l équaion du modèle es de la forme : dx = f ( X ) + B( ) où f es une foncion non linéaire. d dx Pour se ramener à un modèle de la forme = A X + B(), on va linéariser f auour du poin X. d x ( ) f ( x, x,..., x ) On pose 1 x2 ( ) X = e... x ( ) n 1 1 f 2 ( x1, x2,..., xn ) f ( X ) =. Alors la linéarisaion du sysème condui à :... f n ( x, x n,..., x n ) A = a avec a = f ( x1, x2,..., x ) i, j 1 i n i, j i n 1 j n x j Ici, compe enu de l expression des composanes de la foncion f, la linéarisaion condui à : X ( ) = A. X ( ) + B( ) où A es une marice de aille 12x12 avec : 2 A = V cos scos sini A = V cos sini d cos s 1,2 θ 2,1 θ A = V ( sin scosθ cosi + cos ssin ) A = V cos cosi d cos s 1,3 θ 2,2 θ 2 A 1,4 = V ( cos ssinθ cosi + sin scosθ ) A2,3 = V cosθ sin i sin s d cos s A = V cos scos sini A = V sin sini d cos s 1,5 θ 2,4 θ 2,5 = V cosθ 2,6 = cosθ sini A = cos scosθ cosi + sin sinθ A cosi d cos s 1,6 s A d cos s A A θ 2 3,1 = V (sin scos cosi cos ssin ) d A 4,7 = 1 3,2 = V sin scosθ sini d θ 2 A 3,3 = V (sin ssinθ + cos scosθ cosi) d A 5,4 = r sinθ cos θ A = V (cos scosθ + sin ssin cosi) d A 5 = 1 cosθ A 3,4 θ 3,5 = V sin scosθ sini d 3,6 (cos ssinθ sin scosθ A = cosi) d A 6 = 1,8,9 A 1 A 8 = 1 7,1 = A 9 = 1,12,11 David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 34

35 Discréisaion Le modèle coninu linéarisé es de la forme : dx = A X + B() d avec comme condiion iniiale X :veceur aléaoire indépendan de ( B ( ), ). B() es un rui de marice de covariance coninue Q c. Connaissan la marice d évoluion coninue A e la marice de covariance coninue Q c, le u es de déerminer la marice de covariance Q du rui discre. Soi Φ, s la marice de ransiion du sysème. Par définiion, Φ, s es soluion de l équaion différenielle non perurée : d Φ, s = A Φ, s, s d Φ = I s, s Alors, la discréisaion à un pas e condui à un rui de marice de covariance Q : Q = E ( + T [ ηη ] = 1) Te T Φ( + 1) Te, ΘQΘΦ( + 1) Te, ΘdΘ Te Pour calculer de façon approchée la marice Q en discre, connaissan A e Q c en coninu, on fai les hypohèses suivanes : (H1) : A rese quasimen consane sur l inervalle de emps [(-1)Te, Te]. (H2) : Q c es consane, indépendane du emps. A (H3) : Te es elle que e Te I + A Te, Supposons que, s [( 1) Te, Te] Compe enu de l hypohèse (H1), A rese consane e égale à A (-1)Te. L équaion différenielle que vérifie Φ, s se résou alors simplemen : Φ Comme -s Te, on a alors d après (H3) : Φ = I + A ( ), s ( 1) Te s, s = e A( 1) Te ( s) Pour déerminer Q, on doi calculer Q D après ce qui précède, comme 1 = Te Φ Te, Θ ( 1) Te QΦ T Te, Θ dθ Te Θ Te, on a Φ = I + A ( Te ) Te, Θ ( 1) Te Θ Donc, Q ( I + TeA ΘA ) Q( I + TeA ΘA ) dθ 1 Te = ( 1) Te ( 1) Te ( 1) Te T ( 1) Te T ( 1) Te Il ne rese donc plus qu à calculer cee inégrale rès simple (polynôme du second degré en θ). On aoui au résula suivan : Q Te = TeQ T Te T ( A Q + QA ) + A QA Te Te 3 Te Te David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 35

