4. Qu'en déduis-tu pour les diagonales du parallélogramme ABCD?

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2 ctivité 1 : roisement de deux bandes n croise deux bandes de papier et on s'intéresse à l'intersection. Quels quadrilatères peut-on obtenir? éalise une affiche qui présente toutes les possibilités que tu auras trouvées. ctivité 2 : Parallélogramme à la trace vec racenpoche, place 3 points, et. À l'aide des boutons et, complète la construction pour obtenir le parallélogramme comme ci-contre. 2. n utilisant le bouton, demande la trace du point et du point. éplace le point et observe les traces des points et. Que peux-tu dire des points et? 3. Peux-tu dire la même chose pour les points et? 4. Qu'en déduis-tu pour les diagonales du parallélogramme? 5. n utilisant le bouton, fais apparaître les mesures des côtés du parallélogramme. Que remarques-tu? Quelle propriété de la symétrie centrale permet de justifier cette observation? 6. ans la fenêtre nalyse, demande la mesure des angles en tapant : angle()= angle()= angle()= angle()= Que remarques-tu? Quelle propriété permet de justifier cette observation? 7. Quelle est la somme des quatre angles du parallélogramme? Qu'en déduis-tu pour les angles et? ctivité 3 : Ça déchire! Kévin a retrouvé sa construction du parallélogramme mais est très embêté car sa feuille est déchirée et il doit mesurer les côtés pour déterminer son périmètre. abrina le rassure et lui dit que le plus important est encore présent sur sa feuille. 1. xplique comment Kévin peut tout de même déterminer le périmètre du parallélogramme. 2. abrina lui dit qu'il peut même trouver les longueurs des diagonales. omment fait-elle? 3. Peux-tu donner d'autres informations à propos de ce parallélogramme? 134 PLLÉLMM - HP 3

3 ctivité 4 : dentification 1. À première vue Les figures codées ci-dessous ont été faites à main levée. elon toi, certaines représentent-elles des parallélogrammes? xplique quelle a été ta démarche pour répondre à cette question. igure 1 igure 2 igure 3 igure 4 2. Justifier en appliquant des propriétés ur la figure ci-dessous, trouve tous les quadrilatères dont tu peux affirmer qu'ils sont des parallélogrammes. Pour chacun, énonce une propriété qui permet de justifier ta réponse. J () // () et () // () H K ctivité 5 : vec un truc en plus 1. À l'aide du logiciel racenpoche, construis un triangle MNP. n appelle le milieu du segment [MP]. onstruis le point Q symétrique du point N par rapport au point. émontre que MNPQ est un 2. Morgane trouve que MNPQ ressemble plutôt à un losange. À ton avis, comment a-t-elle placé les points M, N et P? Énonce une propriété permettant d'affirmer qu'un parallélogramme est un losange. 3. achid, quant à lui, trouve que MNPQ ressemble plutôt à un rectangle. omment expliquer l'observation de achid? Énonce une propriété permettant d'affirmer qu'un parallélogramme est un rectangle. 4. omment choisir la position des points M, N et P pour que MNPQ soit un carré? Justifie. 5. race à main levée plusieurs parallélogrammes. Pour chacun d'eux, place le minimum de codage pour qu'il soit un losange, un rectangle ou un carré. HP 3 - PLLÉLMM 135

