Cours- TD 1.1 éléments de correction

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1 Cours- TD 1.1 éléments de correction Programme : On mettra en évidence (1) la notion de pression dans un fluide ; (2) le principe fondamental de l hydrostatique ; (3) la loi des vases communicants ; (4) la loi de conservation du débit dans le contexte des pressions dans les différents parties du système vasculaire. Une question se posera alors : pourquoi la pression veineuse est- elle plus faible que la pression artérielle (même lorsqu on est couché)? Le TP est là pour le découvrir. Exercice d introduction 1) Dans le premier cours (cours 0) nous avons parlé du travail du cœur. Mais pourquoi le cœur effectue ce travail? A quoi sert cette énergie fournie? Au niveau du ventricule on observe des variations de pression entre une pression minimale (diastolyque) d environ 80 mmhg (ou torr) et une maximale (systolique) d environ 120 mmhg, la valeur moyenne étant autour de 100 mmhg. Ces pressions sont, en fait, des surpressions par rapport à la pression atmosphérique P 0. 2) Rappeller la valeur de P 0 en unités mmhg, atm et Pa, et comparer avec la surpression ventriculaire moyenne. a P0 = 1 atm = 760 mmhg 10 5 Pa Pascal Pa = N/m 2 unité S.I. (MKS) 1 mmhg / Pa (1 mmhg = kpa) 1 Pa 760/ mmhg (1 kpa = 7.6 mmhg) , en moyenne 100 torr = 100 mmhg, sous entendu par rapport à P0 = 760 mmhg = 1 atm 100 mmhg = 100*133 Pa = Pa = atm : plus petit mais comparable. Figure 0 : depuis Campbell "Biology" Exercice : Pression hydrostatique Mais ça veut dire quoi exactement, pression dans un liquide? Retrouvons cette notion à partir de la définition plus élémentaire de force. L idée de cet exercice est de rappeler les notions de force et pression, en les liants entre elles, et de justifier la pression hydrostatique comme le poids des couches de liquides superposées en partant d un Figure 2 : Palet de glace système modèle avec des couches solides (glace) qui fondent après. scientific On fabrique des palets cylindriques en glace, avec e = 2 cm d épaisseur, S = 80 cm 2 de surface. 1) On en pose un sur une table : quelle est la force que ce palet exerce sur la table? Quelle est la (sur)pression sur la surface de la table (par rapport à la pression atmosphérique)? 2) On pose un deuxième palet sur le premier. Quelle est la force que le deuxième palet exerce sur le premier? Quelle est la (sur)pression correspondante? Quelle force et quelle (sur)pression s exercent maintenant sur la table? 3) On les empile pour faire une tour de 15 palets. Décrire (tracer) l évolution de la (sur)pression en fonction du numéro du palet. 4) On met les 15 palets empilés dans une cuve cylindrique de même diamètre que les palets et on attend que l eau fonde complètement. Comment varie la (sur)pression en fonction de la hauteur, entre le fond et la surface de l eau liquide? Comment justifier alors l existence d une pression hydrostatique dans un liquide? 5) Qu est- ce l origine de la pression atmosphérique?

2 6) Comment les résultats précédents sont- ils modifiés par la présence de l atmosphère au dessous de la pile de palets, puis de la colonne d eau? 7) Que vaut la pression à une profondeur donnée en dessous de la surface de la mer? 1) On prend la masse volumique de l eau, rho = 1 kg/dm3 = 1 g /cm3 = 1000 kg/m 3 V =es = 80 cm2 *2 cm = 160 cm3 => m = V rho = 160 g = 0.16 kg => F = mg = 1.6 N => P = mg/s = 1.6 N / (80 10^-4 m2) = ^4 Pa = atm. 2) 2eme sur premier, la même force/ pression. les 2 sur la table : 2P = atm. 3) P(N) = Nmg/S = 0.002*N atm => jusqu à 0.002*15 atm = 0.03 atm 4) c est la même chose! P(h=N*2cm) = P(N) => écrivons N = h/e : P(h) = (h/e) (mg / S) = (m/v) gh = rho g h!! la pression hydrostatique c est le poids de l eau en dessus qui s exerce sur l eau en dessous 5) le poids de l air de l atmosphère, des couchez superposées. 6) P sur la table = P0+rho g h 7) P(-z) = P0 + rho g z On retient : Principe fondamental de l hydrostatique : P = ρ g h pour un fluide à l équilibre (donc immobile) avec P différence de pression, ρ masse volumique, g accélération de la pesanteur, h altitude. (Unités : Pa = N/m 2 = (kg/m 3 ).(m/s 2 ).m) Principe des vases communicants Pourquoi, dans le dispositif en figure, le niveau du liquide doit nécessairement être le même si le liquide est à l équilibre? On met en évidence que : - La surface libre du liquide est toujours au même niveau et à la pression extérieure - La pression hydrostatique à une profondeur donnée est la même pour tous les points du même plan. Si ce n était pas le cas, la différence de pression entre deux points à la même profondeur générerait une force qui mettrait le liquide en mouvement (du point de pression plus élevée vers celui de pression plus faible).` Le point clé est de réaliser que un liquide au repos est isotrope pour ce qui concerne la pression : en un point quelconque d'un fluide la pression en ce point est identique dans toutes les directions. La pression hydrostatique dans le système cardio- vasculaire 1) La pression ventriculaire moyenne (ou la pression artérielle mesurée au niveau de l avant- bras, c est à dire pratiquement au niveau du cœur) est donc de 100 mmhg. Ceci correspond à la pression hydrostatique exercée par une colonne de sang de quelle hauteur? Masse volumique du sang: 1,05 kg/l. R : On peut simplifier les calculs en prenant 1 kg/l comme pour l eau. P = 100 mmhg = 13'300 Pa (vu avant) h = P/rho g = 13'300 Pa / (10ms -2 *1000 kg/m 3 ) = 1.3 m (avec 1.05 on a 129) Figure 3 : Vases communicantes de 3B scientific

