Chap2 Les suites : Raisonnement par récurrence limites de suites

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1 I Rappels de première Chap2 Les suites : Raisoemet par récurrece limites de suites II Suites majorées, miorées, borées Défiitios : O dit qu ue suite ( u ) est majorée lorsqu il existe u réel M tel que pour tout de N : u O dit que M est u majorat de la suite ( u ). O dit qu ue suite ( u ) est miorée lorsqu il existe u réel tel que pour tout de N : u O dit que m est u miorat de la suite ( u ). O dit qu ue suite ( u ) est borée lorsqu elle est majorée et miorée : Pour tout de N, Remarque : ue suite peut avoir plusieurs majorats ou miorats. Exemple : soit ( u ) ue suite défiie par u = 2+5 N. Motrer que la suite ( u ) est borée soit 1 u 5 N 2+1

2 III Raisoemet par récurrece : Le pricipe Lorsque o veut démotrer par récurrece ue propriété P Etape 1 O vérifie tout d abord que la propriété marche pour le premier e gééral =0 ou =1 Etape2 : O suppose que la propriété est vérifiée pour u doé et o démotre alors que si la propriété est vérifiée pour le rag elle est aussi vérifiée pour le rag suivat +1 Etape3 : o e coclut que par hérédité la propriété P est vérifiée pour tout de N Le pricipe de récurrece peut être illustré par exemple par les domios propriété P : le domio tombe Etape 1 : Iitialisatio : Actio : faire tomber le premier domio Etape 2 : si le domio tombe alors il fait tomber le domio suivat soit le domio +1 Etape 3 : coclusio : tous les domios tombet les us après les autres dès lors que l o a ecleché le processus par la chute du premier domio Exemple : u 0 = 10 ; u +1 = f( u ) = 9 + 2u, N ; Calculer à l aide de votre calculatrice les premiers termes de la suite O costate que la suite ( u ) est.et. Nous allos alors le démotrer par récurrece Motros tout d abord par récurrece que la suite ( u ) est. pour tout de N La propriété à démotrer par récurrece est P : soit. pour tout de N Etape 1 : o vérifie que P est vérifiée pour =0 Etape 2 : hypothèse de récurrece Etape 3 : Coclusio : doc par hérédité o peut dire que La deuxième propriété à démotrer par récurrece est P : la suite ( u ) est soit..pour tout de N Etape 1 : o vérifie que P est vérifiée pour =0 Etape 2 : hypothèse de récurrece Etape 3 : Coclusio : doc par hérédité o peut dire que Si o chage la valeur de u 0 par exemple u 0 =1, et o a toujours u +1 = 9 + 2u comportemet? Le démotrer par récurrece. ( 0 <= u <=5), la suite (u ) a-t-elle toujours le même Autres types d exercices avec démostratio par récurrece Ex1 : Soit ( u ) la suite défiie par u 0 = 0 et u +1 = 2 u + 1 Motrer par récurrece que u = 2-1 pour tout de N Ex2 Motrer par récurrece que ( g ) = g g -1 où g est ue foctio défiie et dérivable sur u itervalle I

