Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Corrigé

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1 Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 4 Corrigé A. P. M. E. P. EXERCICE 4 poits Commu à tous les cadidats Aucue justificatio était demadée das cet exercice.. Répose b. : 4e i π Le ombre i a pour écriture complexe e i π 4 doc le ombre ( i 4 a pour écriture complexe ( 4 e i 4 π 4 = 4e i π.. Répose c. : (x (y = 4 Si o appelle A le ombre d affixe i, l équatio z i = 3 i équivaut à z za = 3 i, ou ecore z za = 3 i z z A = Répose c. : la suite (U défiie par U = Z est covergete. Z = i Z = Z = i Z Z = i Z Z = Z Doc la suite U = Z est géométrique de raiso ; or < < doc la suite est covergete et a pour limite. 4. Répose c. : ABC est rectagle e A. AB= z B z A = ; AC= et BC= 5 ; BC = AB AC d où la répose c. EXERCICE 6 poits Commu à tous les cadidats Partie A Restitutio orgaisée des coaissaces L objectif de cette partie est de démotrer le théorème suivat : Si X est ue variable aléatoire suivat la loi ormale cetrée réduite, alors pour tout réel α apparteat à l itervalle ] ; [, il existe u uique réel strictemet positif χ α tel que P ( χ α X χ α = α. Soit f la foctio défiie sur l esemble des ombres réels R par f (t= e t. π Soit H la foctio défiie et dérivable sur [ ; [ par H(x=P( X x= f (t dt.. La foctio f représete la foctio de desité de probabilité pour la loi ormale cetrée réduite.. H( = f (t dt = ; et d après le cours lim H(x=. x 3. D après la relatio de Chasles : Mais la foctio f est positive doc ci-dessous, tadis que f (tdt = f (tdt f (tdt. f (tdt est l aire du domaie hachuré e rouge sur la figure f (tdt est l aire du domaie hachuré e bleu.

2 x De plus la foctio f est paire, doc ces deux aires sot égales. Efi H(x est l aire du domaie situé sous la courbe représetat f hachuré e rouge et e bleu sur la figure. Doc H(x= f (tdt = f (tdt 4. O sait que la foctio x par H(x= Or f (t= π e t f (tdt = f (tdt. f (tdt a pour dérivée la foctio f ; doc la foctio H défiie f (t dt a pour dérivée la foctio f. > sur R ; comme H = f, H (x> pour tout réel x, et doc la foctio H est strictemet croissate sur [ ; [. O établit le tableau de variatios de H sur [ ; [ : x H (x H(x 5. E preat α das l itervalle ]; [, o a aussi α das l itervalle ]; [ ; o complète le tableau de variatios de H : χ α x H(x α D après le tableau de variatios, il existe u réel strictemet positif uique oté χ α tel que H ( χ α = α, doc tel que P ( χ α X χ α = α. Partie B U laboratoire se fourit e pipettes auprès de deux etreprises, otées A et B. 6 % des pipettes vieet de l etreprise A et 4,6 % des pipettes de cette etreprise possèdet u défaut. Das le stock total du laboratoire, 5 % des pièces présetet u défaut. O choisit au hasard ue pipette das le stock du laboratoire et o ote : A l évéemet : «La pipette est fourie par l etreprise A» ; B l évéemet : «La pipette est fourie par l etreprise B» ; D l évéemet : «La pipette a u défaut».. La pipette choisie au hasard présete u défaut ; la probabilité qu elle viee de l etreprise A est P D (A. P(A D P D (A= = P(A P A(D =,6,46 =,55 P(D P(D,5. D après la formule des probabilités totales : P(D=P(A DP(B D,5=,6,46P(B D,5,76= P(B D Doc P(B D =,4. Nouvelle-Calédoie 7 mars 4

