Définition. Étant donné deux vecteurs et, on appelle produit scalaire des vecteurs et le nombre réel noté (lire «u scalaire v») défini par :

Transcription

1 S Le prodit sclire Définition et premières propriétés Définition Étnt donné dex ecters et, on ppelle prodit sclire des ecters et le nomre réel noté (lire «sclire») défini pr : L définition rend immédite les propriétés sintes Effectiement est n nomre réel Lorsqe l n des ecters o est nl, on 0 c Le prodit sclire est symétriqe el signifie qe d Le prodit de pr li-même est ppelé crré sclire de et noté insi et por dex points et : e Étnt donné des points,,, ec et, on : Théorème Dex ecters sont orthogonx si et selement ler prodit sclire est nl Démonstrtion Si 0 o 0, lors 0 d près l définition Spposons mintennt qe 0 o 0 hoisissons n point et introdisons les points et (distincts de ) tels qe et Nos ons insi 0 éqit à + D près le théorème de Pythgore, cel signifie qe est n tringle rectngle en, trement dit et sont orthogonx En conennt qe le ecter nl est orthogonl à tot ecter, nos ons le théorème Théorème (expression nlytiqe d prodit sclire) Soit ( i, j ) ne se orthonormle, et dex ecters de coordonnées (x, y) et (x, y ), on lors x x + y y Démonstrtion Nos sons qe dns ne se orthonormle, le crré de l norme d n ecter de coordonnées (x, y) est x + y ec (x, y) et (x, y ), on x + y x + y (x x ) + (y y ) x + x x x + y + y y y (x x, y y ), il ient : En ppliqnt l définition, on donc x x + y y

2 Remrqes Si x i y j, lors i x y 0 x et j x 0 y y Les dex théorèmes proent qe (x, y) et (x, y ) sont orthogonx éqit à x x + y y 0 Exercice Montrer qe, qel qe soit le réel θ, cos θ i sin θ j et sin θ i cos θ j forment ne se orthonormle, ( i, j ) étnt spposée orthonormle Théorème 3 (ilinérité d prodit sclire) Qels qe soient les ecters,, w et le nomre λ on : w w w w w λ λ λ λ Démonstrtion Por l première propriété selement, les tres se montrnt de même mnière (à fire en exercice) Dns ne se orthonormle ( i, j ), ec (x, y) et (x, y ) d où w (x, y ),le théorème donne : w (x + x ) x + (y + y ) y x x + x x + y y + y y w w x x + y y + x x + y y D où l églité cherchée (x + x, y + y ) et Exercice Déelopper 3w Exprimer en fonction de, et les prodits sclires 3,,, et les nomres,, retenir Les identités remrqles d prodit sclire en fonction des normes Remrqe Lorsqe et sont colinéires, le prodit sclire est donné pr : si et sont colinéire s de même sens si et sont colinéire s de sens contrires ec λ ( λ réel), on en effet λ et pr illers λ λ

3 tres expressions d prodit sclire Théorème Soit n ecter non nl, n ecter qelconqe et ' le projeté orthogonl de sr On l églité : ' Démonstrtion On note On lors : omme est le projeté orthogonl de sr lors et, donc : D E F Remrqes importntes Dex ecters qi ont le même projeté orthogonl sr ont le même prodit sclire pr ( 0 ) D G ' H E F D EF GH ttention, on ne pet projeté q n sel des ecters, insi en générl! Exercice 3 Le rectngle D por dimensions et Éler en fonction de et, et D

4 Théorème 5 (fclttif) Soit n ecter non nl et n ecter qelconqe Le projeté orthogonl ' de sr est clclé pr Démonstrtion ' Le ecter ' étnt colinéire à, il existe n réel λ tel qe ' λ L églité ' (théorème ) s écrit lors λ λ On en dédit l ler de λ : λ pis ' Théorème 6 (théorème d cosins) Por dex ecters et non nls : cos, L démonstrtion été fite de l ctiité de préprtion Exercice Le repère (O, i, j ) étnt orthonorml, on considère (, ) (3, ) (, ) lcler,, et en dédire l ler excte de θ 3 onfigrtions Théorème 7 Le cercle de dimètre [] est l ensemle des points M d pln tels qe M M 0 M Démonstrtion Si M est différent de et de, l condition M M 0 signifie qe le tringle M est rectngle en M o encore, d près le théorème de l ngle droit, qe M pprtient cercle de dimètre [] Théorème 8 (théorème de l médine) Soit et dex points et I le milie de [] Qel qe soit le point M : M + M MI + M M' Démonstrtion I Nos ons M M MI I I I I De même M I I Donc M + M I I + I I I I I I Soit, comme I I 0 et I I, M + M MI + Exercice 5 Démontrer, en procédnt de même, qe M M Démontrer qe M M MI

