TD Mécanique du solide

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1 TPC2 TD Mécanique du solide Solide en rotation autour d un axe fixe Exercice n o 1 : Ordres de grandeur des moments cinétiques 1 Le moment d inertie de la Terre en rotation uniforme autour de l axe passant par ses pôles vaut J = 0, 33M T R 2 T avec M T = 6, kg et R T = 6, km. Calculer le moment d inertie de la Terre et son moment cinétique par rapport à l axe des pôles. 2 Dans le modèle de Bohr, le mouvement de l électron autour du noyau est assimilé à un mouvement circulaire et uniforme de centre O confondu avec le noyau. La trajectoire de rayon r 0 = 53 pm est parcourue à la fréquence f = 6, Hz. Calculer le moment cinétique de l électron. On rappelle sa masse : m e = 9, kg. 3 Un tambour de machine à laver de rayon R = 25 cm et de masse m = 5 kg tourne à la vitesse angulaire de 1000 tr.min 1. Calculer son moment cinétique par rapport à son axe de rotation sachant que son moment d inertie par rapport à cet axe vaut J = mr 2. Exercice n o 2 : Mouvement d une sphère attachée au bout d un fil Une sphère de petite taille et de masse m = 0, 10 kg est attachée à l extrémité d un fil sans masse de longueur l 0 = 1, 0 m dont l autre extrémité est fixée en O. Elle se déplace sur un cercle horizontal de rayon l 0. Sa vitesse est v 0 = 1, 0 m.s 1. 1 Déterminer son moment cinétique par rapport à O puis par rapport à (Oz). 2 On réduit brutalement la longueur du fil à l 1 = 0, 50 m. Que devient la vitesse de la sphère? 3 Comparer l énergie cinétique avant et après la réduction de la longueur du fil. 4 Quelle force provoque l augmentation de l énergie cinétique de la sphère? Commenter. Exercice n o 3 : Étude dynamique d un moteur 1

2 On s intéresse au fonctionnement d une machine comportant une pièce tournante (par exemple une perceuse). Le rotor, partie tournante du moteur, entraîne la partie tournante utile de la machine grâce à un arbre de transmission. L axe de rotation est noté u x. La vitesse angulaire de rotation du rotor autour de u x est notée ω, avec ω > 0. La partie fixe du moteur (stator) entraîne le rotor en exerçant sur lui un couple (souvent de nature électromagnétique) dont la valeur en projection sur u x est M s > 0. 1 En déduire le signe du couple M u exercé par la partie utile tournante sur le rotor. 2 Souvent, l ensemble est plongé dans un fluide visqueux (huile) dont l action sur le rotor se ramène à un couple M f = αω. On suppose que les actions de contact des différentes pièces entre elles sont parfaites, de telle sorte que leur moment projeté sur u x, noté M c, est nul (c est ce que l on appelle une liaison pivot parfaite). On note J le moment d inertie du rotor autour de l axe de rotation. En déduire l équation différentielle satisfaite par ω(t). 3 En supposant que les couples M s et M u sont à peu près constants dès la mise en rotation du rotor, déterminer l évolution de ω(t) sachant qu on met le moteur en marche à t = 0. 4 En déduire la vitesse angulaire de fonctionnement en régime permanent. Dépend-elle des frottements du fluide? Ces derniers ont-ils une autre influence? Que dire des valeurs relatives de couples M s et M u? Exercice n o 4 : Non-isochronisme du pendule pesant Une tige de longueur l = 1 m et de masse m = 1 kg est en liaison pivot parfaite autour de l une de ses extrémités et constitue donc un pendule pesant. Suite à une résolution numérique, la période T des oscillations a été calculée pour des oscillations d amplitude angulaire θ 0. On donne J = 1 3 ml2. 1 Retrouver simplement une des valeurs présentes dans le tableau. 2 Dans quel cadre obtiendrait-on un isochronisme des oscillations? 3 Expliquer qualitativement quel est le sens de variation de T (θ 0 ). 4 Que penser de la limite de T (θ 0 ) quand θ 0 tend vers π? Exercice n o 5 : Tabouret d inertie Une personne est assise sur un tabouret dont le siège peut tourner quasiment sans frottement autour d un axe vertical. La personne se met en rotation, les bras repliés sur elle-même, à la vitesse angulaire ω 1 (état 1). Ensuite, elle détend les bras et sa rotation se fait à une vitesse différente ω 2 (état 2). 2

