Produit scalaire dans l espace

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Produit scalaire dans l espace"

Transcription

1 Chapitre G Produit scalaire dans l espace Contenus Capacités attendues Commentaires Produit scalaire Produit scalaire de deux vecteurs dans l espace : définition, propriétés. Vecteur normal à un plan. Équation cartésienne d un plan. Déterminer si un vecteur est normal à un plan. Caractériser les points d un plan de l espace par une relation ax+by+cz +d = 0 avec a, b et c trois nombres réels non tous nuls. Déterminer une équation cartésienne d un plan connaissant un point et un vecteur normal. Déterminer un vecteur normal à un plan défini par une équation cartésienne. Démontrer qu une droite est orthogonale à toute droite d un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Choisir la forme la plus adaptée entre équation cartésienne et représentation paramétrique pour : - déterminer l intersection d une droite et d un plan; - étudier la position relative de deux plans. On étend aux vecteurs de l espace la définition du produit scalaire donnée dans le plan. On caractérise vectoriellement l orthogonalité de deux droites et on introduit la notion de plans perpendiculaires. AP Perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires. Intersection de trois plans. 1

2 2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

3 Table des matières G Produit scalaire dans l espace 1 I - Rappels de première sur le produit scalaire dans le plan Définitions et propriétés Droites et cercles II - Produit scalaire dans l espace Repère orthonormé de l espace Définition du produit scalaire III - Orthogonalité dans l espace Vecteurs orthogonaux, vecteurs normaux Droites perpendiculaires (ou orthogonales) à un plan Plan perpendiculaires Équations cartésiennes d un plan I - Rappels de première sur le produit scalaire dans le plan 1. Définitions et propriétés Définition 1 Si #» u et #» v sont deux vecteurs non nuls tels que #» u = AB et #» v = AC. On note H le projeté orthogonal de C sur (AB). C C #» v #» v A #» u H B H A #» u B Le produit scalaire de ces deux vecteurs est le nombre réel, que l on note #» u #» v défini par : #» u #» v = AB AC { AB AH si AB et AH ont le même sens. = AB AH si AB et AH sont de sens contraire. Si #» u ou #» v est nul, on pose par : #» u #» v = 0. Propriété 1 Deux vecteurs #» u et #» v sont orthogonaux si, et seulement si #» u #» v = 0. Propriété 2 Pour tous vecteurs #» u et #» v on a : #» u #» v = #» u #» v cos( #» u, #» v). 3

4 Propriété 3 Expression analytique du produit scalaire Le planç étant å muni Ç d un å repère orthonormal (O; #» ı, #» j). Soit #» x u et #» x v y y dans (O; #» ı, #» j). Alors : #» u #» v = xx +yy. Propriété 4 Soit #» u et #» v deux vecteurs. (1) #» u #» v = 1 î #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2ó = 1 î #» u 2 + #» u 2 #» u #» v 2ó ; 2 2 (2) #» u 2 = #» u 2 = x 2 +y 2 et #»» u = x 2 +y 2 dans un repère orthonormal (O; #» ı, #» j) ; (3) Les vecteurs Ç å #» u et #» vçsont åorthogonaux si, et seulement si dans un repère orthonormal (O; #» ı, #» j)xx +yy = 0 avec #» x u et #» x v y y. Propriété 5 Soit #» u, #» v et #» w des vecteurs et k un réel. Alors : (i) #» u #» v = #» v #» u ; (ii) (k #» u) #» v = #» u (k #» v) = k( #» u #» v) ; (iii) #» u ( #» v + #» w) = #» u #» v + #» u #» w. 2. Droites et cercles Définition 2 Soit #» n un vecteur non nul et A un point du plan. L ensemble des points M du plan tels que AM #» n = 0 est une droite D, passant par A, et dirigée par une vecteur #» u orthogonal à #» n. On dit que n est un vecteur normal à la droite D. Propriété 6 Caractérisation d une droite Soit AÇ un å point du plan et #» n un vecteur non nul. Si #» a n dans un repère orthonormal (O; #» ı, #» j), alors la droite D a une équation cartésienne de la forme b ax+by +c = 0. Exemple 1 Ç å Soit A(3;1) et #» 1 n. On note #» u un vecteur directeur de la droite D passant par A de vecteur normal #» n. 2 Ç å Ç å Çå On a #» n #» x 1 u = 0 = 0 x+2y = 0 x = 2y. On peut prendre #» 2 u. y 2 1 M(x;y) D AM #» n = 0 (x 3) ( 1)+(y 1) 2 = 0 x+3+2y 2 = 0 x+2y +1 = Lycée Pierre-Gilles de Gennes

