Recherche élégante en maths. Karim Turki
|
|
- Cyril Meunier
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Karim Turki Recherche élégae e mahs
2
3 Ava-propos Ce ouvrage propose aux élèves de classes ermiales (spécialié mah) qui veule aller rès loi e appredre la recherche assez o e aux éudias maheux aisi que les eseigas des scieces mahémaiques des problèmes gééraleme difficiles e rès origiaux e élégas, ils pocue des résulas rès célèbres rareme ou jamais vu e ermiale secodaire, pluô, ils fo l objecif du programme du premier cycle supérieur, l aou de l ouvrage es de saisfaire la curiosié des maheux e les élies e les prépara pour developper leur echiques de recherche e leurs offra ue boe culure mahémaique, des asuces rès difficiles e surou des echiques de résoluio de problèmes mahémaiques o courae pour les classes de ermial. L ouvrage présee quelques résula de recherche das la vie de l aueur a parir du secodaire, éude supérieur e sa vie e a qu eseiga de mahémaiques. Les résulas de l ouvrage so soi des ouveaux résulas, soi des résulas célèbres recosrui avec des moyes élémeaires. Les aquis écéssaires pour résoudre les problèmes de l ouvrage so les aquis du bac ou légèreme plus. Les complémes de cours so des résulas rès classiques (qui figure das le programme de ermial uisie spécialié mah e e so pas des objecifs das le programme fraçais) e do la coaissace es uile e idispesable pour résoudre e bie compredre les problèmes proposés. rois chapires so préseés das ce ouvrage : Aalyse Arihméique Complexe 3
4 4
5 «Préseaio de l ouvrage» A/ Arihméique : Problème : Recherche de deux eiers ( a, b) IN vérifia a + b = m avec m u eier rès grad. Problème : x p premier [ ] = p 4 [ ] o cosrui explicieme u eier x vérifia p = s+ Problème 3 : Soi e IN e Si p e p premier alors Si s e p es premier alors Problème 4 : 3 Si premier e 5alors divise La démosraio es rès origiale e assez coure présea sep degrés de difficulés (sep éapes) faisa ierveir simpleme de l arihméique. Problème 5 : U [ p] Si premier e 5 alors divise k= La démosraio de ce résula s ispire de celle de la démosraio précédee. U U p = k k + p C = ( )! k 5
6 Problème 6 : Nouvelle démosraio du résula : Si p premier 4 [ ] alors ( a, b) el que p = a + b. Le ouveau das cee démosraio, c es qu o uilise par la héorie des groupes mais simpleme de l arihméique e se limia aisi au programme du ermial S spécialié mah. Problème 7 : Nouvelle démosraio du héorème des sommes des carrés : m IN* es somme de deux carrés das la décomposiio caoique e 34 [ ] produi de faceur premier, ou faceur premier es d exposa paire. Le ouveau ici es qu o exclue das la démosraio, la héorie de groupe e la remplaça par ue récurrece rès difficile e origiale sur des ombres premiers. O se limie égaleme à l arihméique. Problème 8 : Résula : 3 [ ] Si p premier alors ( a, b) el que : p = a ab+ b. La démosraio se limie égaleme au programme de ermial S spécialié mah : seuleme de l arihméique sas héorie de groupe. Problème 9 : Résula : m IN*, ( a, b) el que m = a + b ab das la décomposiio caoique e produi de faceurs premiers, ou faceur premier 3 [ ] es d exposa paire. La démosraio es aussi ouvelle faisa exclure la héorie des groupes e se limia à l arihméique, e ue ouvelle fois ue récurrece sur les ombres premiers. Problème : résula : l esemble des ombres premiers [ ] es ifii. La démosraio es coforme au programme de ermial S spécialié mah uilisa simpleme de l arihméique. Démosraio ouvelle e origiale. Problème : l esemble des ombres premiers Problème : l esemble des ombres premiers [ 4] [ 3] es ifii es ifii 6