3 2) En supposant que, pour un homme debout, le sommet de la tête se situe 60 cm au dessus du cœur, quelle est la différence de la pression sanguine artérielle qu on peut prévoir entre les deux parties? 3) Même question entre les pieds et le cœur, en supposant une distance d environ 100 cm. 4) Comparer aux valeurs des pressions artérielles mesurées et indiquées dans la figure 4. 5) La pression ventriculaire moyenne (question 1) peut- elle s expliquer comme un pur effet Hydrostatique? Pourquoi? Qui fait la différence? cœur tête : h = 60 cm P = rho g h = = 4200 Pa = 47 mmhg pieds cœur : h = 100 cm P = rho g h = = Pa = 79 mmhg (ce qui correspond à la figure du bouyssy : = 179, = 53 ) La pression ventriculaire de 100 n est donc pas seulement hydrostatique, ce n est pas que le poids du sang qui y contribue. La contraction cardiaque. Question : que devient cette pression? Comparons le schéma précédent avec celui d un homme allongé : on voit bien que dans ce cas les différences de pression associées à la gravité que nous venons de calculer s annulent, et en particulier, les pressions sont les mêmes dans les pieds et dans la tête. Figure 4 : depuis Bouyssy, Davier Gatty Cependant : Pourquoi la pression artérielle dans les pieds et dans la tête est plus faible qu au niveau du cœur? Et surtout, pourquoi la pression veineuse est elle tellement plus faible que la pression artérielle? Géométrie du système circulatoire Le sang circule dans un système de «tuyaux» qui a une géométrie particulière : Figure 5 : Depuis Bouyssy, Davier, Gatty Figure 5 : Depuis Ayons une vision un peu plus quantitative de la géométrie ce système hydraulique : on trouve en particulier les données suivantes : - La section d une grosse artère (mais aussi de l aorte?) : s A = 3 cm 2 - La section d un capillaire : s C = 60 µm 2 (Le diamètre d un capillaire : d C = 9 µm)

4 - 2V321 Physique des grandes fonctions des organismes vivants La section d ensemble de tous les capillaires : s Ctot = 2400 cm 2, soit près de 3000 fois supérieure à celle d une artère! 1) Estimer le nombre de capillaires cm 2 / 60 µm 2 = : 4 milliards! Conservation du débit et estimation des vitesses du sang 1) Conservation du débit Q Le premier principe physique, le plus important, est aussi le plus simple : le sang, comme la plupart des liquides, est (presque) incompressible : le volume d une quantité donné de matière ne change pas. Par conséquent 1) Que vaut le volume V de fluide qui traverse une section de surface A d un tuyau en un lapse de temps t, si la vitesse d écoulement est v (Figure 6)? V = Ad = Av t Figure 6 : le volume qui traverse une section d'un tuyau en un temps t si la vitesse est v. Depuis book/contents/m42205.html 2) Exprimer alors le débit Q à travers la surface A, c est- à- dire le volume de fluide qui la traverse par unité de temps. Q = V/ t = Av 3) On considère maintenant un tuyau qui change de section, comme en figure 7. Que vaut le débit Q 1 à travers la surface A 1? Et le débit Q 2 à travers la surface A 2? Que peut- on dire de la relation entre ces deux grandeurs pour un fluide incompressible? Figure 7 : Conservation du débit. Depuis book/contents/m42205.html A1 v1 = A2 v2 4) Comment faut il écrire la conservation du débit en correspondance d un branchement? Par exemple, en figure 8, que vaut la vitesse dans les trois branches 1 2 et 3 si toutes les sections sont égales? Quelle est la surface qu il faut prendre en compte pour ce calcul?` 5) Stot1 v1 = Stot2 v2 soit ici : A v = 3A v => v = v/3 v Figure 8 : Conservation du débit à un branchement. 1) Vitesse du sang Le résultat précédent permet d estimer la vitesse du sang dans les différents niveaux de branchement du système circulatoire. La figure 9 montre la surface de la section totale traversée par le sang à chaque niveau de branchement. 1) Ecrire la conservation du débit entre l aorte et les capillaires. On pourra appeler v A la vitesse du sang dans l aorte, v C celle au niveau des capillaires. Si on compare l aorte à la partie des capillaires, les deux parties extrêmes, on peut écrire SA va = SC vc 2) Que vaut le débit Q en sortie du cœur (comment l estimer)? Que vaut alors la vitesse du sang dans l aorte, v A? En déduire v c. Comparer avec les données de vitesse des figures 9 et 10. Figure 9 : Depuis Campbell, "Biology".