4 Méthode 1 : onstruire un parallélogramme dans un quadrillage xemple : oient trois points, et non alignés placés comme ci-contre. Place le point tel que soit un ela peut être résolu de deux façons différentes : n utilisant une propriété des côtés d'un parallélogramme n trace les côtés [] et [] du quadrilatère. Le quadrilatère est un parallélogramme donc ses côtés [] et [] sont de même longueur et parallèles. Pour aller de à, on se déplace de 6 carreaux vers la droite et de 1 carreau vers le haut. n reproduit ces mêmes déplacements à partir de. insi on obtient un quadrilatère non croisé tel que = et () // (), c'est donc bien un n utilisant la propriété des diagonales d'un parallélogramme n trace les côtés [] et [] du quadrilatère. Le quadrilatère est un parallélogramme donc ses diagonales [] et [] se coupent en leur milieu qu'on appelle. n trace le segment [] et on place son milieu. 'est également le milieu du segment []. n place tel que soit le milieu du segment [] en comptant les carreaux. insi a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, c'est donc bien un xercices «À toi de jouer» 1 eproduis sur ton cahier la figure suivante puis trace le parallélogramme H en utilisant une propriété des côtés du 2 eproduis sur ton cahier la figure suivante puis trace le parallélogramme en utilisant la propriété des diagonales du 136 PLLÉLMM - HP 3

5 Méthode 2 : onstruire un parallélogramme avec des instruments de géométrie xemple : oient trois points, et non alignés. Place le point tel que soit un ela peut être résolu de plusieurs façons différentes, en voici deux : n utilisant une propriété des côtés d'un parallélogramme n trace les côtés [] et n trace la parallèle à () n trace la parallèle à () [] du quadrilatère. passant par. passant par. es deux Le quadrilatère est droites sont sécantes en. un parallélogramme donc insi a ses côtés ses côtés opposés sont opposés parallèles deux à parallèles deux à deux : deux, c'est donc bien un soit () // () et () // (). n utilisant une autre propriété des côtés d'un parallélogramme n trace les côtés [] et À l'aide du compas, on [] du quadrilatère. reporte la longueur à Le quadrilatère est partir du point. un parallélogramme donc ses côtés opposés [] et [] sont de la même longueur deux à deux : soit = et =. n reporte la longueur à partir du point. n place le point à l'intersection des deux arcs de cercle puis on trace les côtés [] et []. insi, a ses côtés opposés égaux deux à deux, c'est donc bien un xercices «À toi de jouer» 3 onstruis le parallélogramme PL tel que P = 5 cm, P = 6 cm et P = 74 en utilisant la propriété sur le parallélisme des côtés opposés du P = 40 en 4 onstruis le parallélogramme P tel que = 6 cm, P = 8 cm et utilisant la propriété sur l'égalité des longueurs des côtés opposés du 5 onstruis le parallélogramme VL tel que V = 4 cm, V = 5 cm et VL = 3 cm. HP 3 - PLLÉLMM 137

6 Méthode 3 : onstruire un quadrilatère particulier par ses diagonales À connaître i un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle. i un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange. i un parallélogramme a ses diagonales de même longueur et perpendiculaires alors c'est un carré. xemple 1 : essine un rectangle de centre dont les diagonales mesurent 6 cm et tel que = 2 cm. 3 cm 2 cm 3 cm 2 cm Le quadrilatère est un rectangle donc ses diagonales ont même milieu et même longueur. n construit le triangle isocèle en tel que = 2 cm et = 3 cm. 2 cm n construit alors les points et symétriques respectifs de et de par rapport à. n termine le rectangle en traçant les segments [], [] et []. insi, le quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui ont la même longueur, c'est donc bien un rectangle. xemple 2 : essine un losange N de centre M dont les diagonales vérifient = 8 cm et N = 5 cm. N M2,5 cm N N 2,5 cm 8 cm M M Pour que le quadrilatère N soit un losange, il faut tracer un quadrilatère dont les diagonales ont même milieu et sont perpendiculaires. n trace la diagonale [] et on place son milieu M. n trace la droite perpendiculaire à la droite () passant par M et on place les points N et sur cette droite à 2,5 cm du point M. n relie les points, N, et pour former le losange. insi, le quadrilatère N a ses diagonales qui se coupent en leur milieu et qui sont perpendiculaires, c'est donc bien un losange. emarque : Pour construire un carré, on utilise la même méthode que pour le losange, les diagonales étant en plus de même longueur. xercice «À toi de jouer» 6 onstruis un rectangle LN de centre dont les diagonales mesurent 7 cm et tel L mesure 80. que l'angle 138 PLLÉLMM - HP 3

