Chapitre 2 systèmes optiques simples : Miroirs et dioptres. A. MIROIRS Miroir plan Miroirs sphériques B. DIOPTRES Dioptre plan Dioptres sphériques

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1 Chapitre 2 systèmes optiques simples : Miroirs et dioptres A. MIROIRS Miroir pla Miroirs sphériques B. DIOPTRES Dioptre pla Dioptres sphériques 1

2 Rappel : Système optique / cetré Système optique : Esemble de milieux trasparets (homogèe et isotropes) séparés par des surfaces réfractates (dioptres) ou réfléchissates (miroirs). O distigue trois catégories de systèmes : Les systèmes dioptriques : (que des dioptres). Les systèmes catadioptriques: (des dioptres et des miroirs). Les systèmes catoptriques : (que des miroirs). Système optique cetré : tous les élémets sot cetrés sur u même axe ommée axe optique. 2

3 Image d u poit ʹ A.1. Miroir pla (MP) U miroir pla est ue surface plae capable de réfléchir la lumière presque e totalité. 1.1 : Formule de cojugaiso d u miroir pla : A : Objet réel : A : Image virtuelle. Le triagle AHI et A HI sot égaux = - Formule de cojugaiso d u miroir pla Objet et image ot symétriques par rapport au miroir. 3

4 Miroir pla 1.2 : Image d u objet poctuel A : Objet virtuel Aʹ : image réelle = - Pour le miroir pla l objet et l image sot toujours de ature opposée 4

5 Miroir pla 1.3 : Image d u objet étedu AB : objet réel AB : image virtuelle B B A Le gradissemet trasverse (parallèle au miroir) est : Miroir pla A Das le cas du miroir pla, l image est doc «droite» et de même taille que l objet : 5

6 Autres exemples A A B B 6

7 A B B A Remarque: Le gradissemet axial (perpediculaire au miroir) est de -1 : image reversée 7

8 Miroir pla 1.4 : Déplacemet du miroir a- Traslatio Lorsque le miroir se déplace de d, l'image correspodate se déplace de 2d b- Rotatio Le miroir toure d'u agle, l image toure das le même ses de 2 8

9 1.5 :Stigmatisme rigoureux? Lumière + r i Miroir pla = - A Objet réel H Axe optique A Image virtuelle Espaces objet et image réels Espaces objet et image virtuels Le miroir pla est stigmatique pour tous les poits de l espace. 9

10 miroir sphérique A.2. Miroirs sphériques (MS) 2.1. Défiitio : C est ue surface sphérique (calotte) réfléchissate défii par so axe optique, so cetre et so sommet S. O distigue deux types de miroirs sphériques. M Cocave (ou coverget ) M Covexe ( diverget ) + SC 0 + SC 0 S : sommet C : cetre C : cetre 10

11 Coditios géérales d'étude - le log de l'axe pricipal, le ses positif sera toujours le ses de la lumière icidete. - perpediculairemet à l'axe pricipal, le ses positif sera toujours dirigé vers le haut de la figure. - le ses trigoométrique sera, quat à lui, le ses positif pour les agles. 11

12 miroir sphérique 2.2. Relatio de cojugaiso et gradissemet 1. avec origie au sommet a- Formule de cojugaiso I i ( i ) ) w ) A C A H S Das l approximatio de Gauss H et S sot cofodus O a : ; ; 12

13 Les triagles : (CIA) et (CIA ) w = - i = w + i i = - w i = - w La loi de la réflexio : i = - i - w = w - + = 2 w Formule de cojugaiso avec origie au sommet 13

14 miroir sphérique b- Gradissemet B A C A B i i ( S i = - i 14

15 miroir sphérique 2. avec origie au cetre A B C A i i ( S 1 CA 1 CA' 2 CS B 3. avec origie au foyer CA' CA F' A' SF SF' FA Formule de Lagrage helmholtz : G 1 15

16 2.3. Positio des foyers a. Foyer objet objet A au foyer objet image A à l ifii + A à l Le foyer objet est au milieu de C F S f : distace focale objet F : foyer objet=f Miroir cocave coverget 16