5 Propriété 7 Caratérisation d un cercle Le cercle C de diamètre [AB] est l ensemble des points M du plan tels que MA MB = 0. Propriété 8 Soit Ω(a;b) un point du plan dans un repère orthonormé (O; #» ı, #» j), R un réel strictement positif. Le cercle C de centre Ω et de rayon R est l ensemble des points M du plan tels que ΩM = R, ou encore ΩM 2 = R 2. Une équation cartésienne de C dans (O; #» ı, #» j)est (x a) 2 +(y b) 2 = R 2. Exemple 2 Prenons Ω( 2;5) et R = 3. Le cercle de centre Ω et de rayon 3 a pour équation cartésienne : (x+2) 2 +(y 5) 2 = 9 x 2 +y 2 +4x 10y +20 = 0. II - Produit scalaire dans l espace 1. Repère orthonormé de l espace Définition 3 Soit O, I, J et K quatre points non coplanaires. Le quadruplet (O; I, J, K) est un repère : (1) orthogonal lorsque les droites (OI), (OJ) et (OK) sont deux à deux perpendiculaires. (2) orthonormé (ou orthonormal) lorsqu il est orthogonal et OI = OJ = OK. Théorème 1 Soit (O;I,J,K) un repère orthonormé de l espace et #» u de coordonnées (a;b;c) un vecteur de l espace. On a : #» u = a 2 +b 2 +c 2. M(a;b;c) Soit M le point tel que OM = #» u. La parallèle à (OK) coupe le plan (OIJ) en H. D après théorème de la médiane, on a vu dans l activité que la droite (OK) est perpendiculaire à (OH), ainsi le triangle (OHM) est rectangle en M. D après le théorème de Pythagore, on a OM 2 = OH 2 +HM 2 = OH 2 +c 2. De plus, en notant M 1 le projeté orthogonale de H sur la droite (OI) dans le plan (OIJ), le triangle OM 1 H est rectangle en M 1 et d après le théorème de Pythagore, on a OH 2 = OM M 1 H 2 = a 2 +b 2. On en déduit finalement que #» u = OM = a 2 +b 2 +c 2. K I O J #» u M 2 M 1 H Remarque» : Si A(x A ;y A ;z A ) et B(x B ;y B ;z B ) sont deux points de l espace muni d un repère orthonormé alors AB = (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 +(z B z A ) Lycée Pierre-Gilles de Gennes

6 2. Définition du produit scalaire Définition 4 Soit #» u et #» v deux vecteurs de l espace et A, B et C trois points tels que : #» u = AB et #» v = AC. Il existe toujours un plan P contenant A, B et C et le produit scalaire des vecteurs #» u et #» v est le produit scalaire des vecteurs AB et AC dans le plan P. Remarque : On a #» u #» v = 1 Ä #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2ä et cette expression est indépendante du choix des 2 représenants de #» u et #» v. Par conséquent, le produit scalaire est indépendant du plan P. Théorème 2 Toutes les propriétés du produit scalaire établies en géométrique plane s appliquent à des vecteurs coplanaires de l espace. Propriété 9 Soit #» u(x;y;z) et #» v(x ;y ;z ) deux vecteurs de l espace muni d un repère orthonormé (O;I,J,K). On a : #» u #» v = xx +yy +zz. On note (O;I,J,K) le repère orthonormé, ainsi que #» ı = OI, #» j = OJ et #» k = OK. Soit M le point de l espace tel que #» u = OA. La parallèle à (O, #» k) coupe le plan (O; #» ı, #» j)en un unique point B(x;y;0). On a OA 2 = OB 2 +AB 2 = x 2 +y 2 +z 2. Ainsi #» u 2 = x 2 +y 2 +z 2 et de même #» v 2 = x 2 +y 2 +z 2 et #» u #» v 2 = (x x ) 2 +(y y ) 2 +(z z ) 2 = x 2 +y 2 +z 2 +x 2 +y 2 +z 2 (2xx +2yy +2zz ). Or, #» u #» v = 1 [ #» u 2 + #» v 2 #» u #» v 2] = (2xx +2yy +2zz ). D où #» u #» v = xx +yy +zz. Définition 5 Projection orthogonale sur un plan Soit P un plan et M un point de l espace. La droite perpendiculaire à P passant par M coupe le plan P en M appelé projeté orthogonal de sur P. D M B C M P P A C Remarque : Si A, B soit deux points d un plan P et C / P alors AB AC = AB AC où C est le projeté orthogonal de C sur P. En effet, AB AC = AB ( AC + C # C)» = AB AC + AB AC = AB AC. 6 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

7 Propriété 10 Soit A et B deux points de l espace. (1) L ensemble des points M tels que MA MB = 0 est la sphère de diamètre [AB]. (2) Soit R un réel strictement positif et Ω(a;b;c) un point dans un repère orthonormé de l espace. Une équation cartésienne de la sphère de centre Ω et de rayon R est : (x a) 2 +(y b) 2 +(z c) 2 = R 2. Soit I le milieu de [AB]. (1) MA MB = ( MI + IA) ( MI + IB = MI 2 + MI ( IA+ IB)+ IA IB = MI 2 IA 2 car I est le milieu de [AB], c est-à-dire IA = IB. Ainsi, MA MB = 0 IM = IA M est un point de la sphère de diamètre [AB]. (2) M(x;y;z) appartient à la sphère de centre Ω et de rayon R si, et seulement si ΩM 2 = R 2, c est-à-dire (x a) 2 +(y b) 2 + (z c) 2 = R 2. III - Orthogonalité dans l espace 1. Vecteurs orthogonaux, vecteurs normaux Propriété 11 Soit #» u et #» v deux vecteurs de l espace. A, B et C sont trois points tels que #» u = AB et #» v = AC. #» u #» v = 0 si, et seulement si #» #» u = 0 ou #» #» v = 0 ou BAC = π 2. En effet, #» u #» v = #» u #» v cos BAC. Remarque : La notion d angle orienté n a pas de sens dans l espace maiscos( #» u, #» v) = cos( ( #» u, #» v)) = cos BAC. Définition 6 On dit que deux vecteurs #» u et #» v sont orthogonaux lorsque #» u #» v = 0. Remarque : Deux droites de l espace sont orthogonales si, et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Définition 7 Soit O un point et #» ı, #» j et #» k trois vecteurs non colinéaires de l espace. Le triplet (O; #» ı, #» j, #» k) est un repère : (1) orthogonal de l espace lorsque les vecteurs #» ı, #» j et #» k sont deux à deux orthogonaux; (2) orthonormé (ou orthonormal) de l espace lorsquil est orthogonal et que #» ı = #» j = #» k. Définition 8 On dit qu un vecteur non nul de l espace est normal à un plan lorsqu il est orthogonal à tout vecteur du plan. Remarque : On rappelle qu un vecteur est normal à une droite lorsqu il est orthogonal à tout vecteur direction de cette droite. 7 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

