Annexe C. Analyse Combinatoire. C.1 Principe Fondamental de dénombrement

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1 Annexe C Analyse Combinatoire C.1 Principe Fondamental de dénombrement Ce principe, principe multiplicatif, est essentiel dans la suite, grossièrement, il dit que si une expérience peut produire m résultats et une autre n alors à l issue des deux expériences il y a mn résultats possibles. C est la formule produit sur les cardinaux. Théorème 21 Supposons qu il faille réaliser deux expériences. Si l expérience 1 peut produire l un quelconque de n résultats, et si pour chacuns d entre eux il y a m résultats possibles pour l expérience 2, alors il existe nm résultats pour les deux expériences prises ensembles. Démonstration : : Il suffit d énumérer les résultats ainsi : (1, 1)(1, 2)(1, 3)...(1,m) (2, 1)(2, 2)(2, 3)...(2,m) (n, 1)(n, 2)(n, 3)...(n, m) dans ce tableau un résultat est noté (i, j) où i est le résultat de la première expérience et j le résultat de la seconde. Il y a nm cases. (On peut aussi penser aux arbres). Enumérer correspond bien sur à construire une bijection!!! Exemple : Une petite communauté se compose de 10 hommes et de leurs fils, chaque homme ayant 3 fils. Si on veut désigner un couple père-fils pour une randonnée, combien y a t il de couples possibles? Le principe qu on vient d énoncer s étend au cas de plus de deux expériences. Théorème 22 Supposons qu on réalise r expériences telles que la première puisse produire un quelconque de n 1 résultats et que pour chacuns d entres eux il y ait n 2 résultats possibles pour la second expérience, et que pour chaque résultats des deux premières il y ait n 3 résultats possibles pour la troisième et ainsi de suite, au total il y aura n 1 n 2... n r résultats possibles pour les r expériences prises ensembles. Exemple : Combien de plaques minéralogiques à sept caractères peut on former si les 3 premiers caractères sont des lettres et les 4 derniers des chiffres? Si on ne veut pas que les caractères soient en double?

2 110 ANNEXE C. ANALYSE COMBINATOIRE Exemple : Nombre d arrangements de k éléments choisis parmi n sans répétition (tirage sans remise de k boules dans une urne en contenant n) : il y a n choix à la première étape, n 1 choix à la deuxième étape, n 2 choix à la troisième étape,..., n (k +1)choix à la k-ième étape. Le résultat est donc n(n 1)...(n k +1), c est le nombre d injections d un ensemble à k éléments dans un ensemble à n éléments. On note traditionnellement ce nombre A k n = n(n 1)...(n k +1)= n! (n k)! La preuve du calcul de ce nombre d injections est laissée en exercice, elle se fait sur le même principe que le calcul du nombre de bijections d un ensemble à n éléments sur lui même faite ci dessous. On peut introduire les notions de p-listes : Définition 50 Soit E un ensemble fini de cardinal n et p 2{1,...,n}, une p-liste d élément distincts de E est un élément (x 1,...,x n ) 2 E p tel que pour tout i 6= j, x i 6= x j. Une p liste est aussi appelée un arrangement de p parmis n. Théorème 23 Le cardinal de l ensemble des p listes d éléments distincts d un ensemble à n éléments est A p n. C est le nombre d applications injectives d un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments. C.2 Permutations Permutation d objets distinguables : Combien existe t-il d arrangements ordonnés des lettres a, b, c sans répétition? Par énumération directe : abc, acb, bac, bca, cab, cba : 6. Chaque triplet est appelé une permutation (ce qui sous entend sans répétition, on bouge les objets les uns après les autres). Ce résultat aurait pu être