5 Exercice 6 Soit n tringle M ec M 3, M et M 3 lcler et MI, où I est le milie de [], en élnt M M Géométrie nlytiqe Définition Soit n point, n n ecter non nl, P et Q tels qe pssnt pr et orthogonle à (PQ) On dit qe éqit à M est orthogonl à PQ n, il existe ne niqe droite D est n ecter norml de D Dès lors, M pprtient à D PQ n o encore M n 0 En résmé : Proposition Soit D l droite pssnt pr de ecter norml n ( n 0 ) Un point M pprtient à D, si et selement si, M n 0 Soit n (, ) n ecter non nl et (x 0, y 0 ) n point d pln Nos ons : M (x, y) D n M 0 (x x 0 ) + (y y 0 ) 0 x + y ( x 0 + y 0 ) 0 x + y + c 0 en posnt c ( x 0 + y 0 ) eci est ne éqtion crtésienne de l droite D Théorème 9 Soit n (, ) n ecter non nl Une droite dmettnt n (, ) comme ecter norml ne éqtion crtésienne de l forme x + y + c 0 où c est n nomre réel Exercice 7 ec les points (, ) (3, ) (, ), donner ne éqtion crtésienne de l méditrice de [] et de l hter isse de dns le tringle Pis donner les éqtions rédites de ces droites Un point M (x, y) pprtient à n cercle de centre (x 0, y 0 ) et de ryon R (R > 0), si et selement si, M R o miex M R En écrint M (x x 0 ) + (y y 0 ), nos otenons l éqtion d cercle de centre (x 0, y 0 ) et de ryon R : (x x 0 ) + (y y 0 ) R Exercice 8 Déterminer l éqtion d cercle de centre O et de ryon Déterminer l éqtion d cercle de centre (, ) pssnt pr le point ( 3, ) Soit et dex points donnés Le cercle de dimètre [] est l ensemle des points M tels qe M M 0 (oir théorème 7) est en trdisnt nlytiqement cette reltion q on otient ne éqtion de Exercice 9 Déterminer ne éqtion d cercle de dimètre [] ec (, 3) (, )

6 5 Trigonométrie Le t de ce prgrphe est d exprimer cos ( + ) et sin ( + ) en fonction de cos, cos, sin, sin es formles sont ppelées les formles d ddition Por effecter de tels clcls, on introdit les ecters nitires et tels qe ( i, ) [ ] et ( i, ) [ ] D près l reltion de j O i hsles est ne mesre de (, ) Nos poons exprimer de dex mnières différentes le prodit sclire cos (, ) cr et sont nitires, d où cos ( ) cos ( ) Pr le clcl nlytiqe, comme cos i + sin j et cos i + sin j, lors : cos cos + sin sin D où l églité cos ( ) cos cos + sin sin En remplçnt pr dns l formle précédente, on otient cos ( + ) cos cos sin sin On tilise ne stce sin ( ) cos ( ) cos omme cos ec cos cos sin et sin cos + sin sin, cos, on otient sin ( ) sin cos sin cos Le chngement de en lire sin ( + ) sin cos + sin cos Exercice 0 lcler les lignes trigonométriqes de à l ide de l églité 3 hoisissons dns les formles précédentes concernnt cos ( + ) et cos ( ) Nos otenons les formles de dpliction : cos cos sin cos ( cos ) cos et sin sin cos Il est lors possile d exprimer cos et sin en fonction de cos, ce sont les formles de linéristion cos cos et sin cos cos Exercice lcler les lignes trigonométriqes de 8 6 Reltions métriqes dns le tringle Étnt donné n tringle, on désigne pr,, c les longers des côtés opposés x sommets,, On note cos et sin les cosins et sins de l mesre entre 0 et de l ngle Théorème 0 (reltions d L-Kshi) es reltions générlisent le théorème de Pythgore dns n tringle qelconqe + c c cos + c c cos c + cos

