Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2007

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1 Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 7 EXERCICE 6 points n= 3, b= 7, r = 5. p(g= p(nn+ p(bb+ p(r r = = 6+4+ = = g (n, b, r = n 5 n 4 + b 5 b 4 + r 5 r 4 = [n(n +b(b +r (r ].. a. L équation du plan NBR est ax+ by + cz + d =. En écrivant que N, B et R appartiennent à ce plan, on trouve 5a+ d =, 5b+ d =, 5c + d =, soit Partie C a= d = b= c. 5 En prenant d = 5, on trouve qu une équation du plan (NBR est x+y+ z 5=. b. On sait que n+ b+ r = 5 M (NBR. c. g (n, b, r = [ n n+ b b+ r r ] = [ n + b + r (n+ b+ r ] = [ OM 5 ]. (puisque n+ b+ r = 5 d après le b. d. Le vecteur OH est un vecteur normal au plan (NBR, donc a pour coordonnées (α ; α ; α qui sont aussi les coordonnées du point H. Or H? (NBR α+α+α= 5 3α= 5 α=5. Conclusion H(5 ; 5 ; 5. e. On sait que la distance minimale du point O à un point du plan (NBR est la distance de O au projeté orthogonal de O sur ce plan soit H. On a vu que g (n,b,r = [ OM 5 ]. Cette probabilité est minimale quand M = H. Dans ce cas g (n,b,r = g mini (n, b, r = 7. [ OH 5 ] = [ ] = 6 =. On a p(g=. Si deux boules de même couleur sortent il touche kx?x et dans le cas 7 contraire le «gain» sera de x. Donc E(X = 7 (kx x+ 5 7 ( x= x (k Le jeu est équitable si E(x= x 7 (k 7 k = 7 = 3,5.

2 EXERCICE Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité { α(+i = +3i. α est tel que iα = 4+3i La première égalité donne α= +3i = +i. +i On a bien i(+i = i(4 +4i= 4+3i.. Pour tout nombre complexe z, on pose f (z= z (+3iz+ ( 4+3i. Développons (z α(z iα=z iαz αz+ iα = z αz(+i+iα = z (+3iz 4+3i. Les solutions de l équation f (z= sont donc α= +i et iα= +i.. b= +i=i + i=i(i+=iα. a= α est l affixe ( de A et b celle de B. L égalité a= ib donne en module OA = OB et en argument OA, OB = π : le triangle OAB est donc rectangle isocèle en O.. Sans conjecture : le point D est l image de C dans la rotation de centre O et d angle π. On a donc d = ic = i ( + i = i. 3 B L M A C O K 3 J - D - On conjecture l affixe de D à l aide de la figure pour traiter la question suivante. D(,5 ; Antilles-Guyane septembre 7

3 3. L affixe de M est + 5 i. L affixe du vecteur DA est i. On a donc z OM = z DA i 5 + i 4. L égalité précedente entraîne que = 4+5i +8i = i(4i+5 (4i+5 = i. ( DA, OM = π. 5. En prenant les modules des membres de l égalité trouvée au 3. on obtient OM DA = OM= DA. 6. On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme. Les coordonnées du vecteur ( AC sont 3 ;, celles du vecteur ( BD ; 3. On a AC BD =. Or dans (ABC, (LM est parallèle à (AC (droite des milieux et dans (ABD (LK est parallèle à (BD. Conclusion : (LM est perpendiculaire à (LK. Le parallélogramme (JKLM ayant un 37 angle droit est un rectangle. D autre part AC= 4 + 9= 4 et BD= = 4. Donc LM= AC = et LK= 4 4. (JKLM est un rectangle dont deux côtés consécutifs ont la même longueur : c est un carré. EXERCICE Pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité. a. AM = t AB se traduit en termes d affixes par : m a= t(b a m= a+ t(b a. De même BM = t BC n= b+ t(c b et CP = t CA p = c+ t(a c. b. G centre de gravité du triangle ABC signifie que GA + GB + GC = a g + b g + c g = 3g = a+ b+ c. Or m+n+ p = a+b+c+ t(b a+c b+ a c=a+b+c = 3g avec g affixe du centre de gravité G de (MNP. Donc g = g et ABC et MNP ont le même centre de gravité G. c. Les images respectives de A, B et C par σ sont M, N et P. Comme la similitude conserve le barycentre, l image de G par σ est le point G.. On considère la rotation r dc centre G et d angle π 3. a. AM = t AB AM = tam + t MB ( t MA + t MB = qui signifie que M est le barycentre du système de points {A( t ; B(t}. Par la rotation r l image de A est B, celle de B est C. La rotation conserve le barycentre, donc : r (M est barycentre du système {(B, t;(c, t}=n d après la première question. On admet de même quer r (N = P et r (P= M. b. Soit σ, la similitude directe de centre G de rapport GM ( GA et d angle GA, GM. On a par définition GA = GM GA qui se traduit GA en prenant les modules par GB?= GM ( GA GA=GM ; ( en prenant les arguments par GA, GA = GA, GM Conclusion A = M. On démontre de même que σ (B= N, σ (C=P. Antilles-Guyane 3 septembre 7