8 Théorème 3 Un vecteur est normal à un plan si, et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan. " " Évident par définition du vecteur normal à un plan. " " Soit #» u et #» v deux vecteurs non colinéaires d un plan P et #» n un vecteur orthogonal à #» u et #» v. Soit #» w un vecteur normal de P. Il faut montrer que #» w #» n = 0. Puisque #» u et #» v sont non colinéaires et que #» u, #» v et #» w sont coplanaires, il existe deux réels α et β tels que #» w = α #» u +β #» v. Ainsi, #» n w #» = #» n (α #» u)+ #» n (β #» v) = α }{{} #» n #» u +β }{{} #» n #» v = 0. Ainsi #» n est orthogonal à w. #» =0 =0 Remarques : Soit M un point de l espace n appartenant pas à un plan P et H le projeté orthogonal de M sur P. Le vecteur HM est un vecteur normal de P. Ainsi, tout plan de l espace admet un vecteur normal. Deux vecteurs normaux d un plan de l espace sont colinéaires. 2. Droites perpendiculaires (ou orthogonales) à un plan Théorème 4 Une droite est perpendiculaire à un plan si, et seulement si tout vecteur directeur de cette droite est normal au plan. " " Soit D une droite perpendiculaire au plan P et #» n un vecteur directeur de D. Considérons #» u et #» v deux vecteurs non colinéaires de P et notons d et d deux droites de P de vecteurs directeurs respectifs #» u et #» v. Par définition D est orthogonale à d et d, donc #» n est orthogonal à #» u et #» v, ainsi #» n est normal à P. " " Soit D une droite de l espace et #» n un vecteur directeur de D. Puisque #» n est normal à D, il est othogonal à tout vecteur de P. Considérons d et d deux droites de P, #» n étant orthogonal aux vecteurs directeurs de d et d, la droite D est orthogonal à d et d, elle est alors perpendiculaire au plan P. Propriété 12 Soit A un point et #» n un vecteur non nul de l espace. Il existe un unique plan P de vecteurs directeurs #» u et #» v ayant pour vecteur normal le vecteur #» n. De plus, les vecteurs #» u, #» v et #» n sont non coplanaires. ) ( a On munit l espace d un repère orthonormé et on note b les coordonnées de #» u dans ce repère. Puisque #» u est non nul, on peut c supposer par exemple que a est non nul (dans le cas contraire on échangera les rôles de a, b et c). ( ) ( ) c b Posons #» u 0 et #» v a. a 0 c = kb Ils sont non colinéaires car 0 = ka k = 0 puisque a est non nul, de plus on vérifie facilement que #» n #» u = 0 et #» n #» v = 0. a = k 0 Considérons maintenant le plan P passant par A de vecteurs directeurs #» u et #» v. Si les vecteurs #» u, #» v et #» n étaient coplanaires, il existerait deux réels α et β tels que #» n = α #» u + β #» a = αc βb (1+α 2 +β 2 )a = 0 v b = βa b = βa, ce qui est absurde car c = αa c = αa puisque a est non nul, il faudrait que 1+α 2 +β 2 soit nul, ce qui n est pas possible. Par suite, les vecteurs #» u, #» v et #» n sont non coplanaires. On admettra l unicité. 8 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

9 Propriété 13 Soit A un point et #» n un vecteur non nul de l espace. L ensemble des points M de l espace tels que AM #» n = 0 est le plan passant par A de vecteur normal #» n. Soit P le plan de vecteur normal #» n. On note #» u et #» v deux vecteurs directeurs de P non coplanaires avec #» n. Ainsi (A; #» u, #» v, #» n) forme un repère de l espace et pour tout point M de l espace il existe trois réel x, y et z tels que AM = x #» u +y #» v +z #» n. =0 =0 Or, AM #» {}}{{}}{ n x #» u #» n +y #» v #» n +z #» n #» n = 0 z #» n 2 = 0 z = 0 AM = x #» u + y #» v AM, #» u et #» v sont coplanaires M P. D où le résultat. 3. Plan perpendiculaires Propriété 14 Admise Soit P et P deux plans de l espace de vecteurs normaux respectifs #» n et #» n. (1) P et P sont perpendiculaires si, et seulement si #» n #» n = 0. (2) P et P sont parallèles si, et seulement si #» n et #» n sont colinéaires. 4. Équations cartésiennes d un plan Propriété 15 Soit A un point et #» n un vecteur non nul de l espace. (1) Si #» n a pour coordonnées (a;b;c) dans un repère orthonormé de l espace, alors le plan P passant par A et de vecteur normal #» n admet dans ce repère une équation cartésienne de la forme : ax+by +cz +d = 0 où a,b,c,d R. (2) Un équation de la forme ax+by +cz +d = 0 où a,b,c,d R avec (a,c,d) (0,0,0) est dans un repère orthonormé de l espace une équation cartésienne d un plan de vecteur normal #» n de coordonnées (a;b;c). à faire!!! Remarque : Dans un repère orthonormé (O; #» ı, #» j, #» k), le plan d équation z = 0 admet le vecteur #» k(0;0;1) pour vecteur normal et contient le point O(0;0;0). C est donc le plan (O; #» ı, #» j). +donner des exemples pour passer d une équation cartésienne à un système d équations paramétriques et réciproquement 9 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