trouvé par le principe fondamental : 3 possibilités pour la première lettre, puis 2 pour la seconde puis 1. D ou 3 2 1=6. Définition 51 Pour tout entier n, on appelle n!, n factoriel, l expression définie par : 0! = 1 et pour tout n 1, n! =n (n 1) (n 2) On généralise alors notre exemple : Théorème 24 Le nombre de permutations de n objets distinguables est n!. On a ici dénombré les bijections d un ensemble à n éléments sur lui même (cela revient à se demander de combien de facons différentes on peut numéroter n objets). On peut ainsi le formaliser ainsi : Théorème 25 Soit n = card(e). Le nombre de bijections de E sur lui même est de n! = n(n 1)...1. Preuve : On ne va considérer que les bijections de {1,...,n} sur lui même. Pour une telle bijection ', on a n images possibles pour '(1). Une fois '(1) choisi, il reste n 1 image possibles pour '(2). Ainsi de suite, on arrive à n! possibilités pour '. Permutation d objets partiellement indistinguables :

3 C.3. COMBINAISONS : 111 nombre de permutation de n objets dont certains sont indistinguables entre eux. Exemple : combien peut on former d arrangements différents avec les lettres PEPPER? Si on distingue les trois P : P 1,P 2,P 3 et les deux : E 1,E 2, il y a 6! permutations. Mais si on considère la permutation P 1 P 2 E 1 P 3 E 2 R et que l on permutte les P entre eux, le mot résultant sera toujours de la forme PPEPER. En fait chacune des permutations P 1 P 2 E 1 P 3 E 2 R ; P 1 P 3 E 1 P 2 E 2 R ; P 2 P 1 E 1 P 3 E 2 R ; P 2 P 3 E 1 P 1 E 2 R... donc au total 3! 2! donne la même forme (on en compte 3! 2! fois trop), par conséquent il y a au final 6!/3! 2! permutations possibles des lettres PEPPER. Théorème 26 Il y a n! n 1!n 2!...n r! permutations de n objets parmi les quels n 1 sont indistinguables entres eux, n 2 autres entres eux,..., n r autres entre eux. Exemple Dans un tournois d échec, il y a 10 participants : 4 russes, 3 américains, 2 anglais, et 1 brésilien. Dans le classement on ne peut lire que la nationalité des joueurs, à combien de classement une liste de nationalité correspond t-elle? 10!/4! 3! 2! 1!. C.3 Combinaisons : On s intéresse souvent au nombre de groupe de r objets que l on peut former sans répétition (i.e. sans remise si on voit ceci comme un tirage de boules) à partir d un ensemble de n objets. Exemple Combien de groupes de 3 objets peut-on construire en tirant parmi les 5 lettres A, B, C, D, E. Il y a 5 facons de choisir la première lettre, puis 4, puis 3 pour la dernière. Au total donc en tenant compte de l ordre dans lequel les objets sont choisis. Cependant, un triplet donné, disons A, B, C apparaitra 6 fois. En effet, chacune des permutations A, B, C ; A, C, B ; B, A, C ; B,C,A; C, A, B ; C, B, A sera distinguée lorsqu on tient compte de l ordre soit (3 2 1), donc le nombre total de groupes (sans notion d ordre) pouvant être formés est 5 4 3/ Plus généralement, n(n 1)(n 2)...(n r +1)représente le nombre de manières de choisir un groupe de r objets parmi n lorsqu on tient compte de l ordre. Chaque groupe de r objets sera distingué r! fois dans ce nombre, le nombre de groupe de r objets pris dans cet ensemble (sans notion d ordre) sera donc n(n 1)...(n r +1) r! = n! (n r)!r! =(n r ) Théorème 27 ( n r ) est le nombre de combinaisons de r objets pris parmi n, ou encore le nombre de groupes de taille r si, dans ce choix, l ordre n est pas considéré comme significatif ou encore le nombre de parties à r éléments d un ensemble à n éléments. Théorème 28 Pour tout 1 apple r apple n entiers, ( n r )= n r n r 1 Démonstration : à faire en exercice. Théorème du Binôme : Les nombres ( n r ) sont souvent appellés coefficients binomiaux en raison du théorème suivant :

