Résumé : Probabilités Niveau : Bac Sciences de l informatique Réalisé par : Prof. Benjeddou Saber

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1 Résumé : Niveau : Bac Scieces de l iformatique Réalisé par : Prof. Bejeddou Saber Tableau récapitulatif sur le déombremet: Type du tirage : Simultaé Successif sas remise Successif avec remise U tirage possible : Ue combiaiso U arragemet Ue applicatio L ordre : N iterviet pas Iterviet Iterviet La répétitio : Sas répétitio Sas répétitio Possibilité de répétitio Nombre de tirages de p élémets parmi élémets : Vocabulaire : C p Ue expériece aléatoire est ue expériece qui déped du hasard : le résultat e peut doc être détermié a priori. L uivers de l expériece aléatoire est l esemble des issues (ou résultats) possibles de l expériece. O le ote Ω (appelé aussi l uivers des cas possibles). U évèemet est ue partie de Ω. L esemble vide est appelé évèemet impossible. L uivers Ω est appelé aussi évèemet certai. U sigleto de Ω (ou u résultat) est appelé évèemet élémetaire ou évetualité. Soit A et B deux évèemets. L évèemet A B est l évèemet "A et B". Il est réalisé si A et B sot réalisés simultaémet (au même temps). L évèemet A B est l évèemet "A ou B". Il est réalisé si l'u au mois des deux évèemets A et B est réalisé. L esemble Ω A, qu o ote A, est l évèemet cotraire de A. Il est réalisé si et seulemet si A est pas réalisé. A et B sot dits icompatibles s ils e peuvet pas se réaliser au même temps (A B = ). Si A B, alors B A est l esemble des élémets de B qui appartieet pas à A. A et B sot dits cotraires si A B = Ω et A B =. O ote A = B ou B = A. Défiitio : "Probabilité" Soit Ω u uivers fii et P(Ω) l esemble des parties de Ω. O appelle probabilité sur Ω toute applicatio p de P(Ω) das [0,1] telle que : 1. p(ω) = 1 2. Pour tous A et B de P(Ω) tels que A B = o a : p(a B) = p(a) + p(b). Le triplet (Ω, P(Ω), p) s appelle espace probabilisé fii. A p p Professeur : Bejeddou Saber 1/7

2 Propriétés : Soit (Ω, P(Ω), p) u espace probabilisé fii. A et B sot deux évèemets. 1. La somme des probabilités de tous les évèemets élémetaires de Ω est égale à La probabilité de A est la somme des probabilités des évèemets élémetaires dot la réuio est A p(a) p(a ) = 1 p(a). 5. Si A B, alors p(b A) = p(b) p(a) et p(a) p(b). 6. p( ) = p(a B) = p(a) + p(b) p(a B). Théorème : "Probabilité uiforme" Soit Ω = {ω 1, ω 2,, ω } u uivers fii et p ue probabilité sur P(Ω). La probabilité p est dite uiforme ou ue équiprobabilité, lorsque tous les évèemets élémetaires ot la même probabilité d être réalisés. Das ce cas o a : p({ω 1 }) = p({ω 2 }) = = p({ω }) = 1 = 1 card(ω) Pour tout évèemet A o a : p(a) = card(a) ombre de cas favorables = card(ω) ombre de cas possibles Défiitio : "Probabilité coditioelle" Soit (Ω, P(Ω), p) u espace probabilisé fii. A et B sot deux évèemets tels que p(b) 0. O appelle probabilité coditioelle de A sachat B, le réel : p(a B) = p(a B) O la ote aussi p B (A) et o lit :"Probabilité de A sachat B" p(b) Vocabulaire : Deux évèemets A et B sot dits équiprobables si p(a) = p(b). Deux évèemets A et B sot dits idépedats si la réalisatio de l u iflue pas sur la réalisatio de l autre. C est a dire p(a B) = p(a) p(b). Professeur : Bejeddou Saber 2/7

3 E état u esemble fii. Les parties A 1, A 3,,A de E formet ue partitio de E lorsqu elles sot deux à deux disjoites et leur réuio est E. Coséquece : Soit (Ω, P(Ω), p) u espace probabilisé fii, A et B deux évèemets. Si p(b) 0, alors p(a B) = p(b) p(a B) Si p(a) 0, alors p(a B) = p(a) p(b A) Formule des probabilités totales : A 1, A 3,,A sot des évèemet format ue partitio de Ω tels que p(a i ) 0 pour tout i {1; 2; ; } et B état u évèemet. Alors : p(b) = p(b A i ) i=1 = p(b A i ) p(a i ) E particulier si A es u évèemet tel que p(a) 0 et p(a ) 0, alors : i=1 p(b) = p(b A) p(a) + p(b A ) p(a ) Formule de Bayes : A 1, A 3,,A sot des évèemet format ue partitio de Ω tels que p(a i ) 0 pour tout i {1; 2; ; } et B état u évèemet. Alors pour tout k {1,2,, } o a : p(a k B) = p(b A k) p(a k ) p(b A i ) p(a i ) E particulier si A es u évèemet tel que p(a) 0 et p(a ) 0, alors : i=1 p(a) p(b A) p(a B) = p(a) p(b A) + p(a ) p(b A ) Défiitio : "Variables aléatoires réelles discrètes" Ue variable aléatoire réelle X défiie sur u uivers Ω est ue applicatio de Ω das R. Elle est dite discrète si X(Ω) = {x 1, x 2,, x } où {x 1, x 2,, x } est l esemble des valeurs prise par X. Vocabulaire : O ote p(x = x i ) la probabilité pour que X pree la valeur x i. Professeur : Bejeddou Saber 3/7