36 Iniialisaion du filre Un aure avanage des filres en polaire es qu ils peuven êre iniialisés de façon plus fine. En effe, pour les filres carésiens on devai iniialiser x e y à par exemple, ne sachan même pas s ils éaien posiifs ou négaifs. Ici, les paramères d éa on des sens physiques plus direcs e l iniialisaion sera d auan plus fine. L éa iniial des r+1 paricules s oien en iran r+1 réalisaions d un veceur aléaoire selon une répariion à priori. On a choisi ici une répariion gaussienne de moyenne x e de marice de covariance P avec : x T 5π = d, g, s, θ, ψ, v, q, r, v, q, r = 8,,,, π 18 E la marice P issue d un réglage à «3σ» :,18,,,,, T 8 P ( 1,1) = 3 1 π P ( 4,4) = π P ( 2,2) = 3 2π P ( 5,5) = 3 2 P (7,7) = ( 1.5. ) 2 2 (8,8) = ( 1.5. ) π P ( 1,1) = π P ( 3,3) = P ( 6,6) = 3 P P ( 9,9) = ( ) π ( 11,11) = P P ( 12,12) = ( ) David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 36

37 3. Théorie du filrage pariculaire David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 37

38 3.1. Présenaion du filrage non linéaire Considérons le sysème physique décri par les équaions d évoluion e d oservaion suivanes : x ( ) = M ( 1, ). x ( 1) + η (1) Où x () es un veceur représenan l éa réel du sysème au emps, M ( s, ) es un opéraeur (non linéaire) expriman la ransiion du sysème de la dae s à la dae e η es le veceur de rui de modèle. A chaque insan, on oserve : y o. + ε (2) = H x ( ) Où H es l opéraeur d oservaion eε es le rui d oservaion. Les 2 ruis η e ε son supposés êre indépendans, de moyenne nulle e de marice de covariance Q e R respecivemen. Le filrage consise à esimer l éa du sysème à chaque dae d oservaion en uilisan seulemen les oservaions don on dispose en emps réel, c es à dire jusqu à la dae. Dans le cas linéaire, ce prolème a éé enièremen résolu par le filre de Kalman. Touefois, dans le cas de sysèmes foremen non linéaires, ce filre demeure sous opimal e on peu êre amenés à oserver des insailiés e des divergences. Le meilleur moyen de raier les non linéariés es ien sûr de considérer le prolème du filrage opimal en non linéaire. La soluion héorique à ce prolème es connue mais dans la praique, l implanaion sur calculaeur demeure prolémaique. La caracérisique rès praique du filre de Kalman es que l évoluion du filre ne dépend que des caracérisiques au deuxième ordre du sysème. Dans le cas du filre opimal non linéaire, on a esoin de connaîre ous les momens (ou de façon plus appropriée la foncion de densié de proailié) pour pouvoir déerminer l évoluion du filre. Ainsi, au lieu d un veceur d analyse x a ) e de sa marice de covariance de l erreur à la ( dae, on a alors esoin de connaîre la foncion de densié de proailié condiionnelle d analyse a o o d (. y1,..., y ) du veceur d éa sachan oues les oservaions jusqu à la dae. De façon similaire, au lieu d un veceur d éa prédi associé à sa marice de covariance de l erreur, on a esoin f o o d une densié prédie d (. y1,..., y 1) du veceur d éa sachan oues les oservaions jusqu à la dae 1. Comme dans le cas linéaire (Kalman), le filrage pariculaire discre se décompose alors en 2 éapes : - L éape de prédicion : On calcule la ddp (densié de proailié) d analyse (à la dae 1 ) en uilisan l équaion d évoluion (1). En supposan que le rui de modèle es à répariion gaussienne, la ddp condiionnelle du veceur d éa exprimée en z à la dae sachan ce qu elle es en x à la dae 1 es Φ z M (, ) x, Q ) où ( 1 1 T 1 exp ( z m) Σ ( z m) 2 Φ( z m, Σ) = es la densié d un veceur de(2πσ) gaussien de moyenne m e de marice de covariance Σ. On a alors : David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 38