4 112 ANNEXE C. ANALYSE COMBINATOIRE Théorème 29 nx (x + y) n = ( n k) x k y n k. k=0 Démonstration : A faire en exercice (par récurrence). Exemple Combien y a t-il de sous ensembles d un ensemble à n éléments? Si k est une taille donnée, il y a ( n k ) sous ensembles de taille k. On peut faire varier k de 0 à n et donc au total on a P n k=0 (n k )=(1+1)n =2 n, nx ( n k)=2 n C.4 Répartition de boules dans des urnes k=0 Il y a r n possibilités de répartir n boules discernables dans r urnes discernables (en effet r choix pour la première boule, puis r pour la seconde,...). Supposons que les n boules soient indiscernables. Combien peut-on alors obtenir de répartitions? Comme les boules sont indiscernables, le résultat de l expérience qui consiste à répartir n boules dans les r urnes est décrit par un vecteur (x 1,...,x r ) où x i représente le nombre de boules contenue dans la i eme urne. On cherche donc le nombre de vecteurs (x 1,...,x r ) à valeur entière où x 1 + x x r = n. Pour le calculer, on commence par considérer le nombre de solutions entières strictement positives. Supposons qu on ait n objets indiscernables alignés et que l on veuille les diviser en r groupes non vide. Par exemple n =10et r =3, ou ou... il y a donc àdésigner (r 1) des n 1 espaces entres les objets, c est à dire n 1 r 1. Ainsi Théorème 30 Il y a n 1 r 1 vecteurs distincts à composantes entières strictement positives satisfaisant à la relation x 1 + x x r = n x i > 0,i=1,...r Si on considère à présent qu il peut y avoir des cases vides, c est à dire le nombre des solutions positives ou nulles, il suffit de remarquer que x x r = n est équivalent à et donc y 1 + y y r = n + r y i = x i +1> 0,i=1,...r

5 C.5. MODÈLES D URNES 113 Théorème 31 Il y a ( n+r n 1 ) vecteurs distincts à composantes entières positives ou nulles satisfaisant à la relation x 1 + x x r = n x i 0,i=1,...r Démonstration : si on applique le théorème précédent, on trouve n+r r 1 1 et c est à dire ( n+r n 1 ). Exercice : De combien de facon peut-on assoir en rang 3 garcons et 3 filles?c est une permutation de 6 personnes : 6!. Si les garcons doivent rester entre eux et les filles aussi? Garcons entre eux : 3!, filles entre elles 3! filles et garcons 2!, donc au final 3!3!2!. Seuls les garcons doivent rester entres eux? Garcons 3!, filles 3!, puis on les placent autour des garcons : x 1 a droite, x 2 à gauche et on doit avoir : x 1 + x 2 =3,x i 0, d ou ( n+r n 1 )=( 4 3)=4 facons de choisir les filles, donc au total 3!3!4 = 144. Revenons aux modèles probabilistes. C.5 Modèles d urnes De manière général, on désigne par urne un ensemble fini de N éléments appelés boules. Notons U cet ensemble, card(u) =N. On peut, par exemple, considérer comme une urne : un jeu de 52 cartes (une carte = une boule), une population statistique sur laquelle enquêter (un individu = une boule), les anniversaires possibles i.e. les jours de l année (un jour = une boule), les billets d une loterie (un billet ou un numéro = une boule)... L expérience consiste, par exemple, à prendre dans l urne un certain nombre de boules. Si on prend au hasard une boule, l espace fondamental est =U, les éléments de l urne, la tribu est P( ) et la probabilité est la probabilité uniforme. La méthode de prélèvement, la connaissance de la composition de l urne (catégories de boules...) et les préoccupations de l expérimentateur conduiront à des modélisations variées. Exemple : tirage exhaustif ou sans remise On tire n boules ou bien successivement sans remettre la boule tirée dans l urne et à chaque tirage chaque boule a la même probabilité d être tirée (n apple N) ou bien simultanément et dans ce cas ce qui nous intéresse est le sous-ensemble de boules tirées. La première vision entraine la modélisation : = {suites de n éléments distincts de U} = {applications injectives de {1,...,n} dans U}, card =N(N 1)...