7 Problème 3 : Le bu du problème es de prouver que Δ ( u m,u) = u Δ ( m,) avec ( u ) la suie défiie par : u =, u = e IN u + = u + + u Problème 4 : Le problème démore le résula suiva : 3 Si ( x,p,q) ( IN* ),d ( p,q) e d mp q alors Problème 5 : Le problème démore le résula suiva : Δ ( pa + qb, ra + sb) ( a,b) Calcul de e focio de avec Problème 6 : Δ ( u m,u) = u ( ) Le problème démore le résula suiva : Δ m, ( u avec ) la suie défiie par : u =,u = e IN u+ = 3u + u Problème 7 : Le problème éudie l applicaio idicaeur d Euler e quelques ϕ( ) applicaios, par exemple : Si Δ ( a,) = alors a [ ] ; e si d,d,...,d so les diviseurs de alors sas uiliser la héorie des groupes. Problème 8 : Ce problème éudie les polyômes cyclomaiques, démosraio du s résula suiva : x = φd ( x) i avec d,d,...,ds so les diviseurs de e se i= limia à l arihméique sas uiliser la héorie des groupes. B/ Aalyse : Problème : = Δ = x d = Δ( x mp,x q ) s = ϕ i= ( d ) Calcul de série de Riema d exposa i Δ ps qr = s lim + k= k s ispira des série de Fourier bie ravailler pour êre compaible avec le iveau de ermiale secodaire S. = 6 e 7
8 Problème : Méhode de Holme pour calculer la série de Riema d exposa e so applicaio pour calculer : avec adapé au iveau ermial secodaire (asuces ouvelles rès iéressaes) Problème 3 : Méhode de Papadimirou pour calculer la série de Riema d exposa. Problème log plei de difficulés e asuces origiales. Problème 4 : Iégrales de Wallis e ses applicaio : Formule de Wallis, formule de Sirlig e iégrale de Gauss limx e d, le ouveau das ce problème es l iégrale de Gauss à l aide de Wallis gééraleme éudié e er cycle scieifique supérieur (mah sup.) lim Problème 5 : Le bu de ce problème es de démorer que : k + + k Problème 6 : Calcul de l iégrale de Gauss e uilisa la focio iermédiaire cos e cos iéressaes. si x dx = x x défiie sur p+ x. Le problème présee des difficulés Problème 7 : Ce problème perme de calculer l iégrale de Poisso x Logx dx x ( + ), 4 p IN ( ) = ( + ) I ( x ) = I( x) I x Log x x cos d e démora que qui es u suje d éude du cycle préparaoire aux grades écoles (mah sup. e mah spé.). Il es préseé coforméme au programme de ermial S. Problème 8 : Ce problème perme de calculer l iégrale de Poisso e uilisa la somme de Riema. 8
9 Problème 9 : Le bu du problème es d explicier e développer e série eière la focio cos I ( x) = d pour x ],[. Ce problème a éé le suje d u xcos cocours d admissio à l école polyechique, 86. Ce problème es plei de rucs origiaux coformes au programmes de ermial S. Problème : Ce problème perme de calculer la série ( ) k lim + = + ( λ IR / ) par l iermédiaire de la suie k= k λ λ si λ U = cosλx.cosx dx. Ce problème éai le suje du cocours des mies 984. coforme au programme de ermial S. Problème : Ce problème perme ue ouvelle cosrucio de la focio expoeielle. C es la soluio du problème : H l esemble des applicaios de IR das IR el que : f H i) f:ir IR coiue e O o ideiqueme ulle. f () = e avec e = lim k k! ii) = k x h( x) = lim O démorera que k k! es l uique éléme de H. Ce problème es ue ouvelle vue de la cosrucio de la focio expoeielle. Problème : Ce problème perme de démorer la formule du biôme k k k ( a+ b) = Ca b k= sas uiliser le héorème de récurrece i la héorie de dérivaio. Le ouveau das ce problème es qu il suppose icoue la k C suie das le développeme de ( a+ b). 9
10 Problème 3 : Le bu du problème es de prouver que es irraioel e uilisa de l aalyse e de l arihméique coforméme au programme de ermial S spécialié mah. Problème 4 : Le bu du problème es de prouver que e es o algébrique d ordre c es-à-dire qu il exise pas rois eiers a, b e c o ous uls vérifia : ae + be + c = Problème 5 : Le bu du problème es de jusifier l irraioalié de Problème 6 : Le problème éudie l aire d u cercle par deux méhodes aalyiques e géomérique e démore la formule de Fraçois Vièe à savoir : Problème 7 : Le problème déermie la limie de la suie ( u ) défiie par : u = e IN u = e + Problème 8 : = u e e Le problème défii la focio euréliee Problème 9 : k ( ) IN C = C k= propriéés. sire:c/ Complexe : + x Γ ( x) = e d avec quelques I/ Rappels de cours : i) Théorème de Polémée. ii) La somme des carrés des diagoales d u parallélogramme es égal à la somme des carrés des ses quare côés.