17 b. Foyer image objet A à l ifii image A au foyer image + F F les deux foyers pricipaux d'u miroir sphérique sot cofodus et de même ature, sot réels si le miroir est cocave, virtuels si le miroir est covexe. F ou F S C Miroir covexe diverget 17

18 3. Autre Relatio avec origie au foyer 2.4. Costructio de l'image d'u objet Règles de costructio : Tout rayo passat par le cetre du miroir se réfléchit sur lui même; Tout rayo parallèle à l axe optique est réfléchi e passat par le foyer F ou F du miroir ; Tout rayo qui passe par le foyer F, est réfléchi parallèlemet l axe optique. B F' A' SF' SF FA A C A B F S 18

19 miroir sphérique Costructio de l'image d'u objet + B B S A A F C Remarque : - Le miroir cocave e doe jamais d image virtuelle d u objet virtuel. - Le miroir covexe e doe jamais d image réelle d u objet réel. 19

20 objet réel, image réelle objet réel, image virtuelle objet virtuel, image réelle - Le miroir cocave e doe jamais d image virtuelle d u objet virtuel. Objet réel, image virtuelle objet virtuel, image réelle objet virtuel, image virtuelle - Le miroir covexe e doe jamais d image réelle d u objet réel. 20

21 miroir sphérique 2.5. Costructio d u rayo quelcoque (E utilisat le foyer secodaire image) + P.F.I I + A I P.F.I A C F S S F C Miroir cocave coverget Miroir covexe diverget Tous les rayos parallèles à AI, après réflexio sur le miroir coverget e u poit, appelé foyer secodaire image (situé das le pla focal), 21

22 2.6. Vergece d u miroir sphérique O appelle vergece du miroir, la quatité otée V : L uité S.I de vergece est le m -1 ou dioptrie (symbole δ). U miroir cocave est coverget (V > 0), U miroir covexe est diverget (V < 0). 22

23 miroir sphérique 2.7. Stigmatisme rigoureux? Les seuls poits rigoureusemet stigmatiques pour u miroir sphérique sot: - so cetre de courbure C - les poits de sa surface réfléchissate. 23

24 Cas du miroir pla Equivalet au : Miroir sphérique de rayo ifii Miroir Sphérique Miroir pla Relatio de cojugaiso 1 SA 1 SA' 2 SC SA SA' Gradissemet = 1 24

25 Image d u poit B.1. Dioptre pla (DP) 1.1. Défiitio : U dioptre est ue surface de séparatio etre deux milieux d idice différet A 1 : Source, Objet réel A 2 : Image virtuelle I La positio de l image A 2 déped de l agle d icidece i 1 pas de stigmatisme rigoureux. 25

26 Dioptre pla 1.2. Stigmatisme rigoureux? La positio de l image A déped de l agle d icidece i Pas de stigmatisme rigoureux Le dioptre pla est stigmatique pour : - les poits à l ifii - les poits de la surface (ce cas est sas itérêt). 26

27 Dioptre pla 1.3. Image d u poit Das les coditios de Gauss (petits agles), la relatio deviet (1 i1=2 i2) A 1 A Relatio de cojugaiso d u dioptre pla 27

28 Dioptre pla Remarques A et so image A sot toujours : - situés sur la même ormale au dioptre - situés du même côté du dioptre -de ature différete: si l'u est réel, l'autre est virtuel et réciproquemet. A 1 : Objet réel A 2 : Image virtuelle i 1 i 2 1 > 2 1 < 2 si 1 > 2, A est toujours plus éloigé de la surface du dioptre que A ; iversemet si 1 < 2, A est toujours plus proche de cette surface que A. i 1 i 2 28

29 Dioptre pla 1.4. Image d u objet étedu a1. Cas de l'objet AB parallèle à la surface du dioptre AB : objet réel AB : image virtuelle B Cas où DP B A Espaces objet réel et image virtuel A Espaces objet virtuel et image réel L image d u objet pla parallèle au dioptre est ue image plae parallèle au dioptre et de même dimesio. aplaétique. Le gradissemet liéaire est alors: 29

30 a2.. Cas de l'objet A 1 B 1 parallèle à la surface du dioptre Le gradissemet liéaire est: b. Cas de l'objet A 1 B 1 perpediculaire à la surface du dioptre Le gradissemet liéaire est : 30