4 Défiitio : "Variables aléatoires réelles discrètes" Ue variable aléatoire réelle X défiie sur u uivers Ω est ue applicatio de Ω das R. Elle est dite discrète si X(Ω) = {x 1, x 2,, x } où {x 1, x 2,, x } est l esemble des valeurs prises par X. Défiitio : "Loi de probabilité d ue variable aléatoire réelle discrète" Soit X ue variable aléatoire réelle discrète défiie sur u uivers Ω. L applicatio de X(Ω) = {x 1, x 2,, x } vers [0,1] otée P X, qui à tout x i associe p(x = x i ) est appelée loi de probabilité de X. Défiitio : "Foctio de répartitio d ue variable aléatoire" Soit X ue variable aléatoire réelle défiie sur u uivers Ω. La foctio de répartitio de X est l applicatio F défiie sur R par : F(x) = p(x x) Propriétés : Soit X ue variable aléatoire réelle discrète défiie sur u uivers Ω. 1. Si X(Ω) = {x 1, x 2,, x }, alors i=1 p(x = x i ) = p(x > x) = 1 p(x x) pour tout réel x. 3. La foctio de répartitio F de X est costate sur chacu des itervalles ], x 1 [,, [x i, x i+1 [, [x, + [. 4. Pour tous réels a et b tels que a b o a : p(a < X b) = F(b) F(a). Défiitios : Soit (Ω, P(Ω), p) u espace probabilisé fii et soit X ue variable aléatoire réelle discrète défiie sur Ω. Notos X(Ω) = {x 1, x 2,, x }. - L espérace mathématique de X, otée E(X), est le réel : E(X) = i=1 x i. p(x = x i ). - La variace de X, otée V(X), est le réel : V(X) = x i E(X) 2 i=1. p(x = x i ). - L écart-type de X, oté σ(x), est le réel : σ(x) = V(X). Professeur : Bejeddou Saber 4/7

5 Propriétés : X et Y sot deux variables aléatoires défiies sur u uivers Ω et a est u réel. 1. E(X + a) = E(X) + a. 2. E(aX) = ae(x). 3. E(X + Y) = E(X) + E(Y). 4. V(X) = E(X 2 ) E(X) V(X + a) = V(X). 6. V(aX) = a 2 V(X). 7. σ(x + a) = σ(x). 8. σ(ax) = a σ(x). Défiitio : "Schéma de Beroulli Loi biomiale" O appelle schéma de Beroulli, ue suite d expérieces idetiques telles que : - Chaque expériece e doe lieu qu a deux issues : l ue, otée S, appelée succès ; l autre, otée, E = S, appelée échec. - Les expérieces répétées sot idépedates les ues des autres. Les paramètres d u schéma de Beroulli sot : le ombre d expérieces et la probabilité p de succès d ue expériece élémetaire. La loi de probabilité d ue variable aléatoire X qui à chaque issue de expérieces associe le ombre de succès s appelle loi biomiale de paramètres et p. Théorème : Soit X ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale de paramètres et p. 1. p(x = k) = C k p k (1 p) k avec k {0, 1, 2,, }. 2. E(X) = p et V(X) = p(1 p). Défiitio : "Variables aléatoires réelles cotiues" Ue variable aléatoire réelle X défiie sur u uivers Ω est cotiue si X(Ω) = [a, b] où [a, b] est u itervalle de R tel que a < b. Professeur : Bejeddou Saber 5/7

6 Défiitio : "Desité de probabilité d ue variable aléatoire réelle cotiue" Soit X ue variable aléatoire réelle cotiue défiie sur u uivers Ω et preat des valeurs sur u itervalle [a, b]. O appelle desité de probabilité de X, la foctio f positive et cotiue sur [a, b] b telle que : f(x)dx a b = 1 et p(x 1 X x 2 ) = f(x)dx a pour tous x 1, x 2 [a, b]. Défiitio : "Loi de probabilité d ue variable aléatoire réelle cotiue" La loi de probabilité P de X est l applicatio qui, à tout sous itervalle [x 1, x 2 ] de [a, b] associe le réel P([x 1, x 2 ]) = p(x 1 < X < x 2 ). Défiitio : "Loi uiforme" Soit a et b deux réels tels que a < b. Ue variable aléatoire réelle cotiue X suit la loi de probabilité uiforme sur l itervalle [a, b] si sa desité de probabilité f est défiie sur R par : 1 si x [a, b] f(x) = b a 0 si x [a, b] Propriétés : Soit X ue variable aléatoire réelle cotiue qui suit la loi uiforme sur l itervalle [a, b]. Alors : 1. P([x 1, x 2 ]) = p(x 1 X x 2 ) = x 2 1. b a 2. La foctio de répartitio F de X est défiie sur R par : 0 si x < a x a F(x) = si a x < b b a 1 si x b Défiitio : "Loi expoetielle" Soit λ R +. Ue variable aléatoire réelle cotiue X suit la loi expoetielle de paramètre λ si sa desité de probabilité f est défiie sur R par : f(x) = 0 si x < 0 λe λx si x 0 Professeur : Bejeddou Saber 6/7

7 Propriétés : Soit X ue variable aléatoire réelle cotiue qui suit la loi expoetielle de paramètre λ. 1. Pour tous réels positifs a et b tels que a b o a : P([a, b]) = p(a X b) = e λa e λb 2. Pour tout réel positif a o a : p(x a) = e λa 3. La foctio de répartitio F de X est défiie sur R par : 0 si x < 0 F(x) = 1 e λx si x 0 Professeur : Bejeddou Saber 7/7

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