7 tiliser les propriétés du parallélogramme 6 V est un parallélogramme de centre. a. ais deux phrases utilisant le mot «milieu». 1 Nom d'un parallélogramme! Parmi tous ces noms, relève ceux qui correspondent au parallélogramme ci-dessous. H Les droites (), (H) et () sont parallèles. H Les droites (), () et () sont parallèles. ci-dessous. ecopie et complète les phrases. a. N est l'image de par la symétrie de. c. = N P b. Quelles autres mesures de longueurs ou d'angles est-il possible de déterminer? Justifie. 5 cm Q 3,5 c m Propriétés du parallélogramme Pour chaque énoncé, trace une figure à main levée puis justifie tes réponses. a. Le quadrilatère N est un parallélogramme tel que N = 4 cm. onne la longueur. b. Le quadrilatère L est un parallélogramme de centre tel que sa diagonale [] a pour longueur 8 cm. onne la longueur. c. Le quadrilatère V est un parallélogramme V a pour mesure 53. Quelle tel que l'angle est la mesure de l'angle V? a. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, construis trois segments [], [] et [] ayant le même milieu. b. onstruis trois parallélogrammes dont les sommets sont parmi les points,,,, et. c. Nomme chacun des trois parallélogrammes. L d. LN = onstruire des parallélogrammes e. L = 5 JKL est un a. eproduis-le à main levée. ode les longueurs et les angles égaux. a. Quelle est la mesure du segment [P]? Justifie. 9 Milieu de trois segments 4 n considère le parallélogramme LN b. L'image du segment [L] par la symétrie de centre est le segment. c. Peut-on déterminer la longueur de [P]? 3 ite tous les parallélogrammes que tu vois sur le dessin ci-dessous (un seul nom par parallélogramme). V 7 PQ est un parallélogramme de centre. b. rouve quatre noms utilisant les lettres,, et H qui ne correspondent pas à ce b. achant que V = 3 cm et = 8 cm, indique la longueur de quatre autres segments. Justifie. 2 a. rouve tous les noms possibles du parallélogramme ci-contre (8 réponses). J K 10 onstruis les parallélogrammes, H et JKL de centre M respectant les conditions suivantes. a. = 5 cm, = 3,5 cm et = 7 cm. L b. Écris les égalités de longueurs et les égalités d'angles. b. = 2 cm, H = 4,5 cm et = 3,5 cm. c. J = 6 cm, JM = 5 cm et M = 4 cm. HP 3 - PLLÉLMM 139

8 11 st-il possible de construire un parallélogramme tel que = 4 cm, = 2,8 cm et = 7 cm? Pourquoi? 12 vec trois points a. Place trois points P, et M non alignés. b. Place à main levée un point N tel que les points P,, M et N soient les sommets d'un c. ombien y a-t-il de positions possibles pour le point N? n appellera ces points N1, N2,... ans chaque cas, trace puis nomme le parallélogramme obtenu. 15 race un segment [] de longueur 7 cm. onstruis un parallélogramme dont [] est un côté puis un autre dont [] est une diagonale. 16 onstruis en vraie grandeur les parallélogrammes schématisés ci-dessous en utilisant les instruments de ton choix. (Les longueurs sont exprimées en centimètres.) 6 a ,3 b a. L tel que L = 5 cm et = 2,5 cm en utilisant l'équerre et la règle graduée. b. M tel que M = 7 cm et = 6 cm en utilisant la règle graduée. c. NH tel que N = 3 cm et N = 8 cm en utilisant le compas et la règle graduée. d. Les parallélogrammes tracés sont-ils les mêmes pour tous les élèves de la classe? 14 vec racenpoche a. onstruis trois points, et. 3 d ,4 13 ans chaque cas, construis un parallélogramme en respectant les contraintes données. 5 c ans un repère a. Place dans un repère les points suivants : J( 1 ; 0), K(1 ; 1) et L(4 ; 2). b. Place les points M et N pour que JKLM et JKMN soient des parallélogrammes. Que remarques-tu? c. onne les coordonnées des points M et N. 18 près avoir tracé une figure à main levée, construis en vraie grandeur : a. un parallélogramme V = 125 et V = 4 cm ; tel que V = 5 cm, b. un parallélogramme L de centre tel que L = 6 cm, = 3 cm et = 4 cm ; c. un parallélogramme N tel que N = 62 mm, N = 40 et N = vec le périmètre b. n utilisant les boutons et, construis le point tel que soit un c. n utilisant les boutons et, construis le point tel que soit un d. n utilisant les boutons et, construis le point tel que soit un e. Que dire des points, et pour le triangle? tilise la fenêtre nalyse pour t'aider. 140 PLLÉLMM - HP 3 onstruis un parallélogramme dont le périmètre est 16 cm et dont la longueur d'un côté est le triple de celle d'un côté consécutif. 20 vec des cercles race deux cercles concentriques de centre. n te servant uniquement d'une règle non graduée, trace un parallélogramme de centre dont deux sommets appartiennent à l'un des cercles et les deux autres à l'autre cercle. 21 tilise un logiciel de géométrie dynamique pour faire une conjecture sur la somme de deux angles consécutifs d'un