3 1 Que dire du moment cinétique scalaire L du système (personne,siège) du tabouret pendant cette opération? 2 Dans les états initial et final, le système est assimilable à un solide, de moments d inertie initial J 1 par rapport à l axe et J 2 dans l état final. Comparer J 1 et J 2. 3 Trouver une relation entre les moments d inertie et les vitesses angulaires initiale et finale. Commenter le résultat. 4 Appliquer le théorème de l énergie cinétique au système entre les états 1 et 2. Commenter le résultat. 5 L expérience est plus spectaculaire si la personne tient dans ses mains des haltères. Expliquer pourquoi. 6 Ensuite, la personne replie à nouveau les bras. Quelle est la vitesse angulaire ω 3 dans cet état noté 3? 7 Appliquer à nouveau le théorème de l énergie cinétique entre les états 2 et 3. Qu en penser? Exercice n o 6 : Énergie potentielle élastique de torsion On considère un bâton homogène (longueur l, masse m, moment d inertie J ) accroché en son centre d inertie à une ficelle verticale. Le bâton peut tourner dans un plan horizontal, et sa rotation est repérée par l angle θ. La ficelle exerce sur le bâton un couple de torsion Γ = Cθ. 1 Calculer la puissance P du couple de torsion, ainsi que le travail W du couple entre les angles θ 1 et θ 2. 2 Montrer qu il est possible de définir une énergie potentielle de torsion associée à ce couple. L exprimer explicitement. 3 Quelle analogie peut-on faire? 4 En appliquant le théorème de la puissance mécanique trouver l équation du mouvement du pendule de torsion. Exercice n o 7 : Entraînement par frottements On considère le système de deux disques en rotation de la figure ci-dessus. Les deux disques (de moments d inertie respectifs J 1 et J 2 ) sont en liaison pivot parfaite autour de l axe u z. Le second disque a une vitesse angulaire initiale ω 0, alors que le premier est immobile. On translate lentement les disques le long de l axe jusqu à qu ils entrent en contact et deviennent solidaires l un de l autre. 1 En utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, calculer les vitesses angulaires finales des deux disques. Comment l intensité des frottements intervient-elle? 2 Faire un bilan d énergie pour chaque disque séparément. 3 Faire un bilan d énergie pour le système total. 4 Commenter les résultats. 3

4 Exercice n o 8 : Réaction d un axe Un disque non homogène de centre O, de masse m et de rayon R, est en liaison pivot parfaite autour de l axe = (Oz) à la vitesse angulaire ω(t). Le centre d inertie du disque, noté C, est tel que OC = a. On note J le moment d inertie du disque. 1 Initialement la vitesse angulaire du disque vaut ω 0. Que dire de son évolution ω(t)? 2 Évaluer la réaction R de l axe sur le disque. Initialement, le point C est situé sur l axe (Ox). 3 Pourquoi a-t-on intérêt à diminuer a, notamment lors de rotations rapides? C est ce que l on appelle l équilibrage statique. Exercice n o 9 : Oscillations d un système complexe On considère le système suivant : ressort (raideur k), poulie (moment d inertie J (Ox) ) et masse m. Le fil est souple, inextensible, de masse nulle, et ne glisse pas sur la poulie. 1 Expliquer pourquoi le système est conservatif et peut être le siège d oscillations. 2 Déterminer la période des oscillations. Exercice n o 10 : Rôle des harmoniques dans le pendule pesant Le but de cet exercice est de préciser les corrections à apporter à la solution élémentaire de l équation différentielle : d 2 θ dt 2 + ω2 0 sinθ = 0 lorsque l amplitude du mouvement est trop importante pour que l on puisse confondre sinθ et θ. 1 Écrire l équation différentielle précédente en développant sinθ dont on ne conservera que les deux premiers termes. 2 Chercher une solution approchée de l équation précédente, du type : θ = θ 0 (sin(ωt) + ε sin(3ωt)), avec ε << 1. Exprimer ω en fonction de ω 0 et θ 0 et en déduire l expression de la période correspondante T. 3 Exprimer ε en fonction de θ 0 ; ce coefficient détermine l importance de l harmonique considérée dans l étude du mouvement. 4

