ELE1300 Circuits logiques. Les nombres en binaire ( ) Les nombres en binaire. Circuits logiques arithmétiques

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Lucienne Poulin
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$n chiffres partie fractionnaire m chiffres base Circuits logiques : Chapitre 1 2 Les nombres en binaire ( ) [ an 1 an 2 L a1 a0, a 1 a 2 L a m] ( b ) Valeur : b b L b b b b L b n 1 n 2 1 0 1 2 m a b$

1 Les nombres en binaire Forme générale d un nombre : (système de numération pondérée) [ an 1 an 2 L a1 a0, a 1 a 2 L a m] ( b ) ELE1300 Circuits logiques Circuits logiques arithmétiques partie entière n chiffres partie fractionnaire m chiffres base Circuits logiques : Chapitre 1 2 Les nombres en binaire ( ) [ an 1 an 2 L a1 a0, a 1 a 2 L a m] ( b ) Valeur : b b L b b b b L b n 1 n m a b + a b + L + a b+ a n 1 n 2 n 1 n a b + a b + L + a b m m Les nombres en binaire ( ) Compter en base 10, cela signifie qu on va faire des paquets de 10 objets 51 = 5 x = 1 x x = 1 x x x Compter en base 2, cela signifie qu on va faire des paquets de 2 objets 51 = 1 x x x = 1 x x x = 1 x x x x x x x 4 Circuits logiques : Chapitre 1 3 Circuits logiques : Chapitre 1 4

2 Autres bases? SYSTÈME BASE CHIFFRES BINAIRE 2 OCTAL 8 DÉCIMAL 10 HEXADÉCIMAL 16 Exemples : a a i i i a a i { 0,1} { 0,1,2,3,4,5,6,7} { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} ,101( ) = 1( ) 10( ) + 0( ) 10( ) + 1( ) 10( ) + 1( ) 10( ) + 1( ) 10( ) + 0( ) 10( ) + 1( ) ( 2) ,36( ) 4( ) 10( ) 5( ) 10( ) 3( ) 10 = + + ( ) + 6( ) ( 8) ,6( 10) = 2( 10) 10( 10) + 4( 10) 10( 10) + 3( 10) 10( 10) + 6( 10) 10 ( 10) A,4( 16) = 1( 16) 10( 16) + 2( 16) 10( 16) + A( 16) 10( 16) + 4( 16) 10 ( 16) Circuits logiques : Chapitre 1 5 Convertion entre les bases Conversion d une base quelconque en base décimale : MÉTHODE POLYNOMIALE Développer le polynôme et faire le calcul Exemples : binaire en décimal (2) = = 8+2+1=11 en base (2) = = =25 en base (2) =? (10) (2) =? (10) 1000,001 (2) =? (10) 011,111 (2) =? (10) Circuits logiques : Chapitre 1 6 MÉTHODE POLYNOMIALE ( ) Exemple : octal en décimal 45,36 (8) = = = , ,09375 = 37,46875 en base 10 Exemple : hexadécimal en décimal 2A,C (16) = (2) (A) (C) 16-1 = = ,0625 = , 75 = 42,75 en base 10 Circuits logiques : Chapitre 1 7 Conversion d une base décimale en base quelconque : MÉTHODE ITÉRATIVE Le calcul se fait différemment pour la partie entière et la partie fractionnaire [ an 1 an 2 L a1 a0, a 1 a 2 L a m] ( b ) partie entière n chiffres partie fractionnaire m chiffres base Circuits logiques : Chapitre 1 8