9 émontrer (parallélogrammes) 25 Programme de tracé a. Place trois points, et non alignés et trace la droite (d) parallèle à () passant par. 22 ans chaque cas, indique si les codages permettent ou non de prouver que le quadrilatère est un Justifie. a. d. b. race le cercle de centre et de rayon. l coupe la droite (d) en deux points et V. c. Nomme les deux quadrilatères dont trois des sommets sont, et. émontre que ce sont des parallélogrammes. 26 Petites démonstrations b. c. e. ans chaque cas, trace une figure codée à main levée puis démontre que le quadrilatère est un f. a. JX est un quadrilatère de centre K tel que KJ = K et KX = K. b. est un quadrilatère tel que () est parallèle à () et () est parallèle à (). c. X est un quadrilatère non croisé tel que X = X et = X. 23 Parallélogramme ou pas? a. bserve tous les quadrilatères ci-dessous et cite tous ceux qui sont des parallélogrammes en justifiant ta réponse. d. V est un quadrilatère non croisé tel que (V) est parallèle à () et V =. 27 vec des cercles ① ② ④ ③ ⑤ a. onstruis un cercle ( 1) de centre et de rayon 3,5 cm et un cercle ( 2) de centre et de rayon 5 cm. ⑥ ( ⑦ ⑧ sur 1, 5 cm 2,8 cm 2,8 1, 4 cm ( 2 ) ton 24 Le quadrilatère ci-dessous est-il un parallélogramme? xplique pourquoi. ) ⑨ b. eproduis les parallélogrammes cahier et code-les. 1 b. Place deux points N et P sur ( 1) tels que [NP] soit un diamètre de ( 1). Place deux autres points Q et sur ( 2), non alignés avec N et P tels que [Q] soit un diamètre de ( 2). c. émontre que le quadrilatère NQP est un cm d. onne les longueurs NP et Q. Justifie ta réponse. HP 3 - PLLÉLMM 141