Application du produit scalaire: Géométrie analytique

Application du produit scalaire: Géométrie analytique Application du produit scalaire: Géométrie analytique I) Vecteur normal et équation de droite 1) Vecteur normal à une droite Dire que est un vecteur non nul normal à une droite (d) de vecteur directeur

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE PRODUIT SCLIRE DNS L'ESPCE Dans tout ce chapitre, les bases ou repères considérés sont orthonormés. Pour des révisions sur le produit scalaire dans le plan, voir le cours de première. 1. Définition du

Plus en détail

un repère orthonormé de l espace.

un repère orthonormé de l espace. Terminale S GEOMETRIE Ch 13 DANS L ESPACE. Soit ( O ; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. I) Droites et plans dans l espace : Propriété 1 : Soient A et B deux points de l espace. AB est l ensemble

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace-equations de plans et de droites

Produit scalaire dans l espace-equations de plans et de droites Mme Morel-TS 1 Produit scalaire dans l espace-equations de plans et de droites 1 Produit scalaire dans l espace 1.1 Définition Définition 1.1.1. Dasn l espace, une unité de longueur étant choisie, le produit

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE ET NOMBRES COMPLEXES

PRODUIT SCALAIRE ET NOMBRES COMPLEXES PRODUIT SCALAIRE ET NOMBRES COMPLEXES Contenus Capacités attendues Commentaires Produit scalaire : Formules d addition et de duplication des sinus et cosinus. Connaître et utiliser ces formules sur des

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation )

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Introduction : On se place dans plan affine euclidien muni

Plus en détail

Les Vecteurs ( En seconde )

Les Vecteurs ( En seconde ) Les Vecteurs ( En seconde ) Dernière mise à jour : Mardi 22 Avril 2008 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2007-2008) -1- J aimais et j aime encore les mathématiques pour elles-mêmes

Plus en détail

GEOMETRIE DANS L ESPACE

GEOMETRIE DANS L ESPACE GEOMETRIE DNS L ESPCE I. RPPELS SUR LE PRODUIT SCLIRE DNS LE PLN a) Différentes expressions du produit scalaire Soient u et v deux vecteurs du plan. Si l un des vecteurs est nul alors le produit scalaire

Plus en détail

Cours BTS Calcul vectoriel

Cours BTS Calcul vectoriel Cours BTS Calcul vectoriel S. B. Lycée des EK Interprétation Propriété Coordonnées d un vecteur Dans le plan muni d un repère (O; i, j ), les coordonnées d un vecteur u sont les coordonnées de l unique

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question Soient A, B et C trois points distincts du plan. PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES a) A, B et C sont alignés si et seulement si :

Plus en détail

Si on essayait de penser vectoriellement? Vecteur : véhicule, sens, direction, flèche du temps, index de mouvement ou de transformation. OM = x.

Si on essayait de penser vectoriellement? Vecteur : véhicule, sens, direction, flèche du temps, index de mouvement ou de transformation. OM = x. I REPÈRE DU PLAN 1 DÉFINITION On appelle repère du plan, tout triplet (O; i, ) tel que O désigne un point du plan et i, deux vecteurs non colinéaires Le point O est appelé origine du repère ; les vecteurs

Plus en détail

LEÇON N 30 : 30.1 Le cercle. 30.1.1 Définition et propriétés

LEÇON N 30 : 30.1 Le cercle. 30.1.1 Définition et propriétés LEÇON N 30 : Le cercle. Positions relatives d une droite et d un cercle, de deux cercle. Point de vue géométrique et point de vue analytique. Lien entre les deux points de vue. Pré-requis : Médiatrices,

Plus en détail

Seconde Géométrie vectorielle Notion de vecteurs coordonnées de vecteurs

Seconde Géométrie vectorielle Notion de vecteurs coordonnées de vecteurs I. Notion de vecteurs a) Vecteurs et translations Définition : A et B désignent deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l'unique point D tel que les segments

Plus en détail

CHAPITRE 6 Les vecteurs

CHAPITRE 6 Les vecteurs A/ Vecteurs Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs CHAPITRE 6 Les vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche"

Plus en détail

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Introduction : Cette leçon s inscrit dans la continuité de la précédente. On supposera connu

Plus en détail

Equation cartésienne d un plan Géométrie dans l espace Exercices corrigés

Equation cartésienne d un plan Géométrie dans l espace Exercices corrigés Equation cartésienne d un plan Géométrie dans l espace Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : vecteur normal à un plan Exercice 2

Plus en détail

Calcul vectoriel dans l espace, géométrie dans le plan et dans l espace

Calcul vectoriel dans l espace, géométrie dans le plan et dans l espace Chapitre 7 Calcul vectoriel dans l espace, géométrie dans le plan et dans l espace 7.1 Calcul vectoriel dans l espace On se place dans un repère orthonormal (O, i, j, k) de l espace E (à 3 dimensions).

