MATHEMATICS. (Duration : 2 hours) The three parts (I, II and III) are independant. The use of computing devices is not allowed.

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4 CONCOURS D ADMISSION 2017 FILIÈRE UNIVERSITAIRE INTERNATIONALE MATHEMATICS Duratio : 2 hours The three parts I, II ad III are idepedat The use of computig devices is ot allowed Part I We cosider the matrix A = Questio I1 Determie the eigevalues of the matrix A Questio I2 Determie two eigevectors respectively associated to the two eigevalues of A From ow o, we cosider two real umbers u 0 ad u 1 ad we defie by iductio the sequece u 0 thaks to the followig relatios, valid for ay 1 : Questio I3 For 0, we let X = u 2 = 2u 2 1 u 2 2 ad u 2+1 = 3u 2 2u 2 1 u2 u 2+1 Express X +1 i terms of X ad A Questio I4 I this questio, we assume that u 0 = u 1 = 1 Compute the vectors X associated to this choice of u 0 ad u 1 Questio I5 to be bouded Give a ecessary ad sufficiet coditio o the pair u 0,u 1 for the sequece X 0 1

5 Part II Let f be a cotiuous fuctio from [0,+ ito R, strictly decreasig ad itegrable o [0,+ We recall that sayig that the fuctio f is itegrable o [0,+ meas that the quatity x 0 ft dt has a it whe x teds to Questio II1 exists ad is equal to zero Show that the it fx x + Questio II2 Show that for all x 0 oe has fx > 0 Questio II3 Show that for all itegers k 1 oe has k+1 ftdt < fk < k k k 1 ftdt Questio II4 Deduce from the previous questios that the series, the geeral term of which is fk, coverges ad that oe has 1 : ftdt < + fk < k= 1 Questio II5 For α R ad t [0,+ let f α t = 1/t+1 α ftdt II5a Determie the values of α for which the fuctiof α is itegrable over [0,+ II5b We assume that the fuctio f α is itegrable over [0,+ Does the followig it exist, ad if it exists, what is its value? 1 f α k f α tdt + k= Questio II6 Does the followig it exist, ad if it exists, what is its value? 1 exp k exp tdt + k= Part III We cosider two polyomials P ad Q with complex coefficiets Questio III1 We assume that the polyomials P + Q ad P Q are costat Show that the polyomials P ad Q are costat Questio III2 We assume that the polyomial P 2 Q 2 is a o zero costat Show that the polyomials P ad Q are costat Questio III3 Let 2 be a iteger We assume that the polyomial P Q is a o zero costat Show that the polyomials P ad Q are costat Hit : oe ca use the factorisatio of the polyomial X 1 i C[X], i terms of the -th roots of uity 2

6 CONCOURS D ADMISSION 2017 FILIÈRE UNIVERSITAIRE INTERNATIONALE MATHÉMATIQUES Durée : 2 heures Les trois parties I, II et III sot idépedates L utilisatio de moyes de calcul est iterdite Partie I O cosidère la matrice A = Questio I1 Détermier les valeurs propres de la matrice A Questio I2 Détermier deux vecteurs propres associés respectivemet à chaque valeur propre de A O cosidère das la suite deux ombres réels u 0 et u 1 et o défiit par récurrece la suite u 0 à l aide des relatios suivates, valables pour tout 1 : Questio I3 Pour 0, o pose X = u 2 = 2u 2 1 u 2 2 et u 2+1 = 3u 2 2u 2 1 u2 u 2+1 Exprimer X +1 e foctio de X et A Questio I4 Das cette questio, o suppose que u 0 = u 1 = 1 Calculer les vecteurs X associés à ce choix de u 0 et u 1 Questio I5 Doer ue coditio écessaire et suffisate sur le couple u 0,u 1 pour que la suite X 0 soit borée 1

7 Partie II Soitf ue foctio cotiue de [0,+ [ das R, strictemet décroissate et itégrable sur [0,+ [ O rappelle que dire que la foctio f est itégrable sur [0,+ [ équivaut à dire que l expressio x 0 ft dt a ue ite quad x ted vers l ifii Questio II1 existe et est égale à zéro Motrer que la ite fx x + Questio II2 Motrer que pour tout x 0 o a : fx > 0 Questio II3 Questio II4 Motrer que pour tout etier k 1 o a k+1 ftdt < fk < k k k 1 ftdt Déduire de ce qui précède que la série de terme gééral fk coverge et que l o a 1 : ftdt < + k= fk < 1 ftdt Questio II5 Pour α R et t [0,+ [ o pose f α t = 1/t+1 α II5a Détermier les valeurs de α telles que la foctio f α soit itégrable sur [0,+ [ II5b O suppose que la foctio f α est itégrable sur [0,+ [ La ite suivate existe-t-elle, et si elle existe, quelle est sa valeur? 1 f α k f α tdt + k= Questio II6 La ite suivate existe-t-elle, et si elle existe, quelle est sa valeur? 1 exp k exp tdt + k= Partie III O cosidère deux polyômes P et Q à coefficiets complexes Questio III1 O suppose que les polyômes P + Q et P Q sot costats Motrer que les polyômes P et Q sot costats Questio III2 O suppose que le polyôme P 2 Q 2 est costat et o ul Motrer que les polyômes P et Q sot costats Questio III3 Soit u etier supérieur à 2 O suppose que le polyôme P Q est costat o ul Motrer que les polyômes P et Q sot costats Idicatio : o pourra utiliser la factorisatio du polyôme X 1 das C[X], à l aide des racies -ièmes de l uité 2