(N n +1)et on muni de la probabilité uniforme. La seconde entraine la modélisation : ={parties de n éléments de U}, card( ) = ( N n ). On s intéresse, par exemple, à la probabilité d événements de type suivant : en supposant que l urne contient N 1 boules de catégorie 1 et N 2 boules de catégorie 2, quelle est la probabilité que l échantillon tiré contienne n 1 boules de catégorie 1? Ou plus généralement, l urne contient des boules de r catégories en effectifs respectifs N 1,...,N r, et on se demande quelle est la probabilité que l échantillon tiré contienne n 1 boules de catégorie 1,..., n r boules de la catégorie r. Exemple : parmi 1000 billets de loterie, 10 sont gagnants, les autres sont perdants. J en achète 5. Quelle est la probabilité qu il y ai deux billets gagnants? L idée est de décomposer l événement

6 114 ANNEXE C. ANALYSE COMBINATOIRE dont on cherche la probabilité en étape et d appliquer le principe multiplicatif si celà est possible. {parties de 5 éléments parmi 1000 billets}, card =( ) et on choisi la probabilité uniforme. On cherche la probabilité de l événement A où A = {2 gagnants sur 10 et 3 perdants sur 990}. La première étape consiste à tirer deux billets gagnants parmi 10, il y a ( 10 2 ) facons de le faire, la seconde étape consiste à tirer 3 billets perdants, il y a ( ) de le faire. Donc P (A) = (10 2 )( ) ( ) De manière plus générale si le nombre total de boules dans l urne est N = N 1 + N 2 et que l on s interesse à A = {on tire n 1 boules de catégorie 1 et n 2 boules de catégorie 2}, P (A) = (N1 n 1 )( N2 n 2 ) ( N n 1 +n 2 ) Cette probabilité s appelle la loi hypergéométrique. Ou encore, si le nombre total de boules dans l urne est N = N 1 + N N r et que l on s interesse à A = {on tire n 1 boules de catégorie 1,..., et n r boules de catégorie r}, P (A) = (N 1 n 1 )...( Nr n r ) ( N n n r ) Exemple : tirage avec remise, schéma de Bernoulli On a tiré une boule, on note ses caractéristiques, on la remet dans l urne et on recommence n fois. ={applications de {1,...,n} dans U} = U n, card( ) = N n et P est la probabilité uniforme ( équiprobabilité). On suppose que l urne contient N 1 boules de catégorie 1 et N 2 boules de catégorie 2. Quelle est la probabilité que l échantillon tiré contienne k boules de catégorie 1, k 2{0,n}? étape 1 on choisi les rangs où ces boules sont tirées : partie de k éléments parmi n : ( n k ).Etape 2 on choisi k boules de catégorie 1 : N1 k et n k boules de catégorie 2 : N2 n k. Ainsi card(a) =( n k )N 1 k N2 n k et P (A) = (n k )N 1 k N2 n k =( n N k)( N 1 n N )k ( N N 1 N )n k Exemple : Problème du Chevalier de Méré (problème posé en 1654 à Pascal). Quel est l événement le plus probable : avoir un six au moins une fois quand on lance quatre fois un dé non truqué ou obtenir au moins une fois un double six en lancant 24 fois une paire de dés? L univers relatif au lancé d un dé 4 fois est ={1,...,6} 4, donc card( ) = 6 4 =1296 et on cherche P (A) où A est l événement A = avoir un six au moins une fois et donc où Ā = obtenir aucun six. On sait que P (A) =1 P (Ā). Donc P (A) =1 5 4 =0, L univers relatif au lancé d une paire de dés 24 fois est ={(i, j),i=1,...,6; j =1,...,6} 24, donc card( ) = et P est la probabilité uniforme.