3 MÉTHODE ITÉRATIVE ( ) MÉTHODE ITÉRATIVE ( ) Pour la partie entière (E) Partie entière : E = a b + L+ a b + a b + a b n n E n a0 a0 = an reste b b + L+ a b + a b + = Q + = Q a b b 0 Q1 n 3 0 a1 a1 = an reste b b + L+ a b + = Q + = Q a b b 1 Q2 n 4 0 a2 a2 = an reste b b + L+ a b + = Q + = Q a b b 2 (le processus est appliqué jusqu à a n-1 ) Exemple : 57 (10) =? (2) 57 2 = 28 reste = 14 reste = 7 reste = 3 reste = 1 reste = 0 reste 1 d où 57 (10) = (2) Exemple : 637 (10) =? (16) = 39 reste 13 (D) = 2 reste = 0 reste 2 d où 637 (10) = 27D (16) Circuits logiques : Chapitre 1 9 Circuits logiques : Chapitre 1 10 Pour la partie entière (F) Partie fractionnaire : MÉTHODE ITÉRATIVE ( ) F = a b + a b + a b + L+ a b m m bf = a b + a b + a b + L+ a b m m MÉTHODE ITÉRATIVE ( ) Exemple : 0,6875 (10) =? (2) 0, = 1,375 partie entière = 1 0,375 2 = 0,75 partie entière = 0 0,75 2 = 1,5 partie entière = 1 0,5 2 = 1,0 partie entière = 1 Partie entière Partie fractionnaire F 1 d où 0,6875 (10) = 0,1011 (2) bf = a b + a b + a b + L+ a b m m Partie entière Partie fractionnaire F 2 (le processus est appliqué jusqu à a -m ) Circuits logiques : Chapitre 1 11 Exemple : 0,8125 (10) =? (8) 0, = 6,5 partie entière = 6 0,5 8 = 4,0 partie entière = 4 d où 0,8125 (10) = 0,64 (8) Circuits logiques : Chapitre 1 12

4 La répétition existe aussi en binaire: MÉTHODE ITÉRATIVE ( ) 22/7 = 3, Et en binaire? Exemple : 22/7 = 21/7 + 1/7 = 3+1/7 =? (2) 1/7 2 = 2/7 0,2857 partie entière = 0 2/7 2 = 4/7 0,5714 partie entière = 0 4/7 2 = 8/7 1,1428 partie entière = 1 1/7 2 = 2/7 0,2857 partie entière = 0 RÉPÉTITION d où 22/7 = 11, (2) Circuits logiques : Chapitre 1 13 Circuits logiques : Chapitre 1 14 Conversion d une base b en base b k et inversement : REGROUPEMENT DES CHIFFRES Pour passer de base b à b k, il faut regrouper k chiffres Conversion entre les bases binaire et octale REGROUPEMENT DES CHIFFRES ( ) Exemple : , (2) =? (8) , (2) L+ a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + L ( a5 a4 a3) ( a2 a1 a0) ( a 1 a 2 a 3) = L ( a5 a4 a3) ( a2 a1 a0) ( a 1 a 2 a 3) = L Chaque groupe de trois bits d un nombre binaire correspond à un chiffre du nombre octal correspondant. L L 1011,11 (2) =? (8) (2) =? (8) 1111,1011(2) =? (8) 1 3 5, (8) Circuits logiques : Chapitre 1 15 Circuits logiques : Chapitre 1 16

5 REGROUPEMENT DES CHIFFRES ( ) Conversion entre les bases binaire et hexadécimale REGROUPEMENT DES CHIFFRES ( ) Exemple : , 011 (2) =? (16) L+ a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + L , (2) ( a7 a6 a5 a4) ( a3 a2 a1 a0) = L ( a7 a6 a5 a4) ( a3 a2 a1 a0) = L Chaque groupe de quatre bits d un nombre binaire correspond à un chiffre du nombre hexadécimal correspondant. L L 1011,11 (2) =? (16) (2) =? (16) 1111,1011(2) =? (16) 2 A, 6 (16) Circuits logiques : Chapitre 1 17 Circuits logiques : Chapitre 1 18 Et les nombres négatifs? REGROUPEMENT DES CHIFFRES ( ) Pour passer de base b k à b, il faut convertir chaque chiffre en k chiffres Exemple : 27,56 (8) =? (2) 2 7, 5 6 (8) Comment écrire -22 en binaire? Exemple : E2,0D (16) =? (2) , (2) E 2, 0 D (16) , (2) Circuits logiques : Chapitre 1 19 Circuits logiques : Chapitre 1 20

6 Un ordinateur représente l information en 0 et en 1 (des bits). Pour représenter le signe moins ( - ), on a pas d autre choix que d utiliser un bit supplémentaire REPRÉSENTATION EN COMPLÉMENT À 2 Supposons que l on utilise 8 bits. On a 256 valeurs binaires (de 0 à 255). Pour réserver un bit de signe, on choisit PAR CONVENTION de diviser les valeurs possibles en deux, 128 nombres positifs (0 à 127) et 128 nombres négatifs (-128 à -1). Pour représenter les nombres négatifs on écrit: -3 sera = sera = 128 N en 256 N Circuits logiques : Chapitre 1 21 Reprenons l écriture en binaire. Nous disposons de 8 bits (256 valeurs) partagés en 128 valeurs positives (0 à 127) et 128 valeurs négatives (-128 à -1). Les valeurs positives sont : Circuits logiques : Chapitre 1 22 Les valeurs négatives sont : Circuits logiques : Chapitre 1 23 Conclusions: Le bit le plus significatif (le plus à gauche, noté MSB) est un bit de signe Si le MSB vaut 0, le nombre est positif Si le MSB vaut 1, le nombre est négatif Circuits logiques : Chapitre 1 24