4 c. Il existe donc une similitude transformant A et B en respectivement M et N. Comme il n existe qu une similitude transformant deux points distincts en deux points distincts, la similitude unique transformant A, B et C en M, N et P est la similitude σ. EXERCICE 3 Question de cours Soit f une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ ; ]. On note f la fonction dérivée de f. On suppose que f est continue sur l intervalle [ ; ]. Soit f une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ ; ]. On note f la fonction dérivée de f. On suppose que f est continue sur l intervalle [ : ].. On intègre par parties :. L égalité précédente peut s écrire : f (x dx f (= f (xdx= [ x f (x ] x f (xdx = f ( x f (x dx [ ] f (x f ( dx = f (x dx.. On a lim x f (x=+ ; lim x f (x= ( + x f (x=ln. x x f (xdx f (x dx f (( = f (x dx. a. Par composition de fonctions dérivables, la fonction f est dérivable et : f (x= 4 u + x, avec u(x= u x ; f ( x (x= 4 = + x (+ x( x = 4 4 x. x b. Sur l intervalle ] ; [, x < 4, donc 4 x >. La dérivée est positive, donc la fonction est croissante de à+, avec f (=. Partie C Aire(P = f ( f (xdx = ln 3+ En posant u(x=4 x, u (x=?x. On a donc x f (xdx ln 3 (en utilisant A..= 4x 4 x = u (x u(x.,3 cm ce qui cor- On a donc Aire(P = ( ln 4 x ( 6 = (ln 3 ln 4=(ln 4 ln 3=ln ( 9 6 Comme l unité d aire est égale à cm, on a Aire(P =4ln 9 respond sensiblement au dessin.. 4x 4 x dx. Antilles-Guyane 4 septembre 7

5 j ı EXERCICE 4 Soit v = (v n n une suite. On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par u n = e v n +. 4 points. v = ln a, alors : u = e ln a + = e ln a + = +. Réponse a a. Si v est strictement croissante, alors : v est décroissante, e v est décroissante (car la fonction exponentielle est croissante et e v + l est aussi et est minorée par (au voisinage de+. Réponse d. 3. Si v diverge vers+, alors : lim n + e v n =, donc lim u n =. Réponse c. n + 4. Si v est majorée par, alors : v n v n e e v n e + e v n +. Donc réponse b. ( point Démontrer que pour tout entier naturel non nul, on a ln (u n + v n >. On a u n = +evn + = >. Donc ln(u n = ln(+ ln( = ln(+ v n ln(u n + v n = ln (+. Or >, donc ln(+ >ln =. Autre méthode : quel que soit n, + >. Par croissance de la fonction ln, on a ln(u n =ln(+e v n >ln (e v n = v n ; conclusion ln(u n + v n >. Antilles-Guyane 5 septembre 7

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