10 28 n utilisant la symétrie a. n considère un triangle. onstruis le point symétrique du point par rapport au point. onstruis le point L symétrique du point par rapport au point. b. émontre que le quadrilatère L est un tiliser les propriétés des rectangles, losanges, carrés 32 n parallélogramme particulier a. ans la figure ci-dessous, quelle est la nature du quadrilatère L? Pourquoi? L 2,5 cm 29 n deux étapes b. Que peut-on dire de la longueur des côtés opposés d'un rectangle? éduis-en les longueurs des côtés [L] et [L]. c. Que peut-on dire des diagonales [] et [L]? a. et sont deux parallélogrammes. émontre que est un 33 Propriétés du rectangle b. éduis-en que =. V 4,2 cm a. ecopie et complète en justifiant. Les quadrilatères et sont des parallélogrammes L'un dans l'autre 4,4 cm V = ; V = ; = ; V =. b. ite tous les triangles isocèles de la figure. c. ite tous les triangles rectangles de la figure. 34 Propriétés du carré a. Que représente le point? a. onstruis, sur une feuille blanche, un carré N tel que N = 5,2 cm. b. émontre que le quadrilatère est un b. Place son centre et trace ses axes de symétrie. 31 issectrices a. onstruis un parallélogramme tel que = 110, = 5 cm et = 9 cm. qui b. onstruis la bissectrice de l'angle coupe le segment [] en K et la bissectrice de qui coupe le segment [] en L. l'angle K et L sont de c. émontre que les angles même mesure. d. émontre que le quadrilatère LK est un 142 PLLÉLMM - HP 3 N = 45. c. xplique pourquoi d. ecopie et complète en justifiant. N = ; N = ; N =. 35 aux semblants a. onstruis un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et qui n'est pas un carré. Quelle est la nature de ce quadrilatère? b. onstruis un quadrilatère qui a quatre angles droits et qui n'est pas un carré. Quelle est la nature de ce quadrilatère?

11 onstruire des rectangles, losanges, carrés 36 Propriétés du losange ans chacun des cas suivants, on donne certaines mesures d'un losange de centre. rouve celles qui sont demandées. Justifie tes réponses en appliquant les propriétés du losange. 39 nique ou pas? ans chacun des cas, construis deux figures non superposables quand c'est possible. a. n rectangle de diagonale 7 cm. b. n losange de côté 4 cm. = 50. a. n donne : = 9,1 cm, n demande :, et. son périmètre, b. n donne : = 2,8 cm, = 4,2 cm.. n demande :, et = 110. c. n donne : = 5,1 cm,. n demande :, et = 60. d. n donne : = 5 cm,,, et. n demande : Quelle est la nature du triangle? 37 Propriétés Pour chaque énoncé, trace une figure à main levée et justifie tes réponses. c. n carré de diagonale 6 cm. 40 u compas onstruis un triangle LN rectangle en. race ensuite le rectangle LN en utilisant le compas et la règle non graduée. 41 arré en géométrie dynamique a. À l'aide d'un logiciel de dynamique, trace un segment []. géométrie b. onstruis les points et tels que soit un carré. (ttention, doit «rester carré» lorsque tu déplaces,, ou!) c. écris ta construction. Quelles propriétés du carré utilises-tu pour ta construction? d. Y a-t-il plusieurs façons de procéder? 42 onstructions de rectangles a. Le quadrilatère PN est un losange de centre. émontre que les droites (PN) et () sont perpendiculaires. onstruis en vraie grandeur les rectangles dessinés ci-dessous à main levée en respectant les mesures indiquées sur les figures. (Les longueurs sont données en centimètres.) b. Le quadrilatère est un rectangle de centre tel que = 5,5 cm. onne la longueur. a. c. c. Le quadrilatère L est un rectangle de centre M. émontre que le triangle M est isocèle. 4,5 d. Le quadrilatère est un carré de centre tel que = 3,7 cm. onne la longueur. 38 xes de symétrie du carré ur une feuille blanche, trace deux droites (d) et (d') perpendiculaires. ans chacun des cas, construis le(s) carré(s) ayant (d) et (d') pour axes de symétrie sachant que H b. 3 K d N L 110 a.... ses côtés mesurent 5 cm. b.... ses diagonales mesurent 5 cm. 4,5 HP 3 - PLLÉLMM M 143