3 3. Parmi les pipettes veat de l etreprise B, la probabilité qu ue pipette présete u défaut est P B (D. Or P(B= P(A=,6=,4. P(B D P B (D= =,4 =,56. P(B,4 Parmi les pipettes veat de l etreprise B, le pourcetage de pipettes présetat u défaut est doc de 5,6%. Partie C. O cherche la probabilité qu ue pipette prise au hasard soit coforme, soit P(98 < X <, e sachat que X suit la loi ormale de paramètres µ= et σ =,44. À la calculatrice, o trouve,9499 à 4 près. E utilisat la table fourie : P(98< X < = P(X < P(X 98,97494,56,94988 Pour la suite, o admet que la probabilité pour qu ue pipette soit o-coforme est p =,5.. O prélève das le stock du laboratoire des échatillos de pipettes de taille, où est u etier aturel supérieur ou égal à et o suppose que le stock est assez importat pour cosidérer ces tirages comme idépedats. Soit Y la variable aléatoire qui à chaque échatillo de taille associe le ombre de pipettes o-coformes de l échatillo. a. Comme o peut supposer que les tirages sot idépedats, la variable aléatoire Y suit ue loi biomiale de paramètres et p =,5. b. O sait que doc 3. et p=,5 doc p,5 p 5 p=,5 doc p =,95 ; ( p,95 ( p 95 et doc ( p 5. Les trois coditios sot vérifiées. c. Pour ue proportio p et u échatillo de taille, l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % est : p ( p p ( p p,96 ; p,96 Doc l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% de la fréquece des pipettes o coformes das [ u échatillo est :,5(,5,5(,5 ;,5,96 ]=,5,96 [,5,96 ],475,475 ;,5,96 EXERCICE 3 Commu à tous les cadidats 5 poits Partie A Soit f la foctio dérivable, défiie sur l itervalle ] ; [ par f (x = x l(x.. D après le cours, o sait que lim x l(x= doc lim f (x=. x x lim x = } x lim l(x= lim x l(x= (par produit doc lim f (x=. x x x. La foctio f est dérivable sur ] ; [ comme produit de foctios dérivables : f (x= l(x x x = l(x. Nouvelle-Calédoie 3 7 mars 4

4 3. O étudie le sige de f (x sur ] ; [ : l(x> l(x> x > e Doc : La foctio f est strictemet décroissate sur ] ; e ] ; Partie B la foctio f est strictemet croissate sur [e ; [. Figure Algorithme Variables k et sot des etiers aturels U,V sot des ombres réels Iitialisatio U pred la valeur V pred la valeur pred la valeur 4 Traitemet Pour k allat de à O C Affecter à U la valeur U ( f k ( Affecter à V la valeur V f Fi pour Affichage Afficher U Afficher V k. a. Sur la figure ci-dessus, le ombre U représete la somme des aires des rectagles iférieurs (e rouge ; cette somme miore l aire sous la courbe. Le ombre V représete la somme des aires des rectagles supérieurs (e bleu ; cette somme majore l aire sous la courbe. b. O fait tourer l algorithme ci-dessus : Variables k U V Iitialisatio 4 Traitemet,69 8 4,69 7, 8 4, 7, ,466 6,83 4 Affichage O affiche la valeur de U :,466 6 c. O peut doc e déduire que,4666< A <,83. O affiche la valeur de V :,83. O admettra que, pour tout etier aturel o ul, U A V. a. Sachat que U = [ ( f ( f ( f f V = [ ( f ( f ( f ] f (, o peut dire que V U = ( l( f ( f ( = = l(. V U <, l( ( <, l(<, l(, < ] et que Or l(, 3,86 doc le plus petit etier tel que V U soit iférieur à, est 4. Vérificatio : V 3 U 3,7>, et V 4 U 4,99<,. b. Pour obteir u ecadremet de A d amplitude iférieure à, das l algorithme, il suffit d etrer 4 comme valeur de ; autremet dit, au lieu de «pred la valeur 4», o etrera «pred la valeur 4». Nouvelle-Calédoie 4 7 mars 4