Plus en détail

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,

Plus en détail

Seconde Chapitre 2 : Géométrie analytique Page 1 sur 5. Le réel x, associé au point M, est appelé abscisse du point M dans le repère O, I.

Seconde Chapitre 2 : Géométrie analytique Page 1 sur 5. Le réel x, associé au point M, est appelé abscisse du point M dans le repère O, I. Seconde Chapitre 2 : Géométrie analytique Page 1 sur 5 I) Rappels sur les configurations du plan COURS pages 248 et 249 du manuel Exercice 2 page 268 (utiliser la rotation de centre C et d angle 60 ) Exercices

Plus en détail

Géométrie dans l Espace

Géométrie dans l Espace Géométrie dans l Espace Année scolaire 006/007 Table des matières 1 Vecteurs de l Espace 1.1 Extension de la notion de vecteur à l Espace............................. 1. Calcul vectoriel dans l Espace......................................

Plus en détail

13. Géométrie analytique

13. Géométrie analytique 13. Géométrie analytique La géométrie analytique permet de résoudre par le calcul des problèmes de géométrie. Il convient toutefois de ne pas perdre de vue que la géométrie analytique est d abord de la

Plus en détail

Coordonnées Équation de droites

Coordonnées Équation de droites Coordonnées Équation de droites Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Coordonnées dans le plan 2 1.1 Repères coordonnées d un point.................................... 2 1.2

Plus en détail

Le barycentre au bac S

Le barycentre au bac S Le barycentre au bac S Trois exercices : étude dans le plan complexe et recherche de lieux de points, avec indications de correction. Sommaire 1. Centres étrangers 1997 2. Polynésie 1997 3. Inde 1999 Faire

Plus en détail

Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I

Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I Le sujet comporte 8 pages numérotées de à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu à la page 3 Un distributeur

Plus en détail

Correction du dm13. Produit scalaire dans l espace. a 2 +b 2 +c 2

Correction du dm13. Produit scalaire dans l espace. a 2 +b 2 +c 2 Correction du dm1. Produit scalaire dans l espace Exercice 1 (n o 157 page 90 : Distance d un point à un plan) Partie A Soient P un plan et I un point de l espace. On appelle distance de I au plan P la

Plus en détail

Géométrie analytique

Géométrie analytique Géométrie analytique Cédric Milliet Version préliminaire Cours de première année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 Ces notes doivent beaucoup aux notes de cours de Marie-Christine Pérouème.

Plus en détail

Nombres complexes et géométrie euclidienne

Nombres complexes et géométrie euclidienne 19 Nombres complexes et géométrie euclidienne Le corps C des nombres complexes est supposé construit voir le chapitre 7. On rappelle que C est un corps commutatif et un R-espace vectoriel de dimension,

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Annales de géométrie dans l espace - Corrigé

Annales de géométrie dans l espace - Corrigé Annales de géométrie dans l espace - Corrigé Pondichéry Avril 2013 (4 points) Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune des questions

Plus en détail

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de seconde session 2012

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de seconde session 2012 UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL Géométrie et géométrie analytique Enoncés et solutions de l examen de seconde session 2012 Enoncés On demandait de résoudre trois questions

Plus en détail

analytique plane 2. 2013

analytique plane 2. 2013 analytique plane 2. 2013 Maths-A TABLE DES MATIÈRES Rappels sur les vecteurs... 30 Pente d une droite... 31 Equation d une droite, première forme... 32 Equation d une droite, deuxième forme... 33 Equation

Plus en détail

Angles orientés de vecteurs Trigonométrie

Angles orientés de vecteurs Trigonométrie Angles orientés de vecteurs Trigonométrie Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Mesures d angles orientés de vecteurs 1.1 Cercle trigonométrique mesures d arcs orientés...........................

Plus en détail

Géométrie euclidienne

Géométrie euclidienne Université de Provence 2009-2010 Licence MI 1ère année-s1 Mathématiques générales I Géométrie euclidienne Table des matières 1 Produit scalaire dans R 2 et R 3 1 1.1 Opérations sur les vecteurs.....................................

Plus en détail

1) Construire un parallélogramme et le point, symétrique du point par rapport au point. 2) Démontrer que est un parallélogramme.

1) Construire un parallélogramme et le point, symétrique du point par rapport au point. 2) Démontrer que est un parallélogramme. Seconde Exercices sur les vecteurs Page 1 Définition, égalité de vecteurs ---------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercice 1 : A vue d œil,

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Produit scalaire. Définition : Soient un vecteur. On appelle carré scalaire de (noté ):. On appelle norme de et on note :.

Produit scalaire. Définition : Soient un vecteur. On appelle carré scalaire de (noté ):. On appelle norme de et on note :. Produit scalaire 1 Produit scalaire de deux vecteurs 11 Définition Définition : Soient deux vecteurs non nuls Soient A, B C des points tels que : Soit H le projé orthogonal de C sur (AB) On appelle produit

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Géométrie (barycentre et produit scalaire dans l espace)

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Géométrie (barycentre et produit scalaire dans l espace) Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Géométrie barycentre et produit scalaire dans l espace) Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 24 avril 2011 1. frederic.demoulin

Plus en détail

Terminale S - Exercices corrigés de géométrie

Terminale S - Exercices corrigés de géométrie Terminale S - xercices corrigés de géométrie noncés 1 On considère la pyramide S, où est un parallélogramme de centre I ompléter le plus précisément possible 1 L intersection des plans (S) et (S) est L

Plus en détail

Géométrie analytique ( En seconde )