12 43 onstruis les losanges suivants. a. 48 vec le centre de symétrie c. 3,2 a. onstruis un triangle H rectangle en H tel que H = 3 cm et H = 2,1 cm. b. onstruis le point symétrique du point par rapport à la droite (H). 3,5 32 H 2,4 c. Place les points et tels que soit un rectangle de centre. d. Place le point tel que le quadrilatère soit un losange de centre H. b. 27 d. M 49 ouble triangle rectangle 3 N L 6 K NL = 8 44 éalise une figure à main levée puis construis le quadrilatère demandé. a. Le rectangle MN tel que MN = 9 cm et M = 5 cm. b. Le losange tel que = 8 cm et = 6 cm. c. Le rectangle PL L = 53. tel que P = 8 cm et d. Le losange LP de centre 2 tel que = 4,5 cm et L = P éfléchir avant de construire n losange a pour périmètre 20 cm et l'une de ses diagonales mesure 6 cm. onstruis un tel losange. a. À l'aide de racenpoche, construis un triangle rectangle en. b. n utilisant les boutons, et propose une construction du milieu de []. c. race le cercle de centre passant par. Que remarques-tu? Pourquoi? émontrer avec des losanges, rectangles, carrés 50 Les deux quadrilatères ci-dessous sont-ils des rectangles? Justifie ta réponse vec l'équerre et la règle graduée Place un point puis construis un carré M de centre et de diagonale mesurant 6,4 cm. 47 vec les axes de symétrie a. race une droite (d), place un point sur la droite (d) et un point L hors de cette droite tels que (L) ne soit pas perpendiculaire à (d). onstruis un losange dont et L sont deux sommets et (d) un axe de symétrie. b. race une droite (d), place un point sur la droite (d) et place un point hors de cette droite. onstruis un rectangle dont est un sommet, un point d'un côté et (d) un axe de symétrie. 144 PLLÉLMM - HP 3, Petites démonstrations a. Le quadrilatère H parallélogramme tel que =. émontre que c'est un losange. est un b. Le quadrilatère est un parallélogramme tel que =. émontre que c'est un rectangle. c. Le quadrilatère N est un parallélogramme de centre tel que N = et les droites (N) et () sont perpendiculaires. émontre que c'est un carré.

13 52 vec les propriétés de droites 55 vec les angles n observant la figure ci-dessous (les droites de même couleur sont parallèles), prouve que le quadrilatère est un rectangle. ur la figure ci-dessous : =, = et =. H a. Quelle est la nature des triangles, et? Justifie. b. Que peux-tu en déduire pour les longueurs,, et? 53 'un quadrilatère à l'autre c. émontre alors que le quadrilatère est un rectangle. et ont-ils la même d. Les angles mesure? xplique pourquoi. H 56 Points cocycliques... a. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, construis un rectangle de centre. b. onstruis le cercle de centre passant par. Que remarques-tu? émontre ce résultat. ur la figure ci-dessus, on a dessiné un quadrilatère puis on a tracé les parallèles aux diagonales passant par les sommets,, et du quadrilatère. Les droites ainsi obtenues se coupent en,, et H. a. émontre que le quadrilatère H est un b. n suppose maintenant que est un rectangle. onstruis une nouvelle figure et démontre que H est un losange. d. Éric affirme : «i quatre points sont cocycliques, alors ils sont les sommets d'un rectangle.». À l'aide d'un contre-exemple que tu construiras grâce au logiciel de géométrie dynamique, montre qu'il a tort. e. Modifie la phrase d'éric pour la rendre vraie. 57 n utilisant le codage de la figure 45 c. n suppose enfin que est un losange. onstruis une nouvelle figure et démontre que H est un rectangle. c. n dit que des points sont cocycliques lorsqu'ils sont situés sur un même cercle. n règle générale, les sommets d'un parallélogramme sont-ils cocycliques? a. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, construis un rectangle PL. b. onstruis les points et, symétriques respectifs des points et P par rapport à L. c. éplace les points et P. Quelle semble être la nature du quadrilatère P? d. émontre la conjecture que tu as faite à la question précédente vec la symétrie centrale 45 a. émontre que le quadrilatère est un b. Peut-on être plus précis sur la nature du quadrilatère? Justifie. HP 3 - PLLÉLMM 145