5 Il faut utiliser le débit cardiaque : Q = Vexpulsé/ tbattement = V * 1/ t volume expulsé = Vexpulsé = 80 cm 3 fréquence cardiaque = 70 min -1 = 1/ t Q = 80 cm 3 * 70 min -1 = 5600 cm3/min = 5.6 L/min = m 3 / 60 sec = m 3 /sec = 93 cm 3 /s Va : Q = SA va => va = Q/ SA = 93 cm 3 /s / 3 cm 3 30 cm/s rapide! 30*3600 = cm/h = 1 km/h Vc : => vc = SA va / SCtot = 3*30/2400 = cm/s = 0.37 mm/s lent : moins d un mm/sec Ca colle assez bien notamment avec la figure 10. Et la pression? Quoi dire maintenant de la pression? On connaît la pression en sortie du cœur, peut- on en déduire celle au niveau des capillaires? Théorème de Bernoulli Une loi physique qu on pourrait penser d utiliser est le théorème de Bernoulli, valable que pour un fluide parfait, c est à dire en l absence de toute dissipation d énergie : P + ρ g h + ½ ρ v 2 = cte Théorème de Bernoulli où P est la pression, ρ la masse volumique, h l altitude, v la vitesse, et la grandeur indiquée est constante lorsqu on se déplace le long d une «ligne de courant» qui suit le mouvement du fluide. Ce théorème traduit la conservation d énergie le long d une ligne de courant. Il n est vraiment pas intuitif : par exemple, il nous dit que pour un fluide en mouvement (v 0), la pression P n est pas égale à la pression hydrostatique ρgh. Nous n allons pas le discuter en détail, mais seulement identifier ses limites. 1) Considérons un homme couché : alors ρgh = cte et le théorème de Bernoulli devient P + ½ ρ v 2 = cte. Si le théorème s appliquait au cas de la circulation sanguine, comment la pression devrait évoluer en allant des artères aux capillaires? 2) Comparer avec la figure 9. Cette prévision est- elle correcte? 3) Que peut- on conclure sur la conservation de l énergie dans ce cas? Le sang se comporte- t- il comme un fluide parfait? Dans un cas où la pression hydrostatique est toujours la même (une personne couchée) on aurait donc P + ½ rho v 2 = cte, ce qui veut dire par exemple que Pc + ½ rho vc 2 = Pa + ½ rho va 2 : la conservation de l énergie nous dit que la pression dépend de la vitesse, et aussi que plus la vitesse est grande, plus la pression est faible : juste le contraire de ce qu on s attendait! Et de ce qu on observe : voir fig 9. Ce que l on voit est que le principe ne marche pas du tout : la pression diminue lorsque la vitesse diminue, en allant vers les capillaires. Ceci veut dire tout simplement que l énergie n est pas conservée, il y a dissipation d énergie due aux frottements, à la viscosité du sang, et ces effets sont loin d être négligeables. Figure 00 : Depuis Bouyssy Davier Gatty. Dans le TP et dans le prochain cours- TD, nous aborderons la question du comportement d un liquide visqueux, ou plus précisément nous nous demanderons dans quelles conditions la viscosité d un liquide est négligeable, dans quelles conditions elle ne l est pas? Puis reviendrons vers le sang pour voir si les propriétés d un liquide visqueux permettent de comprendre son comportement et quelles sont les limites de ce modèle physique.