Géométrie analytique ( En seconde ) Géométrie analytique ( En seconde ) Dernière mise à jour : Dimanche 31 Octobre 2010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2010-2011) Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de : Vincent

Plus en détail

Transformations du plan (exercices)

Transformations du plan (exercices) Exercice 1 : Transformations du plan (exercices) 1. Construire les symétriques de cette figure par rapport aux trois axes tracés (horizontal, vertical puis oblique ) 2. Construire les symétriques de la

Plus en détail

PARTIE NUMERIQUE. Brevet Blanc de Mathématiques 18/01/11. Exercice 1. 1) Ecrire les nombres A et B sous la forme de fractions irréductibles

PARTIE NUMERIQUE. Brevet Blanc de Mathématiques 18/01/11. Exercice 1. 1) Ecrire les nombres A et B sous la forme de fractions irréductibles Brevet Blanc de Mathématiques 18/01/11 PARTIE NUMERIQUE Exercice 1 1) Ecrire les nombres A et B sous la forme de fractions irréductibles A= 13 3 4 3 2 5 B=5+ 1+ 1 8 3 4 A= 13 3 4 3 5 2 A= 13 3 10 3 B=

Plus en détail

ESPACES PRÉHILBER TIENS RÉELS

ESPACES PRÉHILBER TIENS RÉELS ESPACES PRÉHILBER TIENS RÉELS 1 Produit scalaire et norme 1.1 Produit scalaire Définition 1.1 Soit E un R-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive

Plus en détail

Repérage et configurations du plan

Repérage et configurations du plan I Repères et coordonnées a) Repères Définition : (O ;I,J) est un repère du plan. Il est constitué d un triplet de points non alignés. O est appelé origine du repère La droite graduée (O ;I) est l axe des

Plus en détail

THEOREMES DE GEOMETRIE

THEOREMES DE GEOMETRIE THEOREMES DE GEOMETRIE Sommaire Comment démontrer qu un triangle est rectangle?... 2 Comment démontrer que deux droites sont parallèles?... 4 Comment calculer une longueur?... 6 Comment démontrer que deux

Plus en détail

,=L'ESPACE=AU=BAC=2015fe

,=L'ESPACE=AU=BAC=2015fe 31 France métropolitaine Asie juin 005 septembre 014 35 points ans l espace muni d un repère orthonormé (O; i, j, k), on considère le tétraèdre ABC dont les sommets ont pour coordonnées : ; A 1 ; 3 ; 0

Plus en détail

Série d exercices : Géométrie dans l espace

Série d exercices : Géométrie dans l espace Prof :Khammour.Khalil Année Scolaire :2013/2014 Exercice n 1 : Série d exercices : Géométrie dans l espace 4 ème Math Tunis,Tél :27509639 L espace est muni d un repère orthonormé. Pour chacune des propositions

Plus en détail

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé.

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé. COMPOSITION SECONDE MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE Durée de l épreuve : 2 h 00 L usage de la calculatrice est autorisé. Toutes les réponses devront être justifiées. Exercice 1 Soit la fonction

Plus en détail

Vecteurs et colinéarité

Vecteurs et colinéarité Chapitre 3 Vecteurs et colinéarité Ce que dit le programme : Géométrie plane. Vecteurs Condition de colinéarité de deux vecteurs : xy' x'y. Vecteur directeur d une droite. Équation cartésienne d une droite.

Plus en détail

Nombres complexes : Forme Trigonométrique

Nombres complexes : Forme Trigonométrique Nombres complexes : Forme Trigonométrique I) Module et argument d un nombre complexe 1) Définitions Soit le nombre complexe On note M le point d affixe dans le repère orthonormé ;, ) On appelle module

Plus en détail

VECTEURS DE L'ESPACE

VECTEURS DE L'ESPACE 1 VECTEURS DE L'ESPACE I. Caractérisation vectorielle d'un plan 1) Notion de vecteur dans l'espace Définition : Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur).

Plus en détail

Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 1 sur 9

Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 1 sur 9 Seconde Suite du cours sur les vecteurs Page 1 sur 9 III) Somme de vecteurs : 3) Somme de vecteurs et configurations : a) Parallélogramme Propriété : Parallélogramme Si ABCD est un parallélogramme alors

Plus en détail

Minimisation d une somme de distances, points de Fermat

Minimisation d une somme de distances, points de Fermat Minimisation d une somme de distances, points de Fermat Arnaud de Saint Julien 26 décembre 2004 Table des matières 1 Présentation du problème 2 1.1 Définitions et objectifs..................................

Plus en détail

DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE

DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE Exercices 1/8 01 Donner la définition d une : - médiane - médiatrice - hauteur - bissectrice 02 Nommer les droites suivantes : (AC) : (BC) : (BD) : (BE) :. 03 Compléter les phrases relatives aux propriétés

Plus en détail

Fonction affine. Remarque : une fonction linéaire est une fonction affine particulière (p=0)

Fonction affine. Remarque : une fonction linéaire est une fonction affine particulière (p=0) Fonction affine I Définition Étant donné deux nombres m et p, on définit une fonction affine f lorsque, à tout nombre x, on associe le nombre f(x) = mx+p. On note f : x mx+p cette fonction. Remarque :

Plus en détail

ED D ÉLECTROSTATIQUE PAES-APEMK

ED D ÉLECTROSTATIQUE PAES-APEMK ED D ÉLECTROSTATIQUE PAES-APEMK Professeur Tijani GHARBI tijani.gharbi@univ-fcomte.fr 1 Rappels 1.1 Notion de champs Nous revenons ici sur la notion de champ. Un champ associé à une grandeur physique représente

Plus en détail

1 Nombres complexes 1 1.1 Rappel : équations de degré 2... 1

1 Nombres complexes 1 1.1 Rappel : équations de degré 2... 1 Table des Matières 1 Nombres complexes 1 1.1 Rappel : équations de degré.......................... 1 1.1.1 Théorie générale.............................. 1 1.1. Exemples..................................