39 d f o o a o o (. y,..., y ) = 1 1 Φ (. M (, 1) x, Q ). d ( x y1,..., y 1) dx (3) - L éape de correcion (ou d analyse) : on calcule la ddp d analyse en uilisan la règle de Bayes e l équaion d oservaion (2) en supposan là encore que le rui es gaussien. d a o o ( x y,..., y ) = 1 d d f f o ( x y,..., y o ( z y,..., y 1 1 o 1 o 1 ). Φ( y ). Φ( y H x, R ) H z, R ) dz (4) Dans la praique, les 2 prolèmes majeurs son : - L inégraion sur le veceur d éa, difficile à réaliser numériquemen. - De plus, l inégraion dans (3) nécessie le calcul de M (, 1) x pour un grand nomre de valeurs de x, ce qui es rès coueux en emps de calcul Le filre pariculaire L idée de ase es d approximer la d.d.p. d analyse au emps -1 par un disriuion discrèe calculée a a en r+1 éas : x 1 ( 1),..., xr+ 1( 1) avec les proailiés associées p 1, 1,..., p r + 1, 1. a o o C es-à-dire : on approxime d (. y1,..., y 1) par une somme de Diracs. Alors dans le cas où il n y a pas de rui de modèle, la d.d.p. prédie (3) es aussi une somme de Diracs a e correspond à la disriuion discrèe asée sur les poins M (, 1) x j ( 1) avec les poids p j, 1 pour j=1,,r+1. Mais si le rui de modèle es présen, la foncion (3) demeure coninue. On a alors recours à un irage de Mone-Carlo : on ire r+1 réalisaions η... η d un veceur gaussien de moyenne nulle e de 1,,, r+ 1, marice de covariance Q (si on suppose que le rui de modèle es gaussien). Alors, la d.d.p. (3) peu êre approximée par la disriuion discrèe localisée en : f a x j ) M (, ). x ( ) + η, j = 1,..., r 1 (5) Avec les mêmes proailiés 1 ( = 1 1 j, + p 1, 1,..., p r + 1,. a o o La nouvelle disriuion d analyse définie par (4) [ x y,..., y )] discrèe aux mêmes poins mais ayan les poids : d se rédui alors à la disriuion ( 1 a p j, 1. Φ( y H x j ( ), R ) p j, =, j = 1,..., r + 1 r 1 a p. Φ( y H x ( ), R ) + l= 1 l, 1 l (6) Ceci es le filre pariculaire de ase. Expliciemen, il agi comme sui : a a Iniialisaion : On choisi r+1 éas (ou paricules) iniiales x1 ( ),..., xr+ 1( ) selon une disriuion à priori e on fixe les proailiés p 1,,..., p r + 1, à 1/r+1. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 39

40 f Prédicion : Au emps, on amène les paricules en x ) défini par (5) en conservan les mêmes proailiés. Analyse : Ayan oservé a x j. L éa d analyse es oenu par : E la marice de covariance de l erreur : a P ( ) = j ( o y, on corrige les proailiés selon (6) e les r + 1 j= 1 p a x ( r 1 = + ) j= 1 p f j, x j ( ) f a f a T [ x ( ) x ( )][. x ( ) x ( ] j, j j ) f x j deviennen les La descripion précédene correspond à la forme la plus simple du filre pariculaire. Le prolème es que, comme le sysème es chaoique, les paricules enden à se disperser e un grand nomre d enre elles finissen par recevoir des proailiés négligeales e ne paricipen plus à l opéraion de filrage. Il es donc nécessaire, dans la praique, d ajouer une éape de redisriuion pour que le filre foncionne e pour améliorer sa convergence. a f Redisriuion : elle perme d évier ce prolème. Au lieu d amener les x ) en x ), on f f ire «au hasard» r+1 paricules parmi l ensemle x ),..., x + ( ) conformémen à la disriuion 1 ( r 1 de proailiés p j,, j = 1,..., r + 1 e on ajoue r+1 réalisaions ε j, d un rui de moyenne nulle e de marice de covariance P a ). On ramène alors oues les proailiés à 1/r+1. ( j ( Il es à noer que la redisriuion n es nécessaire que si la disriuion des proailiés j j ( p, s éloigne rop d une disriuion uniforme. Le crière uilisé pour mesurer cee disance sera explicié dans un chapire ulérieur Généraion de veceurs aléaoires On dispose sur la plupar des calculaeurs de généraeurs de nomres aléaoires uniformémen réparis. MATLAB perme égalemen de générer des réalisaions d une variale aléaoire gaussienne (foncion «randn») de moyenne nulle e de variance unié. On peu noer que si on ne disposai pas de cee foncion, il suffirai d uiliser l algorihme de «Box Muller» afin de générer des nomres avec une répariion gaussienne à parir de nomres uniformémen réparis enre e 1. On va éudier dans le paragraphe une manière de générer des réalisaions d un veceur gaussien de aille quelconque e de marice de covariance Q donnée. Le paragraphe présene une façon de générer des réalisaions d une variale aléaoire de densié de proailié f quelconque Généraion d un veceur gaussien de aille n e de marice de covariance Q donnée Comme Q es une marice de covariance, elle es symérique e réelle (e de plus, elle es définie posiive). Donc, par héorème, Q es diagonalisale dans le corps des réels R e on peu choisir comme marice de passage V une marice de roaion (V -1 = V T ). Soi D la marice diagonale conenan les valeurs propres de Q. Alors, on peu écrire : David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 4

