Une application des chaînes d'opérations

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1 Une application des chaînes d'opérations Qui ne possède pas une carte avec un code à barres ou une série de chiffres sur celle-ci? Avez-vous déjà remarqué les chiffres sous les codes-barres à l'arrière des livres que vous achetés ou sur les produits à l'épicerie? Les codes barres sont lus par les numériseurs et les chiffres par les humains. Les cartes de crédit aussi contiennent des chiffres, seize en fait. Lorsque vous faites des achats sur Internet et que vous entrez votre numéro de carte et que vous faites une erreur en entrant les chiffres on vous dira que le numéro de la carte n'est pas valide, pourquoi? Ces chiffres ont une fonction bien spécifique: ils servent à vérifier la validité du code du produit ou si l'on veut ils servent de code de détection d'erreur. Que ce soit pour une carte d'assurance sociale, pour un code UPC (Universal Product Code) ou pour un numéro ISBN (International Standard Book Number), nous retrouvons une application simple des mathématique tout à fait fascinante. Cet article a été traduit (non pas dans son intégralité) de la revue «Pi in the sky» de juin 2001 et écrit par Ted Lewis pour ce qui est de la première partie (cartes d'assurance sociale). Cette revue est offerte aux élèves, enseignants et parents en Alberta. Pour les deuxième et troisième parties, je me suis inspiré de différentes ressources (lectures et internet). Les cartes d'assurance sociale (et certaines cartes de crédit) Au Canada, chaque personne est identifiée par le gouvernement. La méthode utilisée pour nos cartes d'assurance sociale et certaines cartes de crédit a été développé par IBM. Pour la validation, la plupart des modèles de détection d'erreur utilisent ce qu'on appelle un chiffreclé, souvent situé à l'extrémité droite de la série de chiffres. Les autres chiffres sont appelés chiffres d'information et peuvent être choisis au hasard mais le chiffre-clé lui est calculé. De plus, les espaces n'ont aucune valeur, ils servent seulement à nous aider à lire les nombres. Cependant, la position des chiffres est d'une importance primordiale. Voyons avec l'exemple suivant: Regardons les chiffres selon les positions «pair» et «impair».

2 Additionnons les nombres encadrés: = 18. Multiplions chacun des autres chiffres par 2: 4, 4, 14, 18. Additionnons les chiffres qui composent ces chiffres et nombres: = 22. Additionnons les deux résultats: = 40. Le numéro d'assurance sociale est valide si le résultat est divisible par 10. Puisque 40 est divisible par 10, le numéro est valide. Comment calculer le chiffre-clé? Le procédé de validation nous indique comment le chiffre-clé est calculé. Avec un peu d'algèbre et en remplaçant dans les calculs par x le chiffre-clé, nous pouvons résoudre une simple équation en x. Par exemple, supposons que les chiffres d'informations de votre carte d'assurance sociale soient Alors votre numéro d assurance sociale serait x et x est calculé comme suit: x Additionnons les nombres encadrés (positions impaires): x = 8 + x. Multiplions chacun des autres chiffres par 2 (positions paires): 4, 0, 0, 16. Additionnons les chiffres qui composent ces chiffres et nombres: = 11. Additionnons les deux résultats: 8 + x + 11 = 19 + x. Pour que 19 + x soit divisible par 10, le chiffre x doit être 1 et le numéro d'assurance sociale serait La méthode de détection d'erreur est efficace jusqu'à quel point? Le deux erreurs les plus communes lors de l'entrée des chiffres est la suivante: en entrant un des chiffres incorrectement; ou en inversant deux chiffres qui se suivent. Il n'y a pas un modèle qui peut détecter toutes les erreurs et c'est pourquoi ils sont créés pour trouver les plus communes. Il faut au moins qu'il détecte l'un des deux vus précédemment. La méthode d'ibm détectera si un seul chiffre a été changé, même si c'est le chiffre-clé. Afin de l'illustrer, vérifions avec la carte de crédit suivante si nous changeons le chiffre 7 par