5 Partie C Soit F la foctio dérivable, défiie sur ] ; [ par F (x= x l x x 4.. F (x= x x l(x x x 4 = x l(x x x = x l(x= f (x Doc F est ue primitive de f sur ] ; [.. La foctio f est croissate sur [ ; ] et f ( = doc la foctio f est positive sur [ ; ] ; o peut doc dire que A = A = f (tdt. f (tdt = F ( F(=(l( ( = l( EXERCICE 4 Pour les cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité Soit ABCDEFGH u parallélépipède rectagle tel que AB =, AD = 3 et AE =. O appelle respectivemet I, J et P les milieux respectifs des segmets [CD], [EF] et [AB]. O ote Q le poit défii par AQ = AD. 3 5 poits E H J F P A Q G I D B C O appelle pla médiateur d u segmet le pla perpediculaire à ce segmet et passat par so milieu. L objectif de l exercice est de détermier les coordoées du cetre d ue sphère circoscrite au tétraèdre ABIJ (c est-à-dire ue sphère qui passe par ( les quatre poits A, B, I, J. L espace est rapporté au repère orthoormal A ; AP, AQ, AE.. Les poits A, B et I appartieet au pla (ABC ; comme J est sur l arête [EF] qui est strictemet parallèle au pla (ABC, le poit J appartiet pas au pla (ABC. Doc les quatre poits A, B, I et J e sot pas coplaaires.. Le pla médiateur (P du segmet [AB] est le pla perpediculaire à [AB] passat par le milieu P de [AB] ; c est doc l esemble des poits M de l espace tels que les vecteurs AB et PM soiet orthogoaux. ( Das le repère A ; AP, AQ, AE, A a pour coordoées ( ; ; et B a pour coordoées ( ; ;, doc AB a pour coordoées ( ; ;. Le poit M a pour coordoées (x ; y ; z et le poit P a pour coordoées (;;, doc PM a pour coordoées (x ; y ; z. AB et PM sot orthogoaux si et seulemet si AB. PM = (x y z = x = Le pla (P a pour équatio x =. Nouvelle-Calédoie 5 7 mars 4

6 O peut aussi justifier que le pla médiateur du segmet [AB] est le pla (PIJ et que les trois poits P, I et J ot pour abscisse ; doc ue équatio du pla (PIK est x =. 3. Soit (P le pla d équatio cartésiee 3y z 4=. D après le texte, AD = 3 AQ ; or le poit Q a pour coordoées ( ; ; doc le poit D a pour coordoées ( ;3 ;. AC = AD DC = AD AB ; or AB a pour coordoées ( ; ; doc AC a pour coordoées ( ;3 ;. Ce sot aussi les coordoées du poit C. ( Le poit I est le milieu de [CD] doc le poit I a pour coordoées ; 33 ; soit ( ;3 ;. O calcule de même les coordoées du poit J, milieu de [EF], et o trouve ( ; ; U poit M de coordoées (x; y; z appartiet au pla médiateur de [IJ] si et seulemet si IM=JM autremet dit IM =JM. IM = (x (y 3 z ; JM = (x y (z IM =JM (x (y 3 z = (x y (z y 6y9z = y z z 6y z 8=8 3y z 4= Le pla médiateur de [IJ] a pour équatio 3y z 4= doc c est le pla (P. 4. a. Le pla (P d équatio x = a pour vecteur ormal le vecteur de coordoées (;;. Le pla (P d équatio 3y z 4 = a pour vecteur ormal le vecteur de coordoées ( ;3 ;. Les vecteurs et e sot pas coliéaires doc les plas (P et (P e sot pas parallèles. Les plas (P et (P sot doc sécats. b. Pour détermier la droite d itersectio des plas (P et (P, o résout le système { x = x = que l o écrit y = y 3y z 4= z = 3y 4 Doc la droite ( d itersectio des plas (P et (P a pour représetatio paramétrique : x = y = t où t R. z = 3t 4 c. U poit de ( a pour coordoées ( ; t ; 3t 4 où t est u réel. O va doc chercher ue valeur de t pour laquelle ΩA = ΩI, le poit Ω état u poit de (, autremet dit pour laquelle ΩA = ΩI. ΩA = ( ( t ( 3t 4 ; ΩI = ( (3 t ( 3t 4 ΩA = ΩI ( ( t ( 3t 4 = ( (3 t ( 3t 4 t = 9 6t t 6t = 8 t = 4 3 Le poit Ω de ( tel que ΩA=ΩI, correspod au paramètre t = 4 et a doc pour coordoées 3 ( ; 43 ; c est-à-dire ( ; 43 ;. d. Le poit Ω appartiet à la droite ( doc il appartiet à la fois à (P et à (P. (P est le pla médiateur de [AB] et Ω (P doc ΩA = ΩB. (P est le pla médiateur de [IJ] et Ω (P doc ΩI = ΩJ. De plus ΩA = ΩJ ; doc ΩA = ΩB = ΩI = ΩJ : le poit Ω est le cetre de la sphère circoscrite au tétraèdre ABIJ. Nouvelle-Calédoie 6 7 mars 4

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