Plus en détail

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme.

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Devoir Maison A rendre le mercredi 2 mai 2nde 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Calculer les coordonnées du point D. 2/ a)

Plus en détail

Chapitre 3 : Vecteurs. Géométrie analytique

Chapitre 3 : Vecteurs. Géométrie analytique I. Vecteurs Chapitre 3 : Vecteurs. Géométrie analytique Un vecteur permet de caractériser un déplacement : Il est défini par une direction, un sens sur cette direction et une longueur. E F Il n'est en

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Produit scalaire et géométrie analytique du plan. Corrigés d exercices

Produit scalaire et géométrie analytique du plan. Corrigés d exercices Produit scalaire et géométrie analytique du plan Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Page 36 : N, 3, 4, 5, 7, 8, 33, 35, 36, 37 Page 37 : N 38, 39, 4, 4, 45, 48, 49, 5,

Plus en détail

CALCUL VECTORIEL et GEOMETRIE DANS L ESPACE

CALCUL VECTORIEL et GEOMETRIE DANS L ESPACE CALCUL VECTORIEL et GEOMETRIE DANS L ESPACE I) Rappels : - Droites orthogonales : Droites sécantes et orthogonales = perpendiclaires Dex droites sont parallèles, si ne droite à l ne est à l atre Attention

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

, on considère les points A( 2; 3) et B(1; 2). y= 5 3 x 1 3., on considère les points A( 3; 1) et B( 3; 4). ( x+3. x= 3

, on considère les points A( 2; 3) et B(1; 2). y= 5 3 x 1 3., on considère les points A( 3; 1) et B( 3; 4). ( x+3. x= 3 I INTRODUCTION Dans le plan muni d un repère O; i, j, on cherche à établir une relation entre les coordonnées (x;) des points du plan appartenant à une droite D. EXEMPLE 1 Dans le plan muni d un repère

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Seconde Géométrie vectorielle Notion de vecteurs coordonnées de vecteurs

Seconde Géométrie vectorielle Notion de vecteurs coordonnées de vecteurs Notion de ecters coordonnées de ecters I. Notion de ecters a) Vecters et translations Définition : A et B désignent dex points d plan. La translation qi transforme A en B associe à tot point C d plan l'niqe

Plus en détail

Triangle rectangle : Cercle circonscrit et médiane

Triangle rectangle : Cercle circonscrit et médiane Triangle rectangle : Cercle circonscrit et médiane I) Vocabulaire 1) Hypoténuse Définition : Dans un triangle rectangle le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse. 2) Hauteurs, médianes, médiatrices

Plus en détail

Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés

Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés Le sujet comporte 8 pages numérotées de 2 à 9 Il faut choisir et réaliser seulement trois des quatre exercices proposés EXERCICE I Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu à la page Une librairie

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

MATHEMATIQUES. Premier Cycle TROISIEME

MATHEMATIQUES. Premier Cycle TROISIEME MATHEMATIQUES Premier Cycle TROISIEME 79 INTRODUCTION Le programme de la classe de troisième, dernier niveau de l enseignement moyen, vise à doter l élève de savoirs faire pratiques par une intégration

Plus en détail

Exercices fondamentaux

Exercices fondamentaux Université de Nantes Département de Mathématiques DEUG MIAS - Module M2 Algèbre Année 2002/2003 Liste d exercices n 1 Exercices fondamentaux Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 1. Montrer que l

Plus en détail

Géométrie vectorielle plane, cours, première S

Géométrie vectorielle plane, cours, première S Géométrie vectorielle plane, cours, première S F.Gaudon 25 septembre 2015 Table des matières 1 Géométrie vectorielle dans un repère 2 1.1 Compléments sur la colinéarité.................................

Plus en détail

Angles orientés Cours maths 1ère S

Angles orientés Cours maths 1ère S Angles orientés Cours maths 1ère S Cercle trigonométrique Dans tout ce chapitre le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,, ). Définition Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O, de

Plus en détail

H - RELATIONS METRIQUES DANS LE TRIANGLE

H - RELATIONS METRIQUES DANS LE TRIANGLE Triangle rectangle H - RELTIONS METRIQUES DNS LE TRINGLE Soit B un triangle rectangle en et H le pied de la hauteur issue de. B H Les triangles B, HB et H sont semblables. On en déduit les égalités suivantes

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Barycentre. I. Barycentre de 2 points pondérés. Sommaire

Barycentre. I. Barycentre de 2 points pondérés. Sommaire Barycentre Introduction : approche possible Le barycentre est un point qui résume d'autres points, de la même façon d'une moyenne est un nombre qui résume d'autre nombres, éventuellement affectés de coefficient.