14 58 Les poupées russes a. oit un Les droites () et () se coupent en. ais une figure. 63 n a tracé le quadrilatère P sur la face supérieure d'un parallélépipède rectangle de telle sorte que chaque sommet du quadrilatère soit le milieu d'une arête de la face. b. émontre que est le milieu de []. c. oit le milieu de [] et le milieu de []. xplique pourquoi est le milieu de []. P d. émontre que est un 59 8 cm omme au cirque b. émontre que le quadrilatère J est un 60 riangle et cercle a. n utilisant les informations portées sur la figure ci-contre, démontre que est un 5 a. eproduis le quadrilatère P en vraie grandeur. b. émontre que c'est un losange. d. Quelle particularité le parallélépipède doit-il avoir pour que P soit un carré? e. Quelles particularités doit-il avoir pour que les quadrilatères tracés sur toutes ses faces soient des carrés? 64 igures juxtaposées a. onstruis un triangle équilatéral de 5 cm de côté. u feu! a. onstruis le parallélogramme X tel que = 50. = 5 cm, = 6 cm et b. race la perpendiculaire à () passant par, elle coupe (X) en. race la perpendiculaire à (X) passant par, elle coupe () en. c. Quelle est la nature du quadrilatère? Justifie ta réponse. 62 est un parallélogramme de centre. Le cercle ( ) a pour centre. 6 cm c. Quels quadrilatères obtient-on si on procède de la même façon sur les autres faces? () // () b. race le cercle de diamètre [] et appelle son centre. Place un point M en dehors du cercle et de la droite (). Place le point N, symétrique du point M par rapport au point. émontre que MN est un 61 cm a. est un trapèze de bases [] et []. La perpendiculaire à () passant par coupe () en et la perpendiculaire à () passant par coupe () en J. onstruis la figure. b. À l'extérieur du triangle et de telle sorte que les figures ne se recouvrent pas, place les points et tels que soit un rectangle avec = 7 cm. c. e la même façon, place les points et tels que soit un losange avec = 150. d. n justifiant, donne la mesure de l'angle puis celle de l'angle. Que peut-on en déduire pour les points, et? Justifie. W V 65 Y X a. émontre que est un rectangle. b. émontre que VWXY est un rectangle. 146 PLLÉLMM - HP 3 issectrices de deux angles consécutifs a. onstruis un parallélogramme puis les bissectrices (d1) et (d2) respectivement des angles et. es droites se coupent en un point. b. étermine sans mesurer d'angle. Quelle est la nature du triangle? c. Que peut-on en déduire pour les droites (d 1) et (d2)?

