Les nombres complexes

Transcription

1 Les nombres complexes Table des matières 1 Approche historique 2 2 Définition 2 3 Représentation graphique des nombres complexes 3 4 Opérations sur les nombres complexes Addition et soustraction de nombres complexes Multiplication de nombres complexes Inverse d un nombre complexe non nul : Quotient de nombres complexes Forme trigonométrique d un nombre complexe Module d un nombre complexe Argument d un nombre complexe Forme trigonométrique d un nombre complexe Propriétés du module et de l argument : Notation exponentielle 7 7 Interprétation géométrique 8 8 Résolution d équations du second degré dans C Racine carrée dans C Equations du second degré dans C

2 1 Approche historique L étude des équations du second degré terminée, les mathématiciens algébristes de la renaissance italienne ont tenté d établir une méthode de résolution des équations du troisième degré. C est-à-dire, déterminer les solutions de l équation : ax 3 +bx 2 +cx+d = 0 avec a 0 Remarquons qu une division par a(non nul), suivie d un changement de variable X = x+ b 3a à l équation : permet de se ramener X 3 +px +q = 0. Puis en posant X = u+v en imposant la condition 3uv = p, l équation s écrit finalement : u 3 +v 3 = q u 3 v 3 = p3 27 qui revient à résoudre un problème du second degré. En 1545, Jérôme Cardan (Giordano Cardano de son vrai nom) publie dans son livre Ars Magna, des formules de résolution d une équation de la forme X 3 = px + q. On démontre que si 27q 2 + 4p 3 0, alors le réel α = 3 q 27q p q 27q p 3 est une solution de l équation Bombelli applique ce résultat dans le cas où 27q 2 +4p 3 0. Il introduit pour cela, un nombre dont le carré est égal à -1 (Euler trois siècles plus tard, le notera i). Ainsi écrit-il : 121 = 121i 2 = (11i) 2. En appliquant la formule de Cardan à l équation x 3 = 15x+4, on obtient pour solution α = i i. En remarquant que (2+i) 3 = 2+11i et (2 i) 3 = 2 11i, on trouve la solution α = 2+i+2 i = 4. 2 Définition Il existe un ensemble de nombres noté C,contenant R, appelé ensemble des nombres complexes tels que : C contient tous les nombres réels. les règles de calculs sur les nombres réels, se prolongent aux nombres complexes. il existe un nombre noté i tel que i 2 = 1. tout nombre complexe z s écrit de manière unique z = x+iy,où x et y sont deux nombres réels. Exemple 1 Définition 1 La forme z = x+iy d un nombre complexe où x et y sont des réels est dite forme algébrique de z; le nombre réel x est la partie réelle de z et le nombre réel y est la partie imaginaire de z.on écrit Re(z) = x et Im(z) = y. - Le nombre complexe z = 2 4i est tel que Re(z) = 2 et Im(z) = 4. - Le nombre complexe z = 2 i 5 est tel que Re(z) = 2 et Im(z) = 5. - Le nombre complexe z = 8i est tel que Re(z) = 0 et Im(z) = 8. - Le nombre complexe z = 10 est tel que Re(z) = 10 et Im(z) = 0.. Si la somme S et le produit P de deux racines x 1 et x 2 sont connus alors x 1 et x 2 sont solutions de l équation X 2 SX+P = 0.. En fait, il aurait volé les formules à Tartaglia, qui les aurait volées à Scipio Del Ferro...

3 Lycée JB de BAUDRE à AGEN - Le nombre complexe z = i+6 est tel que Re(z) = 6 et Im(z) = 1. Remarques : - Si la partie imaginaire de z est nulle alors z est en nombre réel. - Si la partie réelle de z est nulle, on dit que z est un imaginaire pur. 3 Représentation graphique des nombres complexes En 1811, Gauss écrivit : De même qu on peut représenter tout le domaine des réels par moyen d une ligne droite..., de même on peut se figurer les réels et les imaginaires au moyen d un plan où chaque point, déterminé par son abscisse x et son ordonnée y, représente en même temps la quantité x+iy. Définition 2 Dans un repère orthonormal (O; u; v), le nombre complexe z = x + iy est représenté par le point M de coordonnées (x;y). On dit que : - Le point M est le point image du nombre complexe z. - Le nombre complexe z = x+iy est l affixe du point M et du vecteur OM. M 1 (z 1 ) M 2 (z 2 ) O Le point M 1 est l image du nombre complexe z 1 = 3+4i et l affixe de M 2 est le nombre complexe z 2 = i 2. Un point M d affixe un réel, se trouve sur l axe des abscisses; un point M d affixe un imaginaire pur, se trouve sur l axe des ordonnées. Définition 3 On appelle conjugué de z = x+iy, noté z, le nombre complexe z = x iy.les points images de M(z) et M ( z) sont donc symétriques par rapport à l axe des abscisses (Ox). M(z) O M ( z) - Si z est un réel alors z = z et réciproquement. - Si z est un imaginaire pur alors z = z et réciproquement.