41 e λ 1 λ2 D = avec λ 1, λ 2,, λ n >... Q. T = V. DV. λ n Soi X un veceur aléaoire de aille n e de marice de covariance Q. X sui N(, Q) 1 exp 2 f ( x) = de x T. Q 1. x exp f ( x) = 1 2. V. D ( 2πQ) de( 2πQ) 1 T exp ( V 2 f ( x) = de x) T. D ( 2πD) 1. V T x V x T T 1. V T. x X sui N(, D) Comme D es diagonale, vx = V T X es un veceur gaussien don les composanes son enièremen décorrélées. Or, dans le cas gaussien, décorrélé es équivalen à indépendan. Ainsi, pour générer le veceur vx, il suffi de générer n réalisaions indépendanes de n variales aléaoires gaussiennes x i d écar ype λ i. La réalisaion du veceur gaussien X de marice de covariance Q es alors oenue en calculan : X = V. vx Généraion d une réalisaion de variale aléaoire de densié f L une des méhodes pouvan êre employée es la méhode des «recangles». On suppose que la densié de proailié f peu êre encadrée dans un recangle : C es à dire qu on suppose que : David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 41

42 L algorihme foncionne comme sui : f ( x) = si x > f ( x) = si x < a m f ( x) M si x [ a, ] Faire - Tirage au sor (avec équiproailié) d une valeur de x enre a e. - Tirage au sor (avec équiproailié) d une valeur de y enre m e M. Tan que y>f(x). Reourner la valeur de x. On peu alors monrer que les réalisaions x ainsi générées suiven une loi de proailié de densié f. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 42

43 4. Algorihme David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 43

44 4.1. Présenaion Il es imporan de noer que si on dispose d un filre de Kalman foncionnel, on peu aisémen consruire un filre pariculaire associé (avec le même modèle) e améliorer légèremen ses performances, à condiion de disposer de suffisammen de emps de calcul (pour le emps réel). La descripion algorihmique qui sui parira de cee idée : on supposera qu on dispose d un filre de Kalman el que celui décri au paragraphe 2 e on verra au paragraphe 3 commen passer au filre pariculaire associé. On supposera de plus qu on dispose des foncions suivanes (chacune pouvan êre individuellemen opimisée) : - Une foncion de calcul de la dérivée de l éa. (selon le modèle envisagé). - Une foncion généran des réalisaions de veceurs gaussiens de marice de covariance Q donnée. - Une foncion de irage aléaoire d un nomre enier enre 1 e r+1, conformémen à une répariion de proailiés P j donnée Algorihmes de filrage Kalman Algorihme principal Iniialisaions : - Veceur d éa X. - Marice de covariance coninue du veceur d éa P. De =1 à N, faire = Fin. yfil Appel foncion filrage de Kalman (, X ) P 1 1 X 1 1 = P = X Foncion de filrage de Kalman Foncion filrage de Kalman ( X ) P :, T P = FP F + Q Prédicion x = + 1 x 1 1 e f 1 - Arrivée de l oservaion au emps : y. ( x ). 1 P : David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 44