31 Exercice d applicatio U poteau vertical de hauteur 4,5m, est platé au bord d u bassi de profodeur uiforme H=1,8m. Les rayos du soleil fot u agle i1=42 avec la vertical. Calculer l ombre portée du poteau sur le fod du bassi. a. Si le bassi est vide b. Si le bassi est rempli d eau d idice =4/3. solutio : soit l est logueur d ombre du poteau a. Le bassi est vide: l = H + h ta i 1 = 4,5 ta 42 = 4,1m b. Le bassi est rempli d eau: l = l 1 + l 2 =h ta i 1 + H ta i 2 Loi de réfractio : 1 si i 1 = 2 si i 2 l=3,47m i 2 = si 1 1 si i 1 2 = 30 31

32 Exercice : Image d u poisso das u aquarium Soit A u élémet poctuel du poisso se trouve à 1 m de la paroi. Trouver la positio de l image A de A à travers le dioptre eau-air. E déduire l image globale du poisso. 32

33 Solutio : Image d u poisso das u aquarium Formule de cojugaiso d u DP I H A A 1 AN : = 1.33 ; U poisso qui l o croit être à 75 cm de la paroi (HA ) est e fait à 1 m (HA) : il y a rapprochemet apparet. Image globale du poisso : 33

34 B.2. DIOPTRE SPHÉRIQUE DIOPTRE SPHÉRIQUE Défiitio : U dioptre sphérique est ue surface sphérique réfrigete, séparat deux milieux homogèes et trasparets d idice différets. + C : cetre S : sommet + S C Cocave : SC 0 Covexe : SC >0 34

35 L ivariat fodametal du DS s écrit: + i i CA IA CA' ' IA ' < ) A ) H Appliquos la relatio des sius au triagle CIA : (1) Puis au triagle CIA : (2) CA IA CA' ' IA ' 35

36 2.1- Formule de cojugaiso avec origie au sommet L ivariat fodametal du DS s écrit: CA IA CA' ' IA ' Coditios de Gauss : I S Relatio de Chasles 36

37 Formule de cojugaiso avec origie au sommet : SA ' SA' ' SC S A A fixe la positio de A idépedammet du choix du rayo AM (coditios de Gauss) 37

38 B Gradissemet avec origie au sommet + + > ' A C i ( S i A B i = i γ = A B AB = SA SA Attetio au sige des agles: positifs das le ses trigoométrique, égatifs e ses iverse (ses des aiguilles d ue motre). 38

39 2.1 Formule de cojugaiso avec origie au cetre L ivariat fodametal du DS s écrit: CA IA CA' ' IA ' Coditios de Gauss : I S Relatio de Chasles 39

40 2.2. Gradissemet avec origie au cetre a- Formule de cojugaiso A A C CA' ' CA Gradissemet liéaire ' CS V B A C i ( ' S i Appliquos le théorème de Thalès aux triagles : (CAB) et (CA B ) A > B 40

41 Foyer objet, distace focale objet et pla focal objet Foyer objet : C est le poit cojugué dot l image est à l ifii sur l axe optique. ' ' SA SA' SC A F P.F.O objet A au foyer A à l SF image A à l ifii ' SC f : distace focale objet F : foyer objet f SF SC ' Le pla perpediculaire à l axe optique e F est le pla focal objet. 41

42 Foyer image, distace focale image et pla focal image Foyer image : C est le poit cojugué dot l objet est à l ifii sur l axe optique. ' ' P.F.I SA SA' SC A à l objet A à l ifii image A au foyer image A F ' ' SF' SC F : foyer image f : distace focale image f' SF' SC ' ' Le pla perpediculaire à l axe optique e F est le pla focal image. 42

43 Pour u système optique, les foyers pricipaux image et objet sot uiques. Si les foyers sot à l ifii le système est dit AFOCAL. le dioptre pla réalise u système afocal. 43

44 Remarques F C S F ' SA' SA ' SF' SF Les distaces focales ot des siges opposés. Les foyers sot tous les deux réels ou tous les deux virtuels. Le milieu du segmet [FF] coïcide avec celui du segmet [SC] Il y a jamais de foyer etre S et C. O a : ; Ces relatios permettet de placer u foyer quad o coaît l autre. 44