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

1 Géométrie analytique

1 Géométrie analytique MATH-F-108 - MATHEMATIQUES (E. Lami Dozo et S. Fiorini) Tutorat Année académique 010 011 1 Géométrie analytique 1. Trouver l équation cartésienne du plan qui contient le point p et a le vecteur n comme

Plus en détail

b A A Ag et parallèles aux plans Oxy, Oxz ou Oyz... 6

b A A Ag et parallèles aux plans Oxy, Oxz ou Oyz... 6 ière partie : GÉOMÉTRIE NLYTIQUE DNS L ESPCE ière partie : Géométrie analytique dans l espace... I. Coordonnées d un point et composantes d un ecteur dans l espace rappels)... II. Équations de droites

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

BTSA Aménagement Paysager

BTSA Aménagement Paysager BTSA Aménagement Paysager MODULE M41 COURS ET EXERCICES DE GÉOMÉTRIE Version 1.0 Septembre 2009 Géométrie vectorielle 1 1.1 Vecteurs Nous partirons de la notion de vecteur lié. s On appelle vecteur (ou

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Géométrie analytique et équation de droite

Géométrie analytique et équation de droite Géométrie analtique et équation de droite ) Géométrie analtique.. Généralités. Définitions : Dire que ( ; ) sont les coordonnées du point M dans le repère (O ; i ; j ) signifie que : OM = i + j et on note

Plus en détail

PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES EN VIGUEUR DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE GÉNÉRAL TECHNIQUE ET PROFESSIONNEL

PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES EN VIGUEUR DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE GÉNÉRAL TECHNIQUE ET PROFESSIONNEL MINISTÈRE DE L ÉDUCATION DE L ALPHABÉTISATION ET DES LANGUES NATIONALES RÉPUBLIQUE DU MALI Un Peuple Un But Une Foi PROGRAMMES DE MATHÉMATIQUES EN VIGUEUR DE L ENSEIGNEMENT SECONDAIRE GÉNÉRAL TECHNIQUE

Plus en détail

Réponse. Réponse. Réponse

Réponse. Réponse. Réponse Exercice 1 La médiatrice d un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. Justifier avec rigueur l affirmation suivante : La droite (d) est la médiatrice du

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

Mathématiques en Première S. David ROBERT

Mathématiques en Première S. David ROBERT Mathématiques en Première S David ROBERT 006 007 Sommaire Introduction ix I Géométrie : géométrie dans l espace Sections planes 3. Introduction........................................................

Plus en détail

Exercice 3 (Aix-Marseille - 2006) Géométrie : corrigé fiche 3

Exercice 3 (Aix-Marseille - 2006) Géométrie : corrigé fiche 3 Exercice 3 (Aix-Marseille - 2006) Géométrie : corrigé fiche 3 Exercice 4 (Aix Marseille 1996) 1. Rappel : tracé de l hexagone. On place un point, qu on nomme O. On trace un cercle de centre O, de rayon

Plus en détail

Forme trigonométrique d un nombre complexe Applications

Forme trigonométrique d un nombre complexe Applications Forme trigonométrique d un nombre complexe Applications Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 2 1.1 Rappels : affixe d un point........................................

Plus en détail

Géométrie élémentaire de l espace

Géométrie élémentaire de l espace Géométrie élémentaire de l espace Certaines démonstrations de ce chapitre ressemblent à s y méprendre aux démonstrations que nous avons faites dans notre précédent chapitre de géométrie élémentaire du

Plus en détail

Séquence 7. 1 ère partie : 2 e partie : Problèmes. Produit scalaire (2) : applications. Séquence 7 MA12. Cned - Académie en ligne

Séquence 7. 1 ère partie : 2 e partie : Problèmes. Produit scalaire (2) : applications. Séquence 7 MA12. Cned - Académie en ligne Séquence 7 1 ère partie : Produit scalaire () : applications e partie : Problèmes Séquence 7 MA1 1 1ère partie Produit scalaire () : applications Sommaire 1/ Pré-requis Calculs de distances, d angles 3

Plus en détail

D = 5 2 4 0,5. 4 points. D = 5 2 2 D = 5 donc D est un nombre entier. 0,5

D = 5 2 4 0,5. 4 points. D = 5 2 2 D = 5 donc D est un nombre entier. 0,5 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 s) Montrer que D est un nombre entier. Ê D = 5 12 2 D = 5 2 Exercice n 1 : Toutes les étapes de calcul devront figurer sur la copie. 1. On donne A = + 1 + 2. Calculer et donner

Plus en détail

2 PGCD, PPCM, petit théorème de Fermat

2 PGCD, PPCM, petit théorème de Fermat Université de Paris-Sud, année 2012/2013 Filière Math/Info-L2 Maths 209 Feuille d exercices de soutien 1 Congruences et arithmétique sur Z Exercice 1. a) Soit n un nombre entier. Combien de valeurs peut

Plus en détail

OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES

OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES SESSION 2012 MERCREDI 21 MARS 2012 (8h 12h) SUJET PREMIERE S Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5. Sujet S page 1 Exercice National 1 : On dit qu un nombre

Plus en détail

Angles orientés. exercices corrigés. 21 février 2014

Angles orientés. exercices corrigés. 21 février 2014 exercices corrigés 21 février 2014 Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Exercice 9 Exercice 1 Enoncé Soit A et B deux points du plan tels que AB = 4 cm.

Plus en détail

Repères et coordonnées dans le plan

Repères et coordonnées dans le plan A Repères et coordonnées dans le plan Repères et coordonnées dans le plan A-1 Définir un repère et les coordonnées d un point Dans un plan (P), on considère 3 points non alignés O, I, J. les droites (OI)

Plus en détail