7 Conclusions ( ) : Pour trouver la valeur négative d un nombre de manière simple, on inverse les bits (complément à 1) et on ajoute 1: Conclusions ( ) : Le chemin inverse est juste aussi, on inverse les bits (complément à 1) et on ajoute 1: 001 : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : : INVERSE (+1) : 127 Circuits logiques : Chapitre 1 25 Circuits logiques : Chapitre 1 26 Conclusions ( ): Le complément à 2 est cyclique: Exemple (4 bits allant de -8 à +7) : Il est possible de choisir n importe quel nombre de bits. Pour n bit: N = 2 n N 1001 (2) =? (10) 1011 (2) =? (10) 0101 (2) =? (10) (2) =? (10) (2) =? (10) (2) =? (10) (2) =? (10) (2) =? (10) (2) =? (10) Circuits logiques : Chapitre 1 27 Circuits logiques : Chapitre 1 28

8 Un peu d arithmétique Pour n+m bit, qu est-ce que ça donne avec partie en virgule fixe: [ 0 n 2 1 0, 1 2 m] ( 2 ) N = a L a a a a L a ADDITION Nous avions déjà vu comment on additionne (+1) à un nombre L addition de façon générale s effectue de la même manière: N = 2 n N 10,01 (2) =? (10) 10,11 (2) =? (10) 01,01 (2) =? (10) 11,100 (2) =? (10) 11,001 (2) =? (10) 00,111 (2) =? (10) Circuits logiques : Chapitre 1 29 Circuits logiques : Chapitre 1 30 ADDITION ( ) Puisque nous limitons la longueur des nombres, on va éliminer la retenue R. ADDITION ( ) Quel impact cela a-t-il sur le résultat? ( 54) + ( 15) ( 69) Circuits logiques : Chapitre 1 31 Circuits logiques : Chapitre 1 32

9 ADDITION ( ) Quel impact cela a-t-il sur le résultat? ( ) N 1 N 2 = N 1 ( N 2 ) SOUSTRACTION (-15) (-54) ( 54) ( 15) (-39) ( 39) Circuits logiques : Chapitre 1 33 Circuits logiques : Chapitre 1 34 Monsieur, C est quoi? LE DÉBORDEMENT Quel impact cela a-t-il sur le résultat? Quel est le problème? Circuits logiques : Chapitre 1 35 Circuits logiques : Chapitre 1 36

10 LE DÉBORDEMENT ( ) En complément à 2 avec 4 bits, il n y a pas de représentation de +8!!! Lorsque le résultat de l opération n est pas représentable, on parle de DÉBORDEMENT de l opération +/-. LE DÉBORDEMENT ( ) Le débordement survient uniquement quand on additionne deux nombres positifs ou deux nombres négatifs. Le débordement peut être facilement détecté, il survient lorsque les deux dernières retenues sont différentes ( 4) + ( 5) 7 Circuits logiques : Chapitre 1 37 Circuits logiques : Chapitre 1 38 MULTIPLICATION Un exemple simple (entiers positifs non signés): Quelques exemples MULTIPLICATION ( ) = = = = Circuits logiques : Chapitre 1 39 Circuits logiques : Chapitre 1 40

11 DIVISION Un exemple simple (entiers positifs non signés): Quelques exemples DIVISION ( ) donne donne reste 0 reste Circuits logiques : Chapitre 1 41 Circuits logiques : Chapitre 1 42 LE DÉCALAGE Chaque décalage à droite correspond à une division par deux : LE DÉCALAGE Chaque décalage à gauche correspond à une multiplication par deux : , , , ,1 86, , , ,0 1 43, , , , , , , , , ,0 1 43, , , ,1 86, , , , Circuits logiques : Chapitre 1 43 Circuits logiques : Chapitre 1 44

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