4 Remarquons de plus que quelque soit le nombre complexe z = x+iy, z z = x 2 +y 2, c est-à-dire z z est toujours un nombre réel. Définition 4 Soit A et B deux points du plan complexe d affixes respectives z A et z B. Alors l affixe du vecteur AB est zb z A. Exemple 2 On considère les points A et B d affixes respectives z A = 3 i et z B = 4+2i. Alors le vecteur AB a pour affixe z AB = z B z A = 7+3i. 4 Opérations sur les nombres complexes Les règles d opération sur les réels se prolongent naturellement aux nombres complexes. 4.1 Addition et soustraction de nombres complexes Proposition 1 Soit z 1 et z 2 deux nombres complexes. Alors : Addition Re(z 1 +z 2 ) = Re(z 1 )+Re(z 2 ) et Im(z 1 +z 2 ) = Im(z 1 )+Im(z 2 ). Soustraction Re(z 1 z 2 ) = Re(z 1 ) Re(z 2 ) et Im(z 1 z 2 ) = Im(z 1 ) Im(z 2 ). Exemple 3 (3 3i)+( 1+6i) = 2+3i; 8i (9+3i) = 9+5i; Multiplication de nombres complexes Proposition 2 Soit z 1 = x 1 +iy 1 et z 2 = x 2 +iy 2 deux nombres complexes. Alors : z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +x 2 y 1 ) Cette règle est générale et théorique; des connaissances sur la distributivité de la classe de quatrième suffisent pour multiplier deux nombres complexes comme le montrent les exemples suivants. Exemple 4 (8 3i)(5+i) = i 3i 5 3i i = 40+8i 15i 3i 2 = 43 7i car i 2 = 1. 4i(2+2i) = 8i+8i 2 = 8i 8. (4 i) 2 = (4 i)(4 i) = 16 4i 4i+i 2 = 15 8i Le dernier exemple est une identité remarquable; elles restent valables dans C. 4.3 Inverse d un nombre complexe non nul : Exemple 5 Proposition 3 Tout nombre complexe non nul z = x+iy admet un inverse 1.On a alors : z 1 z = 1 x+iy = x iy (x+iy) (x iy) = z x 2 +y 2. - Soit z = 3 2i un nombre complexe. Alors 1 z = 3+2i (3 2i)(3+2i) = 3+2i = i. - Soit z = 2+i alors 1 z = 2 i (2+i)(2 i) = 2 i = i 5.

5 Lycée JB de BAUDRE à AGEN 4.4 Quotient de nombres complexes Proposition 4 Soit z 1 = x 1 +iy 1 et z 2 = x 2 +iy 2 deux nombres complexes. Alors : z 1 = z 1 1 = (x 1 +iy 1 )(x 2 iy 2 ) z 2 z 2 x 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 +x 2 y 1 ) 2 +y 2 2 x 2 2 +y 2 2 En pratique, on utilise la règle suivante : z 1 = z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 2 On se ramène ainsi à la division par un nombre réel, distributive dans la somme. Exemple 6 3+2i 1. 2+i = (3+2i)(2 i) (2+i)(2 i) = 8+i 5 3i 4 2. = i(3i 4) = 3 4i = 3+4i 2i 2i i 2 2 Exercice 1 1. Déterminer la forme algébrique de Z = (3 4i) 2 (i 2) 2, de Y = 2+3i 2i et de X = 1 5i i i Soit a un nombre réel et z le nombre complexe z = 2+ia.Pour quelle(s) valeur(s) de a : 1+i (a) z est un réel? (b) z est un imaginaire pur? 5 Forme trigonométrique d un nombre complexe 5.1 Module d un nombre complexe Définition 5 Soit z un nombre complexe de la forme z = x+iy où x et y sont deux réels. On appel module de z, noté ρ = z, le nombre réel positif ρ défini par ρ = z = x 2 +y 2. Interprétation géométrique : Dans le plan complexe muni d un repère orthonormal (O; u; v) si M est le point d affixe z alors z = OM. Remarques : y M - Si z = 0 alors z = 0 et O = M. ρ - Lemoduledez est toujoursunnombreréel positif. θ - z z = z 2 O x