11 iii) Si A, B, C, D e E ciq pois du pla e r > alors il exise u poi C M du cercle ( A,r ) 5 el que MA.MB.MC.MD.ME r. iv) Recherche des applicaio défiies sur vérifia : i i 3 3 z f ( z) + f e z f e z = z v) C es u problème de complexe doa l expressio de cos = 7 6
12
13 Chapire Aalyse 3
14 4
15 Problèmes résolus : Problème : (série de Riema d exposa : ) A / Pour IN* o pose : U = = k = k 3 V = + = k = ( k ) k 3 ( ) e ) Trouver deux réels a e b el que ( ). E déduire que = IN*; V ) Morer que U es croissae e que IN*; U V e que ( U ) coverge. B/ Pour IN*, o défii les focios C e S sur [,] par : [, ]; C () = cosk () k= e S = sik ) Morer que [, ]; C () is () IN ; lim = x + k k 6 = = a + b + si.cos E déduire que [ ] () C, ; C = e ( ) =. si k= e + = i i e e i( + ) 5
16 Cee focio C [,] aisi défiie es elle coiue sur? ) Soi g :[, ] IR, g () = si ], ] e g ( ) = + a) Morer que g es coiue sur [,] b) Morer que [, ]; g () = + C() 3) Morer que cos d = e e déduire que = () 4) Morer que avec C/ Soi + si si IN*;U + I = = () 6 U C d I g d f: [, ] IR; f() = si ], ] ef( ) = si ) Morer que f es coiue sur [,], e déduire que M IR el que : [, ] ; f() M ) a) Morer que f es dérivable sur ], ] e calculer f' () pour ], ] f' = b) Morer que f es dérivable e e que ( ) (idicaio : morer que ). 3) a) Morer que b) E déduire que f' es coiue sur [,] c) E déduire M' IR el que [ ] () 4) a) Morer que b) E uilisa ue iégraio par parie morer que c) E déduire 3, ; si 4 3, ; si cos 8, ; f ' M ' + = () IN ; I f si d lim = + k k 6 = lim I = + 6
17 Soluio (P) : A/ ) ) IN*;U+ U= U es croissae ( + ) U es croissae majorée doc U es covergee. B/ IN, = ( ) V = + k = ( k ) k = +... k k k = = = ( ) k k k k k k k k U V ( ) () () IN* ; C = cos k e S = si k k= k= i ( ) ) ], ] C () is () cosd isid e i + = ], ] doc e k + = k + i i i i ( e i ) i + + i e e e.e e.e i = e = = e i e i i i i i e.e e.e + i i si e = i i si e i si + = e. si si + + = cos + i si si 7
18 C es coiue sur [,] g : ) [, ] IR ( + ) si g () = si eg ( ) = + si a) lim g () = lim = = + = g ( ) + +. g es coiue sur [,] b) [, ], C () = g () si ], ] Si = g( ) = + C( ) = +, [, ];g() = + C() 3) Soi IN*, ( ) ( ) + + si.cos si.si C () = e S () = IN* ;, si si é ( ) C = = k= ] ] si ( + ) ( + ) si cos.cos. lim C () = lim = lim = = = C ( ) si si = 3 ( + ) si si ( + ) ( ) + + si + si.cos si si + si + = = si si cos cos = d si = si si = cos d. d 8
19 () C d = cos k d cos k d U = = = k= k= k= k 4) Pour IN* I = g () d U + I = C () g () d 3 = 6 = = 6 6 C/ f () = si ], ] e f ( ) = si ) lim f lim si f f es coiue sur, () = = = = ( ) [ ] + + f es coiue sur u iervalle fermé boré doc M IR el que [, ] f () M U() = ], ], U' () U = lim U =, U > + () ] ] () doc elle es borée es croissae sur, si f Or ], ] () ], ] o a : > > f( ) = Or ], ] f() > M> ; [, ] < f() < M ) a) f es dérivable sur () f' ], ]; ], ] [,] b) À l aide d éude de sige des focios o démore que : ],] si cos f' () = si si cos si cos = 4 si si 3, ; si 4 9
Développement en Série de Fourier
F-IRIS-5.ex Développeme e Série de Fourier Développer e série de Fourier les focios de période T défiies aisi : a b { f impaire T = f = si ] ; { f paire T = f = si ; ] Faire das chaque cas ue représeaio
Plus en détailS euls les flux de fonds (dépenses et recettes) définis s ent l investissement.
