Table des matières 1/7

Transcription

1 Tle des mtières Introduction Anlyse vectoriel Potentiel sclire Intégrle curviligne Définition : Propriétés Formule de Green-Riemnn...6 1/7

2 Introduction Chmp outil fondmentl de l Physique. Ondes électromgnétiques. Équtions de Mxwell. décrit des situtions très générles : Chmps électromgnétique, chmp de vitesse, flux. /7

3 1- Anlyse vectoriel. U est un ouvert de R. Définition : un chmp sclire est une ppliction de U sur R. Définition : un chmp de vecteurs sur U, est une ppliction de U sur R n. Si f est un chmp sclire de clsse C 1, lors grd f (M)= ( f x, f y, f vecteurs. z) est un chmp de L divergence d'un chmp de vecteurs de clsse C 1 sur U l fonction définie pr : n div M V= i=1 V i x i Le rottionnel : rot( V)=( V 3 V, V 1 V 3, V V 1 x x 3 x 3 x 1 x 1 Pour un chmps sclire de clsse C, le lplcien de f est : f= f x + f f y +. Remrque : le lplcien est l divergence du grdient. z x,) Éqution de Poisson : V=ǫ ρ électrosttique et V=4πGµ 0 Dns le vide, on otient, l'éqution de Lplce : f=0 Les fonctions qui ont un lplcien nul jouent un rôle très importnt en Physique. Ce sont les fonctions hrmoniques (électrosttique, mécnique des fluides,écoulement incompressile d'un fluide inconpressile, propgtion de l chleur, diffusion,...) Anlyse complexe : l prtie réelle d'une fonction holomorphe est une fonction hrmonique.. On utilise l nottion symolique vec l'opérteur nl qui donne : = ( x, y, z) Grdient f : f Divergence : V Rottionnel : V Lplcien : 3/7

4 rot(grf f)=0 div(rot A)=0 - Potentiel sclire. Définition : Un chmp de vecteurs V dérive d'un potentiel s'il existe une fonction f C 1 (U,R), telle que : V= grd f. f est le potentiel sclire de V. V(P, Q) Condition nécessire. Théorème : si un chmp dérive d'un potentiel, lors son rottionnel est nul. Démonstrtion : Théorème de Schwrz Réciproque fusse : ( y x +y, x ) x +y Définition : une prtie U est étoilée pr rpport à un point A si : M U,[AM] est inclus dns U. Exemple : une prtie convexe est étoilée pr rpport à n'importe lequel de ses points. R n privé d'un point n'est étoilée pr rpport à ucun point. Théorème de Poincré (dmis) Si U est un ouvert étoilé, tout chmp de vecteurs de clsse C 1 dérive d'un potentiel. à rottionnel nul ( P y = Q x) Exemple : y x w(x,y)= (x+y) dx+ (x+y) dy Sur les ouverts : U 1 ={(x,y) x+y>0} et U ={(x,y)x+y<0} 4/7

5 Les hypothèses du théorème sont vérifiées, on cherche le potentiel sclire correspondnt. On résout : f x = y puis on dérive pr rpport à y. (x+y) Solution : f (x,y)= xy x+y +k 3- Intégrle curviligne. - Définition : Soit une coure prmétrée orientée de clsse C 1 : Γ V dm= V ( f (t)) f '(t)dt Cette vleur ne dépend ps du prmétrge dmissile de l'rc prmétré. Écriture si V=(P,Q) : Γ V dm= P( x, y)dx+q(x, y)dy. On remplce dx et dy pr leur vleur en fonction de dt. Γ V dm= (P(x, y) x'(t)+q( x, y) y'(t))dt On se rmène à une intégrle simple. Exemple : w(x,y)= y x +y dx+ x x +y dy sur le cercle x=cos(t) et y=sin(t). On trouve π. Remrque : en physique, l'intégrle curviligne représente le trvil d'une force. - Propriétés Linérité, Chsles. 5/7

6 Théorème : Si un chmp dérive d'un potentiel lors : Γ V dm= f ( B) f (A) Remrques : Le trvil égl à l différence de potentiel. Elle ne dépend que des extrémités de l coure. Si un chmp dérive d'un potentiel, l'intégrle curviligne sur toute coure fermée (f (B)=f (A)) est nulle. 4- Formule de Green-Riemnn. D est un domine simple orienté de telle sorte que l normle soit dirigée vers l'intérieur. Théorème : Soit V, un chmp de vecteurs de clsse C 1 sur un ouvert U, lors D V dm= ( Q x P y) dxdy Remrques : formule de Stock, lien entre les ords et l'intérieur. Générlistion de : f (t)dt=f()f() Appliction : clcul d'une ire vec une intégrle simple. A= D xdy= D ydx= 1 D (xdyydx) Aire d'une ellipse A=π On retrouve l formule en polire : A= 1 γ ρ dθ 6/7

7 Aire de l Crdioïde. A= 3π Exemple : Green-Riemnn. Sur le cercle, ω=ydx+xydy (Rcos(t),Rsin(t)) π (R sin (t)+r 3 cos (t)sin(t))dt=π R 0 7/7