45 2.2 Autres formes de la relatio de cojugaiso ' SA' SA ' SF' SF SF' SA' SF SA 1 A S A F F Relatio de Descartes Relatio de Chasles Relatio de Newto avec origie aux foyers 45

46 2.4- Vergece d u dioptre C est la quatité : V ' SC ' SF' SF mesurée e dioptrie qd R est e (m) Si V > 0 (f > 0) Si V < 0 (f < 0) dioptre coverget dioptre diverget 46

47 Dioptres covergets V ' SC SF' Cocave > Covexe < ' SF Dioptre coverget Dioptre coverget U dioptre est coverget si les foyers sot réels et so cetre C est situé das le milieu le plus réfriget. 47

48 Dioptres divergets ' ' V SC SF' Cocave < Covexe > SF Dioptre diverget Dioptre diverget U dioptre est diverget si les foyers sot virtuels et so cetre C est situé das le milieu le mois réfriget. 48

49 2.5-a Costructio de l image d u objet AB Utilisatio de 3 rayos particuliers : 1 2 B F A A F C S B Tout rayo // à l axe optique émerge du (DS) e passat par F. Tout rayo passat par le cetre C du dioptre est pas dévié. Tout rayo passat par F ressort du (DS) // à l axe optique. 49

50 2.5-b Costructio de l image d u objet AB < Dioptre diverget B B A F A C S F 50

51 Foyers secodaires, Pla focal objet et Pla focal image PFO Φ F C S F PFO : pla focal objet F PFO Φ ( foyer secodaire objet). PFI PFI F F Φ F Φ ( foyer secodaire image). PFI : pla focal image 51

52 2.6- a Costructio d u rayo quelcoque (E utilisat le foyer secodaire image) Tous les rayos parallèles à AI coverget à la sortie e Φ ( foyer secodaire image). A F C Dioptre coverget ( > ) I S PFI Φ F A Tout poit apparteat au pla focal image est appelé foyer secodaire image Φ. 52

53 2.6- a Costructio d u rayo quelcoque (E utilisat le foyer secodaire image) I PFI Φ A A F C S F Dioptre coverget ( > ) 53

54 2.6-b Costructio d u rayo quelcoque (E utilisat le foyer secodaire objet) O cherche l'itersectio du rayo icidet avec le pla focal objet. O trace u rayo passat par le cetre C du dioptre et le foyer secodaire. PFO I A Φ A F C S F Dioptre coverget ( > ) Le rayo réfracté est parallèle à C 54

55 2.6-b Costructio d u rayo quelcoque (E utilisat le foyer secodaire objet) < PFO I Φ A F C S F Dioptre diverget 55

56 2.7- Gradissemet (liéaire) trasversal g A' B' AB B A ) i ( S ( C i I ' A l origie au sommet : A' B' AB ' SA' B SA l origie au cetre : A' B' AB CA' CA l origie prise aux foyers : F' A' SF' SF FA 56

57 2.8- Relatio de Lagrage Helmholtz > A B Or L ivariat de Lagrage Helmholtz 57

58 2.9- Gradissemet agulaire (grossissemet) G O appelle gradissemet agulaire le rapport des agles et que fot les rayos icidets et émerget correspodat. > A B Formule de Lagrage Helmholtz 58

59 2.10. Stigmatisme rigoureux? Le dioptre sphérique est rigoureusemet stigmatique pour : so cetre (car objet et image sot cofodus). Les poits de la surface du dioptre. les poits de Weierstrass (ou poits d Youg) objet et image 59

60 Chap. 2 Miroirs et dioptres Cas du dioptre pla Equivalet au : Dioptre sphérique de rayo ifii elatio de ojugaiso Dioptre Sphérique Dioptre pla SA ' SA' radissemet A' B' AB ' SA' SA = 1 60

61 Equivalet au Miroir sphérique =- Les relatios de cojugaiso et de gradissemet d u MS se déduiset de celles d u dioptre sphérique e posat : = - Dioptre sphérique Miroir sphérique relatios de cojugaiso avec : origie au sommet origie au cetre origie aux foyers Gradissemet liéaire 1 CA 1 CA' 2 CS A' B' SA' AB ' SA ormule de Lagrage Helmholtz G 1 61