15 1 1 re La bataille des quadrilatères! 2 édiger des programmes de tracé partie : éalisation des cartes b. ur 7 cartes, faites une figure à main levée et codée des quadrilatères suivants : parallélogramme, rectangle, losange, carré, cerf-volant, trapèze et quadrilatère quelconque. 4 cm a. écoupez trois feuilles de format 4 en 16 parties rectangulaires identiques qui formeront les cartes. c. ur 7 autres cartes, construisez avec vos instruments les quadrilatères précédents. d. éalisez 9 cartes en complétant chaque propriété ci-dessous pour chacune des catégories suivantes : rectangles, losanges et carrés. «Je suis un quadrilatère avec des diagonales.» ; «Je suis un quadrilatère avec des côtés.»; «Je suis un quadrilatère avec un centre de symétrie et axe(s) de symétrie qui sont.». e. éalisez 4 autres cartes en complétant chaque propriété ci-dessous pour chacune des catégories suivantes : rectangles et losanges. «Je suis un parallélogramme qui a des diagonales.» ; «Je suis un parallélogramme qui a des côtés.». f. nfin, réalisez 6 cartes en complétant chaque propriété ci-dessous de deux façons différentes pour les carrés. «Je suis un parallélogramme qui a.» ; «Je suis un rectangle qui a.» ; «Je suis un losange qui a.». g. Vérifiez que vous avez bien 33 cartes (14 avec des figures et 19 avec des propriétés). 2e partie : À la bataille! h. Maintenant que le jeu est construit, vous allez pouvoir jouer, par groupes de deux, à la bataille des quadrilatères. i. Mélangez puis distribuez les cartes faces cachées. ppliquez alors les règles de la bataille traditionnelle sachant que les cartes sont rangées dans l'ordre suivant : carré (la plus forte) ; losange ou rectangle (à égalité) ; parallélogramme ; trapèze ou cerf-volant (à égalité) ; quadrilatère quelconque (la plus faible). a. Voici deux programmes de construction de la figure ci-dessus. Le premier a été écrit par un élève et le second par un professeur. ndiquez les différences entre les deux textes et dites pourquoi la formulation de l'élève n'est pas correcte. exte de l'élève Je trace une ligne verticale de 4 cm de longueur et je mets les points et. Puis je trace une ligne horizontale formant un angle droit avec la première et qui la coupe au milieu (qui s'appelle ), de 4 cm aussi ; je place le point au bout. près, je trace une autre ligne verticale qui forme un angle droit avec la ligne horizontale, je place les points et et je trace des lignes qui relient,, et. Pareil pour et, puis et. t pour finir, je prends le compas, je mets la pointe sur et j'écarte jusqu'au point pour faire un cercle. t voilà! exte du professeur race un segment [] de longueur 4 cm et de milieu. Place le point sur la médiatrice de [] tel que = 4 cm. Place les points et tels que soit un carré. Place le point à l'intersection de () et (). race le quadrilatère. race le cercle de centre et passant par. b. essinez sur une feuille blanche une autre figure géométrique contenant six points, un cercle et deux quadrilatères particuliers. (Pensez à coder la figure et à nommer les points.) c. édigez sur une feuille blanche un programme de construction de la figure tracée au b. en tenant compte des caractéristiques d'un texte mathématique. d. Échangez avec un autre groupe les programmes de construction puis réalisez la figure correspondant au programme reçu. emettez le programme de construction et la figure au professeur qui validera l'ensemble. HP 3 - PLLÉLMM

16 1 1 Quelles sont les affirmations vraies? Les Les quadrilatères parallélogrammes sont tous des sont tous des parallélogrammes quadrilatères Les rectangles sont tous des losanges Les carrés sont tous des losanges a pour () et () sont autre nom parallèles possible : = = 60 a pour autre nom possible : = = 60 i () et () sont parallèles alors c'est un parallélogramme i = alors c'est un parallélogramme = VP = 30 Le cercle de centre P () et (V) sont passant par perpendiculaires passe aussi par, et V V = 6,4 cm P est un triangle rectangle rectangle dont les parallélogramme diagonales sont avec un centre de perpendiculaires symétrie losange avec un angle droit quadrilatère avec 3 angles droits 3 3 = est un parallélogramme = 60 avec = 3 cm et i = et i = alors = alors c'est c'est un un parallélogramme parallélogramme est un quadrilatère de centre... = P 6 V V est un rectangle tel que P = 3,2 cm. 7 Pour que je sois un carré, il suffit que je sois un... 2 P = 3,2 cm Le quadrigolo! Hugo et Laura ont construit, à partir du patron ci-contre, trois dés identiques. ls ont inventé un nouveau jeu, le «quadrigolo» dont la règle est la suivante : a. Lancer les trois dés en même temps. b. dditionner les faces supérieures de chaque dé sachant que : un quadrilatère rapporte 1 point ; un triangle rapporte 3 points ; un parallélogramme rapporte 6 points ; un rectangle rapporte 10 points ; un losange rapporte 15 points ; un carré rapporte 21 points. Hugo lance les trois dés, fait les comptes et dit : «J'ai 82 points!». Hugo ne s'est pas trompé et n'a pas triché. Mais qu'y avait-il sur les faces supérieures des trois dés? PLLÉLMM - HP 3