7 C.5. MODÈLES D URNES 115 On cherche P (B) où B est l événement B = avoir un double six au moins une fois, P (B) = 1 P ( B) et donc (6 5+5) 24 P (B) =1 =0, Exemple : Un candidat passe un examen. Parmi 80 sujets différents, le jury propose trois sujets parmi lequels le candidat en choisir un. Si au moins un des sujets proposés a été étudié par le candidat, celui ci est recu (il sait parfaitement les sujets qu il a appris).le candidat décide de n étudier que 25 sujets. Quelle est la probabilité p qu il soit recu a l examen? On a un problème d urne avec une population de 80 sujets dont 25 sont gagnants et 55 perdants. L univers relatif à cette modélisation est = {tirage de 3 sujets parmi 80}, card( ) = ( 80 3 ). Si A est l événement au moins un des sujets proposés a été étudié par le candidat, on a Ā l événement aucun des sujets proposés n a été étudié par le candidat. (55 3 P (Ā) = ) et donc ( 80 3 ) ( 55 3 ) P (A) =1 =1 0, 319 = 0, 68 ( 80 3 ) Exemple : Problème des anniversaires : dans une assemblée de k personnes, quelle est la probabilité pour qu il n y ai aucun jour d anniversaire commun? Pour résoudre ce problème on suppose que toutes les dates d anniversaires sont équiprobables. On a un problème d urne avec U = {1,...,365}, l univers relatif à cette modélisation est ={tirage de k boules (dates) parmi 365, avec remise}, card( ) = (365 k ). Si D k est l événement les k anniversaires sont a des dates différentes, P (D k )= (365 k +1) 365 k = Ak k Exemple : Tirage dans une urne à trois catégories. Soit une urne U contenant 24 boules de trois couleurs différentes : 12 boules rouges, 7 boules vertes et 5 boules bleues. Le nombre de manière de tirer au hasard dans cette urne 5 boules sans remise est ( 24 5 ). Le nombre de manière de tirer au hasard et sans remise dans cette urne 5 boules dont 2 sont rouges, 2 sont vertes et une est bleue est ( 12 2 )( 7 2)( 5 1). Le nombre de manière de tirer au hasard et avec remise dans cette urne 30 boules est Le nombre de manière de tirer au hasard et avec remise dans cette urne 30 boules dont 15 sont rouges, 9 sont vertes et 6 sont bleues est ( 30 15)( 15 9 )( 6 6) En effet, appellons F 1 le sous ensemble de {1,...,30} des 15 rangs des boules rouges, F 2 le sous ensemble de {1,...,30} des 9 rangs des boules vertes et le sous ensemble de {1,...,30} des 9 rangs des boules bleues, card(f 1 )+card(f 2 )+card(f 3 )=30. On choisit d abord le rang d apparition des 15 boules rouges, puis le rang d apparition des boules vertes, puis le rang d apparition des boules bleues, c est à dire qu on dénombre le nombre de facons de choisir un sous ensemble à 15 éléments dans un ensemble à 30 éléments soit ( 30 15), puis le nombre de facons de choisir un sous ensemble à 9 éléments dans un ensemble à 15 éléments soit ( 15 9 ), puis le nombre de facons de choisir un sous ensemble à 6 éléments dans un ensemble à 6 éléments soit ( 6 6). Une fois les rangs choisis, on dénombre le nombre d applications de {1,...,30} dans U tels que les images de F 1 soient dans l ensemble des boules rouges, les images de F 2 soient dans l ensemble des boules vertes et les images de F 3 soient dans l ensemble des boules bleues soit

8 116 ANNEXE C. ANALYSE COMBINATOIRE Si on s intéresse à la probabilité de tirer au hasard et avec remise dans cette urne 30 boules dont 15 sont rouges, 9 sont vertes et 6 sont bleues. En considérant tous les tirages équiprobables, on a donc (30 15 )(15 9 )(6 6 ) , ce qu on peut écrire ( 30 15)( 15 9 )( 6 6)( )15 ( 7 24 )9 ( 5 24 )6