45 T K = P H 1 - Analyse x = x 1 + K P = ( ) I K H P - Sorie filrée yfil = H. x T ( HP H + R) 1 ( y Hx ) Pariculaire Algorihme principal Iniialisaions : - Veceur d éa X. - Marice de covariance coninue du veceur d éa P. - Iniialisaion des r+1 paricules d analyse. De j=1 à r+1, faire : X a j, = X + η j (η j es une réalisaion d un veceur gaussien de moyenne nulle e de marice de covariance P ). Fin. - Iniialisaion de la disriuion de proailiés des paricules. P j, = 1/r+1 j = 1,,r+1 De =1 à N, faire yfil = Appel foncion filrage pariculaire ( P, X, X j,-1-1, P j,-1 ) : Fin Foncion de filrage pariculaire Foncion filrage pariculaire ( P, X, X j,-1-1, P j,-1 ) : - Prédicion T P = FP F + Q x ( ) 1 = x e. f x 1 1 Calcul des r+1 paricules prédies : De j=1 à r+1, faire : X f j, -1 = X a j, e.f( X a j,-1-1 ) + ε j (ε j es une réalisaion d un veceur gaussien de moyenne nulle e de marice de covariance Q : rui de modèle). Fin. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 45

46 - Arrivée de l oservaion au emps : y. - Analyse T ( HP H + R) T 1 K = P H 1 1 P = ( I K ) H P 1 Calcul des nouvelles paricules d analyse : De j=1 à r+1, faire : X a j, = X f j, -1 +K.(y H. X f j, -1 ) Fin. (Remarque : le erme K.(y H. X f j, -1 ) n es pas présen pour le filre pariculaire de ase). Calcul de la nouvelle disriuion de proailiés des paricules : De j=1 à r+1, faire : Fin. Calcul de l éa d analyse : - Eape de redisriuion : Si (seuil >.5 ), emp j = X a j, j = 1,,r+1 De j=1 à r+1, faire : ind = n j ( n j es un nomre enier compris enre 1 e r+1 correspondan à l indice d une paricule irée conformémen à la disriuion de proailiés p j, ). emp j = X a ind, + ξ j (ξ j es une réalisaion d un veceur gaussien de moyenne nulle e de marice de covariance P ). Fin. X a j, = emp j j = 1,,r+1 P j, = 1/r+1 j = 1,,r+1 Fin Si - Sorie filrée yfil = H. x David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 46

47 5. Essais e résulas David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 47

48 5.1. Esimaion des ruis de mesure Principe Comme les signaux de rajecographie ne son pas saionnaires, l algorihme esiman l écar - ype des ruis de mesure uilise une méhode de fenêrage avec une largeur de fenêre de 1s. Les fenêres son glissanes e glissen d échanillon en échanillon comme sui : Soi e la période d échanillonnage (5 ms, ici). 1 En noan n = round l indice emporel correspondan à une largeur de 1s, la première fenêre e ser à esimer le rui à l insan n /2. Puis, on fai glisser la fenêre de 1 échanillon e on esime l écar - ype du rui à l insan suivan e ainsi de suie jusqu à la fin du fichier. Enfin, on complèe le aleau conenan les variances de rui de 1 à n /2 avec la valeur en n /2 e de N- n /2 à N avec la valeur en N-n /2. Sur une fenêre fixée, pour esimer l écar - ype du rui, on fai une régression linéaire (polynôme de degré 1) au sens des moindres carrés sur le signal dans la fenêre. On considère alors que le rui es égal au signal auquel on sousrai sa régression linéaire. Ce rui es alors déarrassé de sa valeur moyenne. Enfin, on esime la puissance (égale à la variance) par : 1 n 2 rui( ) n = 1 L algorihme uilisé sous MATLAB se rouve en annexe Résulas Voici les résulas oenus pour l une des rajecographies oproniques : David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 48