3 IV Limites de suites 1)limite d ue suite : suite divergeteou covergete a)défiitio d ue suite divergete Exemple1 Soit la suite ( u ) est défiie par u 0 = 2 et u +1 = u ², N Calculer les 10 premiers termes de la suite. Que costate t-o? Exécuter le programme pour M=10 5 puis pour M= 10 8 et expliquer Algobox F1(x)=x² Casio mettre ds meu table Y1=X² "premier terme "? U exe 0 N exe "majorat M"? M exe While U < M exe N+1 N exe U X exe Y1 U exe Whileed exe "U >= M à partir den=" exe N exe Exemple2 la suite ( u ) est défiie par u 0 = 2 et u +1 = -u ², N les premiers termes de la suite sot Cas gééral Défiitio1 Ue suite ( u ) a pour limite + si et seulemet si.. p u.. A partir d u certai rag p,tous les termes de la suite dépasset u réel M très grad O dit alors que la suite ( u ) est. et vers + et o ote lim u = + + Défiitio2 : Ue suite ( u ) diverge vers - si la suite ( - u ) diverge vers + o écrit alors lim u = - + Exemple3 : les suites alterées : ex u = 2 ( -3 ) calculer les premiers termes de la suite et expliquez so comportemet Défiitio3 : O dit aussi qu ue suite est divergete lorsque celle-ci a pas de limite b)défiitio d ue suite covergete Exemple Soit la suite ( u ) défiie par u 1 = 5 et u +1 = 2 u, N* Calculer les 10 premiers termes de la suite. Que costate- t-o? Exécuter le programme et expliquer so rôle Algobox Casio F1(X)= 2 + X = sqrt(2+x) ds TABLE Y1= 2 + X ds le programme pour Y1 vars GRPH Y pour la valeur absolue OPTN Num ABS "premier terme "? U exe 1 N exe While ABS(U-2)>10^(-3)exe N+1 N exe U X exe Y1 U exe Whileed exe Cas gééral Défiitio Ue suite (u ) admet pour limite u réel L si et seulemet si u. pour p O dit alors que la suite ( u ) est et o ote lim u = L "1,999 U 2,001 à partir de N=" exe N exe

4 c)propriétés : Les suites de terme gééral 1, 1 2, 1 i avec i etier supérieur ou égal à 1, 1 Les suites de terme gééral, ², i, avec i etier supérieur ou égal à 1, sot Si la suite ( u ) coverge vers u réel L, cette limite L est uique sot covergetes et coverget vers. 2)Opératios sur les limites a)limite d ue somme Exemple Calculer la limite des suites (u ), (v ) et (w ) défiies par u = + 1, N* et v = ² + 3 N, w = ² - 3 N Règles de calcul Lim u L L L Lim v L Lim u + v b)limite d u produit de deux foctios Exemple : Calculer la limite des suites (u ), (v ) défiies par : u = -2² N v = 1 Règles de calcul Lim u L L >0 L< 0 L > 0 L < Lim v L Lim u v ², N* c)limite de l iverse d ue foctio : Exemple : Calculer la limite des suites (u ), (v ) défiies par u = 3 Règles de calculs Lim u L 0 O Lim 1 u ² v = 1 2, N* d)limite d u quotiet de deux foctios : Exemple : Calculer la limite des suites (u ), (v ), ( w ), ( t ) défiies par u = = Règle de calcul Lim u L L Lim v L L >0 L < 0 L >0 L <0 Lim u v, v = 2+1 ²+1, w = ² , t = N* Lim u L>0 L< 0 L >0 L< Lim v Lim u v Exemple : Calculer les limites des suites défiies par u = ² v = ( 1+ 1 )( -+3) w = 1 t u = 2 - x = ²+3 3²+4 y = 1 ( +2) q = +2 ² 4+2

5 3) Comportemet à l ifii d ue suite géométrique ( q ) avec q réel a) Théorème Si le réel q vérifie q -1-1 < q < 1 q=1 q>1 Alors lim q =... Démostratio exigible das le cas où q > 1 Démotros tout d abord par récurrece que ( 1 + a ) 1 + a N b)applicatios Etudier la covergece des suites suivates défiies pour tout etier aturel u = 2 v 3 = -3 2 w = ( 3) 1 x 5 = i=0 u i z = 2-3 4) Limites et comparaiso : Théorèmes de comparaiso Théorème1 : Si ( u ) et (v ) sot des suites telles que à partir d u certai rag p, v u avec lim u = + alors lim v = Démostratio : Théorème 2 : Si ( u ) et (v ) sot des suites telles que à partir d u certai rag p, v u avec lim u = - alors lim v = Théorème3 : ( théorème des gedarmes) Si ( u ), (v ) et ( w ) sot des suites telles que à d u certai rag p, u v w, avec ( u ) et (w ) covergetes vers le même réel L alors la suite ( v ) Applicatios : E utilisat les théorèmes, étudier la covergece des suites défiies ci-dessous : a)u = +si () si () pour > 1 b)v = ² + ( -1) pour tout de N