Choix d ives i s s eme e cer iude 1 Chapire 1 Choix d ivesissemes e ceriude. Défiiio L es décisios d ivesissemes fo parie des décisios sraégiques de l erepris e. Le choix ere différes projes d ivesisseme
Plus en détailIntégrales dépendant d un paramètre
[hp://mp.cpgedupuydelome.fr] édié le 3 avril 5 Eocés Iégrales dépeda d u paramère Covergece domiée Exercice [ 9 ] [correcio] Calculer les limies des suies do les ermes gééraux so les suivas : a) u = π/4
Plus en détailIntégrales généralisées
3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle
Plus en détailExercices de révision
Exercices de révisio Exercice U ivesisseur souscri à l émissio d u bille de résorerie do les caracérisiques so les suivaes : - Nomial : 5 M - Taux facial : 3,2% - Durée de vie : 9 mois L ivesisseur doi
Plus en détailn 1 LES GRANDS THÈMES DE L ITB > 2009 Les intérêts simples et les intérêts composés ( ) C T D ( en mois)
LES GRANDS THÈMES DE L ITB Les iérês simples e les iérês composés RAPPELS THÉORIQUES Les iérês simples : l'iérê «I» es focio de la durée «D» (jour, quizaie, mois, rimesre, semesre, aée) de l'opéraio (placeme
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détailTrading de Volatilité
M émoire moire d Eude d Approfodisseme Tradig de Volailié Chrisia DIDION & Thomas JANNAUD Valdo DURRLEMAN Ecole Polyechique Sommaire Iroducio. Modèle de Blac-Scholes. Iroducio 44. Modèle de Blac & Scholes..5
Plus en détailCalculer comment se constituer un capitale ; Calculer comment rembourser une dette en effectuant des versements réguliers.
CHAP: 8 Objecifs de ce chpire : Clculer comme se cosiuer u cpile ; Clculer comme rembourser ue dee e effecu des versemes réguliers. RAPPELS : Qu'es-ce qu'ue vleur cquise? Qu'es-ce qu'ue vleur cuelle? Le
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détailComportement mécanique d'un faisceau de câble automobile
SP7 : Élecroique Sysème Posiioeme Allocaio Câble Eviroeme (E-SPACE) Comporeme mécaique d'u faisceau de câble auomobile Travaux de Gwedal CUMUNEL préseés par Olivia PENAS LISMMA - Supméca 1 Pla SP7: ESPACE
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détailSéries numériques. Chap. 02 : cours complet.
Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détail2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre.
1 Examen. 1.1 Prime d une opion sur un fuure On considère une opion à 85 jours sur un fuure de nominal 18 francs, e don le prix d exercice es 175 francs. Le aux d inérê (coninu) du marché monéaire es 6%
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détailÀ travers deux grandes premières mondiales
Les éco-i ovatio s, le ouvel a e st at gi ue d ABG À travers deux grandes premières mondiales - éco-mfp, premier système d impression à encre effaçable - e-docstation, premier système d archivage intégré
Plus en détailM e t h o d o l o g i e s & W o r k i n g p a p e r s. Manuel des indices des prix de l immobilier résidentiel
M e h o d o l o g i e s & W o r k i g p a p e r s Mauel des idices des prix de l immobilier résideiel Édiio 23 M e h o d o l o g i e s & W o r k i g p a p e r s Mauel des idices des prix de l immobilier
Plus en détailLes nouveaux relevés de compte
Ifo CR Les ouveaux relevés de compte Les relevés de compte actuels du Crédit Agricole de Champage-Bourgoge sot issus de la migratio iformatique sur le GIE AMT e 2001 : petit format (mais A4 pour les Professioels),
Plus en détailAccueil Events, l accueil personnalisé des touristes d affaires Informations, bonnes adresses, réservations et découvertes!
Lyon City Card 1 jour 2 jours 3 jours Ta xis et M inibus - Tarifs forfaitaires Jour : 7h - 19h Nuit : 19h - 7h Lyon/ Villeurbanne - Aéroport St Exupéry 59 81 Lyon 5ème et 9ème excentrés - Aéroport St Exupéry
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailUne action! Un message!