49 Ces différenes coures monren la fore augmenaion du rui de mesure sur les angles à faile disance. En effe, comme le u n es pas un poin, le capeur peu rès ien déecer un ou d aile à un insan donné e l aure ou d aile, disan d une dizaine de mères, à l insan suivan. On comprend alors ien que ce ype d écar rende les mesures angulaires eaucoup plus sensiles à faile disance. Ce ype de phénomène n apparaî plus sur les rajecographies radar pour lesquelles l écar ype du rui ne dépend plus de la disance. 1 Disance 1.49 Gisemen.25 Sie mères 6 5 rad 1.46 rad Temps (s) Ecar-ype rui de mesure Brui de mesure sur la disance Temps (s) Temps (s) Ecar-ype rui de mesure x 1-4 Brui de mesure sur le gisemen Temps (s) Temps (s) Ecar-ype rui de mesure 1.2 x Brui de mesure sur le sie Temps (s) Remarque : Les écar ypes ainsi calculés son ensuie seuillés de manière à ce que la variance du rui d oservaion ne soi pas rop faile Crière uilisé pour évaluer les performances Dans la praique, on cherche à minimiser l erreur quadraique enre la posiion prédie e la posiion réelle en x, y, e z au même insan. Comme la posiion lissée es la meilleure esimaion possile de la posiion réelle, sachan oues les oservaions du déu à la fin, on prendra la posiion lissée comme référence, considéran qu il s agi de la posiion réelle. Même s il s agi d un filre en polaire (d, g, s), le crière à minimiser porera sur la disance euclidienne enre ces 2 posiions. Il faudra donc appliquer les formules de changemen de coordonnées pour passer en x, y, z. Là encore, pour évier les prolèmes dûs au régime ransioire du filre, on ne considérera que les poins correspondan à un emps supérieur à 5s. Le crière à minimiser es le suivan : 1 max 2 2 ( x ( + ) x ( ) ) + ( y ( + ) y ( ) ) + ( z ( + ) z ( ) ) f = pred pred ref N = 5 représene le emps de prédicion. pred pred x ref représene la posiion lissée à l insan couran. x pred représene la posiion prédie pred secondes à l avance. On calcule la moyenne de ces erreurs de prédicion en divisan par le nomre oal d échanillons. On oien donc une erreur de prédicion moyenne en mères pour la rajecographie considérée. pred ref pred pred ref 2 David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 49

50 Le emps de prédicion pred n es pas consan. Dans des cas réels, il dépend de la disance du u e de la viesse moyenne de l ous qu on uilisé. On a pris ici cee viesse égale à 8 m/s. On a donc : d pred = 8 Ce crière es assez inéressan par son coé praique. En effe, pour l asservissemen d un canon à la poursuie d un u, on cherche ien à prédire au mieux sa posiion réelle de façon à pouvoir lui irer dessus. C es donc le crière le plus imporan du poin de vue des applicaions miliaires. Remarque : Comme les valeurs de posiions prédies son des variales aléaoires dans le cas du filre pariculaire (à cause des généraions aléaoires de ruis), f es aussi une variale aléaoire don il s agira de déerminer les caracérisiques au 2 ème ordre (moyenne e écar ype). En revanche, dans le cas du filre de Kalman, f es enièremen déerminise Evoluion des performances du filre en foncion du seuil de redisriuion On doi fixer un seuil pour l éape de redisriuion, lorsque la disriuion des paricules s écare «rop» d une disriuion uniforme. Le crière uilisé pour mesurer ce écar es un crière enropique normalisé : r = E( p1,,..., pr+ 1, ) log( r 1) p j, log p j, log( r + 1) j= 1 Cee mesure a les propriéés suivanes : - Elle es oujours comprise enre e Elle s annule si e seulemen si p1, =... = pr+ 1, = r + 1 Ainsi, la redisriuion ne sera faie que si E es supérieur à un cerain seuil s à régler. Pour éudier les performances du filre pariculaire en foncion du seuil, on a filré une rajecographie «radar» en conservan les mêmes paramères iniiaux, le nomre de paricules e les ruis de modèle e d oservaion, e en faisan varier le seuil s. Paramères fixés : - Variance ruis de mesure : esimés par la foncion d esimaion du rui, indépendammen du filre employé Variance ruis de modèle en coninu : - Nomre de paricules: r+1=51. 2,2.1 rad. s pour q ,5.1 rad. s pour r. 2,8.1 1 m. s 4 pour v. Remarques : - Si le seuil es nul, alors l éape de redisriuion es faie à ous les coups. - Si le seuil es égal à 1, l éape de redisriuion n es jamais faie. - Il serai nécessaire de régler ce seuil de redisriuion en emps réel, en foncion des variances de rui e de la rajecographie à filrer pour oenir de meilleurs résulas. Malheureusemen, il n exise aucune procédure de réglage du seuil en emps réel e on doi donc se conener d un réglage «après coup». On a oenu les résulas suivans : David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 5