6 5.2 Argument d un nombre complexe Dans un repère orthonormal (O; u; v), on considère le point M d affixe z non nulle. Un argument du nombre complexe z est une mesure en radians de l angle ( u, OM).On note arg(z) = θ+2kπ où θ = ( u, OM) et k Z. Un nombre complexe non nul a donc une infinité d argument. L angle θ est en radians; dans quelques cas, on pourra l exprimer en fonction de π. L angle θ vérifie la double relation : - cosθ = Re(z) z - sinθ = Im(z). z ; 5.3 Forme trigonométrique d un nombre complexe Un point M dans le plan peut être repéré de deux façons : Par ses coordonnées cartésiennes x et y telles que OM = x u+y v. Par ses coordonnées polaires ρ et θ telle que OM = ρ et ( u, OM) = θ. Exemple 7 Définition 6 Le couple (ρ;θ) est la forme trigonométrique de z.on a alors : z = ρ(cosθ +isinθ) ou z = [ρ;θ]. - Le nombre complexe z = 1+i s écrit z = [ 2; π ] sous forme trigonométrique. 4 Le nombre complexe z = [8; 2π 3 ] s écrit z = 8cos 2π 3 +i 8sin2π 3 = 4+4i 3 sous forme algébrique. 5.4 Propriétés du module et de l argument : - Proposition 5 Pour tout nombre complexe z non nul, on a : - z = z et arg( z) = arg(z) - z = z et arg( z) = arg(z)+π - z est un nombre réel si et seulement si arg(z) = 0 ou arg(z) = π. - z est un imaginaire pur si et seulement si arg(z) = π 2 ou arg(z) = π 2.

7 y M(z) ρ θ O x M ( z) M ( z) Proposition 6 Pour tous nombres complexes z et z, on a : - z z = z z et arg(z z ) = arg(z)+arg(z ). - pour tout entier n, on a z n = z n et arg(z n ) = n arg(z). - z z z = z et arg(z z ) = arg(z) arg(z ). Démonstration : Les deux nombres complexes non nul z et z s écrivent sous la forme z = ρ(cosθ + isinθ) et z = ρ (cosθ + isinθ ). Donc : z z = ρ(cosθ + isinθ) ρ (cosθ + isinθ ) = ρρ ((cosθcosθ sinθsinθ ) + i(cosθsinθ +cosθ sinθ)) = ρρ (cos(θ+θ )+isin(θ+θ )). Donc le module de z z est ρρ et un argument θ+θ. 6 Notation exponentielle Considérons la fonction f définie sur R à valeurs dans C par : f(θ) = cosθ+isinθ. Alors pour tous réels θ et θ, on a f(θ+θ ) = f(θ) f(θ ). La fonction f vérifie donc la propriété caractéristique des exponentielles. On écrit donc : cosθ+isinθ = e iθ Définition 7 Tout nombre complexe non nul z peut s écrire sous la forme z = ρe iθ, où ρ est le module de z et θ un argument de z.cette forme de z est dite exponentielle. On peut avec cette notation résumer de nombreuses propriétés des nombres complexes.elle est en effet compatible avec les propriétés de l exponentielle. Résumé : Pour tous réels θ et θ et tout entier n,on a : e iθ = 1 et arg(e iθ == θ. e iθ e iθ = e i(θ+θ ) e iθ ; = e i(θ θ ) ; e e iθ = e iθ iθ (e iθ ) n = e inθ

8 7 Interprétation géométrique Proposition 7 Soit deux points distincts A et B d affixe respective z A et z B. Alors : AB = z B z A ( u, AB) = arg(zb z A ) Exercice 2 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, on considère les points A,B,C et D d affixes respectives z A = 5+5i,z B = 3+2i,z C = 9 2i et z D = 11+i. 1. Déterminer les affixes des vecteurs AD et BC. 2. Déterminer le module et un argument de Z = z B z A z D z A. 3. En déduire la nature du quadrilatère ABCD. 8 Résolution d équations du second degré dans C 8.1 Racine carrée dans C Proposition 8 Dans C, le nombre réel a admet deux racines carrées : - Si a 0, les deux racines sont a et a; - Si a < 0, les deux racines sont i a et i a. Exemple 8 Le nombre 4 admet dans C deux racines 2i et 2i. Le nombre 20 admet dans C deux racines 2i 5 et 2i 5. Le nombre 13 admet dans C deux racines 13 et Equations du second degré dans C Théorème 1 L équation (E) : ax 2 +bx+c = 0 où a 0 admet : Deux racines réelles x 1 = b+ et x 2 = b si > 0; 2a 2a Une racine réelle x 0 = b si = 0; 2a Deux racines complexes conjuguées z 1 = b+i 2a et z 2 = b i 2a si < 0. Exemple 9 1. Le polynôme P(x) = z 2 z+3 = 0 admet deux racines complexes conjuguées car = 11. Ces deux racines sont : z 1 = 1+i 11 et z 2 = 1 i L équation z 2 +3 = 0 admet deux racines z 1 = i 3 et z 2 = i 3.