7 Démonstrtion Nos ons omme cos (, ), nos otenons + c c cos Les tres reltions s otiennent pr n risonnement nloge Exercice On donne n tringle, ec 9, 7 et c lcler, degré près les ngles α, β, γ (d tringle) de sommets,, et onsidérons n tringle et l hter [H] isse de Qtre sittions sont à enisger : H H H H Dns les sittions et, on H H Pr site, dns le tringle H rectngle en H, sin soit H sin Dns l sittion, les ngles H et sont spplémentires et ont donc le même sins : H sin et là encore H sin Dns l sittion, H sin (cr est droit) En résmé, dns tos les cs H sin L ire S d tringle est S On otient de même S H et t donc S c sin et S c sin sin (formles de l ire) prtir des églités S c sin c sin sin, on otient en diisnt pr c : o encore S c c S sin sin sin sin sin, c c sin (loi des sins) 7 Résoltion de tringles Résodre n tringle, consiste à déterminer les longers,, c des côtés opposés x sommets,, et les ngles α, β, γ d tringle de sommets,, On les trois sittions de référence sint les données : Les longers,, c étnt connes, les ngles sont clclés pr l reltion d L-Kshi Une longer étnt conne insi qe les dex ngles djcents à ce côté, on pet clcler le troisième ngle (pr différence à 80) pis les longers ec l loi des sins Un ngle étnt conn insi qe les longers des côtés djcent à celi-ci, on pet clcler ne longer ec l reltion d L-Kshi, pis on est dns l sittion

8 S Le prodit sclire orrection des exercices d cors Exercice On cos θ sin θ et sin θ cos θ Pr illers, cos θ sin θ + sin θ ( cos θ ) 0 Donc, est ne se orthonormle Exercice Déeloppons 3w 3 w Exercice 3 Le projeté orthogonl de sr est le ecter, donc : Le projeté orthogonl de sr est le ecter, donc : ( ) D Exercice lclons,, et nos llons en dédire l ler excte de θ J (5, 3) et (, ), donc x x + y y o I De l reltion on tire cos θ cos θ, donc θ M Exercice 5 Démontrons qe M M M M I I et M I I Donc M M I I I I I I I Démontrons M M MI I MI M M MI I MI I MI I MI I MI

9 Exercice 6 Soit n tringle M ec M 3, M et M 3 ppliqons le théorème d cosins M M M M cos M 3 cos 6 6 L formle M M MI donne lors 6 MI (*) omme M + M 3 + 5, l formle de l médine donne M + M MI +, soit 5 MI + (**) On résot le système oten ec (*) et (**), on troe 3 et MI 37 Exercice 7 Soient les points (, ) (3, ) (, ) Donnons ne éqtion de l méditrice de 3 [] ette droite psse pr I, et dmet (, ) comme ecter norml Son éqtion est donc 0 ec M (x, y) Pisqe (x, y 3 ) et (, ), on : (x ) (y 3 ) 0, soit x y 5 0 Donnons ne éqtion de l hter isse de dns le tringle ette droite psse pr (, ) et dmet (, 3) comme ecter norml Son éqtion est donc (x, y) On otient (x + ) + 3 (y ) 0, soit x + 3 y 7 0 M 0 où M por coordonnées Exercice 8 L éqtion d cercle de centre O (0, 0) et de ryon R est x + y Troons l éqtion d cercle de centre (, ) pssnt pr le point ( 3, ) On (, ) Le ryon de ce cercle est défini pr R L éqtion d cercle est donc (x ) + (y ) 7 o encore x + y x y 0 Exercice 9 Un point M (x, y) pprtient cercle de dimètre [] ec (, 3) (, ) si et selement si M M 0 ec M (x +, y 3) et M (x, y ) Il ient (x + ) (x ) + (y 3) (y ) 0 soit x + y x 5 y + 0 Exercice 0 lclons les lignes trigonométriqes de cos sin cos 3 sin 3 cos 3 sin 3 cos cos + sin 3 sin sin cos 3 à l ide de l églité Exercice lclons les lignes trigonométriqes de 8 On prt des formles de linéristion cos de issection, en remplçnt pr, cos On ppliqe ces formles ec, on otient : en tilisnt cos sin cos et sin cos qi donnent les formles cos et sin cos cos 8 cos, pis sin 8 cos Le positionnement sr le cercle trigonométriqe d point ssocié à 8 montre qe cos 8 et sin 8 sont des nomres positifs En conséqence cos 8 et sin 8

10 Exercice On donne n tringle, ec 9, 7 et c De l reltion + c c cos α nos tirons cos α L clcltrice fornit α qe nos rrondissons à α 07 De même, ec + c c cos β nos ons cos β c c c c Soit β 8 omme α + β + γ 80, lors γ 5 (cr )