51 On peu consaer que le seuil ne doi pas êre réglé rop proche de zéro sous peine de pere de performances. En effe, à la limie, si s=, la redisriuion es faie à chaque iéraion e le filre ne peu plus ien esimer la disriuion de proailiés sur les paricules d analyse puisque celle ci es ramenée à l équiproailié à chaque iéraion. A la vue de ce résula, on a réglé le seuil à,5 une fois pour oues Performances en foncion du nomre de paricules uilisées Pour éudier les performances du filre pariculaire en foncion du nomre de paricules uilisées, on a filré une rajecographie «radar» en conservan les mêmes paramères iniiaux e de rui de modèle e d oservaion, e en faisan varier le nomre oal de paricules r+1. Ces différens essais on éé réalisés à l aide d un PC Penium à 1 MHz avec 32 Mo de RAM foncionnan sous MATLAB. Seuls les essais avec 1. e 5. paricules on éé réalisés avec un Penium II à 233 MHz disposan de 128 Mo de RAM. Paramères fixés : - Variance ruis de mesure : esimés par la foncion d esimaion du rui, indépendammen du filre employé Variance ruis de modèle en coninu : - Seuil relaif : s=,5. Les résulas oenus son les suivans : 2,2.1 rad. s pour q ,5.1 rad. s pour r. 2,8.1 1 m. s 4 pour v. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 51

52 Nomre de paricules uilisées Nomre de réalisaions de f Valeur moyenne de f (m) Kalman (référence) ,53 36,7 343,4 336,83 336,34 336,52 Ecar ype de f (m) 2,66 2,26 1,41,57,317 Temps de calcul pour 1 réalisaion 319 s 543 s 532 s 634 s 974 s 185 s Nomre de paricules uilisées Nomre de réalisaions de f Valeur moyenne de 336,64 336,67 336,63 f (m) Ecar ype de f (m),122,867,752 Temps de calcul pour 1 réalisaion 4 s 65 s (P2 233) 1 s (P2 233) David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 52

53 5.5. Comparaison de la qualié de filrage Esimaion de quelques variales d éa Les figures suivanes monren l allure des esimées de quelques variales d éa par le filre de Kalman (en mauve sur les coures) e le filre pariculaire (en leu). Les paramères uilisés pour cee simulaion son les suivans : - Variance ruis de mesure : esimés par la foncion d esimaion du rui, indépendammen du filre employé Variance ruis de modèle en coninu : - Filre pariculaire : r+1=61 paricules. s=,5 (seuil relaif). 2,2.1 rad. s pour q ,5.1 rad. s pour r. 2,8.1 1 m. s 4 pour v. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 53

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56 Innovaions Commençons par rappeler la définiion de l innovaion I pour le filre de Kalman. I y H X =. KALMAN 1 Où : y es le veceur des oservaions à l insan. H es la marice d oservaion. X es la valeur de l éa prédie par X X e f ( X ). 1 = De façon analogue, on défini l innovaion du filre pariculaire par : I y H X =. PARTIC 1 Où : y es le veceur des oservaions à l insan. H es la marice d oservaion. a a X es la valeur de l éa prédie par X = X e f ( X ). ( 1 veceur d éa d analyse esimé à l iéraion précédene) a X 1 1 es le Voici les coures relevées pour comparaison. On a oujours le filre de Kalman en mauve e le filre pariculaire en leu. Les paramères uilisés son les mêmes que ceux menionnés dans le paragraphe précéden. David BONACCI ENSEEIHT D.E.A. Signaux, images e Communicaions Promoion 99 Page 56

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