5 Exercice n o 11 : Étude d un pendule de torsion Un pendule de torsion est constitué d une barre horizontale suspendue en son centre O à l extrémité inférieure d un fil métallique dont l extrémité supérieure est reliée à un support fixe. La barre peut donc tourner autour de l axe (Oz) matérialisé par le fil. Cet axe vertical est orienté vers le haut. Le fil exerce sur la barre une action mécanique de rappel dont le moment par rapport à (Oz) est Cθ où θ est l angle de torsion et C la constante de torsion du fil. On ajoute à la barre deux surcharges identiques, de masse m chacune, que l on place symétriquement par rapport à O. La distance variable entre les centres d inertie des surcharges et O est notée d. Le moment d inertie par rapport à l axe (Oz) de l ensemble (barre,surcharges) est noté J. On admet qu il est de la forme J = J 0 + 2md 2. Le système étant au repos (le fil ayant donc une torsion nulle) on fait tourner l ensemble (barre,surcharges) d un angle θ 0 autour de (Oz) puis on le lâche sans vitesse initiale. Le mouvement est repéré par l angle θ. 1 Exprimer l énergie mécanique du système en fonction de C, J, θ et θ. 2 On fait l hypothèse qu il n y a aucun frottement. Donner dans ce cas la loi horaire θ(t) du mouvement de la barre et exprimer la période T 0 de son mouvement en fonction de C et J. En pratique, des frottements dus à l air finissent par arrêter les oscillations et le mouvement est pseudo-périodique. On admet que les frottements sont suffisamment faibles pour pouvoir assimiler la période propre T 0 à la pseudo-période T avec une précision inférieure ou égale à 1 %. 3 On mesure la période des oscillations pour différentes valeurs de la distance d. Les résultats sont rassemblés dans le tableau ci-dessous. a Trouver la valeur de C sachant que m = 50 g. b La constante de torsion est donnée par C = µ πδ4 où µ est une caractéristique du matériau 32l constituant le fil, δ son diamètre et l sa longueur. Sachant que le fil est en argent, que l = 0, 5 m et δ = 0, 5 mm, calculer µ pour l argent. Préciser l unité SI de µ. 5

6 Exercice n o 12 : Pendules de torsion On considère une chaîne infinie de pendules de torsion de constante de torsion C couplés par des fils de torsion. Le pendule de torsion n situé dans un plan perpendiculaire à l axe (z z) est repéré par son abscisse z = na et on note J son moment d inertie par rapport à l axe (z z). Il subit du fil situé entre le pendule n et le pendule (n + 1) un moment égal à C(α n+1 α n ). On étudie la propagation d une onde plane progressive monochromatique se propageant dans le sens des z > 0 de la forme : α n = α 0 exp(i(ωt kz n )). 1 Établir la relation de dispersion et montrer qu il n y a propagation que si ω ω max. Exprimer ω max en fonction de C et J. 2 Si 0 < k << π, exprimer la vitesse de phase en fonction de a, C et J. Conclure. a Par la rue de "plus tard" on arrive à la place de "jamais". Proverbe espagnol. 6

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