3 n'importe quel chiffre. Au lieu du 7, remplaçons par x. Le numéro de la carte est: x La position du chiffre x signifie qu'il sera multiplié par 2 lors du procédé de validation. Tout dépendant de x, le chiffre 2x pourra contenir un chiffre ou 2 chiffres (c'est alors un nombre). Considérons les 2 cas séparément. a) si 0 x < 5 (alors 2x est un chiffre) Si nous appliquons le procédé d'ibm la somme finale sera x. Peu importe la valeur de x, il ne sera pas divisible par 10 et alors une erreur sera détectée. b) si 5 x 9 (alors 2x est un nombre) Les chiffres de 2x seront 1 et 2x 10. En appliquant le procédé, la somme finale sera x. Puisque x 7 et que 5 x 9, il sera impossible que le résultat soit divisible par 10 et une erreur sera détectée. Le procédé d'ibm est très bon pour détecter une erreur si un seul chiffre est entré incorrectement. Même s'il n'est pas totalement efficace pour détecter si 2 chiffres ont été inversés, il pourra en détecter quand même. La méthode d'ibm détectera si 2 chiffres ont été inversés, si les 2 chiffres ne sont pas 0 et 9. (On laisse le soin au lecteur de le vérifier!) Vous trouverez un applet java qui permet de vérifier directement une numéro de carte Les codes UPC Que veut dire UPC? En anglais, Universal Product Code ou si vous préférez, Code de Produit Universel. Ce code a été utilisé pour la première fois en Il existe plusieurs versions de codes UPC et les plus communs sont le code UPC à 12 caractères de type A et celui à 8 caractères de type E. Voici un exemple de code UPC:

4 Le code UPC de type A se compose de 12 chiffres. Le premier chiffre à gauche est le type d'upc. Les 5 prochains chiffres représentent le code du fabricant. Les 5 prochains représentent le code produit assigné par le fabricant. Le chiffre final est le chiffre-clé. On peut déterminer le chiffre-clé en respectant les opérations suivantes: Additionnons les chiffres encadrés (positions impaires): = 19 Multiplions le résultat précédent par 3: 19 µ 3 = 57 Additions les autres chiffres (positions paires): = 17 Additionnons les résultats précédents: = 74 Soustrayons ce résultat du plus grand multiple de 10 suivant ce résultat: = 6. Alors 6 devrait être le chiffre-clé. Vous trouverez un applet java qui permet de vérifier directement une numéro de carte Les codes ISBN ISBN pour International Standard Book Number (Numéro International Standardisé su Livre). Le numéro ISBN se présente, par exemple, sous la forme suivante : ISBN Il est toujours composé de dix chiffres répartis en quatre segments de longueur variable et séparés par un tiret : le premier segment indique le groupe national, linguistique, géographique ou autre. Le code «2», par exemple, identifie les éditeurs francophones. Ce segment désigne le groupe linguistique auquel appartient l'éditeur et non pas la langue dans laquelle le livre est publié; le second segment identifie l'éditeur du document : sa longueur varie en fonction du nombre d'ouvrages publiés par l'éditeur; le troisième segment numérote le document parmi les publications de l'éditeur : sa longueur est déterminée en fonction de la longueur des deux premiers segments; le quatrième segment est un chiffre de contrôle permettant de vérifier automatiquement par ordinateur, la validité de l'isbn. Ce chiffre est le résultat d'une opération mathématique. Il peut arriver que ce dernier soit un «X» au lieu d'un chiffre. C'est

5 l'équivalent romain du chiffre «10» et il faut écrire X. 1 Voici donc l'opération mathématique qui permet de vérifier le code ISBN. Considérons le livre Panoram@th manuel A volume 2 par Richard Cadieux, Isabelle Gendron et Antoine Ledoux aux Éditions CEC et ayant comme numéro: Chiffre Valeur Multiplions les 9 premiers chiffres par leurs valeurs respectives: 1 µ µ µ µ µ µ µ µ µ 8 = 188 Divisons maintenant 188 par 11 = 17 reste 1. Le reste 1 correspond au chiffre-clé. Vous trouverez un applet java qui permet de vérifier directement un numéro de carte Références : Lewis, T. (2001). We ve got your number. Pi in the sky, 5-6. Bradbury, Jeremy. "Introduction to check digits". Université Queens. School of Computing. Site de l étudiant Jeremy Bradbury à l université Queens, [En ligne]. (Page consultée le 8 mai 2005) 1 Bibliothèque Nationale du Québec. Guide de l'utilisation de l'isbn, [en ligne] Disponible sur internet. URL: <