Ue actio! U message! Cotact Master est u service exclusif de relaces automatiques de vos actes vers vos cliets, par SMS, messages vocaux, e-mails, courrier... Il se décleche lorsque vous réalisez ue actio
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détailTD/TP : Taux d un emprunt (méthode de Newton)
TD/TP : Taux d un emprun (méhode de Newon) 1 On s inéresse à des calculs relaifs à des remboursemens d empruns 1. On noera C 0 la somme emprunée, M la somme remboursée chaque mois (mensualié), le aux mensuel
Plus en détailMTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie. MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
VARIABLES ALÉATOIRES déo oco de réro vrble léore dscrèe moyee - vrce - écr ye esérce mhémque vrble léore coue oco d ue vrble léore : rsormo combso lére de vrbles léores Déo E : eérece léore S : esce échllol
Plus en détailFormation d un ester à partir d un acide et d un alcool
CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester
Plus en détailLE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailNous imprimons ce que vous aimez!
Nous imprimos ce que vous aimez! Persoalisé simple différet Catalogue de produits Tapis stadard tapis logo tapis publicitaire Nous imprimos ce que vous aimez! 2 I JOBET JOBET Vous et vos cliets serez coquis...
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détail16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.
16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailVA(1+r) = C 1. VA = C 1 v 1
Universié Libre de Bruxelles Solvay Business School La valeur acuelle André Farber Novembre 2005. Inroducion Supposons d abord que le emps soi limié à une période e que les cash flows fuurs (les flux monéaires)
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailTutoriel Infuse Learning. Créer des quizzes multimédias sur ordinateur ou tablette
Tutoriel Infuse Learning Créer des quizzes multimédias sur ordinateur ou tablette 1- Présentation Infuselearning.com est un service web (en ligne) gratuit qui permet aux enseignants de créer des exercices
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détailLogiciel de synchronisation de flotte de baladeurs MP3 / MP4 ou tablettes Androïd
easylab Le logiciel de gestio de fichiers pour baladeurs et tablettes Visualisatio simplifiée de la flotte Gestio des baladeurs par idividus / classes / groupes / activités Activatio des foctios par simple
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailTB 352 TB 352. Entrée 1. Entrée 2
enrées série TB logiciel d applicaion 2 enrées à émission périodique famille : Inpu ype : Binary inpu, 2-fold TB 352 Environnemen Bouon-poussoir TB 352 Enrée 1 sories 230 V Inerrupeur Enrée 2 Câblage sur
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailOpérations bancaires avec l étranger *
Opératios bacaires avec l étrager * Coditios bacaires au 1 er juillet 2011 Etreprises et orgaismes d itérêt gééral Opératios à destiatio de l étrager Viremets émis vers l étrager : viremet e euros iférieur
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailCOMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?
Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailExamen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot
Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailLES ESCALIERS. Du niveau du rez-de-chaussée à celui de l'étage ou à celui du sous-sol.
LES ESCALIERS I. DÉF I NIT I O N Un escalier est un ouvrage constitué d'une suite de marches et de paliers permettant de passer à pied d'un niveau à un autre. Ses caractéristiques dimensionnelles sont
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailCompte Sélect Banque Manuvie Guide du débutant
GUIDE DU DÉBUTANT Compte Sélect Baque Mauvie Guide du débutat Besoi d aide? Preez quelques miutes pour lire attetivemet votre Guide du cliet. Le préset Guide du débutat vous facilitera l utilisatio de
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailMolécules et Liaison chimique
Molécules et liaison chimique Molécules et Liaison chimique La liaison dans La liaison dans Le point de vue classique: l approche l de deux atomes d hydrogd hydrogènes R -0,9-1 0 0,5 1 1,5,5 3 3,5 4 R
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailExemples de résolutions d équations différentielles
Exemples de résoluions d équaions différenielles Table des maières 1 Définiions 1 Sans second membre 1.1 Exemple.................................................. 1 3 Avec second membre 3.1 Exemple..................................................
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détail1.1 Codage de source et test d hypothèse
Théorie de l information et codage 200/20 Cours 8février20 Enseignant: Marc Lelarge Scribe: Marc Lelarge Pour information Page webdu cours http://www.di.ens.fr/~lelarge/info.html Notations Pour des variables
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailGérer les applications
Gérer les applicatios E parcourat les rayos du Widows Phoe Store, vous serez e mesure de compléter les services de base de votre smartphoe à travers plus de 10 000 applicatios. Gratuites ou payates, ces
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détail