6 5) Covergece des suites mootoes a)suites croissates Théorème 1 : Toute suite ( u ) croissate et covergete vers u réel L est majorée par sa limite L Démostratio : ( u ) est ue suite croissate et covergete vers u réel L ( u ) est ue suite covergete vers u réel L doc Raisoemet par l absurde Supposos qu il existe u etier aturel p tel que u p > L. Comme ( u ) est ue suite croissate alors pour tout p,.. Théorème 2 : Toute suite croissate et majorée est covergete vers u réel L ( admis) Toute suite croissate et o majorée est divergete vers + Démostratio de Toute suite croissate et o majorée est divergete vers + Soit ( u ) ue suite croissate et o majorée. Soit M u réel quelcoque. Comme ( u ) est pas majorée, Applicatios O cosidère la suite ( u ) défiie par u +1 = 1 4 u + 3 et u 0 = 1 N 2) Démotrer par récurrece qu elle est majorée 3) Etudier le ses de variatio de la suite ( u ) 4) Coclure sur la covergece de ( u ) 5) soit v = u 4 pour tout de N a) Motrer que ( v ) est ue suite géométrique. b) exprimer v puis u e foctio de c) Calculer alors la limite de la suite ( u ) 6) a)calculer e foctio de S = i=0 v i puis S = i=0 u b)calculer les limites de s et de S quad ted vers + b) Suites décroissates Théorème 1 : Toute suite ( u ) décroissate et covergete vers u réel L est miorée par sa limite L Théorème 2 : Toute suite décroissate et miorée est covergete vers u réel L Toute suite décroissate et o miorée est divergete vers - Applicatio : soit (u ) la suite défiie par u +1 = u et u 0 = 12 N 2) Démotrer par récurrece qu elle est miorée et décroissate 3) Coclure sur la covergece de ( u ) 4) Résoudre l équatio x = x 5)a) Motrer par récurrece que 0 < u 5 < 7 ( 3 5 ) pour tout etier aturel b) E déduire la limite de la suite ( u ).

7 5) Covergece des suites mootoes a)suites croissates Applicatios O cosidère la suite ( u ) défiie par u +1 = 1 4 u + 3 et u 0 = 1 2) Démotrer par récurrece qu elle est majorée 3) Etudier le ses de variatio de la suite ( u ) 4) Coclure sur la covergece de ( u ) 5) soit v = u 4 pour tout de a) Motrer que ( v ) est ue suite géométrique. b) exprimer v puis u e foctio de c) Calculer alors la limite de la suite ( u ) 6) a)calculer e foctio de S = i=0 v i puis S = i=0 u b)calculer les limites de s et de S quad ted vers + b) Suites décroissates Applicatio : soit (u ) la suite défiie par u +1 = u et u 0 = 12 2) Démotrer par récurrece qu elle est miorée et décroissate 3) Coclure sur la covergece de ( u ) 4) Résoudre l équatio x = x 5)a) Motrer par récurrece que 0 < u 5 < 7 ( 3 5 ) pour tout etier aturel b) E déduire la limite de la suite ( u ). 5) Covergece des suites mootoes a)suites croissates Applicatios O cosidère la suite ( u ) défiie par u +1 = 1 4 u + 3 et u 0 = 1 2) Démotrer par récurrece qu elle est majorée 3) Etudier le ses de variatio de la suite ( u ) 4) Coclure sur la covergece de ( u ) 5) soit v = u 4 pour tout de a) Motrer que ( v ) est ue suite géométrique. b) exprimer v puis u e foctio de c) Calculer alors la limite de la suite ( u ) 6) a)calculer e foctio de S = i=0 v i puis S = i=0 u b)calculer les limites de s et de S quad ted vers + b) Suites décroissates Applicatio : soit (u ) la suite défiie par u +1 = u et u 0 = 12 2) Démotrer par récurrece qu elle est miorée et décroissate 3) Coclure sur la covergece de ( u ) 4) Résoudre l équatio x = x 5)a) Motrer par récurrece que 0 < u 5 < 7 ( 3 5 ) pour tout etier aturel b) E déduire la limite de la suite ( u ).

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